第17练 圆的一般式方程《数学》基础模块下册（高教版第三版）《一课一练》（原卷版+解析版）

**基本信息** 依托三阶支架体系，以“基础-进阶-综合”分层设计，覆盖圆的一般式方程从概念理解到实际应用的完整巩固路径，适配中职同步教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|圆的方程形式、圆心半径计算|单选题（如第3题求半径）、多选题（如第5题参数取值），强化概念辨析与基础运算，培养运算能力| |进阶层|圆的几何性质、简单应用|填空题（如第7题圆心在定直线上的圆方程），结合几何直观，提升知识迁移能力| |综合层|轨迹问题、实际情境应用|解答题（如第12题公共弦长及最小面积圆）、单选题（第4题阿波罗尼奥斯圆），融入实际情境，发展模型意识与推理能力|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》基础模块下册（高教版第三版） 第六章 直线与圆的方程 第 17 练 圆的一般式方程 一、单选题 1．若的三个顶点分别为，，，则其外接圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆的一般方程为，,再将三个顶点代入，求出一般方程转化为标准式即可. 【详解】设圆的一般方程为，， 将，，代入， 得，即， 由①②，②③得解得. 所以圆的一般方程为， 化为标准方程为. 故选：D. 2．圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】由圆的一般方程求出圆心坐标，再由点到直线的距离公式计算即可. 【详解】圆可化为， 所以圆心坐标为， 则圆心到直线的距离为. 故选：D. 3．已知圆的圆心为，则圆的半径是（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据圆心确定圆的方程中的值，再由圆的一般方程中半径的公式求值即可. 【详解】已知圆， 由圆心为，可得， 解得， 所以圆的半径为， 故选：C. 4．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数（）的点M的轨迹是圆，若两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（   ） A．π B．2π C．3π D．4π 【答案】D 【分析】以A为原点，直线为x轴建立平面直角坐标系，首先确定圆的方程，然后确定其面积即可． 【详解】以A为原点，直线为x轴建立平面直角坐标系，则． 设，依题意有，， 化简整理得，即， 表示圆心为，半径为2的圆， 则M点的轨迹围成区域的面积为． 故选：D． 二、多选题 5．若表示圆的一般方程，则实数的值可以是（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】BD 【分析】将已知方程配方成圆的标准方程的形式，再根据，可得的取值范围，从而可得实数的可能值. 【详解】解：将配方得. 要想表示圆，则，解得. 故选：BD. 6．若方程表示一个圆，则的取值可能为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】AC 【分析】根据圆的一般方程，建立系数方程，经检验，可得答案. 【详解】解：由圆的一般方程形式知，的系数相同， 则，∴或3， 当时，方程为表示一个圆； 当时，方程为表示一个圆. 故选：AC. 三、填空题 7．已知圆的圆心在直线上，且过点，则圆的一般方程为___________. 【答案】 【分析】设出圆的标准方程再根据题目条件列方程求解. 【详解】设所求圆的标准方程为， 由题意得解得 故所求圆的方程为，即. 故答案为：. 8．如图所示为一个圆形破砂轮的一部分，为配置一个新的同样大小的新砂轮，在破砂轮上画出线段厘米，作的垂直平分线厘米，按如图所示建立平面直角坐标系，则砂轮的圆方程为_____. 【答案】 【分析】设圆的半径为，由勾股定理可得的值，进一步可得圆心坐标，由此得解. 【详解】设圆的半径为，则，解得， 设圆心为，则，则， 于是所求圆的方程为. 故答案为：. 9．一个圆形零件损坏后，只剩下如图所示的一部分，现量得，，M为的中点，可求得该圆的方程是________，半径是________． 【答案】 5 【分析】根据题意求出的坐标，设出圆的一般式方程，将三点代入方程中即可得解. 【详解】由已知有，，， 设圆的方程为，（）， 将代入方程中可得，解得， 故圆的方程为，即，则半径为5， 故答案为：；. 10．在平面直角坐标系中，圆关于直线对称的圆为，则的方程为______． 【答案】 【分析】直线为线段的垂直平分线，确定线段的中点和斜率即可求出的方程为. 【详解】圆，即，其圆心， 又的圆心， 根据题意可得直线为线段的垂直平分线， 又，线段的中点， 则直线的方程为，即. 故答案为：. 四、解答题 11．解答下列问题： (1)已知点、，求以线段为直径的圆的标准方程. (2)若圆的半径是，求的值及圆心的坐标. (3)已知圆经过点，，，求圆的一般方程. 【答案】(1) (2)或，圆心为或 (3) 【分析】（1）根据直径的中点为圆心，运用中点坐标公式求出圆心，运用两点之间的距离公式求出半径的长，即可写出圆的标准方程. （2）根据圆的一般方程中的半径公式列方程即可求出的值，再由圆的一般方程中圆心坐标公式确定圆心即可. （3）设圆的一般方程为，将点代入列方程求解即可. 【详解】（1）已知点、， 设圆心，由中点坐标公式得，    ，，故， 圆的半径， 圆的标准方程为. （2）已知圆的半径是， 其中，，， 半径， 得或 ， 当时，圆心，即， 当时，圆心，即， （3）设圆的一般方程为， 由题知， 即， 解得， 所以圆的一般方程为：. 12．已知圆与圆相交于A，B两点. (1)求公共弦的长； (2)求经过A，B两点且面积最小的圆的方程. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）将两圆的方程联立，解方程组可得的坐标，再根据两点间的距离公式可求解； （2）以为直径的圆即为面积最小的圆，据此确定圆心和半径后可求圆的方程. 【详解】（1）由题意，联立， 解得或， 不妨设，， ； （2）因为以为直径的圆即为面积最小的圆， 则的中点为圆心，即，半径， 故所求圆的方程为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》基础模块下册（高教版第三版） 第六章 直线与圆的方程 第 17 练 圆的一般式方程 一、单选题 1．若的三个顶点分别为，，，则其外接圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 2．圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B．2 C．3 D． 3．已知圆的圆心为，则圆的半径是（   ） A． B． C． D．3 4．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数（）的点M的轨迹是圆，若两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（   ） A．π B．2π C．3π D．4π 二、多选题 5．若表示圆的一般方程，则实数的值可以是（    ） A．2 B． C．1 D． 6．若方程表示一个圆，则的取值可能为（    ） A．3 B．2 C． D． 三、填空题 7．已知圆的圆心在直线上，且过点，则圆的一般方程为___________. 8．如图所示为一个圆形破砂轮的一部分，为配置一个新的同样大小的新砂轮，在破砂轮上画出线段厘米，作的垂直平分线厘米，按如图所示建立平面直角坐标系，则砂轮的圆方程为_____. 9．一个圆形零件损坏后，只剩下如图所示的一部分，现量得，，M为的中点，可求得该圆的方程是________，半径是________． 10．在平面直角坐标系中，圆关于直线对称的圆为，则的方程为______． 四、解答题 11．解答下列问题： (1)已知点、，求以线段为直径的圆的标准方程. (2)若圆的半径是，求的值及圆心的坐标. (3)已知圆经过点，，，求圆的一般方程. 12．已知圆与圆相交于A，B两点. (1)求公共弦的长； (2)求经过A，B两点且面积最小的圆的方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $