第19练 直线与圆的方程应用举例《数学》基础模块下册（高教版第三版）《一课一练》（原卷版+解析版）

**基本信息** 中职数学《一课一练》第19练以“直线与圆的方程应用”为核心，通过基础认知、技能应用、综合实践三层设计，构建“概念理解-运算强化-实际建模”的巩固路径，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|直线与圆位置关系、弦长计算|单选题（1-4）直接考查公式应用，降低门槛| |技能应用|综合判断、简单实际问题|多选题（5-6）结合工厂检测、轮船航线，填空题（7-10）融入车间切割、台风预警，强化数学思维| |综合实践|复杂情境建模与求解|解答题（11-12）设置台风侵袭、海监船监测问题，需建立坐标系分析，体现数学语言表达现实的应用意识|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》基础模块下册（高教版第三版） 第六章 直线与圆的方程 第 19 练 直线与圆的方程应用举例 一、单选题 1．直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 2．工厂的自动化运输轨道为直线，现要安装一个圆形检测装置，其圆心在，半径为，该直线与圆形检测装置的位置关系是（   ）. A．相离 B．相切 C．相交且不过圆心 D．相交且过圆心 3．玻璃厂工人制作圆形玻璃，圆的一般方程为，则该圆在轴上截得的弦长为（    ）． A．12 B．16 C．20 D．24 4．一辆卡车宽米，要经过一个半径为米的半圆形隧道（双向双车道），则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 二、多选题 5．已知：，则（    ） A．直线与相切 B．过点的直线被截得的最大弦长为4 C．与圆交点所在的直线方程为 D．与圆外切 6．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心、半径为的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西处，为确保轮船没有触礁危险，则该轮船的行驶路线可以是（    ） A．南偏西方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 三、填空题 7．某车间要在一块长方形钢板上切割出一个圆形部件，已知钢板的一边所在直线方程为，若圆形部件的圆心坐标为，半径为 2，则该圆与直线的位置关系是______. 8．工厂的圆形花坛边缘有一条直线小径，圆的方程为，直线方程为，则直线被圆截得的弦长为______. 9．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西处，受影响的范围是半径为的圆形区域．已知港口位于台风中心正北处，如果这艘轮船不改变航线，那么它__________（填“会”或“不会”）受到台风的影响．    10．某零件的横截面如图所示，若建立平面直角坐标系，设点A为坐标原点，则B，C，D，E，F的坐标分别为__________，__________，__________，__________，__________．    四、解答题 11．2021年我国某海滨城市经常遭遇东偏南某方位的台风的侵袭，对居民的生产和生活产生巨大影响.如图，据10月13日午时监测，当前台风中心位于城市的东偏南方向的海面处，并以的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围是半径为的圆形区域，位于城市的东偏南方向有一条自城市通向远海的航线，当前该航线的至段正遭受台风侵袭. (1)求当前该航线正被台风侵袭的至段的距离；（距离精确到） (2)经过多长时间后该航线将不受台风侵袭？（时间精确到）（参考数据：） 12．如图，已知一艘海监船 上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为. (1)求外籍船航行路径所在的直线方程； (2)这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》基础模块下册（高教版第三版） 第六章 直线与圆的方程 第 19 练 直线与圆的方程应用举例 一、单选题 1．直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点到直线的距离公式和勾股定理即可求得弦长. 【详解】解：由题可知，此圆的圆心为，半径为， 且圆心到直线的距离为， 由勾股定理可知，弦长为. 故选：C. 2．工厂的自动化运输轨道为直线，现要安装一个圆形检测装置，其圆心在，半径为，该直线与圆形检测装置的位置关系是（   ）. A．相离 B．相切 C．相交且不过圆心 D．相交且过圆心 【答案】A 【分析】根据点到直线距离公式求出圆心到直线的距离即可求解. 【详解】因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离 . 故选：A. 3．玻璃厂工人制作圆形玻璃，圆的一般方程为，则该圆在轴上截得的弦长为（    ）． A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【分析】求出圆与y轴的交点坐标，进而得到弦长. 【详解】令，则，即，解得，， 所以在轴上截得的弦长为． 故选：B. 4．一辆卡车宽米，要经过一个半径为米的半圆形隧道（双向双车道），则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】根据题意作出示意图，由垂直条件对应的勾股定理求解出结果. 【详解】由题意得，如图所示，米，米. 由勾股定理可得，米. 故这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过米. 故选：C. 二、多选题 5．已知：，则（    ） A．直线与相切 B．过点的直线被截得的最大弦长为4 C．与圆交点所在的直线方程为 D．与圆外切 【答案】BCD 【分析】A选项，求出圆心到直线的距离与半径相比，得到答案；B选项，由题意得到最大弦长为直径；C选项，两圆相减得到交点弦方程；D选项，求出圆心距与半径之和相等，D正确. 【详解】的圆心为，半径为2， 则圆心到直线的距离为， 故直线与相交，A错误； B选项，当过点的直线过圆心时，被截得的弦长最大， 最大弦长为直径4，B正确； C选项，与相减得到， 故与圆交点所在的直线方程为，C正确； D选项，圆的圆心为，半径为1， 由于，故与圆外切，D正确. 故选：BCD 6．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心、半径为的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西处，为确保轮船没有触礁危险，则该轮船的行驶路线可以是（    ） A．南偏西方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【答案】BCD 【分析】以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，1km为单位长度，建立直角坐标系，再数形结合求解轮船航线所在直线的方程与受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程相切的临界条件，再逐个选项判断即可. 【详解】如图，以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，1km为单位长度，建立如图所示的直角坐标系， 则轮船所在的位置为，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为， 设轮船航线所在直线的方程为，即，    由，得或． 因为，所以该轮船的行驶路线可以是南偏西30°方向，北偏西30°方向，北偏西25°方向． 故选：BCD 三、填空题 7．某车间要在一块长方形钢板上切割出一个圆形部件，已知钢板的一边所在直线方程为，若圆形部件的圆心坐标为，半径为 2，则该圆与直线的位置关系是______. 【答案】相离 【分析】根据点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离，比较其与半径的大小，即可求解. 【详解】因为圆形部件的圆心坐标为，半径为2， 又圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离. 故答案为：相离 8．工厂的圆形花坛边缘有一条直线小径，圆的方程为，直线方程为，则直线被圆截得的弦长为______. 【答案】 【分析】先将圆的一般方程化为标准得到圆心和半径，计算圆心到直线的距离，结合弦长公式即可求解. 【详解】先将圆方程化为标准方程， 圆心坐标为，半径， 即圆心到直线的距离， 所以弦长为. 故答案为： 9．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西处，受影响的范围是半径为的圆形区域．已知港口位于台风中心正北处，如果这艘轮船不改变航线，那么它__________（填“会”或“不会”）受到台风的影响．    【答案】不会 【分析】以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立直角坐标系，进而可判断出受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程，以及轮船航线所在直线的方程，进而求得圆心到直线的距离大于半径推断出轮船不受台风影响. 【详解】以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，    则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为， 轮船航线所在直线l的方程为，即， 由于圆心到直线l的距离， 所以直线l与圆O无公共点，轮船不受台风影响． 故答案为：不会. 10．某零件的横截面如图所示，若建立平面直角坐标系，设点A为坐标原点，则B，C，D，E，F的坐标分别为__________，__________，__________，__________，__________．    【答案】 【分析】根据圆的定义即可求解. 【详解】如图，以点A为原点，分别以AB，AF所在的直线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    则，，，，． 故答案为：，，，，. 四、解答题 11．2021年我国某海滨城市经常遭遇东偏南某方位的台风的侵袭，对居民的生产和生活产生巨大影响.如图，据10月13日午时监测，当前台风中心位于城市的东偏南方向的海面处，并以的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围是半径为的圆形区域，位于城市的东偏南方向有一条自城市通向远海的航线，当前该航线的至段正遭受台风侵袭. (1)求当前该航线正被台风侵袭的至段的距离；（距离精确到） (2)经过多长时间后该航线将不受台风侵袭？（时间精确到）（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点到直线的距离和勾股定理可求解； （2）设小时后台风中心所处位置为点，再建立方程求解即可. 【详解】（1）由题得当前台风中心所处位置点坐标为，即点，又至段所在直线的方程为，则点到该直线的距离为，则，即得当前该航线正被台风侵袭的至段的距离为. （2）由题知，当该航线不受台风侵袭时，城市也恰好结束遭受台风侵袭.设经过小时后台风中心所处位置为点，则得坐标为，即点，又圆的方程为， 则由，得，其中､分别表示城市开始和结束遭受台风侵袭所需要经历的时间，则易得经过后该航线将不受台风侵袭. 12．如图，已知一艘海监船 上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为. (1)求外籍船航行路径所在的直线方程； (2)这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？ 【答案】(1)； (2)能， 小时. 【分析】（1）首先以为原点，东西方向为轴，南北方程为轴，建立平面直角坐标系，再利用截距式求解直线方程即可； （2）利用直线与圆的位置关系和弦长公式即可得到答案. 【详解】（1）以为原点，东西方向为轴，南北方程为轴，建立平面直角坐标系，如图所示: 则 ， 则直线，即， 外籍船航行路径所在的直线方程为: ; （2）点到直线的距离， 所以外籍轮船能被海监船监测到； 检测路线的长度， 则检测时间， 所以外籍轮船被监测到的持续时间为小时. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $