专题02 充要条件（讲义）-2027年黑龙江省（春季高考）《数学一轮讲练测》（解析版+原卷版）

编写说明：2027年黑龙江省（春季高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年黑龙江省（春季高考） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题02 充要条件 【复习目标】 1. 理解充分条件和必要条件的概念，掌握充分、必要条件的判断方法. 2. 掌握充要条件和集合关系的转化，会利用充要条件求参数的范围. 【考点1 充要条件的概念】 1．充要条件的有关概念 （1）充分条件、必要条件 如果p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件． （2）充要条件 如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q． （3）充分不必要条件 如果p⇒q，但qp，那么称p是q的充分不必要条件． （4）必要不充分条件 如果pq，但q⇒p，那么称p是q的必要不充分条件． （5）既不充分也不必要条件 如果pq，且qp，那么称p是q的既不充分也不必要条件． 2．充要条件的传递性 （1）若p是q的充要条件，q是r的充要条件，即pq，qr，则有pr，即p是r的充要条件． （2）若p是q的充要条件，即pq，则有qp，即q是p的充要条件． 【即时训练】 1．是的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 6．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 8．的充要条件是（    ） A．或 B．且 C．或 D．或 9．“”是“方程有实根”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．判断下列条件甲是条件乙的______条件． (1)甲：，乙：； (2)甲：，乙：； (3)甲：，乙：． 【考点2 充要条件和集合的关系】 充分条件和必要条件与集合的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} 若p是q的充分不必要条件 则AB 若p是q的必要不充分条件 则BA 若p是q的充要条件 则A＝B 若p是q的既不充分也不必要条件 则AB之间没有子集关系 【即时训练】 1．设A、B为两个集合，则是“”的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．命题，命题，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设是两个非空集合，且，则“”是“”的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 4．已知，若集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．集合，的关系如图所示，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．设，已知两个非空集合，，满足，则下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”既不是“”的充分条件也不是“”的必要条件 8．命题p：；命题q： ，则p成立是q成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知且“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是 ． 10．已知集合，集合 (1)当时，求 (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围 1．（2024年·黑龙江省对口升学高考第2题）“”是“”的（ ） A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 2．（2023年·黑龙江省对口升学高考第2题）是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．（2023年·黑龙江省对口升学高考第21题）集合中的最小整数为_____. 4.（2022年·黑龙江省对口升学高考第2题） “”是“且”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5．（2020年·黑龙江省对口升学高考第2题） “”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年黑龙江省（春季高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年黑龙江省（春季高考） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题02 充要条件 【复习目标】 1. 理解充分条件和必要条件的概念，掌握充分、必要条件的判断方法. 2. 掌握充要条件和集合关系的转化，会利用充要条件求参数的范围. 【考点1 充要条件的概念】 1．充要条件的有关概念 （1）充分条件、必要条件 如果p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件． （2）充要条件 如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q． （3）充分不必要条件 如果p⇒q，但qp，那么称p是q的充分不必要条件． （4）必要不充分条件 如果pq，但q⇒p，那么称p是q的必要不充分条件． （5）既不充分也不必要条件 如果pq，且qp，那么称p是q的既不充分也不必要条件． 2．充要条件的传递性 （1）若p是q的充要条件，q是r的充要条件，即pq，qr，则有pr，即p是r的充要条件． （2）若p是q的充要条件，即pq，则有qp，即q是p的充要条件． 【即时训练】 1．是的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解一元二次方程，再根据充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】方程即，解得或， 故推不出，不是的充分条件， 可以推出，是的必要条件， 故是的必要不充分条件. 故选：B. 2．若，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件与必要条件的概念进行分析即可. 【详解】当时，，故充分性成立； 当时，或，故必要性不成立． 故“”是“0”的充分不必要条件． 故选：C. 3．已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充要条件的定义，即可求解. 【详解】已知，若，则，充分性成立； 已知，若，则，必要性成立， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 4．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据对数的定义及充分性与必要性的定义即可得解. 【详解】当时，； 当时，， 所以“”是“”的充要条件， 故选：. 5．若，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】根据充要条件的定义即可得解. 【详解】若，则，所以成立； 若，则，因为，，所以， 所以“”是“”的充要条件， 故选：C. 6．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据集合之间的关系，结合必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】由题意得，设集合，所以是的真子集， 则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 7．“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】A 【分析】结合一元二次不等式的解法及充分条件、必要条件的概念判断. 【详解】由可得， 若“”，则一定有“”，故充分性成立； 若“”，则不一定有“”，如时，故必要性不成立， 故“”是“”的充分非必要条件. 故选：A． 8．的充要条件是（    ） A．或 B．且 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据题意结合充要条件的概念即可求解. 【详解】由题意得，，解得且. 所以的充要条件是且. 故选：B. 9．“”是“方程有实根”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件与必要条件的定义即可得解. 【详解】若方程有实根，则，解得， 则当，则方程有实根，故充分性成立； 当方程有实根时，不一定成立，故必要性不成立， 所以“”是“方程有实根”的充分不必要条件， 故选：. 10．判断下列条件甲是条件乙的______条件． (1)甲：，乙：； (2)甲：，乙：； (3)甲：，乙：． 【答案】(1)必要不充分 (2)充分不必要 (3)既不充分也不必要 【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断． 【详解】（1）∵，如；，∴甲是乙的必要不充分条件． （2）∵；，如，∴甲是乙的充分不必要条件． （3）∵，如；，如，∴甲是乙的既不充分也不必要条件． 【考点2 充要条件和集合的关系】 充分条件和必要条件与集合的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} 若p是q的充分不必要条件 则AB 若p是q的必要不充分条件 则BA 若p是q的充要条件 则A＝B 若p是q的既不充分也不必要条件 则AB之间没有子集关系 【即时训练】 1．设A、B为两个集合，则是“”的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据集合的关系和交集的运算和充要条件的概念分析即可. 【解析】因为A、B为两个集合， 所以由，可以得出集合A为集合B的子集，，所以充分性成立， 由，可以得出，所以必要性成立， 综上，是“”的充要条件. 故选：C. 2．命题，命题，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件，必要条件的概念判断即可. 【详解】由， 即命题，命题， 可得，， 即p是q的充分不必要条件． 故选：A. 3．设是两个非空集合，且，则“”是“”的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据集合之间的包含关系及充分性和必要性的定义即可得解. 【详解】因为，所以能推出，但不能推出， 所以“”是“”的必要条件. 故选：. 4．已知，若集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】通过明确的值，进而进行分析． 【详解】若，则，可以推出； 若，则或 ， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 5．集合，的关系如图所示，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由韦恩图知：，∴是的充分不必要条件， 故选：A. 6．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分、必要条件结合一元二次不等式解法判断即可. 【详解】由，可解得， 因为，不能推出， 而，可以推出， 所以设，则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 7．设，已知两个非空集合，，满足，则下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”既不是“”的充分条件也不是“”的必要条件 【答案】A 【解析】因为，非空集合，满足， 所以是的子集，即， 所以是的充分条件， 故选：A. 8．命题p：；命题q： ，则p成立是q成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解一元二次不等式，再根据包含关系以及充分性、必要性的判断，即可求解. 【详解】由题意知命题p：， 解得p：， 因为命题q： ， 所以q的解集是p 的解集的真子集， 所以p成立是q成立的必要不充分条件. 故选：B. 9．已知且“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据充分不必要条件的定义和集合的包含关系即可求解. 【详解】等价于或， 而且“”是“”的充分不必要条件， 所以集合是集合或的真子集， 则， 故答案为： 10．已知集合，集合 (1)当时，求 (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入集合中，再由并集的概念运算即可. （2）根据充分条件的定义可知，根据包含的关系列不等式求解即可. 【详解】（1）当时，， ，所以. （2）若“”是“”的充分条件，则， 因为，故， 所以，解得， 因为，所以，即， 解得， 所以实数的取值范围为. 1．（2024年·黑龙江省对口升学高考第2题）“”是“”的（ ） A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 2．（2023年·黑龙江省对口升学高考第2题）是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分必要条件的判定方法即可得解. 【详解】当时，取，此时，即充分性不成立； 当时，必有，即必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 3．（2023年·黑龙江省对口升学高考第21题）集合中的最小整数为_____. 【答案】 【分析】根据含绝对值的不等式求解化简集合，进而求解即可； 【详解】因为，所以，即， 故集合， 所以集合中的最小整数为, 故答案为： 4.（2022年·黑龙江省对口升学高考第2题） “”是“且”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】通过特例说明充分性不成立，根据不等式的性质说明必要性是成立的. 【详解】可令，，，则满足，但“且”不成立，所以“”不是“且”的充分条件； 根据不等式的性质：由且，可得：.所以“”是“且”的必要条件. 故选：A 5．（2020年·黑龙江省对口升学高考第2题） “”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的定义求解即可. 【详解】可以推出.但是，，推不出. 从而是的充分不必要条件. 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $