专题04 数据的分析（期末复习知识清单）八年级数学下学期新教材北京版

专题04 数据的分析 方差与标准差 1. 方差：各个数据与平均数差的平方的平均数．用表示，即．其中是数据，，，的平均数． 2. 标准差：方差的算术平方根．用字母s表示，即． 3. 方差和标准差的计算 （1）计算这组数据的平均数； （2）计算各数据与平均数之差的平方，得到一组新数据； （3）求这组数据的平均数，这个平均数就是原数据的方差； （4）方差的算术平方根就是这组数据的标准差． 4. 方差和标准差的意义 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，一般来说，一组数据的方差、标准差越小，说明这组数据波动越小，这组数据就越稳定． 5. 适当变形后新数据的平均数和方差 样本数据 平均数 方差 ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， 离差平方和 1.离差平方和：各个数据与它们平均数之差的平方和，用S表示，即． 2.组内离差平方和与组间离差平方和： 一般地，设有n个数据，，，，它们的平均数为，离差平方和为．如果把这些数据分为两组，第1组有个数据，平均数为，离差平方和为；第2组有个数据，平均数为，离差平方和为，其中．通过计算可以得到以下等式： ． 通常称为组内离差平方和，它表达了两个组组内数据的离散程度；称为组间离差平方和，它表达了两个组之间的差异．一个合理的分组原则是使最小，同时使最大．由于总离差平方和不变，所以只需考虑达到最小即可． 频数和频率 1、频数：在统计数据时，各个对象出现的次数有多有少，或者说出现的频繁程度不同，某个对象出现的次数称为该对象的频数．频数与总次数的比值称为频率. 2、频率：频数与总次数的比值称为频率，即频率= ． 频数分布表 1、频数分布表：在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表． 2、列频数分布表的步骤： （1）计算极差，即计算最大值与最小值的差． （2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）． （3）将数据分组． （4）列频数分布表． 频数分布直方图 1、频数分布直方图：根据频数分布表，用横轴表示各分组数轴，纵轴表示各组数据的频数，绘制统计图直观地呈现频数的分布特征和变化规律，像这样的统计图称为频数分布直方图. 2、列频数分布直方图的步骤： （1）计算极差，即计算最大值与最小值的差． （2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）． （3）确定分点，将数据分组． （4）列频数分布表． （5）绘制频数分布直方图． 3、条形统计图与频数分布直方图的区别和联系： （1）联系——用途都是可以直观地表示出具体数量； 频数分布直方图是特殊的条形统计图． （2）区别——条形统计图是直观地显示出具体数据；频数分布直方图是表现频数的分布情况． （3）绘制的形式不同——条形统计图各条形分开；频数分布直方图的条形连在一起． 四分位数与箱线图 在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数是三个常用的百分位数。实际上，把一组数据从小到大排列，m50把这组数据分成前、后两部分，m25是前半部分数据的中位数，m75是后半部分数据的中位数。这样，m25，m50，m75就把这组数据分成个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，统称四分位数。 箱线图 箱线图绘制步骤 1、排序：数据从小到大排列 2、算五数：求最小值、Q1、中位数、Q3、最大值 3、找异常值：计算 IQR=Q3-Q1，标记超出Q1-1.5IQR或Q3+1.5IQR的点 4、画箱体：以 Q1、Q3 为边界画矩形，中间画中位数线 5、画须：从箱体两端连到非异常值的最值 6、标异常点：单独标出所有异常值 求极差 1．已知某班5名同学的身高（单位：厘米）分别是171，173，175，180，176．则这组数据的极差是（     ） A．2 B．4 C．5 D．9 【答案】D 【分析】找出数据中的最大值和最小值，计算二者的差即可得到结果． 【详解】解：∵本题给出的5个数据为171，173，175，180，176． ∴数据中最大值为，最小值为， ∴极差为 ． 2．小明查看了连续5日的天气预报中当天最高气温情况，分别是24，21，24，26，25（单位：）．则这5日中，最高气温的极差是__________． 【答案】5 【详解】解：最高气温的极差为． 3．如一组数据1，7，8，a，4的平均数是a，中位数是m，极差是n，则____． 【答案】12 【分析】根据平均数的定义求出的值，再将数据排序得到中位数，根据极差的定义求出，最后计算即可． 【详解】解：∵数据1，7，8，，4的平均数是， ∴， ， 将这组数据从小到大排列为：，，，，， 根据中位数的定义，得中位数， 根据极差的定义，得极差， ∴． 求方差 4．已知一组数据1，3，5，7，9的方差是8，则另一组数据11，13，15，17，19的方差为 ____________． 【答案】8 【详解】把数据1，3，5，7，9每个数加10得到新数据11，13，15，17，19， 因为一组数据加上同一个常数，方差不变，故方差仍为8． 5．某人5次射击练习，命中的环数分别为6，10，7，x，9．若这组数据的平均数为8，则这组数据的方差为____． 【答案】2 【分析】先根据平均数的定义求出的值，再根据方差计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴这组数据的方差为． 6．某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛、在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下： 信息一：甲、乙队员的射击成绩 甲：10，7，8，8，7，8，6，9，9，8 乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，5 信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 8 8 1.2 乙 8 9 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中，的值； (2)_______，_______队员在射击选拔赛中发挥得更稳定（填“甲”或“乙”）； (3)小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以．你认为他说得对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可）． 【答案】(1)， (2)，甲 (3)小瑜的说法不对．虽然甲、乙的平均数都是8环，但甲的方差更小，成绩更稳定，而乙的成绩波动大，发挥不稳定，所以不能仅依据平均数就认为推荐谁都一样． 【分析】（1）根据众数及中位数的定义进行求解即可； （2）根据方差公式进行求解m，然后问题可求解； （3）根据方差可进行求解． 【详解】（1）解：从甲的射击成绩来看，8出现了4次，是最多的，所以； 把乙的成绩从小到大进行排列为5，6，7，7，8，9，9，9，10，10，所以中位数为第5和第6个数据之和的平均数，即为； （2）解：由表格可知： ∴， ∵， ∴甲队员在射击选拔赛中发挥得更稳定； （3）略 根据方差判断稳定性 7．甲、乙、丙、丁四名运动员参加射箭比赛，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】当各组数据平均数相同时，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，只需比较四个方差的大小，得到方差最小的运动员即可． 【详解】解：∵四名运动员成绩的平均数相同，方差分别为 ，，，， ∴  ， ∵方差越小，成绩波动越小，成绩越稳定， ∴丙的成绩最稳定． 8．在一场篮球比赛中，甲、乙两队场上五名首发球员的身高数据如图所示，则甲、乙两个球队首发球员身高数据方差较小的是________队（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【分析】数据波动越小，方差越小，因此可通过折线图的波动程度判断两队身高数据的稳定性。 【详解】解：由图可以看出乙队的波动性小，所以方差较小的是乙队． 9．2026年前两个月，我国新能源汽车出口58.3万辆，同比增长1.1倍，占汽车出口总量的四成以上，成为拉动汽车出口增长的核心动力．某新能源汽车厂家研发了A，B两种新车型，计划用于出口．由于装配工艺和底盘质量在出口市场中同等重要，该厂从每种车型中各随机抽取5辆试产车，分别从装配工艺和底盘质量两方面对其进行评分（满分均为10分），并对得分进行整理、描述、分析，部分信息如下． a．两种车型的装配工艺得分： A种车型：     B种车型： b．两种车型的底盘质量得分统计图： c．两种车型的装配工艺和底盘质量得分统计表： 项目 装配工艺得分 底盘质量得分      统计量 车型 平均数 方差 中位数 方差 A种 0.56 B种 8.6 0.24 9 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中__________，____________________（填“>”“=”或“<”）． (2)如果你是该公司的决策者，你会选择哪种车型进行量产？请结合“装配工艺和底盘质量在出口市场中同等重要”的背景说明理由． 【答案】(1)9.2，9， (2)选择B种车型进行量产， 理由：在“装配工艺和底盘质量在出口市场中同等重要”的背景下，由，，可知B种车型这两个方面得分的方差均小于A种车型这两个方面得分的方差，说明B种车型质量更稳定．（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）根据平均数、中位数的计算方法求出m和n，根据折线统计图判断方差的大小即可； （2）根据表格中的数据，选择一个方面说明即可． 【详解】（1）解：A种车型装配工艺得分从小到大排列：8，9，9，10，10， ∵5个数据排在中间的数是9， ∴． 观察折线图，A车型底盘得分波动更大，B车型得分更集中，因此方差． （2）略 运用方差做决策 10．甲、乙两名射击运动员次射击成绩统计图如图所示，若要选派成绩更稳定的运动员参加比赛，应选____________． 【答案】 乙 【详解】解：由统计图可知，乙运动员的成绩更加集中， ∴乙运动员的方差小于甲运动员的方差，即乙运动员的成绩更加稳定， ∴应该选乙运动员参加比赛． 11．某射击队想从甲、乙、丙三名射击运动员中选一人参加第十五届全国运动会，教练把他们的10次比赛成绩做了统计：平均成绩均为9.5环，成绩的方差分别是，，．应该选______参加． 【答案】乙 【分析】三名运动员平均成绩相同，方差越小成绩越稳定，只需比较方差大小，选择方差最小的运动员即可． 【详解】解：，，, , 乙的成绩最稳定, 应该选乙参加． 12．为了解甲、乙两款智能机器人的性能表现，现从两款机器人中各随机选了台进行测试，记录两款机器人在两项核心性能（运动响应速度和图像识别精准度）的测试得分，并进行整理、描述和分析． 【数据收集】 a．甲、乙两款智能机器人运动响应速度测试得分统计表： 得分台数/分数 5分 6分 7分 8分 9分 10分 甲款台数 3 4 5 4 3 1 乙款台数 2 3 5 4 4 2 b．甲、乙两款智能机器人图像识别精准度测试得分统计图： 【数据分析】 c．对甲、乙两款智能机器人两项测试成绩分析如下： 智能机器人 运动响应速度测试得分 图像识别精准度测试得分 平均数 中位数 众数 平均数 甲 m 7 7 5.6 乙 7.4 n 7 4.9 【数据运用】 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中______，______． (2)根据图像识别精准度的测试得分统计图可知甲机器人的精准度高于乙机器人，若这两款机器人各生产了台，求甲款机器人图像识别精准度高于乙款机器人的台数； (3)甲款机器人研发团队针对图像识别精准度测试成绩评分不超过7分的机器人进行精准训练，这样第二轮测试时，这些机器人的测试评分均提高分，原评分超过分的机器人分数不变．与第一轮测试评分数据相比，第二轮评分数据的众数将______，方差将______（填“增大”“减小”或“不变”）． 【答案】(1) (2)台 (3)增大；减小 【分析】（1）是平均数，直接由甲所有成绩求和÷样本总数算出；是中位数，数据从小到大排序后，取中间两个数的平均值； （2）由图象可知，甲机器人图像识别精准度表现更优的次数为次，再用占比，得到台里甲精度更高的台数； （3）原本分低分机器人被训练提分，原来出现次数最多的分数被拉高，众数上升；低分数据向高分靠拢，整组数据波动变小，方差反映波动大小，波动越小方差越小． 【详解】（1）解：， 乙的得分中第个数为，第个数为，因此：； （2）根据图像识别精准度测试得分统计图，甲机器人图像识别精准度表现更优的次数为次，台测试中，甲表现更优的台数为：台； （3）原甲图像识别得分中，分出现次数最多（次），众数为．训练后分、分各出现次，为新的众数，因此众数增大．训练后，低分数据整体提高，数据更集中在高分段，离散程度减小，因此方差减小． 求离差平方和 13．学校组织了“安全知识”小竞赛，某班的5位同学成绩（单位：分）如下：90，91，92，95，95．将这组数据按从小到大排列，则与的组内离差平方和为（     ） A．0 B．1 C．2 D．5 【答案】C 【分析】本题根据组内离差平方和的定义求解，分别计算两组的组内离差平方和，再相加即可得到结果． 【详解】首先计算第一组的离差平方和 ， 第一组的平均数， 第一组离差平方和， 再计算第二组的离差平方和， 第二组的平均数， 第二组离差平方和， 总组内离差平方和为 ． 14．下表是 10 个城市月均最高气温不同分法的组内离差平方和统计： 分组位置 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第 1 个间隔 0 584.2 584.2 第 2 个间隔 32 380.9 412.9 第 3 个间隔 98.7 285.7 384.4 第 4 个间隔 132 158.8 290.8 第 5 个间隔 228.8 113.2 342 第 6 个间隔 308.8 62 370.8 第 7 个间隔 397.4 14 411.4 第 8 个间隔 562 0.5 562.5 第 9 个间隔 789.6 0 789.6 根据上表，组内离差平方和最小的分组位置是（ ） A．第3个间隔 B．第4个间隔 C．第5个间隔 D．第6个间隔 【答案】B 【分析】根据第4个间隔对应的数值290.8是所有分法中最小的组内离差平方和求解即可． 【详解】解：观察上表最后一列 “组内离差平方和”，可以发现第4个间隔对应的数值290.8是所有分法中最小的． 15．某中学组织学生参加“黄河文化知识竞赛”，某小组8名学生的竞赛成绩（单位：分）分别为，，，，，，，．老师为了更好地分析学生对黄河文化知识的掌握分布，决定将这些成绩分为两组，分组方式为第一组，第二组，则组内离差平方和为___________． 【答案】 【分析】根据组内离差平方和的定义，先分别计算两组各自的平均数，再计算每组内每个数据与本组平均数的离差平方和，最后将两组的离差平方和相加即可得到结果． 【详解】解：计算第一组的平均数 第一组的离差平方和为 计算第二组的平均数 第二组的离差平方和为 因此总的组内离差平方和为 离差平方和的应用 16．某镇5家企业去年的产值如下表所示 企业 A B C D E 产值/亿元 13 15 7 9 12 根据年产值的组内离差平方和最小的原则分为两组，则分组方法为（将同组的企业名称用大括号括起来）_______ 【答案】 【分析】先将产值从小到大排序，讨论所有可行分组，分别计算各组的组内离差平方和，比较后得到离差平方和最小的分组． 【详解】首先将5家企业的产值从小到大排序得：， 将5个数据分为两组： 第一组为1个数据和第二组4个数据时，第一组平均数为，第二组平均数为 组内离差平方和为； 第一组为2个数据和第二组3个数据时，第一组平均数为，第二组平均数为， 组内离差平方和为； 第一组为3个数据和第二组2个数据时，第一组平均数为，第二组平均数为， 组内离差平方和为 第一组为4个数据和第二组1个数据时，第一组平均数为，第二组平均数为， 组内离差平方和为 综上，第一组为2个数据和第二组3个数据时，组内离差平方和最小， 即是符合要求的分组． 17．下表是4名学生的数学测试成绩： 学生编号 1 2 3 4 成绩 / 分 72 80 85 93 将这些成绩按从低到高排列后，共有多少种不同的分法？请计算每种分法的组内离差平方和，并找出最优分组． 【答案】共有3种不同的分法．最优分组是和． 【分析】根据成绩按从低到高排列，然后再按第1个间隔，第2个间隔，第3个间隔分组，然后分别求出对应的组内离差平方和，比较即可得出答案． 【详解】解：步骤1：将成绩按从低到高排列：72，80，85，93． 步骤 2：共有种不同的分法． 步骤 3：计算每种分法的组内离差平方和： 分法1（第1个间隔）：和； 第一组离差平方和； 第二组平均数：，离差平方和：； 组内离差平方和：． 分法2（第2个间隔）：和； 第一组平均数：，离差平方和：； 第二组平均数：，离差平方和：； 组内离差平方和：． 分法3（第3个间隔）：和； 第一组平均数，离差平方和：； 第二组离差平方和0；组内离差平方和． 步骤 4：比较组内离差平方和，64最小， 答：共有3种不同的分法；最优分组是和． 18．下表是10个城市月均最高气温不同分法的组内离差平方和统计： 分组位置 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第 1 个间隔 0 584.2 584.2 第 2 个间隔 32 380.9 412.9 第 3 个间隔 98.7 285.7 384.4 第 4 个间隔 132 158.8 290.8 第 5 个间隔 228.8 113.2 342 第 6 个间隔 308.8 62 370.8 第 7 个间隔 397.4 14 411.4 第 8 个间隔 562 0.5 562.5 第 9 个间隔 789.6 0 789.6 根据上表，计算按第4个间隔分组时的组间离差平方和．（提示：总离差平方和组内离差平方和组间离差平方和，总离差平方和为875.0） 【答案】组间离差平方和为 【分析】根据公式：组间离差平方和总离差平方和组内离差平方和求解即可． 【详解】解：∵总离差平方和为875.0，按第4个间隔分组时的组内离差平方和为290.8． ∴组间离差平方和． 答：组间离差平方和为． 根据数据描述求频数、频率 19．将一个骰子随意抛了次，出现的点数分别是，，，，，，，，，．在这次中，“”出现的频数是___． 【答案】 【分析】根据频数的定义，统计给定数据中“2”出现的次数即可求解． 【详解】解：在给出的点数，，，，，，，，，中，数字“2”共出现次． 依据频数的定义，即频数是一组数据中某个数据出现的次数，可得“2”出现的频数是． 20．某工厂对一批产品的使用寿命（单位：小时）进行检测，随机抽取了100件产品，计划绘制频率分布直方图．下边的表格是其频数统计（每组数据含最小值，不含最大值）．那么使用寿命不低于1400小时的产品所占的频率是____________． 使用寿命 1000～1200 1200～1400 1400～1600 1600～1800 频数 20 35 30 【答案】0.45 【分析】先根据已知样本容量求出使用寿命不低于1400小时的产品的频数，再利用频率公式计算所求频率． 【详解】解：∵样本容量为100， ∴使用寿命不低于1400小时的产品频数为：， ∴使用寿命不低于1400小时的产品所占的频率为． 21．某校以“安全伴我行”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了安全知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于分（满分分）． 【收集数据】随机从七、八年级各抽取名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）． 【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用表示成绩，分成五组：A．，B．，C．，D．，E．）． 八年级学生成绩在组的具体数据是：，，，，，，，． 将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）： 【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92 92 100 57.4 八年级 92.6 100 49.2 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次抽取的八年级学生测试成绩组的频率是________（用小数表示），抽取的八年级学生成绩的中位数________； (2)若参加安全知识竞赛，应选哪个年级？说明理由． (3)若八年级有名学生参加了此次测试，请估计此次参加测试的学生中，成绩不低于分的学生有多少人？ 【答案】(1)； (2)八年级； 理由：由表可知，七年级学生的平均数、中位数都小于八年级，七年级学生成绩方差为，八年级学生成绩方差为， ， 八年级学生成绩更整齐，参加安全知识竞赛最适合 (3) 【分析】（1）根据组的频数除以八年级抽取的总人数即可得到组的频率；根据中位数的定义和计算方法即可得到的值； （2）由七、八年级学生成绩的方差的大小即可得出结论； （3）用总人数乘样本中八年级学生成绩不低于分的学生的频率即可． 【详解】（1）解：八年级抽取了名学生的成绩，组（）对应的频数是， 组的频率为， 八年级抽取了名学生的成绩， 中位数为第名学生和第名学生成绩的平均数， 由频数分布直方图可知，第名学生和第名学生成绩均在组， 第名学生和第名学生成绩分别为、， ； （2）略 （3）解：成绩不低于分的学生有：（人）． 根据数据填写频数、频率统计表 22．为崇尚科学，激发广大学生积极探索航空航天奥秘的热情，某校举办第十届“航空航天”知识大赛．大赛的设奖规则为：按成绩从高到低排列设奖，其中一等奖人数不超过参加比赛总人数的，二等奖人数不超过参加比赛总人数的．现将该校九年级参加大赛的学生成绩统计后，绘制了不完整的频数统计表与频数分布直方图． 参加比赛的学生成绩频数统计表 组别 成绩（分） 人数 百分比 A B 16 C D 4 解答下列问题： (1)填空： ； ； ． (2)补全频数分布直方图． (3)小敏参加本次比赛，成绩发布后，她对同学说：“我这次比赛的成绩是85分，C组同学成绩的中位数也是85分．”请你通过推理，判断小敏能否获得一等奖？说说你的理由． 【答案】(1)；；； (2)解：频数分布直方图如图： (3)解：小敏不能获得一等奖，理由如下： 一等奖人数上限：总人数为人，一等奖人数不超过总人数的， 即：，只有成绩前名的同学能获得一等奖，C组共有人，成绩范围为分， 中位数是第和第个数据的平均数， 已知C组中位数为分，说明：C组中，有人的成绩分，人的成绩分； 小敏成绩为分，她在C组中属于后名，D组的人成绩均高于分，比小敏高； C组中成绩分且高于分的至少有人， 因此成绩比小敏高的人数至少为：， 这说明小敏的排名不在前名内，因此不能获得一等奖． 【分析】（1）用1减去A组与C组的百分比即可求解，由B组与D组的占比求解总人数，由此可求解A组与C组的人数． （2）分别求解出各组人数补全频数分布直方图即可． （3）先算一等奖上限10人；再由C组中位数85分，推出至少10人成绩高于小敏，故无法获奖． 【详解】（1）解：由各组百分比之和为，得：， 设参加比赛的总人数为N， 则B组和D组人数之和占比为， 即， 解得：， ∴A组人数：，C组人数：． （2）解：A组人，B组人， C组人，D组人， 图略． （3）略 23．为了解李子果实大小情况，果农在一棵树上随机抽取若干颗李子，测量果实直径（单位：），并绘制了如下频数分布表和频数分布直方图： 组别 分组（直径） 频数 频率 A 2 B 8 C D E 4 根据以上信息，解答下列问题： (1)求、的值，并补全频数分布直方图． (2)这组数据的中位数落在________组． (3)若果园有李子1200颗，估计果园李子直径不小于的数量． 【答案】(1)，； (2)C (3)颗． 【分析】（1）根据频率频数总数求出、的值，再补全频数分布直方图； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）用1200颗乘以直径不小于的李子占比求解即可． 【详解】（1）解：抽取的李子数量为：（颗）， 则，，； 补全频数分布直方图如答案； （2）解：抽取的40颗李子中，中位数为第20和21颗李子直径的平均数， 其中A组和B组的数量为（颗），A组、B组和C组的数量为（颗）， 则这组数据的中位数落在C组； （3）解：（颗）， 答：估计果园李子直径不小于的数量为颗． 24．某农业试验基地在相同环境条件下，研究某种小麦的苗高分布，以评估其生长稳定性和产量潜力，通过科学分析，为优化种植方案提供依据．从小麦试验田随机抽取部分小麦幼苗，统计苗高数据，绘制了如下不完整的统计图表． 小麦幼苗苗高频数分布表 组别 苗高 频数 组内平均苗高 10 30 31 35 32 20 33 5 34 根据上述信息，解答下列问题： (1)表格中的________，抽取的小麦幼苗苗高的中位数落在________组； (2)求抽取的小麦幼苗苗高的平均数； (3)若此农业试验基地有株小麦幼苗，并规定苗高不低于的小麦幼苗为“优品”，估计该基地中“优品”小麦幼苗的数量． 【答案】(1)， (2)抽取的小麦幼苗苗高的平均数为； (3)估计该基地中“优品”小麦幼苗的数量为株． 【分析】（1）用总数减去、、、组的频数，可得，由中位数的定义，即可求解； （2）根据平均数的计算公式，即可求解； （3）用小麦幼苗总数乘“优品”所占的百分比，即可求解． 【详解】（1）解：抽取的小麦幼苗数量为（株） ∴， ∵，，， ∴抽取的小麦幼苗苗高的中位数落在组． （2）解：． ∴抽取的小麦幼苗苗高的平均数为． （3）解：（株）． ∴估计该基地中“优品”小麦幼苗的数量为株． 频数分布表 25．为保障年央视春晚机器人武术表演的动作整齐度，技术人员抽取部分机器人开展动作同步误差检测，以此筛选最终上场的设备．规定：同步误差数值越小，代表动作精准度越高．来自公众号勤学教室，误差单位为毫秒（）根据检测结果，绘制了如下未完成的频数统计表与扇形统计图． 机器人动作同步误差数据频数统计表 同步误差（） 频数 对应扇形区域 A B C D E 机器人动作同步误差数据扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)抽取的机器人数是______台，统计图表中＝______，＝______． (2)若规定误差小于（）为“表演合格”，请估计台同款机器人中合格的台数． 【答案】(1)50，10，22 (2)116 【分析】（1）根据频数统计表和扇形统计图可知A组台数为5台，所占百分比为，由此可得抽取的机器人数，然后问题可求解； （2）用总数乘以A、B、C组的占比之和即可． 【详解】（1）解：由频数统计表和扇形统计图可知：抽取的机器人数为（台）， ∴，； （2）解：（台）； 答：200台同款机器人中合格的台数为116台． 26．为加强学生的消防意识，学校组织开展“全民消防、生命至上”的主题活动，并在活动前后举办有关消防安全知识的竞赛，竞赛结束后，随机抽取了若干名学生的竞赛成绩（百分制）进行调查分析并绘制成如下不完整的统计图（表）． 【收集数据】                             【整理数据】 组别 A组 B组 C组 D组 E组 成绩分 人数/人 1 1 5 【分析数据】 统计量 平均数 中位数 众数 成绩 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)若全校有名学生，请估计该校知识竞赛成绩不低于分的学生人数． 【答案】(1)，， (2)人 【分析】（1）先将数据从小到大排列，进而求得的人数，根据中位数的定义求得的值 （2）根据样本估计总体，即可求解． 【详解】（1）解：从小到大排列为：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， C组有， ， ，共3个，故； D组有， ， ， ， ，共个，故， 第个数据为，则中位数； （2）解：（人） 答：估计该校知识竞赛成绩不低于分的学生人数为人． 27．河西走廊葡萄酒，甘肃省特产，自2000多年前丝绸之路时期起，葡萄种植与酿造技艺代代相传，融合东西方文化．2012年7月31日，原国家质检总局批准对“河西走廊葡萄酒”实施地理标志产品保护．为了解某基地的葡萄种植情况，九（1）班同学对该基地的试验田中500株甲、乙两种葡萄树中各抽取100株的产量（用x表示）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下： 信息一：甲种葡萄树产量的频数分布表： 频数 信息二：乙种葡萄树产量的频数直方图： 信息三：甲、乙两种葡萄树产量的部分统计量： 葡萄树 平均数（） 中位数出现的组别 方差 甲种 乙种 ________ 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中的值：________，并补全频数分布直方图； (2)乙种葡萄树产量中位数的组别为________； (3)请从平均数、中位数、方差三个数据中任选一个数据，分析本题中哪种葡萄树的产量较好． 【答案】(1) (2) (3)从中位数可得，乙种葡萄树产量中位数高于甲种葡萄树产量，乙种葡萄树的产量较好 【分析】（1）根据频数分布表求得的值，根据频数直方图求得乙种葡萄树中的频数，进而不全统计图； （2）根据中位数的定义，即可求解． （3）根据中位数的意义即可求解． 【详解】（1）解：， 乙种葡萄树中的频数为：，图略； （2）解：第和个数在． ∴乙种葡萄树产量中位数的组别为． （3）解：从中位数可得，乙种葡萄树产量中位数高于甲种葡萄树产量，乙种葡萄树的产量较好． 频数分布直方图 28．2026年4月15日是第十一个全民国家安全教育日，主题为“统筹发展和安全，护航‘十五五’新征程”．某校为增强全校学生的国家安全意识，举办了以“国家安全·你我守护”为主题的知识竞赛，以下是本次知识竞赛成绩（满分：100分）抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分参赛学生的竞赛成绩． 【整理、描述数据】 组别 成绩/分 频数 占抽取学生的百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 【分析数据】 请根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：上表中________，所抽取学生竞赛成绩的中位数位于第________组，并补全频数分布直方图； (2)若以每组的组中值代表该组的平均成绩（例：第1组的平均成绩为55分），求所抽取学生竞赛成绩的平均数； (3)若该校共有1200名学生参加此次知识竞赛，且竞赛成绩不高于70分的学生需要继续学习，请你估计此次知识竞赛中需要继续学习的学生人数． 【答案】(1)；；补全频数分布直方图如下： (2)分 (3)人 【分析】（1）先根据第2组频数和所占百分比算出样本总数，进而求出的值，再结合中位数定义分析推出所抽取学生竞赛成绩的中位数所在组数，并补全频数分布直方图即可； （2）先算出组中值，再根据加权平均数计算公式求解即可； （3）利用乘以竞赛成绩不高于70分的学生人数所占百分比，即可解题． 【详解】（1）解：（人）， ，则， ，， 所抽取学生竞赛成绩的中位数为按顺序排列后第位数的平均数， 又， 所抽取学生竞赛成绩的中位数位于第4组， 补全频数分布直方图见答案； （2）解：（分），（分），（分）， （分）， 答：则所抽取学生竞赛成绩的平均数为分； （3）解：（人）， 答：此次知识竞赛中需要继续学习的学生人数为人． 29．在2026年的郑州市中招体育考试中，1分钟跳绳为选考项目，男生、女生满分标准分别为180次/分钟和175次/分钟．体育考试前夕，为了解学生跳绳水平，郑州某校从九年级学生的1分钟跳绳测试成绩（次数，用x表示）中随机抽取部分学生的成绩，并将其分成如下四组：D组，C组，B组，A组． 下面给出了部分信息： B组的成绩为：162，162，164，164，166，166，168，168，168，170，172，172，172，174，176，176，176，176，178，178． 根据以上信息解决下列问题： (1)请补全频数分布直方图，B组成绩数据的众数为________； (2)所抽取学生的1分钟跳绳成绩的中位数是________次； (3)请估计全校名九年级学生中1分钟跳绳成绩不低于次的人数． 【答案】(1) 补全频数分布直方图如下： ； (2) (3)人 【分析】（1）先根据D组频数与占比算出总人数，再数出B组数据得B组频数，进而求出C组频数以补全直方图；找出B组各数据出现次数最多的数即为众数； （2）先确定总人数的一半位置，再通过各组累计频数定位第、个数据所在的组，最后取这两个数据的平均数即可得到中位数； （3）先算出样本中不低于次的人数，再用全校总人数乘以该人数占比即可得到估计人数． 【详解】（1）解：由扇形统计图知D组占比，频数分布直方图中D组（）频数为， ∴总人数人； 由B组给出的成绩数据可知B组频数为20； ∴C组频数； B组数据中均出现次，是出现次数最多的数，因此众数为； （2）解：总人数为，中位数是第、个数据的平均数， ∵D组（）：人， C组（）：人， B组（）：人， ∴第、个数据均在B组内，B组数据按顺序排列，第、个数据分别为和， ∴中位数次； （3）解：不低于次的是B组和A组，频数和为， ∴全校人中，不低于次的人数约为：人． 30．随着九年级学业进程稳步推进，学生们正以积极状态备战中考．为全面掌握同学们的心理适应能力与备考心态，某课题组在某市随机抽取部分九年级学生开展心理健康状态调研．本次测试采用百分制评分（学生测试成绩均不低于50分），依据得分从低到高划分为，，，，五个等级，课题组结合调研数据绘制如下统计图，全面分析学生心理状态． 请根据以上信息，完成下列问题． (1)本次调查抽取的样本容量为______，_____，______． (2)本次抽样调查成绩的中位数在______组．（填字母） (3)根据调研分析，心理健康状态测试分数在80分以下的同学，可通过心理老师的专业引导来优化备考心态，提升心理适应能力．若某校九年级共有320人，估计该校需要心理老师进行专业引导的学生人数． 【答案】(1)40；10；25 (2)C (3)该校需要心理老师进行专业引导的学生人数为232人 【分析】（1）由统计图可知D组的人数为6人，所占百分比为，然后可得样本容量，进而问题可求解； （2）根据中位数的定义进行求解即可； （3）根据题意可列式进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：样本容量为， ∴，，即； （2）解：被抽查的总人数为40人，所以中位数落在第20和第21个数据之和的平均数，由频数分布直方图可知：中位数落在C组； （3）解：由题意得： （人）； 答：该校需要心理老师进行专业引导的学生人数为232人． 用样本所占百分比估计总体的数量 31．某中学为传承传统文化，优化社团活动安排，就“学生最喜爱的传统文化社团类型”进行抽样调查（每人限选一类），绘制出尚未完成的统计图（如图所示）．若该校共有学生人，估计喜爱“民乐社”的学生人数为（     ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】C 【分析】利用样本估计总体，即可得出答案． 【详解】解：喜爱“民乐社”的学生占比：， 则喜爱“民乐社”的学生人数为：（人）． 32．某社区为配合教育部劳动教育要求，与辖区中学合作开展“青少年家务劳动习惯”调研．调研小组从该校1000名学生中随机选取100名进行面对面访谈，请学生回忆并记录最近一周内家务劳动的总时长（单位：小时），现将收集到的数据整理如下： 家务劳动时长 学生人数 8 16 23 32 16 5 根据以上数据，估计这1000名学生中一周内家务劳动时长不小于3小时的学生的人数为________名． 【答案】530 【详解】解：估计这1000名学生中家务劳动时长不小于3小时的学生的人数为（名）． 33．某学校九年级组织了国防军事研学活动，为了解学生对国防军事知识的掌握情况，学校于活动后组织九年级学生进行了国防知识竞赛，为科学分析竞赛结果，学校教务处从九年级参赛学生中随机抽取50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析． 【整理数据】 a．学生成绩统计图如图所示（数据分为五组：，，，，）； b．在这一组的成绩是80，80，80，81，81，82，83，84，84，85，85，87，88，89，89，89． 【描述数据】 抽取学生成绩的频数分布表 成绩x/分 频数 2 5 13 【分析数据】 根据以上信息，完成下列问题： (1)统计表中的________，________； (2)在扇形统计图中，这组数据所在扇形的圆心角度数是________，并将频数分布直方图补充完整； (3)如果成绩不低于85分为“优秀”，若九年级共有2000名学生，请你估计本次国防军事知识竞赛中九年级“优秀”的学生共有多少人． 【答案】(1)14；16 (2)；补全频数分布直方图如图所示： (3)800人 【分析】（1）根据题意可得样本容量，根据在“”这一组的成绩数据可得n的值，再由样本容量分别减去其它各组频数可得m的值； （2）用乘这组数据所占百分比可得这组数据所对应的圆心角的度数；根据题意可得“”和“”的频数，进而补全频数分布直方图； （3）用总人数乘样本中达到优秀的人数比例即可． 【详解】（1）解：∵在这一组的成绩是80，80，80，81，81，82，83，84，84，85，85，87，88，89，89，89． ∴， ∴； （2）解：这组数据所在扇形的圆心角度数是， 图形略 （3）解： （人） 答：本次国防军事知识竞赛中九年级“优秀”的学生共有800人． 求四分位数 34．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图如图所示，根据该图判断下列说法正确的是(     ) A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班分数的上四分位数最大 C．丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数 D．若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，甲班的分数最高 【答案】A 【详解】解：A、由箱线图可知，甲班数据的极差最小，且箱体（中间的数据）最窄，数据分布最集中，所以甲班分数的方差最小，故选项A说法正确； B、丙班箱体的上边缘位置最高，即丙班分数的上四分位数最大，故选项B说法错误； C、丙班的中位数在80分以上，即丙班得分高于80分的人数多于得分低于80分的人数，故选项C说法错误； D、若每班有42名学生，，所以第11名（按分数从高到低排列）对应的分数约为上四分位数，因此丙班的上四分位数最大，即丙班的第11名分数最高，故选项D说法错误． 35．“幸福指数”是指某个人主观的评价对自己目前生活状态的满意程度的指标．常用0到10（含0与10）的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取6位小区居民，他们的“幸福指数”分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第三四分位数是（     ） A．5 B．6.5 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据位于数据序列位置处的数，也称为上四分位数，通过排序、计算位置、确定对应数据三步求解． 【详解】解：数据重新排序为：5，5，6，7，8，9， ∵第三四分位数即第75%位置的数，， 当计算结果为非整数时，取比该数大的最小整数对应的位置，即第5个数据， ∴这组数据的第三四分位数是第5个数8． 36．在一次体检中，测得某校八年级（1）班第一组同学的体重（单位：）分别为50，55，58，57，54，50，56，60．该组同学体重的上四分位数是______，离差平方和是______． 【答案】 【分析】需先对数据排序，再根据对应定义计算即可． 【详解】解：将数据从小到大排序得：，，，，，，，， 数据共个，上四分位数为分位数， 计算位置得，为整数， 因此上四分位数为第项与第项的平均数，即， 计算数据的平均数：， 离差平方和为各数据与平均数差的平方和， 计算得 ． 画箱线图 37．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），则下列说法错误的是_________________ ．（填序号） ①三个班级中，甲班分数的方差最小；②三个班级中，乙班分数的波动最大；③丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数；④若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数最高． 【答案】③ 【分析】 根据箱线图的信息解答即可． 【详解】 解：箱线图的箱体越窄、数据分布越集中，方差越小．甲班的箱线图最紧凑，所以方差最小，①正确； 乙班的箱线图的须最长，数据分布最分散，波动最大，②正确； 丙班的中位数（箱体中间的线）大于80，说明有一半以上的学生得分，所以得分低于80的人数少于得分高于80的人数，③错误； 每班42人，第11名是从高到低排列的第11个，属于上四分位数（前），丙班的上四分位数（箱体的上沿）最高，所以丙班的第11名分数最高，④正确． 故答案为：③． 38．游泳培训中心特训班进行毕业考试，100米蛙泳24名成员的成绩如下（单位：秒）： 158  149  145  128  140  135  142  150 155  132  136  150  142  152  130  136 140  144  166  142  144  150  132  138 据此回答： (1)填写四分位数表 四分位数 数值 136 142 150 说说本次成绩所反映的总体情况 (2)如下图所示，将这一年的成绩绘制成箱线图，并与去年的成绩进行比较，说说你对这一年成绩的评价． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先将24名成员的成绩从小到大排序，再分别计算出，再根据数据特征分析即可； （2）根据（1）将今年箱线图补充完整，再将箱线图比较两组数据特征分析即可． 【详解】（1）解：将24名成员的成绩从小到大排列为： 128，130，132，132，135，136，136，138，140，140，142，142，142，144，144，145，149，150，150，150，152，155，158，166； ，，； 填表如下： 四分位数 数值 136 142 150 四分位数反映了本次考试成绩中，有不少于的学员的成绩在136秒及以内；有至少一半的学员的成绩在142秒及以内；但是还有不少于的学员的成绩至少有150秒，仍需努力； （2）箱线图如图所示： 通过箱线图可知，今年总体成绩超过去年，不但最少用时和最多用时均比去年要短，而且中位数也提高了8秒，除此之外，这一成绩段的学员成绩更加集中，表示了总体上成绩的集中体现． 39．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 a 70 八年级 m b c (1)上述表中，_______，_______，并补全七年级的箱线图； (2)求八年级所抽取学生的平均成绩m； (3)若该校八年级有600名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数； (4)你认为本次活动，哪个年级的学生成绩更好？请结合统计图进行说明． 【答案】(1)90，93； (2)八年级所抽取学生的平均成绩为87分 (3)估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数为300人 (4)八年级的学生成绩更好，理由如下：因为两个年级成绩的中位数相同，而八年级的平均数和众数高于七年级，从箱线图看，八年级中间的学生成绩高于90分，所以八年级的学生成绩更好 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求出b，c，,然后求出a，然后补全箱线图即可； （2）根据平均数得概念求解即可； （3）用600乘以成绩超过90分的人数所占的比例即可得解； （4）根据平均数、中位数以及众数的意义分析即可． 【详解】（1）解：∵共有12个数据， ∴中位数为第6个数据和第7个数据的平均数， ∴八年级所抽取学生的中位数； ∵93出现的次数最多， ∴八年级所抽取学生的众数； 七年级所抽取学生的中位数； 补全七年级的箱线图如图； （2）解：（分）， 答：八年级所抽取学生的平均成绩为87分； （3）解：八年级随机抽取的12名学生中90分以上的有6人，（人）， 答：估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数为300人； （4）略 已知极差求未知数据 40．若一个样本的极差为83，取组距为10，则可以分成（　　） A．10组 B．9组 C．8组 D．7组 【答案】B 【分析】本题主要考查组数，掌握计算公式是解题的关键．用极差除以组距，再进一可得组数． 【详解】解：这组数据的极差为83， ， 所以可以分9组． 故选：B． 41．如果一组数据，0，3，5，的极差是9，那么x的值（　　） A．9 B．7 C． D．7或 【答案】D 【分析】根据极差的概念求解． 【详解】解：当为最大值时，， 解得：， 当为最小值时，， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了极差的概念，解题的关键是理解极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差． 42．如果有一组数据的极差是6，那么x的值是_______． 【答案】4或/或4 【分析】此题主要考查了极差的定义，正确理解极差的定义，能够注意到应该分两种情况讨论是解决本题的关键．根据极差的定义求解．分两种情况：x为最大值或最小值． 【详解】解：∵，一组数据的极差是6， ∴当x为最大值时，，解得； 当x是最小值时，，解得：． 故答案为：4或． 利用方差求未知数据的值 43．已知一组数据的方差为：，则____． 【答案】14 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和平均数的定义． 由可知平均数和数据数量，从而得出答案． 【详解】解：由方差表达式可知，数据的平均数为10． 数据包括11，13，4，m，8，共5个数据． 根据平均数的定义，有： 解得 故答案为：14． 44．计算一组数据的方差时，小明列了一个算式：，则这组数据的总和是________． 【答案】30 【分析】本题主要考查了一组数据的方差计算公式，如果一组数据的平均数为，表示这组数据，那么这组数据的方差为．根据方差的计算公式即可得出答案． 【详解】解：∵一组数据的方差计算公式为， ∴这组数据的个数为10，平均数是3， ∴这组数据的总和是． 故答案为：30． 45．某校舞蹈社团选拔出两个舞蹈水平相当的舞蹈小组，下面的图表是两个舞蹈小组成员的身高部分信息，其中的阴影部分已被污损． 平均数 中位数 众数 方差 甲组 165 2.8 乙组 165 164 164 请根据所学的统计知识，解决下列问题： (1)上表中，___________，___________； (2)一般认为，在两组舞蹈成员的舞蹈水平相当的情况下，如果舞蹈成员的身高比较整齐，则该组舞台呈现效果越好．你认为舞台呈现效果更好的是哪一组？请说明你的理由． 【答案】(1) (2)甲组 【分析】此题考查了方差、中位数等知识，熟练掌握方差计算和利用方差做决策是关键． （1）根据方差计算过程分别进行求解即可； （2）计算乙组的方差，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：∵ ∴， 设阴影部分为， ∴ 解得， ∴甲组数据为， ∴中位数； 故答案为： （2）甲组舞台呈现效果更好，理由如下： ∴， ∴甲组舞蹈成员的身高比较整齐，则甲组舞台呈现效果更好． 用样本平均数估计总体平均数 46．某中学九年级有名学生参加体育中考测试．随机抽取名学生的成绩进行统计，得到平均分为分，方差为．则估计该校九年级全体学生体育测试成绩的总分约为______分． 【答案】 【分析】根据“样本估计总体的思想”可得该校九年级全体学生体育测试的平均成绩约等于样本平均成绩，再根据“总分＝平均成绩×总人数”可得答案． 【详解】解：∵（分）， ∴估计该校九年级全体学生体育测试成绩的总分约为分． 47．王大叔随机查看了他家11月份中某5天的日用电量（单位：度），结果为：3，5，3，2，7．根据这些数据，估计王大叔家11月份的用电量为__________度． 【答案】120 【分析】本题考查用样本估计总体；通过5天的日用电量数据计算样本平均数，并以此估计11月份（30天）的总用电量． 【详解】解：∵5天的日用电量之和为度， ∴平均日用电量为度/天， ∵11月份有30天， ∴估计总用电量为度． 故答案为：120． 48．某商超以元的成本价采购箱蓝莓，每箱质量 ，在出售蓝莓前，需要去掉损坏的蓝莓，现随机抽取箱，去掉损坏蓝莓后称得每箱的质量（单位：）如下：                                                         整理数据 分析数据 质量（） 平均数 众数 中位数 数量（箱） (1)直接写出上述表格中 ， ， ； (2)平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这600箱蓝莓共损坏了多少千克？ (3)根据（2）中的结果，求该商超销售这批蓝莓每千克定为多少元才不亏本？（结果保留一位小数） 【答案】(1)， ， (2)选择平均数或中位数估算，这箱蓝莓共损坏千克，选择众数估算，这箱蓝莓共损坏千克 (3)（2）中选择平均数或中位数，每千克定为约元才不亏本；（2）中选择众数，每千克定为约元才不亏本 【分析】（1）用抽取的总箱数减去已知各质量的箱数得到，根据众数定义得到，根据中位数定义计算得到． （2）任选一个统计量，计算每箱平均损坏质量，再乘以总箱数得到总损坏质量． （3）计算总成本和可销售总质量，用总成本除以可销售总质量得到不亏本的最低定价． 【详解】（1）解：总抽取箱数为，因此 ． 个数据中，出现次数最多，因此众数． 将数据从小到大排序，第个数据为，第个数据为，因此中位数． （2）若选择平均数（中位数）估算， 样本的平均数（中位数）为每箱剩余质量为 ，每箱原质量为 ，每箱损坏质量为． 箱总损坏质量为． 若选择众数估算，样本的众数每箱剩余质量为 ，每箱原质量为 ，每箱损坏质量为． 箱总损坏质量为． （3）采购总成本为（元）． 若（2）中选择平均数或中位数可销售蓝莓总质量为． 不亏本的定价为（元/千克）． 若（2）中选择平均数或中位数可销售蓝莓总质量为． 不亏本的定价为（元/千克）． 用样本的频数估计总体的频数 49．随着人工智能的快速发展，初中生使用大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间（用表示，单位：）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成如下图、表： 抽取的学生一周使用大模型 辅助学习时间频数分布表 组别 时间 频率 A 0.16 B 0.24 C 0.30 D 0.20 E 0.10 合计 1 根据提供的信息回答问题： (1)本次抽样调查了________名学生； (2)直接补全频数分布直方图； (3)调查所得数据的中位数落在________组（填组别）； (4)该校九年级共有650名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数． 【答案】(1)50 (2)D组学生人数（名）， 频数分布直方图如图所示， (3)C (4)390名 【分析】（1）由频数的概念可知，某一组学生人数÷抽样学生人数=对应的频数，即可得到答案； （2）先计算D组学生人数，再补齐频数分布直方图； （3）将本校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间由小到大排列，找出中位数即可； （4）先计算一周使用大模型辅助学习的时间不少于的频数，再计算出对应的人数． 【详解】（1）解：（1）由题意可知，A组有8名学生，频率为0.16， 抽样学生人数（名）； （2）略 （3）解：抽样学生人数为50名学生，中位数为第25与26位的平均数，A组与B组共有（名）学生，C组有15名学生，第25与26位都在C组，所以中位数落在C组； （4）解：C、D、E组的频率和， 对应的学生人数 （名）， 答：该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数为390名学生． 50．2026年5月5日是中国共产主义青年团成立104周年，某校组织八年级学生观看庆祝大会实况并进行团史学习知识竞赛（百分制）．为了解学生答题情况，从中随机抽取了部分学生的竞赛成绩（成绩用表示，单位：分），并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：：；B：；C：；D：；E：．下面给出了部分信息： a：C组的数据：70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79． b：不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： (1)求随机抽取的八年级学生人数； (2)扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为________度； (3)请补全频数分布直方图； (4)抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是________分； (5)该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数． 【答案】(1)50人 (2)72 (3)见解析 (4)77 (5)378人 【分析】（1）A组人数除以所占的比例求出八年级学生人数即可； （2）360度乘以B组所占的比例，进行求解即可； （3）求出D组人数，补全直方图即可； （4）根据中位数的确定方法进行求解即可； （5）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：（人）, 答：随机抽取的八年级学生人数为50人； （2）解：， ∴扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为； （3）解：D组人数为：； 补全直方图如图： （4）解：∵共有50个数据， ∴中位数是将数据从小到大排序后第25个和第26个数据． ∵， ∴第25个和第26个数据分别为76，78， ∴中位数为：； （5）解：（人）， 答：估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数为378人． 51．为了解学生对人工智能知识的掌握程度，某校举办了“人工智能素养”测试．现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的测试成绩进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出部分信息： 八年级抽取20名学生的测试成绩为：65，66，70，75，77，81，82，82，83，84，87，87，87，89，92，95，97，98，98，100． 九年级抽取20名学生的测试成绩在B组的数据是：81，82，85，86，87，88． 八、九年级所抽学生的测试成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 中位数 众数 79    根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ， ； (2)请根据以上数据进行分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的测试成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）． (3)该校八年级有700人，九年级有800人参加了此次测试，估计该校八、九年级参加此次“人工智能素养”测试成绩为（A．）的学生共多少人？ 【答案】(1)87，，30 (2)八年级学生的测试成绩更好，理由见解析 (3)410人 【分析】（1）利用中位数和众数的定义以及扇形统计图的信息求解； （2）利用众数做决策； （3）利用样本频数估计总体频数． 【详解】（1）解：∵八年级数据中出现次数最多的是87， ∴众数； ∵九年级的中位数为从大到小排序后的第10位和第11位的平均数，且组个数为，组个数为， ∴； ∵九年级组的百分比为， ∴九年级组的百分比为， ∴； （2）解：我认为该校八年级学生的测试成绩更好，因为八年级学生的测试成绩众数87大于九年级学生的测试成绩众数79； （3）解：（人）， 答：估计该校八，九年级参加此次“人工智能素养”测试成绩为（）的学生大约410人． 由样本所占的频率区间估计总体的数量 52．人工智能是数字经济高质量发展的引擎，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．某中学九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是：A．决策类人工智能、B．人工智能机器人、C．语音类人工智能、D．视觉类人工智能．每名学生必须且只能选择一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图表． 项目 选择人数 频率 A．决策类人工智能 B．人工智能机器人 C．语音类人工智能 D．视觉类人工智能 (1)填空：　　　，　　　； (2)若该中学九年级共有600名学生，那么估计选择“B（人工智能机器人）”项目的学生有　　　人； (3)学校计划在A，C两个项目中优先开设校本课程，结合本次调查结果，你认为优先开设哪个项目更合适?请说明理由． 【答案】(1)， (2)150 (3)先开设C项目的校本课程，理由见详解 【分析】（1）根据“D．视觉类人工智能”的人数和频率得到样本容量，由此得到b的值，再根据频率的计算得到a的值； （2）根据样本百分比估算总体数量即可； （3）根据频率大小作决策即可． 【详解】（1）解：“D．视觉类人工智能”的人数为24，频率为， ∴， ∴，； （2）解：（人）， ∴选择“B（人工智能机器人）”项目的学生有约有150人； （3）解：先开设C项目的校本课程，理由如下， ， ∵， ∴选择C项目的频率高于选择A项目的频率，先开设C项目的校本课程． 53．五一假期，某景区为调查游客通行效率，某高峰时段工作人员在景区南、北两个检票口各随机抽取20名游客，记录他们从入园开始排队到通过检票口进入景区的等候时间（单位：分钟）．将数据整理，描述和分析，给出下面信息： a．将南、北两个检票口各20名游客等候时间t分别分成四组： A．，B．，C．，D． b．南检票口20名游客等候时间数据： 5  6  9  11  14  19  21  23  26  30  30  30  32  35  37  39  42  46  50  53 c．北检票口20名游客等候时间在C组内的数据： 31  32  32  33  35  36  39  42 d．北检票口20名游客等候时间扇形统计图如下： e．南、北检票口20名游客等候时间平均数、众数、中位数如下表： 项目 南检票口 北检票口 平均数 27.9 27.9 众数 n 32 中位数 30 p (1)写出图表中m，n，p的值：________，________，________； (2)已知当天该高峰时段从南检票口进入景区的游客约为6000人，从北检票口进入景区的游客约为8000人，估计从两个检票口进入景区的等候时间超过30分钟的游客有________人． 【答案】(1)25，30，31.5 (2)6800 【分析】（1）利用扇形统计图的数据可求得A组所占百分比，再通过北检票口20名游客中C组占8个求得该组所占百分比，进而求得B组所占百分比，即m的值，观察南检票口20名游客等候时间数据出现次数最多的即为众数，求得n的值，再通过计算求出北检票口20名游客等候时间中第10、11名游客等候时间之和的平均数即为中位数，求得p的值； （2）利用样本估计总体，分别求出北检票口超过30分钟的游客所占频率和南检票口超过30分钟的游客所占频率，再用各自的总数分别乘以对应的频率再相加即可得出结果． 【详解】（1）解：由扇形统计图可知，北检票口A组的圆心角度数为， ∴所占百分比为：， ∵北检票口20名游客等候时间在C组内的数据共有8个， ∴所占百分比为：， ∴B组所占百分比为：，即， 在南检票口20名游客等候时间数据中，出现次数最多的为30，共出现3次， ∴， 在北检票口的20名游客等候时间数据中，中位数为第10、11名游客等候时间数据之和的平均数， 而第10、11名游客等候时间为31、32， ∴． （2）解：由题可知，在南检票口20名游客等候时间数据中，超过30分钟的游客有8名， ∴频率为， 在北检票口20名游客等候时间数据中，超过30分钟的游客占比为， ∴（人）， ∴估计从两个检票口进入景区的等候时间超过30分钟的游客有6800人． 54．豌豆荚里有几粒豆子不确定，那么豆子粒数是否有规律？同学们对这个问题很感兴趣．为此，调查小组从一批豌豆荚中随机抽取了若干个豌豆荚，进行豆子粒数的统计，以下是本次调查的过程． 【收集数据】打开每个豌豆荚，数清其中的豆子（直径大于3毫米）粒数，记录数据． 【整理数据】将收集的豆子粒数进行数据整理，用表示每个豌豆荚中的豆子粒数，将数据分为5组：A组，B组，C组，D组，E组． 【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下统计表． 组别 频数 10 17 42 25 6 频率 0.10 0.17 0.42 0.25 0.06 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： (1)抽取的豌豆荚中的豆子粒数的中位数落在_______组． (2)用组中值（分组两个端点数的平均数）作为这组数据的一个代表值，估计抽取的豌豆荚中的豆子粒数的平均数． (3)同学们数了一下，这一批豌豆荚共有2000个，请估计这一批豌豆荚中豆子粒数不低于6的豌豆荚个数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）算出个数的中位数，再进行判断即可； （2）根据加权平均数计算即可； （3）算出不低于6的豌豆荚的概率，再乘以即可； 【详解】（1）解：由表格可知，样本容量为， 中位数应为第和第个数据的平均数， 由表格可知，前两组频数之和为，前三组频数之和为， 第和第个数据落在组； （2）解：根据题意可得：组的代表值为，组的代表值为，组的代表值为，组的代表值为，组的代表值为， 抽取的豌豆荚中的豆子粒数的平均数为； （3）解：在样本中不低于粒的豌豆荚数量为， 样本中不低于粒的豌豆荚的频率为， 个豌豆荚中，不低于粒的豌豆荚的数量为（个）． 画箱线图 55．社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有、两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： A阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 B阅览室：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80 阅览室 平均数 众数 中位数 方差 A 48 48 58.01 B 49.5 332.25 (1)上述表中，________，________，________； (2)小明计算出A阅览室预约人数的四分位数，，；并绘制了箱线图，请求出B阅览室预约人数的四分位数并将箱线图补充完整； (3)根据上述材料分析，社区应该挑选哪间阅览室？请说明你的理由． 【答案】(1)，  25和40 ， (2)B阅览室的，，，绘制箱线图如图所示： (3)社区应该挑选阅览室，理由：因为阅览室的中位数大于阅览室，由方差和箱线图可以看出，阅览室过去10周周末上午的预约人数波动更小，所以社区应该挑选阅览室A． 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义，结合数据和折线图，完成表格即可； （2）四分位数包括下四分位数、中位数和上四分位数，结合图表计算出B阅览室预约人数的四分位数后，绘制箱线图即可； （3）结合图表，从多角度分析，用平均数和中位数反映集中趋势，用方差判断稳定性． 【详解】（1）解：A阅览室预约人数的平均数； 根据折线图， B阅览室预约人数为25和40的出现次数最多，因此众数和； 将B阅览室预约人数从小到大顺序排列，第5个数为40，第6个数为55，因此中位数为； 故答案为：，和40，； （2）解：由题意，B阅览室预约人数的四分位数为，，； （3）略 56．拉萨地处青藏高原，日照时间很长．下表给出了2020年各月拉萨的日照时数（单位：）： 2020年各月拉萨的日照时数，单位：； 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 日照时数 268.8 279.4 317.2 310.9 318.9 306.4 265.6 323.0 301.0 316.8 275.5 261.2 (1)请将最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值标记在如图所示的箱线图中． (2)拉萨2020年有几个月的日照时数大于上四分位数？分别是哪几个月？ (3)图中箱体的下半部分比较大，上半部分比较小，这是否意味着日照时数介于和之间的月份要多于介于和之间的月份？ 【答案】(1)图见详解 (2)拉萨2020年有3个月的日照时数大于上四分位数，分别是3月，5月，8月 (3)不是，理由见详解 【分析】（1）根据表格把数据按从小到大进行排列，然后根据中位数及四分位数的算法进行求解即可； （2）根据（1）可进行求解； （3）由箱线图的特征可进行求解． 【详解】（1）解：根据表格可把日照时数按从小到大的顺序排列为， ∴最小值为261.2，最大值为323.0，中位数为， ∴上四分位数为， 下四分位数为， 箱线图如图所示： （2）答：拉萨2020年有3个月的日照时数大于上四分位数，分别是3月，5月，8月 （3）解：不是，箱线图中箱体的下半部分比较大，上半部分比较小，意味着日照时数在和之间的数值分布范围比在和之间的数值分布范围大，并不代表月份的数量多，实际上这两个区间内的月份数量是相等的． 57．某电商平台有A和B两个合作物流公司．2026年第一季度，这两个物流公司分别负责配送12批次的同款商品，配送时效（单位：小时）如下： A公司：4.77，3.98，4.88，4.89，2.15，3.85，3.64，3.21，3.18，2.02，4.11，4.10． B公司：3.18，3.84，3.99，3.67，3.40、3.60，4.10，4.21，4.15，4.44，3.87，3.91． 某运营经理想要利用四分位数分析A、B两个物流公司的配送效率．统计表为他统计的两个公司配送时效数据的四分位数（单位：小时）： 公司 A 3.195 a 4.44 B b 3.890 c 请根据以上信息完成下列问题： (1)表中______，______，______； (2)运营经理基于四分位数绘制了A、B两公司的箱线图如图所示，请你根据箱线图对A、B两个物流公司的配送水平从时效快慢和稳定性方面作出评价． 【答案】(1)，， (2)通过箱线图可知，A物流公司的产品配送时效的中位数与B物流公司相差不大，故可知两个公司的配送时效基本一样，但A物流公司的产品配送时效明显比B物流公司的配送时效的波动性大，即B物流公司的配送时效更稳健． 【分析】（1）根据四分位数和中位数的计算公式进行计算即可； （2）从箱线图获取信息作答即可． 【详解】（1）解：将A公司的数据排序：2.02，2.15，3.18，3.21，3.64，3.85，3.98，4.10，4.11，4.77，4.88，4.89， ∵第6个和第7个数据分别为3.85，3.98， ∴； B公司的数据排序：3.18，3.40、3.60，3.67，3.84，3.87，3.91，3.99，4.10，4.15，4.21，4.44， ∵第3个和第4个数据为3.60和3.67，第9个和第10个数据为4.10和4.15， ∴； （2）解：由图可知：A物流公司的产品配送时效的中位数与B物流公司相差不大，故可知两个公司的配送时效基本一样，但A物流公司的产品配送时效明显比B物流公司的配送时效的波动性大，即B物流公司的配送时效更稳健． 数据的分析综合题 58．沙漠治理工程通过围沙、固沙和治沙等环节，可改善生态环境，促进可持续发展．为监测某区域沙漠治理工程的效果，某科研小组分别从甲、乙两个片区各随机抽取个监测点作为采样点，记录了每个采样点的单位面积固沙量（以下简称“固沙量”，用表示，单位：），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ．甲、乙两个片区采样点的固沙量的频数分布直方图如下（数据分成组：第组，第组，第组，第组，第组，第组，第组）； ．甲片区采样点的固沙量在这一组的数据是：                              ．甲、乙两个片区采样点的固沙量的平均数、中位数如下表： 片区 平均数 中位数 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： (1)①补全甲片区采样点的固沙量的频数分布直方图； ②表中的值为________； (2)若固沙量满足的监测点为“达标监测点”，估计乙片区的个监测点中约有________个“达标监测点”； (3)将每个片区采样点的固沙量按从大到小排序，固沙量越大，排名越靠前．已知采样点，不在同一个片区且固沙量都是．若在其所在片区采样点中的排名比在其所在片区采样点中的排名更靠前，则是________片区的采样点（填“甲”或“乙”）； (4)为降低异常值对统计结果造成的偏差，科研团队采用剔除极值法：先剔除一组数据中的一个最大值和一个最小值，再对剩余数据计算平均值，以保障监测结果的稳定性．记乙片区采样点的固沙量的最大值为，最小值为，剔除极值后，乙片区采样点的固沙量的平均值为．若，则的值为________． 【答案】(1)频数分布直方图见详解，； (2)； (3)乙； (4)． 【分析】本题考查了频数分布直方图、中位数的计算、用样本估计总体以及平均数的应用，熟练掌握相关统计量的计算方法和直方图的解读是解答本题的关键． （1）①根据频数分布直方图中各组频数之和为，补全甲片区采样点的固沙量的频数分布直方图；②根据中位数的定义，先确定中位数所在的组，再结合组内数据计算中位数； （2）先根据乙片区的频数分布直方图，确定“达标监测点”的频数，再用样本估计总体，计算乙片区个监测点中“达标监测点”的数量； （3）结合甲、乙两个片区的中位数，分析固沙量为在两个片区中的排名情况，从而判断所在的片区； （4）先根据乙片区的平均数求出个数据的总和，再根据剔除极值后的平均数求出剩余个数据的总和，最后根据原总和、剔除的最小值和剩余数据总和求出最大值． 【详解】（1）解：①频数分布直方图如图所示， ②共抽取了个监测点，中位数为第个监测点和第个监测点固沙量的平均值， ，， 中位数在这一组，由给出的数据排序得，中位数为， ； （2）解：乙片区抽取的监测点中，“达标监测点”有个， 个， 答：乙片区的个监测点中约有个“达标监测点”； （3）解：甲片区：中位数为，说明有个数据，比小，因此在甲片区的排名在第名之后（即名次靠后）； 乙片区：中位数为，说明有个数据，比大，因此在乙片区的排名在第名之前（即名次靠前）； （4）解：乙片区个数据的平均数为，因此总和为： 剔除一个最大值和一个最小值后，剩余个数据的平均数为，剩余数据总和为：， 根据“原总和剔除的两个数据剩余数据总和”，可得：， 解得：． 59．某公司共有男员工800名，女员工500名，公司为了解员工的身体质量指数（），从他们的体检数据中，随机抽取了40名男员工、25名女员工的数据，并对数据进行了描述、分析，部分信息如下． a．男员工数据的频数分布表如下： 人数 6 20 9 4 1 b．男员工数据在这一组的是： 23.3  23.4  24.1  25.2  25.6  26.3  26.4  27.3  27.8 c．女员工数据是： 14.2  16.0  16.1  16.6  17.7  18.0  18.1  18.8  19.1  19.4 19.5  19.9  20.5  21.7  22.1  23.2  24.6  25.2  26.4  27.5 27.8  28.4  29.1  29.3  30.8 d．男、女员工数据的平均数、中位数如下： 平均数 中位数 男员工 23.625 22.6 女员工 22 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值为________； (2)如果在（含18.5和23.9）范围内，表明体重较好．记该公司男员工体重较好的人数占男员工总人数的百分比为，女员工体重较好的人数占女员工总人数的百分比为，根据抽取的员工的数据估计________（填“”“”或“”）； (3)公司把男、女员工数据合并为一组数据，进行分析． 估计该公司1300名员工数据的平均数约为________； 若公司计划对1300名员工中数据较大的前的员工进行优先关注，那么估计被优先关注的男员工约有________人，被优先关注的女员工约有________人． 【答案】(1)20.5； (2)>； (3)23；140，120 【分析】（1）根据中位数的定义解答即可； （2）分别求出p，q，再比较即可； （3）①根据加权平均数的定义求解即可； ②根据样本估计总体的方法结合题意解答即可； 【详解】（1）解：女员工共抽取了25个数据，中位数是排序后第个数据，数出已排序的女员工数据，第13个数据为，因此． （2）解：体重较好的范围是： 男样本共40人：有20人（全部符合），中符合，共人，据此估计， 女样本共25人：符合条件的共9人，据此估计， ∴． （3）解：① 总体平均数：； ② 估计优先关注人数： 总人数1300，前共人， 抽样比例为：男，女， 样本总人数，样本中前共个最大数据， 根据题干可得13个最大数据中，男员工7人，女员工6人， 按抽样比例放大： 男员工：人，女员工：人． 60．水质被称作生态的“血脉”．为净化水质，环保部门计划为某水源地选择合适的净水植物有效降低水中的磷含量，其中总磷去除量（单位：）是衡量水质净化效果，尤其是水体脱氮除磷能力的关键指标．该部门随机抽取了20块自然条件相同的水域进行实验，得到各水域每立方米水体中的总磷去除量，并对数据（总磷去除量）进行了整体描述和分析，下面给出了部分信息： ①20块水域每立方米总磷去除量的频数分布表如下： 总磷去除量 频数 3 2 8 1 ②水域总磷去除量在这一组的是： ； ③20块水域每立方米总磷去除量的统计图如下： (1)写出表中的值； (2)随机抽取的这20块水域每立方米总磷去除量的中位数为________； (3)下列推断合理的是________（填序号） ①12号水域的总磷去除量在20块水域的总磷去除量数据中从高到低排第7名； ②20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量的众数为； ③20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量低于的水域数量与水域总数的比为 (4)号水域种植的是甲种净水植物，号水域种植的是乙种净水植物．已知甲、乙两种植物的每立方米总磷去除量的平均数分别为和；若某种植物在各水域每立方米总磷去除量的10个数据的方差越小，则这种植物的净水效果越稳定．据此推断：甲、乙两种植物中，这个地区比较适合种植的净水植物是________（填“甲”或“乙”）． 【答案】(1)； (2)； (3)①③； (4)乙． 【分析】（1）根据频数分布表即可求解； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）根据统计图和频数分布表逐一分析即可； （4）由统计图和频数分布表可知，甲种植物（）数据分布较分散，乙种植物（）数据更集中于均值附近，得到乙的方差小于甲，得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：每立方米总磷去除量在的数有3个，在的数有2个， ∴20块水域每立方米总磷去除量从小到大排列，排在第10和11的两个数是， ∴中位数为：； （3）解：①12号水域的总磷去除量是， 总磷去除量在的有6个，在的有1个， ∴在20块水域的总磷去除量数据中从高到低排第7名的，符合题意； ②由统计图可知，20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量的众数为，不符合题意； ③20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量低于的水域数量有个， ∴20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量低于的水域数量与水域总数的比为，符合题意； （4）解：由统计图和频数分布表可知，甲种植物（）数据分布较分散，乙种植物（）数据更集中于均值附近， ∴乙的方差小于甲， ∴这个地区比较适合种植的净水植物是乙． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 数据的分析 方差与标准差 1. 方差：各个数据与平均数差的平方的平均数．用表示，即．其中是数据，，，的平均数． 2. 标准差：方差的算术平方根．用字母s表示，即． 3. 方差和标准差的计算 （1）计算这组数据的平均数； （2）计算各数据与平均数之差的平方，得到一组新数据； （3）求这组数据的平均数，这个平均数就是原数据的方差； （4）方差的算术平方根就是这组数据的标准差． 4. 方差和标准差的意义 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，一般来说，一组数据的方差、标准差越小，说明这组数据波动越小，这组数据就越稳定． 5. 适当变形后新数据的平均数和方差 样本数据 平均数 方差 ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， 离差平方和 1.离差平方和：各个数据与它们平均数之差的平方和，用S表示，即． 2.组内离差平方和与组间离差平方和： 一般地，设有n个数据，，，，它们的平均数为，离差平方和为．如果把这些数据分为两组，第1组有个数据，平均数为，离差平方和为；第2组有个数据，平均数为，离差平方和为，其中．通过计算可以得到以下等式： ． 通常称为组内离差平方和，它表达了两个组组内数据的离散程度；称为组间离差平方和，它表达了两个组之间的差异．一个合理的分组原则是使最小，同时使最大．由于总离差平方和不变，所以只需考虑达到最小即可． 频数和频率 1、频数：在统计数据时，各个对象出现的次数有多有少，或者说出现的频繁程度不同，某个对象出现的次数称为该对象的频数．频数与总次数的比值称为频率. 2、频率：频数与总次数的比值称为频率，即频率= ． 频数分布表 1、频数分布表：在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表． 2、列频数分布表的步骤： （1）计算极差，即计算最大值与最小值的差． （2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）． （3）将数据分组． （4）列频数分布表． 频数分布直方图 1、频数分布直方图：根据频数分布表，用横轴表示各分组数轴，纵轴表示各组数据的频数，绘制统计图直观地呈现频数的分布特征和变化规律，像这样的统计图称为频数分布直方图. 2、列频数分布直方图的步骤： （1）计算极差，即计算最大值与最小值的差． （2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）． （3）确定分点，将数据分组． （4）列频数分布表． （5）绘制频数分布直方图． 3、条形统计图与频数分布直方图的区别和联系： （1）联系——用途都是可以直观地表示出具体数量； 频数分布直方图是特殊的条形统计图． （2）区别——条形统计图是直观地显示出具体数据；频数分布直方图是表现频数的分布情况． （3）绘制的形式不同——条形统计图各条形分开；频数分布直方图的条形连在一起． 四分位数与箱线图 在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数是三个常用的百分位数。实际上，把一组数据从小到大排列，m50把这组数据分成前、后两部分，m25是前半部分数据的中位数，m75是后半部分数据的中位数。这样，m25，m50，m75就把这组数据分成个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，统称四分位数。 箱线图 箱线图绘制步骤 1、排序：数据从小到大排列 2、算五数：求最小值、Q1、中位数、Q3、最大值 3、找异常值：计算 IQR=Q3-Q1，标记超出Q1-1.5IQR或Q3+1.5IQR的点 4、画箱体：以 Q1、Q3 为边界画矩形，中间画中位数线 5、画须：从箱体两端连到非异常值的最值 6、标异常点：单独标出所有异常值 求极差 1．已知某班5名同学的身高（单位：厘米）分别是171，173，175，180，176．则这组数据的极差是（     ） A．2 B．4 C．5 D．9 2．小明查看了连续5日的天气预报中当天最高气温情况，分别是24，21，24，26，25（单位：）．则这5日中，最高气温的极差是__________． 3．如一组数据1，7，8，a，4的平均数是a，中位数是m，极差是n，则____． 求方差 4．已知一组数据1，3，5，7，9的方差是8，则另一组数据11，13，15，17，19的方差为 ____________． 5．某人5次射击练习，命中的环数分别为6，10，7，x，9．若这组数据的平均数为8，则这组数据的方差为____． 6．某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛、在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下： 信息一：甲、乙队员的射击成绩 甲：10，7，8，8，7，8，6，9，9，8 乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，5 信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 8 8 1.2 乙 8 9 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中，的值； (2)_______，_______队员在射击选拔赛中发挥得更稳定（填“甲”或“乙”）； (3)小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以．你认为他说得对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可）． 根据方差判断稳定性 7．甲、乙、丙、丁四名运动员参加射箭比赛，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．在一场篮球比赛中，甲、乙两队场上五名首发球员的身高数据如图所示，则甲、乙两个球队首发球员身高数据方差较小的是________队（填“甲”或“乙”） 9．2026年前两个月，我国新能源汽车出口58.3万辆，同比增长1.1倍，占汽车出口总量的四成以上，成为拉动汽车出口增长的核心动力．某新能源汽车厂家研发了A，B两种新车型，计划用于出口．由于装配工艺和底盘质量在出口市场中同等重要，该厂从每种车型中各随机抽取5辆试产车，分别从装配工艺和底盘质量两方面对其进行评分（满分均为10分），并对得分进行整理、描述、分析，部分信息如下． a．两种车型的装配工艺得分： A种车型：     B种车型： b．两种车型的底盘质量得分统计图： c．两种车型的装配工艺和底盘质量得分统计表： 项目 装配工艺得分 底盘质量得分      统计量 车型 平均数 方差 中位数 方差 A种 0.56 B种 8.6 0.24 9 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中__________，____________________（填“>”“=”或“<”）． (2)如果你是该公司的决策者，你会选择哪种车型进行量产？请结合“装配工艺和底盘质量在出口市场中同等重要”的背景说明理由． 运用方差做决策 10．甲、乙两名射击运动员次射击成绩统计图如图所示，若要选派成绩更稳定的运动员参加比赛，应选____________． 11．某射击队想从甲、乙、丙三名射击运动员中选一人参加第十五届全国运动会，教练把他们的10次比赛成绩做了统计：平均成绩均为9.5环，成绩的方差分别是，，．应该选______参加． 12．为了解甲、乙两款智能机器人的性能表现，现从两款机器人中各随机选了台进行测试，记录两款机器人在两项核心性能（运动响应速度和图像识别精准度）的测试得分，并进行整理、描述和分析． 【数据收集】 a．甲、乙两款智能机器人运动响应速度测试得分统计表： 得分台数/分数 5分 6分 7分 8分 9分 10分 甲款台数 3 4 5 4 3 1 乙款台数 2 3 5 4 4 2 b．甲、乙两款智能机器人图像识别精准度测试得分统计图： 【数据分析】 c．对甲、乙两款智能机器人两项测试成绩分析如下： 智能机器人 运动响应速度测试得分 图像识别精准度测试得分 平均数 中位数 众数 平均数 甲 m 7 7 5.6 乙 7.4 n 7 4.9 【数据运用】 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中______，______． (2)根据图像识别精准度的测试得分统计图可知甲机器人的精准度高于乙机器人，若这两款机器人各生产了台，求甲款机器人图像识别精准度高于乙款机器人的台数； (3)甲款机器人研发团队针对图像识别精准度测试成绩评分不超过7分的机器人进行精准训练，这样第二轮测试时，这些机器人的测试评分均提高分，原评分超过分的机器人分数不变．与第一轮测试评分数据相比，第二轮评分数据的众数将______，方差将______（填“增大”“减小”或“不变”）． 求离差平方和 13．学校组织了“安全知识”小竞赛，某班的5位同学成绩（单位：分）如下：90，91，92，95，95．将这组数据按从小到大排列，则与的组内离差平方和为（     ） A．0 B．1 C．2 D．5 14．下表是 10 个城市月均最高气温不同分法的组内离差平方和统计： 分组位置 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第 1 个间隔 0 584.2 584.2 第 2 个间隔 32 380.9 412.9 第 3 个间隔 98.7 285.7 384.4 第 4 个间隔 132 158.8 290.8 第 5 个间隔 228.8 113.2 342 第 6 个间隔 308.8 62 370.8 第 7 个间隔 397.4 14 411.4 第 8 个间隔 562 0.5 562.5 第 9 个间隔 789.6 0 789.6 根据上表，组内离差平方和最小的分组位置是（ ） A．第3个间隔 B．第4个间隔 C．第5个间隔 D．第6个间隔 15．某中学组织学生参加“黄河文化知识竞赛”，某小组8名学生的竞赛成绩（单位：分）分别为，，，，，，，．老师为了更好地分析学生对黄河文化知识的掌握分布，决定将这些成绩分为两组，分组方式为第一组，第二组，则组内离差平方和为___________． 离差平方和的应用 16．某镇5家企业去年的产值如下表所示 企业 A B C D E 产值/亿元 13 15 7 9 12 根据年产值的组内离差平方和最小的原则分为两组，则分组方法为（将同组的企业名称用大括号括起来）_______ 17．下表是4名学生的数学测试成绩： 学生编号 1 2 3 4 成绩 / 分 72 80 85 93 将这些成绩按从低到高排列后，共有多少种不同的分法？请计算每种分法的组内离差平方和，并找出最优分组． 18．下表是10个城市月均最高气温不同分法的组内离差平方和统计： 分组位置 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第 1 个间隔 0 584.2 584.2 第 2 个间隔 32 380.9 412.9 第 3 个间隔 98.7 285.7 384.4 第 4 个间隔 132 158.8 290.8 第 5 个间隔 228.8 113.2 342 第 6 个间隔 308.8 62 370.8 第 7 个间隔 397.4 14 411.4 第 8 个间隔 562 0.5 562.5 第 9 个间隔 789.6 0 789.6 根据上表，计算按第4个间隔分组时的组间离差平方和．（提示：总离差平方和组内离差平方和组间离差平方和，总离差平方和为875.0） 根据数据描述求频数、频率 19．将一个骰子随意抛了次，出现的点数分别是，，，，，，，，，．在这次中，“”出现的频数是___． 20．某工厂对一批产品的使用寿命（单位：小时）进行检测，随机抽取了100件产品，计划绘制频率分布直方图．下边的表格是其频数统计（每组数据含最小值，不含最大值）．那么使用寿命不低于1400小时的产品所占的频率是____________． 使用寿命 1000～1200 1200～1400 1400～1600 1600～1800 频数 20 35 30 21．某校以“安全伴我行”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了安全知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于分（满分分）． 【收集数据】随机从七、八年级各抽取名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）． 【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用表示成绩，分成五组：A．，B．，C．，D．，E．）． 八年级学生成绩在组的具体数据是：，，，，，，，． 将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）： 【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92 92 100 57.4 八年级 92.6 100 49.2 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次抽取的八年级学生测试成绩组的频率是________（用小数表示），抽取的八年级学生成绩的中位数________； (2)若参加安全知识竞赛，应选哪个年级？说明理由． (3)若八年级有名学生参加了此次测试，请估计此次参加测试的学生中，成绩不低于分的学生有多少人？ 根据数据填写频数、频率统计表 22．为崇尚科学，激发广大学生积极探索航空航天奥秘的热情，某校举办第十届“航空航天”知识大赛．大赛的设奖规则为：按成绩从高到低排列设奖，其中一等奖人数不超过参加比赛总人数的，二等奖人数不超过参加比赛总人数的．现将该校九年级参加大赛的学生成绩统计后，绘制了不完整的频数统计表与频数分布直方图． 参加比赛的学生成绩频数统计表 组别 成绩（分） 人数 百分比 A B 16 C D 4 解答下列问题： (1)填空： ； ； ． (2)补全频数分布直方图． (3)小敏参加本次比赛，成绩发布后，她对同学说：“我这次比赛的成绩是85分，C组同学成绩的中位数也是85分．”请你通过推理，判断小敏能否获得一等奖？说说你的理由． 23．为了解李子果实大小情况，果农在一棵树上随机抽取若干颗李子，测量果实直径（单位：），并绘制了如下频数分布表和频数分布直方图： 组别 分组（直径） 频数 频率 A 2 B 8 C D E 4 根据以上信息，解答下列问题： (1)求、的值，并补全频数分布直方图． (2)这组数据的中位数落在________组． (3)若果园有李子1200颗，估计果园李子直径不小于的数量． 24．某农业试验基地在相同环境条件下，研究某种小麦的苗高分布，以评估其生长稳定性和产量潜力，通过科学分析，为优化种植方案提供依据．从小麦试验田随机抽取部分小麦幼苗，统计苗高数据，绘制了如下不完整的统计图表． 小麦幼苗苗高频数分布表 组别 苗高 频数 组内平均苗高 10 30 31 35 32 20 33 5 34 根据上述信息，解答下列问题： (1)表格中的________，抽取的小麦幼苗苗高的中位数落在________组； (2)求抽取的小麦幼苗苗高的平均数； (3)若此农业试验基地有株小麦幼苗，并规定苗高不低于的小麦幼苗为“优品”，估计该基地中“优品”小麦幼苗的数量． 频数分布表 25．为保障年央视春晚机器人武术表演的动作整齐度，技术人员抽取部分机器人开展动作同步误差检测，以此筛选最终上场的设备．规定：同步误差数值越小，代表动作精准度越高．来自公众号勤学教室，误差单位为毫秒（）根据检测结果，绘制了如下未完成的频数统计表与扇形统计图． 机器人动作同步误差数据频数统计表 同步误差（） 频数 对应扇形区域 A B C D E 机器人动作同步误差数据扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)抽取的机器人数是______台，统计图表中＝______，＝______． (2)若规定误差小于（）为“表演合格”，请估计台同款机器人中合格的台数． 26．为加强学生的消防意识，学校组织开展“全民消防、生命至上”的主题活动，并在活动前后举办有关消防安全知识的竞赛，竞赛结束后，随机抽取了若干名学生的竞赛成绩（百分制）进行调查分析并绘制成如下不完整的统计图（表）． 【收集数据】                             【整理数据】 组别 A组 B组 C组 D组 E组 成绩分 人数/人 1 1 5 【分析数据】 统计量 平均数 中位数 众数 成绩 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)若全校有名学生，请估计该校知识竞赛成绩不低于分的学生人数． 27．河西走廊葡萄酒，甘肃省特产，自2000多年前丝绸之路时期起，葡萄种植与酿造技艺代代相传，融合东西方文化．2012年7月31日，原国家质检总局批准对“河西走廊葡萄酒”实施地理标志产品保护．为了解某基地的葡萄种植情况，九（1）班同学对该基地的试验田中500株甲、乙两种葡萄树中各抽取100株的产量（用x表示）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下： 信息一：甲种葡萄树产量的频数分布表： 频数 信息二：乙种葡萄树产量的频数直方图： 信息三：甲、乙两种葡萄树产量的部分统计量： 葡萄树 平均数（） 中位数出现的组别 方差 甲种 乙种 ________ 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中的值：________，并补全频数分布直方图； (2)乙种葡萄树产量中位数的组别为________； (3)请从平均数、中位数、方差三个数据中任选一个数据，分析本题中哪种葡萄树的产量较好． 频数分布直方图 28．2026年4月15日是第十一个全民国家安全教育日，主题为“统筹发展和安全，护航‘十五五’新征程”．某校为增强全校学生的国家安全意识，举办了以“国家安全·你我守护”为主题的知识竞赛，以下是本次知识竞赛成绩（满分：100分）抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分参赛学生的竞赛成绩． 【整理、描述数据】 组别 成绩/分 频数 占抽取学生的百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 【分析数据】 请根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：上表中________，所抽取学生竞赛成绩的中位数位于第________组，并补全频数分布直方图； (2)若以每组的组中值代表该组的平均成绩（例：第1组的平均成绩为55分），求所抽取学生竞赛成绩的平均数； (3)若该校共有1200名学生参加此次知识竞赛，且竞赛成绩不高于70分的学生需要继续学习，请你估计此次知识竞赛中需要继续学习的学生人数． 29．在2026年的郑州市中招体育考试中，1分钟跳绳为选考项目，男生、女生满分标准分别为180次/分钟和175次/分钟．体育考试前夕，为了解学生跳绳水平，郑州某校从九年级学生的1分钟跳绳测试成绩（次数，用x表示）中随机抽取部分学生的成绩，并将其分成如下四组：D组，C组，B组，A组． 下面给出了部分信息： B组的成绩为：162，162，164，164，166，166，168，168，168，170，172，172，172，174，176，176，176，176，178，178． 根据以上信息解决下列问题： (1)请补全频数分布直方图，B组成绩数据的众数为________； (2)所抽取学生的1分钟跳绳成绩的中位数是________次； (3)请估计全校名九年级学生中1分钟跳绳成绩不低于次的人数． 30．随着九年级学业进程稳步推进，学生们正以积极状态备战中考．为全面掌握同学们的心理适应能力与备考心态，某课题组在某市随机抽取部分九年级学生开展心理健康状态调研．本次测试采用百分制评分（学生测试成绩均不低于50分），依据得分从低到高划分为，，，，五个等级，课题组结合调研数据绘制如下统计图，全面分析学生心理状态． 请根据以上信息，完成下列问题． (1)本次调查抽取的样本容量为______，_____，______． (2)本次抽样调查成绩的中位数在______组．（填字母） (3)根据调研分析，心理健康状态测试分数在80分以下的同学，可通过心理老师的专业引导来优化备考心态，提升心理适应能力．若某校九年级共有320人，估计该校需要心理老师进行专业引导的学生人数． 用样本所占百分比估计总体的数量 31．某中学为传承传统文化，优化社团活动安排，就“学生最喜爱的传统文化社团类型”进行抽样调查（每人限选一类），绘制出尚未完成的统计图（如图所示）．若该校共有学生人，估计喜爱“民乐社”的学生人数为（     ） A．人 B．人 C．人 D．人 32．某社区为配合教育部劳动教育要求，与辖区中学合作开展“青少年家务劳动习惯”调研．调研小组从该校1000名学生中随机选取100名进行面对面访谈，请学生回忆并记录最近一周内家务劳动的总时长（单位：小时），现将收集到的数据整理如下： 家务劳动时长 学生人数 8 16 23 32 16 5 根据以上数据，估计这1000名学生中一周内家务劳动时长不小于3小时的学生的人数为________名． 33．某学校九年级组织了国防军事研学活动，为了解学生对国防军事知识的掌握情况，学校于活动后组织九年级学生进行了国防知识竞赛，为科学分析竞赛结果，学校教务处从九年级参赛学生中随机抽取50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析． 【整理数据】 a．学生成绩统计图如图所示（数据分为五组：，，，，）； b．在这一组的成绩是80，80，80，81，81，82，83，84，84，85，85，87，88，89，89，89． 【描述数据】 抽取学生成绩的频数分布表 成绩x/分 频数 2 5 13 【分析数据】 根据以上信息，完成下列问题： (1)统计表中的________，________； (2)在扇形统计图中，这组数据所在扇形的圆心角度数是________，并将频数分布直方图补充完整； (3)如果成绩不低于85分为“优秀”，若九年级共有2000名学生，请你估计本次国防军事知识竞赛中九年级“优秀”的学生共有多少人． 求四分位数 34．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图如图所示，根据该图判断下列说法正确的是(     ) A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班分数的上四分位数最大 C．丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数 D．若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，甲班的分数最高 35．“幸福指数”是指某个人主观的评价对自己目前生活状态的满意程度的指标．常用0到10（含0与10）的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取6位小区居民，他们的“幸福指数”分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第三四分位数是（     ） A．5 B．6.5 C．7 D．8 36．在一次体检中，测得某校八年级（1）班第一组同学的体重（单位：）分别为50，55，58，57，54，50，56，60．该组同学体重的上四分位数是______，离差平方和是______． 画箱线图 37．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），则下列说法错误的是_________________ ．（填序号） ①三个班级中，甲班分数的方差最小；②三个班级中，乙班分数的波动最大；③丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数；④若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数最高． 38．游泳培训中心特训班进行毕业考试，100米蛙泳24名成员的成绩如下（单位：秒）： 158  149  145  128  140  135  142  150 155  132  136  150  142  152  130  136 140  144  166  142  144  150  132  138 据此回答： (1)填写四分位数表 四分位数 数值 136 142 150 说说本次成绩所反映的总体情况 (2)如下图所示，将这一年的成绩绘制成箱线图，并与去年的成绩进行比较，说说你对这一年成绩的评价． 39．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 a 70 八年级 m b c (1)上述表中，_______，_______，并补全七年级的箱线图； (2)求八年级所抽取学生的平均成绩m； (3)若该校八年级有600名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数； (4)你认为本次活动，哪个年级的学生成绩更好？请结合统计图进行说明． 已知极差求未知数据 40．若一个样本的极差为83，取组距为10，则可以分成（　　） A．10组 B．9组 C．8组 D．7组 41．如果一组数据，0，3，5，的极差是9，那么x的值（　　） A．9 B．7 C． D．7或 42．如果有一组数据的极差是6，那么x的值是_______． 利用方差求未知数据的值 43．已知一组数据的方差为：，则____． 44．计算一组数据的方差时，小明列了一个算式：，则这组数据的总和是________． 45．某校舞蹈社团选拔出两个舞蹈水平相当的舞蹈小组，下面的图表是两个舞蹈小组成员的身高部分信息，其中的阴影部分已被污损． 平均数 中位数 众数 方差 甲组 165 2.8 乙组 165 164 164 请根据所学的统计知识，解决下列问题： (1)上表中，___________，___________； (2)一般认为，在两组舞蹈成员的舞蹈水平相当的情况下，如果舞蹈成员的身高比较整齐，则该组舞台呈现效果越好．你认为舞台呈现效果更好的是哪一组？请说明你的理由． 用样本平均数估计总体平均数 46．某中学九年级有名学生参加体育中考测试．随机抽取名学生的成绩进行统计，得到平均分为分，方差为．则估计该校九年级全体学生体育测试成绩的总分约为______分． 47．王大叔随机查看了他家11月份中某5天的日用电量（单位：度），结果为：3，5，3，2，7．根据这些数据，估计王大叔家11月份的用电量为__________度． 48．某商超以元的成本价采购箱蓝莓，每箱质量 ，在出售蓝莓前，需要去掉损坏的蓝莓，现随机抽取箱，去掉损坏蓝莓后称得每箱的质量（单位：）如下：                                                         整理数据 分析数据 质量（） 平均数 众数 中位数 数量（箱） (1)直接写出上述表格中 ， ， ； (2)平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这600箱蓝莓共损坏了多少千克？ (3)根据（2）中的结果，求该商超销售这批蓝莓每千克定为多少元才不亏本？（结果保留一位小数） 用样本的频数估计总体的频数 49．随着人工智能的快速发展，初中生使用大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间（用表示，单位：）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成如下图、表： 抽取的学生一周使用大模型 辅助学习时间频数分布表 组别 时间 频率 A 0.16 B 0.24 C 0.30 D 0.20 E 0.10 合计 1 根据提供的信息回答问题： (1)本次抽样调查了________名学生； (2)直接补全频数分布直方图； (3)调查所得数据的中位数落在________组（填组别）； (4)该校九年级共有650名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数． 50．2026年5月5日是中国共产主义青年团成立104周年，某校组织八年级学生观看庆祝大会实况并进行团史学习知识竞赛（百分制）．为了解学生答题情况，从中随机抽取了部分学生的竞赛成绩（成绩用表示，单位：分），并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：：；B：；C：；D：；E：．下面给出了部分信息： a：C组的数据：70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79． b：不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： (1)求随机抽取的八年级学生人数； (2)扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为________度； (3)请补全频数分布直方图； (4)抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是________分； (5)该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数． 51．为了解学生对人工智能知识的掌握程度，某校举办了“人工智能素养”测试．现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的测试成绩进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出部分信息： 八年级抽取20名学生的测试成绩为：65，66，70，75，77，81，82，82，83，84，87，87，87，89，92，95，97，98，98，100． 九年级抽取20名学生的测试成绩在B组的数据是：81，82，85，86，87，88． 八、九年级所抽学生的测试成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 中位数 众数 79    根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ， ； (2)请根据以上数据进行分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的测试成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）． (3)该校八年级有700人，九年级有800人参加了此次测试，估计该校八、九年级参加此次“人工智能素养”测试成绩为（A．）的学生共多少人？ 由样本所占的频率区间估计总体的数量 52．人工智能是数字经济高质量发展的引擎，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．某中学九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是：A．决策类人工智能、B．人工智能机器人、C．语音类人工智能、D．视觉类人工智能．每名学生必须且只能选择一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图表． 项目 选择人数 频率 A．决策类人工智能 B．人工智能机器人 C．语音类人工智能 D．视觉类人工智能 (1)填空：　　　，　　　； (2)若该中学九年级共有600名学生，那么估计选择“B（人工智能机器人）”项目的学生有　　　人； (3)学校计划在A，C两个项目中优先开设校本课程，结合本次调查结果，你认为优先开设哪个项目更合适?请说明理由． 53．五一假期，某景区为调查游客通行效率，某高峰时段工作人员在景区南、北两个检票口各随机抽取20名游客，记录他们从入园开始排队到通过检票口进入景区的等候时间（单位：分钟）．将数据整理，描述和分析，给出下面信息： a．将南、北两个检票口各20名游客等候时间t分别分成四组： A．，B．，C．，D． b．南检票口20名游客等候时间数据： 5  6  9  11  14  19  21  23  26  30  30  30  32  35  37  39  42  46  50  53 c．北检票口20名游客等候时间在C组内的数据： 31  32  32  33  35  36  39  42 d．北检票口20名游客等候时间扇形统计图如下： e．南、北检票口20名游客等候时间平均数、众数、中位数如下表： 项目 南检票口 北检票口 平均数 27.9 27.9 众数 n 32 中位数 30 p (1)写出图表中m，n，p的值：________，________，________； (2)已知当天该高峰时段从南检票口进入景区的游客约为6000人，从北检票口进入景区的游客约为8000人，估计从两个检票口进入景区的等候时间超过30分钟的游客有________人． 54．豌豆荚里有几粒豆子不确定，那么豆子粒数是否有规律？同学们对这个问题很感兴趣．为此，调查小组从一批豌豆荚中随机抽取了若干个豌豆荚，进行豆子粒数的统计，以下是本次调查的过程． 【收集数据】打开每个豌豆荚，数清其中的豆子（直径大于3毫米）粒数，记录数据． 【整理数据】将收集的豆子粒数进行数据整理，用表示每个豌豆荚中的豆子粒数，将数据分为5组：A组，B组，C组，D组，E组． 【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下统计表． 组别 频数 10 17 42 25 6 频率 0.10 0.17 0.42 0.25 0.06 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： (1)抽取的豌豆荚中的豆子粒数的中位数落在_______组． (2)用组中值（分组两个端点数的平均数）作为这组数据的一个代表值，估计抽取的豌豆荚中的豆子粒数的平均数． (3)同学们数了一下，这一批豌豆荚共有2000个，请估计这一批豌豆荚中豆子粒数不低于6的豌豆荚个数． 画箱线图 55．社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有、两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： A阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 B阅览室：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80 阅览室 平均数 众数 中位数 方差 A 48 48 58.01 B 49.5 332.25 (1)上述表中，________，________，________； (2)小明计算出A阅览室预约人数的四分位数，，；并绘制了箱线图，请求出B阅览室预约人数的四分位数并将箱线图补充完整； (3)根据上述材料分析，社区应该挑选哪间阅览室？请说明你的理由． 56．拉萨地处青藏高原，日照时间很长．下表给出了2020年各月拉萨的日照时数（单位：）： 2020年各月拉萨的日照时数，单位：； 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 日照时数 268.8 279.4 317.2 310.9 318.9 306.4 265.6 323.0 301.0 316.8 275.5 261.2 (1)请将最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值标记在如图所示的箱线图中． (2)拉萨2020年有几个月的日照时数大于上四分位数？分别是哪几个月？ (3)图中箱体的下半部分比较大，上半部分比较小，这是否意味着日照时数介于和之间的月份要多于介于和之间的月份？ 57．某电商平台有A和B两个合作物流公司．2026年第一季度，这两个物流公司分别负责配送12批次的同款商品，配送时效（单位：小时）如下： A公司：4.77，3.98，4.88，4.89，2.15，3.85，3.64，3.21，3.18，2.02，4.11，4.10． B公司：3.18，3.84，3.99，3.67，3.40、3.60，4.10，4.21，4.15，4.44，3.87，3.91． 某运营经理想要利用四分位数分析A、B两个物流公司的配送效率．统计表为他统计的两个公司配送时效数据的四分位数（单位：小时）： 公司 A 3.195 a 4.44 B b 3.890 c 请根据以上信息完成下列问题： (1)表中______，______，______； (2)运营经理基于四分位数绘制了A、B两公司的箱线图如图所示，请你根据箱线图对A、B两个物流公司的配送水平从时效快慢和稳定性方面作出评价． 数据的分析综合题 58．沙漠治理工程通过围沙、固沙和治沙等环节，可改善生态环境，促进可持续发展．为监测某区域沙漠治理工程的效果，某科研小组分别从甲、乙两个片区各随机抽取个监测点作为采样点，记录了每个采样点的单位面积固沙量（以下简称“固沙量”，用表示，单位：），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ．甲、乙两个片区采样点的固沙量的频数分布直方图如下（数据分成组：第组，第组，第组，第组，第组，第组，第组）； ．甲片区采样点的固沙量在这一组的数据是：                              ．甲、乙两个片区采样点的固沙量的平均数、中位数如下表： 片区 平均数 中位数 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： (1)①补全甲片区采样点的固沙量的频数分布直方图； ②表中的值为________； (2)若固沙量满足的监测点为“达标监测点”，估计乙片区的个监测点中约有________个“达标监测点”； (3)将每个片区采样点的固沙量按从大到小排序，固沙量越大，排名越靠前．已知采样点，不在同一个片区且固沙量都是．若在其所在片区采样点中的排名比在其所在片区采样点中的排名更靠前，则是________片区的采样点（填“甲”或“乙”）； (4)为降低异常值对统计结果造成的偏差，科研团队采用剔除极值法：先剔除一组数据中的一个最大值和一个最小值，再对剩余数据计算平均值，以保障监测结果的稳定性．记乙片区采样点的固沙量的最大值为，最小值为，剔除极值后，乙片区采样点的固沙量的平均值为．若，则的值为________． 59．某公司共有男员工800名，女员工500名，公司为了解员工的身体质量指数（），从他们的体检数据中，随机抽取了40名男员工、25名女员工的数据，并对数据进行了描述、分析，部分信息如下． a．男员工数据的频数分布表如下： 人数 6 20 9 4 1 b．男员工数据在这一组的是： 23.3  23.4  24.1  25.2  25.6  26.3  26.4  27.3  27.8 c．女员工数据是： 14.2  16.0  16.1  16.6  17.7  18.0  18.1  18.8  19.1  19.4 19.5  19.9  20.5  21.7  22.1  23.2  24.6  25.2  26.4  27.5 27.8  28.4  29.1  29.3  30.8 d．男、女员工数据的平均数、中位数如下： 平均数 中位数 男员工 23.625 22.6 女员工 22 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值为________； (2)如果在（含18.5和23.9）范围内，表明体重较好．记该公司男员工体重较好的人数占男员工总人数的百分比为，女员工体重较好的人数占女员工总人数的百分比为，根据抽取的员工的数据估计________（填“”“”或“”）； (3)公司把男、女员工数据合并为一组数据，进行分析． 估计该公司1300名员工数据的平均数约为________； 若公司计划对1300名员工中数据较大的前的员工进行优先关注，那么估计被优先关注的男员工约有________人，被优先关注的女员工约有________人． 60．水质被称作生态的“血脉”．为净化水质，环保部门计划为某水源地选择合适的净水植物有效降低水中的磷含量，其中总磷去除量（单位：）是衡量水质净化效果，尤其是水体脱氮除磷能力的关键指标．该部门随机抽取了20块自然条件相同的水域进行实验，得到各水域每立方米水体中的总磷去除量，并对数据（总磷去除量）进行了整体描述和分析，下面给出了部分信息： ①20块水域每立方米总磷去除量的频数分布表如下： 总磷去除量 频数 3 2 8 1 ②水域总磷去除量在这一组的是： ； ③20块水域每立方米总磷去除量的统计图如下： (1)写出表中的值； (2)随机抽取的这20块水域每立方米总磷去除量的中位数为________； (3)下列推断合理的是________（填序号） ①12号水域的总磷去除量在20块水域的总磷去除量数据中从高到低排第7名； ②20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量的众数为； ③20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量低于的水域数量与水域总数的比为 (4)号水域种植的是甲种净水植物，号水域种植的是乙种净水植物．已知甲、乙两种植物的每立方米总磷去除量的平均数分别为和；若某种植物在各水域每立方米总磷去除量的10个数据的方差越小，则这种植物的净水效果越稳定．据此推断：甲、乙两种植物中，这个地区比较适合种植的净水植物是________（填“甲”或“乙”）． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $