专题02 四边形（期末复习知识清单）八年级数学下学期新教材北京版

专题02 四边形 多边形 多边形的相关概念： 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点. 多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 【注意】 1、多边形的边数、顶点数及角的个数相等； 2、把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线； 3、多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线. 正多边形注意点 1、正n边形有n条对称轴． 2、对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称中心是多边形的中心. 多边形内角和定理 多边形内角和定理：n边形的内角和为. 多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系. 平行四边形的性质与判定 平行四边形的性质定理 性质 符号语言 图示 边 平行四边形两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 平行四边形对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,BO=DO=BD 平行四边形的判定定理 判定 符号语言 定义 一组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形 边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵OA=OC，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形 矩形的性质与判定 矩形的性质定理： 性质 符号语言 图示 边 两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90° 对角线 两条对角线互相平分且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=CO=BO=DO 矩形的判定定理 判定定理 符号语言 图示 角 一个角是直角的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中， ∵∠B=∠A=∠D=90°， ∴四边形ABCD是矩形 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形 菱形的性质与判定 菱形的性质定理 性质定理 符号语言 图示 边 四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=CD=AD=BC 对角线 对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 菱形的面积公式： ①菱形的面积=底×高，即 ②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即. 菱形的判定定理 判定定理 符号语言 图示 边 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形 正方形的性质与判定 正方形的性质： 1、正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行. 2、正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 【注意】 1、正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2、一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°. 3、两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 4、正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半. 正方形的判定： 定义法 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 判定定理 矩形+一组邻边相等 有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形+对角线互相垂直 对角线互相垂直的矩形是正方形 菱形+一个角是直角 有一个角是直角的菱形是正方形 菱形+对角线相等 对角线相等的菱形是正方形 三角形的中位线定理 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 中心对称与中心对称图形 类别 轴对称 中心对称 定义 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 性质 1、对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分； 2、成中心对称的两个图形全等； 3、只有一个对称中心. 1、有对称中心; 2、将图形绕对称中心旋转180°旋转后的图形能与原来的图形重合. 旋转 旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． 旋转的性质： 1、对应点到旋转中心的距离相等； 2、每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3、旋转前后的图形全等． 作图步骤： 1、根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2、找出原图形的关键点； 3、连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； 4、按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 多边形的概念与分类 1．下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 2．如图，在多边形中，___________是多边形的边；___________是多边形的顶点；___________是多边形的对角线；___________是多边形的内角． 3．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角，例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有 ___________ 个． 多边形的对角线 4．一个正多边形的每一个外角度数为，那么由该正多边形的一个顶点可以引出的对角线的条数为________． 5．如果一个多边形的内角和等于它的外角和的两倍，那么该多边形的对角线共有_______条． 6．请按要求完成填空与解答： 图形             … 边数 3 4 5 6 … 从一个顶点引出的对角线条数 0 1 2 __________ … ________ 三角形个数 1 2 3 __________ … ________ 内角和 __________ … (1)将上面表格中5处“_______”填写完整； (2)根据表中规律可发现，边形的内角和是_______； (3)是否有内角和为的多边形？如果有，求出边数；如果没有，请说明理由． 多边形的内角和与外角和 7．如图，在四边形中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是__________边形． 9．四边形中，，，比大，求的度数． 平面镶嵌 10．工人师傅用两块边长均为a的正五边形地砖按如图所示的方式进行铺设，若一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是_______． 11．如图（1），图形的密铺指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．如图（2），若要用边长相同的正三角形、正六边形两种材料（两种材料都要用到）密铺地面，则必须满足：有公共顶点的个正三角形的内角与个正六边形的内角的和等于， 则__________ 12．【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫作多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． (1)【探究发现】填写表中空格： 正多边形的边数 3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数 ________ ________ ________ … ________ (2)若只用一种正多边形镶嵌，则能镶嵌成一个平面图案的正多边形有________．（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形． (3)【拓展应用】如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，则的值为________． 平行四边形的判定 13．如图，在中，M，N是对角线上的点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若 ，求的长． 14．如图，在中，，相交于点O，点E在上，点F在上，经过点O．求证：四边形是平行四边形． 15．如图，点是线段的中点，点、在的同侧，． (1)求证：； (2)连接，求证：四边形为平行四边形． 添一个条件证明是平行四边形 16．如图，在平行四边形中，，，垂足分别是E，F．      (1)求证：； (2)连接，请添加一个与角度相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 17．如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 18．如图，E、F是四边形的对角线上的两点．    (1)若，只添加一个条件：　 ，使四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，，求证：四边形是平行四边形． 平行四边形的性质 19．如图，在中，，，垂足分别为点E，F． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的面积． 20．如图，在四边形中，，对角线，与相交于点于点于点，且． (1)求证：①；②四边形是平行四边形． (2)若，求的长． 21．如图，四边形是平行四边形，，是对角线上的两点且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的度数． 矩形的判定 22．如图，菱形的对角线相交于点O，点E是的中点，连接，过点C作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并写出证明过程． 23．如图，在中，对角线，相交于点，． (1)求证：是矩形； (2)点在边上，满足．若，，求的长． 24．如图，在中，，相交于点，点，分别是，的中点，连接并延长至点，使得，连接，． (1)证明． (2)若，判断四边形的形状并证明． 矩形的性质 25．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，已知，． (1)求菱形的边长； (2)若于点，直接写出的长． 26．如图，点E为正方形边上一动点（不与A、D重合）．连接交于点F，经过点F，分别与、交于点P、Q，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 27．如图，菱形的对角线，交于点，交于点，于点，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若是的中点，，，求的长． 矩形与折叠问题 28．如图，将矩形折叠，是折痕，点恰好落在边上的点处，量得，那么等于（     ） A． B． C． D． 29．如图，把矩形沿折叠，使点与点重合，点的对应点是点，已知，． （1）__________； （2）若点为上一个动点，则的最小值为__________． 30．如图1，在矩形中，已知对角线的垂直平分线与边、分别交于点、． (1)求证：； (2)若，，点为线段上任意一点，求的最小值； (3)如图2，将矩形变形得到平行四边形，直线分别交边、于点、，将平行四边形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为点．若，，，求的长． 菱形的判定 31．如图，是的对角线，于点，于点． (1)求证：； (2)连接，，添加一个条件，能使四边形为菱形吗，请说明理由． 32．如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 33．如图，在中，平分，为延长线上一点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，于点，的延长线交于点． ①求证：；②求的值． 菱形的性质 34．如图，将边长为的等边沿射线向右平移到，连接，． (1)求证：； (2)求所扫过的面积． 35．【问题情境】 已知在四边形中，E为边上一点（不与点A，D重合），连接，将沿折叠得到，点A的对应点为点F． 【问题解决】 (1)如图①，若四边形是正方形，点F落在对角线上，连接并延长交于点G．求的度数； 【拓展变式】 (2)如图②，若四边形是矩形，点F恰好落在的垂直平分线上，与交于点O．求证：； (3)如图③，若四边形是平行四边形，，点F落在线段上，点P为边上一点，连接，求的值． 36．如图，在中，为对角线，按下列要求作图： ①分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，Q； ②作直线，分别交，，于点O，E，F，连结，． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)若平分，，，，求的面积． 正方形的判定 37．已知：如图，菱形的对角线、交于点，分别过点C、D作，，连接交于点． (1)求证：； (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由． 38．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，，垂足分别为．延长至点，使．连接． (1)求证：． (2)当和满足什么数量关系时四边形是正方形？并说明理由． 39．矩形纸片中，，，点在边上，将沿所在的直线折叠，得到． (1)如图1，当点在上时，求证：四边形是正方形； (2)如图2，当点在对角线上时，求此时的长； (3)如图3，当点在对角线上时，与相交于点，求的长； (4)连接，当的面积为4时，请直接写出的长． 正方形的性质 40．在正方形中，是延长线上的点，是线段上一点且．过作，使，连接． (1)如图1，连接．求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，连接交于，并取中点，连接．若，，求线段的长． 41．如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接、、．设点P、Q运动的时间为t秒 (1)当t为何值时，四边形是菱形； (2)当以为对角线的正方形面积为96时，求t的值． 42．【问题提出】 (1)如图1，在四边形中，若，，则的度数为________°； 【问题探究】 (2)如图2，在四边形中，，，连接，，求证：； 【问题解决】 (3)如图3，某工业园要沿围墙和规划一个四边形休闲广场，点、分别在、上，沿、、、铺设小路，要求小路尽可能的短，并对四边形区域进行地面防滑处理．已知，，，，地面防滑处理的费用为200元/，求当小路最短时，对四边形进行地面防滑处理所需的总费用．（小路的宽度忽略不计） 三角形的中位线定理 43．如图，中，是边上一点，连接，分别是 的中点，连接，，，，则（     ） A． B． C． D． 44．在菱形中，，，是中点，是上一动点，，是，的中点．则的最小值为________． 45．如图1，在四边形中，为上一点，和都是等边三角形，、、、的中点分别为、、、． (1)试判断四边形为怎样四边形，并证明你的结论； (2)求的大小； (3)若，，求四边形的周长． 三角形中位线定理的实际应用 46．如图，两地被池塘隔开，小明想测量两地间的距离，但是不方便测量．于是想了个办法，他先选一个能直接到达的点，然后测出，的中点，．并且测得的长为18米，则，间的距离是（     ）． A．36米 B．27米 C．18米 D．9米 47．如图，A，B两地被房子隔开，小明通过下面方法估测A，B间的距离：先在外选一点C，然后步测出，的中点M，N并步测出的长约为40米，由此可知，A，B间的距离约为________米． 48．【猜想探究】 如图1，在中，、分别为、的中点，连接： 操作1．将绕点按顺时针方向旋转到的位置． 操作2．延长到点，使，连接． 试探究，与有怎样的位置关系和数量关系？ (1)结合操作1或操作2的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理： ． 【结论应用】 (2)如图2，四边形中，对角线、相交于点，四条边上的中点分别为、、、，依次连接、、、，得到四边形．求证：①四边形是平行四边形； ②当与满足______时，四边形是菱形，当与满足______时，四边形是矩形． ③若，，，则四边形的面积为______． 【问题解决】 (3) 如图3所示，在一个四边形的草坪上修一条小路，其中点和点分别为边和边的中点，且，，，求小路的长度． 中点四边形 49．将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”．如图，四边形的对角线，且两条对角线的夹角为，则该四边形较短的“中对线”的长为______．   ∴是的中位线， 50．如图，E，F，G，H分别是矩形四边的中点． (1)求证：四边形是菱形 (2)若四边形的面积为24，，求矩形的周长． 51．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形        B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出关于四边形的对角线的关系： 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， （4）试探索与的数量关系，并说明理由． 中心对称图形 52．阅读是获取知识、增长智慧的重要方式，更是传承文明、提高国民素养的重要途径．中央宣传部印发《关于促进全民阅读工作的意见》，提出在全社会大力提倡多读书、读好书，建设书香社会、书香中国，不断提升人民思想境界、增强人民精神力量．下列全国各地图书馆的标志中，既不是轴对称图形，又不是中心对称图形的为（     ） A． B． C． D． 53．如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，则涂黑的小正方形的序号是________． 54．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1，点A、B均在格点上． (1)在图①中，以为边画一个四边形，使其是中心对称图形，但不是轴对称图形，且点C、D在格点上； (2)在图②中，以为边画一个，使其面积为10，且点E、F在格点上； (3)在图③中，以为边画一个菱形，使点G、H在格点上，且． 图形的旋转 55．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，把线段绕点逆时针旋转后得到线段，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 56．如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，使点B的对应点D落在边BC上，连接，如果，那么_______ °． 57．综合与探究 以“图形的旋转与面积”为主题开展下列数学活动． (1)如图①，将边长为2的正方形的对角线绕点顺时针旋转得到线段，连接，过点作，交的延长线于点，易证，得到的面积为 ； 问题探究 (2)如图②，在矩形中，，将对角线绕点顺时针旋转得到线段，连接，求的面积：（用含m的代数式表示） 解决问题 (3)如图③，在锐角三角形中，，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接，求的面积． 多边形内角和与外角和的综合 58．我们给出定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (1)已知：如图1，四边形是“等对角四边形”，，，求的度数． (2)在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形”（如图2），其中，，此时她发现成立．请你证明此结论． 59．数学探究课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和． 【发现】 （1）如图1，在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个___________角，得出如下的结论：三角形的内角和等于___________． 【尝试】 （2）现在我们尝试用说理的方式说明该结论正确． 如图2，已知，分别用，，表示的三个内角，说明 解：如图2，画的边的延长线，过点C画 因为， 所以___________①___________， ___________②___________ 因为___________③+___________④ 所以 【拓展】 （3）如图3，请在六边形中画出所有从A点引出的对角线，此时六边形被分成了___________个三角形，这样，请你直接写出六边形的内角和是___________ 60．将一个正六边形与一个正五边形，按如图所示的位置摆放，使点A为公共顶点，顶点B、C、D、E都在直线上，则________． 平行四边形的判定与性质综合 61．如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，垂足为E，，，，则的长为______． 62．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点，且a、b、c满足，点P在上从点C开始向点D运动． (1)求点D的坐标； (2)若点P的运动速度为每秒1个单位长度，点P运动的时间为t秒，当时，求t的值； (3)当是等腰三角形时，求点P的坐标． 63．如图，在中，F为边上的一个动点，连接． (1)当点F为边的中点时 ①如图1，过点B作，垂足为E，连接，延长交的延长线于G，求证：； ②如图2，将沿折叠，点C落在内处，连接并延长交于点G．若，求的长； (2)如图3，当时，延长到，使得，点M是边上一点．连接交于点N，当，BM平分，时，求出的面积． 矩形的判定与性质综合 64．矩形的对角线、相交于点O，点E为边一点，交于点F，，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)若F是中点，，，求的长． 65．学习了矩形和正方形的知识后，同学们对于特殊平行四边形的性质有了一定程度的了解，某班数学兴趣小组做了进一步的探究．对于平面内的一个四边形，上若存在一点，使得且，则称这样的四边形是“可等垂四边形”，点为四边形的“等垂点”． (1)【初步探索】 如图（1），矩形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，则和的数量关系是______． (2)【类比探究】 如图（2），四边形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，分别过点、作的垂线，垂足分别为、． 请写出，，之间的数量关系，并证明； 若，，求的长． 66．如图，四边形是正方形，是边上一动点（不与点重合），连接． (1)如图，以为直角边，构造等腰直角三角形，连接，求证：； (2)在（）的条件下，当点运动时，的大小会不会发生变化？如果会变化，请说明理由；如果不会变化，请求出的度数； (3)如图，以为斜边，构造等腰直角三角形，连接，当点运动时，试探究，的数量关系并证明． 菱形的判定与性质综合 67． 如图，在中， ，点在上，．过点分别作，的平行线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，求的长． 68．【问题情境】数学课上，同学们以小组为单位用两个全等的三角形进行实验探究． 如图，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，．可沿直线平移，连接， 【实验探究】 (1)在平移过程中，同学们发现四边形是平行四边形，请证明此结论； (2)当沿平移到某一个位置时，四边形恰好为菱形， ①如图，此时若，，试求的长； ②如图，连接，若，求的度数． 69．问题解决： (1)如图1，在正方形中，点，分别在，边上，，且与相交于点． ①与的位置关系为________； ②延长到点，使得，连接，判断的形状，并说明理由； 类比迁移： (2)如图2，在菱形中，点，分别在，边上，与相交于点，，，，，求的长． 正方形的判定与性质综合 70．如图，在正方形中，点E，F分别在和上，，与交于点G． (1)判断与的位置关系并证明； (2)连接，取中点O，连接．过点C作，交的延长线于点H． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 71．正方形外侧作直线，点B关于直线的对称点为E，连接，，其中交直线于点F． (1)依题意补全图1； (2)若，求的度数； (3)如图2，若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 72．完成下面各题． (1)【问题情境】苏科版教材97页有这样的问题： 已知正方形，点E在的延长线上，以为一边构造正方形，连接和，如图1所示，则和的数量关系为，位置关系为． (2)【继续探究】 若正方形的边长为4，点E是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接、，如图2所示， ①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，若，求的面积； (3)【拓展提升】 在（2）的条件下，点E在边上运动时，则点F的运动路径长． 特殊平行四边形的存在性问题 73．如图，以长方形的顶点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知，，点E是的中点，在上取一点D，连接，点A关于的对称点恰好落在线段边上的点F处． (1)直接写出点E，F的坐标； (2)在线段上是否存在一点P，使为等腰三角形；若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)在x轴、y轴上是否分别存在点M，N，使四边形的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由． 74．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，将线段沿轴向右平移个单位到为坐标平面内一点． (1)求证：四边形是菱形； (2)在第一象限内是否存在点，使得以为一边，以为另一边的四边形是正方形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 75．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，线段的长（）是方程组的解，点C是直线与直线的交点，点D在线段上，． (1)求点C的坐标． (2)求直线的函数解析式． (3)P是直线上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 特殊平行四边形中的最值问题 76．已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒． (1)当为何值时，四边形是平行四边形？ (2)在直线上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在线段上有一点，且，当运动_____秒时，四边形的周长最小，并画图标出点的位置． 77．活动与实践： 教材重现（新人教版八年级上册数学教材第94页综合与实践牧民饮马问题） 如图1，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短? 抽象为数学问题：如图2，已知点、在直线的同侧，在直线上找一点，使得的值最小． 探究活动1（问题转化） 如图3，若点、在直线的异侧时，连接，交直线于点，由“两点之间线段最短”知，对于直线上任意一点，均有，故、、三点在同一条直线上时最小，得所求点即为点． (1)问题1：如图3，若、两点距直线的距离分别为和，且它们之间的水平距离（即图中的垂线段的长）为，请求出此时的最小值为 ． 针对图2点、在直线的同侧，利用轴对称知识，如图4，作出点关于直线的对称点，连接交直线于点．由轴对称性质知直线是线段的垂直平分线，故，同（1）可知所求点即为点． (2)问题2：如图4，若、两点到直线的距离分别为和，且它们之间的水平距离（即图中的垂线段的长）为，请求出此时的最小值为 ． 探究活动2（数形结合） 例：求代数式的最小值． 解：代数式的几何意义： 如图5，线段，分别以、为垂足在线段的同侧作的垂线段和，且，在线段上取点，设，则． (3)问题3：中，根据勾股定理用含的代数式表示 ，同理 ．那么求的几何意义就是求线段、的长度和．此时的最小值为 ． (4)问题4：已知，利用几何意义探究代数式的最小值为 ． 探究活动3（拓展迁移） (5)问题5：求代数式的最小值为 ． (6)问题6：已知、均为正数，且是一个三角形的三边的长，则这个三角形的面积是 ．（用含、的式子表示）． 78．利用轴对称求最值的核心思路是通过轴对称变换，将复杂的几何问题转化为简单的对称问题．具体步骤如下：首先需要确定问题的对称轴，这通常是根据题目的几何条件来确定的．然后构造对称点，将动点关于对称轴构造出对称点，这样可以将原问题转化为两个对称点之间的问题．请据此解答下面的问题． 问题提出 （1）如图，已知，是内一点，，点，分别是，边上的动点（不与点重合），求周长的最小值．我们可以分别作点关于，的对称点，，然后连接，，与，有两个交点，当、分别与这两个交点重合时，如图，周长最小． 的度数是 ； 周长的最小值是 ． 问题探究 （2）如图，在等腰中，，，点是的中点．在上取点，连接，，试求的最小值． 问题解决 （3）如图，四边形为一个矩形绿地，点为矩形的中心，通过测量得，米，在绿地边上存在一点P，使得的值最小．请直接写出这个最小值． 特殊平行四边形中的动点问题 79．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位的速度向终点运动，当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为（秒）．以点为顶点的四边形是平行四边形时值为_____秒． 80．如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)______，______．（用含t的式子表示） (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (3)只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点Q的运动速度为多少？ 综上所述：或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； 81．如图，在四边形中，，，，，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点D出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点A运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）． (1)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)当t为何值时，的长度为10？ (3)在P、Q运动过程中，四边形是有没有可能是菱形？若可能，求出t的值，若不可能，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 四边形 多边形 多边形的相关概念： 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点. 多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 【注意】 1、多边形的边数、顶点数及角的个数相等； 2、把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线； 3、多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线. 正多边形注意点 1、正n边形有n条对称轴． 2、对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称中心是多边形的中心. 多边形内角和定理 多边形内角和定理：n边形的内角和为. 多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系. 平行四边形的性质与判定 平行四边形的性质定理 性质 符号语言 图示 边 平行四边形两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 平行四边形对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,BO=DO=BD 平行四边形的判定定理 判定 符号语言 定义 一组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形 边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵OA=OC，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形 矩形的性质与判定 矩形的性质定理： 性质 符号语言 图示 边 两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90° 对角线 两条对角线互相平分且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=CO=BO=DO 矩形的判定定理 判定定理 符号语言 图示 角 一个角是直角的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中， ∵∠B=∠A=∠D=90°， ∴四边形ABCD是矩形 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形 菱形的性质与判定 菱形的性质定理 性质定理 符号语言 图示 边 四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=CD=AD=BC 对角线 对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 菱形的面积公式： ①菱形的面积=底×高，即 ②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即. 菱形的判定定理 判定定理 符号语言 图示 边 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形 正方形的性质与判定 正方形的性质： 1、正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行. 2、正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 【注意】 1、正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2、一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°. 3、两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 4、正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半. 正方形的判定： 定义法 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 判定定理 矩形+一组邻边相等 有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形+对角线互相垂直 对角线互相垂直的矩形是正方形 菱形+一个角是直角 有一个角是直角的菱形是正方形 菱形+对角线相等 对角线相等的菱形是正方形 三角形的中位线定理 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 中心对称与中心对称图形 类别 轴对称 中心对称 定义 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 性质 1、对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分； 2、成中心对称的两个图形全等； 3、只有一个对称中心. 1、有对称中心; 2、将图形绕对称中心旋转180°旋转后的图形能与原来的图形重合. 旋转 旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． 旋转的性质： 1、对应点到旋转中心的距离相等； 2、每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3、旋转前后的图形全等． 作图步骤： 1、根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2、找出原图形的关键点； 3、连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； 4、按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 多边形的概念与分类 1．下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的定义，关键是明确正多边形需要同时满足“各边相等”和“各内角相等”两个条件，二者缺一不可． 【详解】解：正多边形的定义为：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形． 对于选项A，每条边都相等的多边形，内角不一定相等，例如菱形，四条边相等但内角不都相等，不是正多边形，故A错误； 对于选项B，每个内角都相等的多边形，边不一定相等，例如长与宽不相等的长方形，内角均为但边不都相等，不是正多边形，故B错误； 对于选项C，每条边都相等且每个内角都相等的多边形，完全符合正多边形的定义，故C正确； 对于选项D，长方形的长和宽不一定相等，不一定满足“各边相等”的条件，不符合正多边形定义，只有正方形这种特殊长方形才是正多边形，所以长方形不一定是正多边形，故D错误； 故选：C． 2．如图，在多边形中，___________是多边形的边；___________是多边形的顶点；___________是多边形的对角线；___________是多边形的内角． 【答案】 ，，，， 点 ，，，， 【分析】本题考查了多边形．根据多边形的定义解答即可． 【详解】解：在多边形中，，，，，是多边形的边； 点是多边形的顶点； 是多边形的对角线； ，，，，是多边形的内角． 故答案为：，，，，；点；； ，，，，． 3．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角，例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有 ___________ 个． 【答案】3 【分析】本题考查多边形，理解“邻等四边形”的定义是正确解答的关键． 据“邻等四边形”以及网格点的意义在网格中找出符合条件的点D的位置即可． 【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格点的意义可知， 所有符合条件的点D共有3个，即图形中的， 故答案为：3 多边形的对角线 4．一个正多边形的每一个外角度数为，那么由该正多边形的一个顶点可以引出的对角线的条数为________． 【答案】 【分析】先根据任意多边形的外角和为，结合已知外角度数求出正多边形的边数，再根据边形一个顶点引出对角线条数的规律计算即可． 【详解】解：任意多边形的外角和为，该正多边形每个外角为， 该正多边形的边数为， 从边形的一个顶点出发，除去自身及其两个相邻顶点，剩余顶点均可连接得到对角线， 可引出的对角线条数为． 5．如果一个多边形的内角和等于它的外角和的两倍，那么该多边形的对角线共有_______条． 【答案】9 【分析】先根据多边形内角和定理与多边形外角和定理求出该多边形的边数，再代入边形对角线条数公式计算即可． 【详解】解：设该多边形的边数为， 由题意得：， 解得， 则该多边形的对角线的条数共有（条）． 6．请按要求完成填空与解答： 图形             … 边数 3 4 5 6 … 从一个顶点引出的对角线条数 0 1 2 __________ … ________ 三角形个数 1 2 3 __________ … ________ 内角和 __________ … (1)将上面表格中5处“_______”填写完整； (2)根据表中规律可发现，边形的内角和是_______； (3)是否有内角和为的多边形？如果有，求出边数；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)第一列依次为：3，4，；第二列依次为：， (2) (3)没有内角和为的多边形，理由见解析 【分析】（1）根据题意补全表格即可； （2）根据表中规律求解即可； （3）根据题意得到，然后求解判断即可． 【详解】（1）解：根据题意，填写表格如下： 图形             … 边数 3 4 5 6 … 从一个顶点引出的对角线条数 0 1 2 3 … 三角形个数 1 2 3 4 … 内角和 … （2）解：根据表中规律可发现，边形的内角和是； （3）解：没有内角和为的多边形，理由如下： 根据题意，得， 解得，不是正整数， ∴没有内角和为的多边形． 多边形的内角和与外角和 7．如图，在四边形中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直的定义得出，再利用四边形内角和定理列式计算即可求出的度数 ． 【详解】解： 四边形的内角和为，且 ． 8．如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是__________边形． 【答案】 五 【分析】设这个多边形边数为n，由多边形的每一个内角都是可得其内角和为，结合多边形内角和公式列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形边数为n， ， 解得， ∴这个多边形是五边形． 9．四边形中，，，比大，求的度数． 【答案】 【分析】设的度数为，则的度数为，根据四边形内角和为列出方程，求解即可获得答案． 【详解】解：设的度数为，则的度数为， 根据题意可得 ， 解得， 即的度数为． 平面镶嵌 10．工人师傅用两块边长均为a的正五边形地砖按如图所示的方式进行铺设，若一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是_______． 【答案】10 【详解】解：由题意，得， 设这个正多边形地砖的边数为n， 则有， 解得， ∴这块正多边形地砖的边数是10． 11．如图（1），图形的密铺指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．如图（2），若要用边长相同的正三角形、正六边形两种材料（两种材料都要用到）密铺地面，则必须满足：有公共顶点的个正三角形的内角与个正六边形的内角的和等于， 则__________ 【答案】或 【分析】先计算出正三角形和正六边形的内角，再根据题意列出方程，求解即可． 【详解】解：正三角形每个内角为，正六边形每个内角为， 根据题意可列方程：， 化简，得， ∵、都是正整数， ∴或， ∴或． 12．【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫作多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． (1)【探究发现】填写表中空格： 正多边形的边数 3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数 ________ ________ ________ … ________ (2)若只用一种正多边形镶嵌，则能镶嵌成一个平面图案的正多边形有________．（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形． (3)【拓展应用】如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，则的值为________． 【答案】(1)；；； (2)①③ (3)或 【分析】（1）根据n边形内角和定理“n边形内角和等于求出内角和”，再除以n得到正n边形每个内角的度数； （2）根据除以n边形的每一个内角的度数是整数即可解答； （3）由题意得，x、y是满足的正整数解，即可求的值． 【详解】（1）解：正三角形每个内角的度数为； 正方形每个内角的度数为； 正五边形每个内角的度数为； 正六边形每个内角的度数为； …… 正n边形每个内角的度数为； 故答案为：；；；． （2）解：由（1）的方法可求出： 正三角形的每一个内角的度数是； 正五边形的每一个内角的度数是； 正六边形的每一个内角的度数是； 正七边形的每一个内角的度数是； 正八边形的每一个内角的度数是； 又，， 只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形可以为正三角形、正六边形， 故答案为：①③． （3）解：由题意得，x、y为满足方程的正整数解， 二元一次方程的正整数解为或， 则的值为或． 平行四边形的判定 13．如图，在中，M，N是对角线上的点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若 ，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连结，交于点． 是平行四边形， ，， 又， ， ， 四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）连结，交于点，由平行四边形性质可知，，因为，可得，即可证明题目； （2）因为，可求，又由已知可求，利用勾股定理求得长，则题目可解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．如图，在中，，相交于点O，点E在上，点F在上，经过点O．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：四边形为平行四边形， ，， ，． ， ， 四边形是平行四边形． 【分析】根据四边形为平行四边形，得到，，证明，得到，由此证得四边形是平行四边形． 【详解】解：略． 15．如图，点是线段的中点，点、在的同侧，． (1)求证：； (2)连接，求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据已知可证，，结合，利用即可证明结论； （2）由（1）知，可得，推出，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵点B是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（1）知， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 添一个条件证明是平行四边形 16．如图，在平行四边形中，，，垂足分别是E，F．      (1)求证：； (2)连接，请添加一个与角度相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由平行四边形得到，，然后得到，即可证明； （2）如图所示，连接，由得到，等量代换得到，证明出，即可得到四边形四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）如图所示，连接，    添加条件为： 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形四边形是平行四边形． 17．如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是： （1）根据平行四边形的判定添加条件即可； （2）连接交于O，根据平行线的性质得出，，根据等式的性质得出，然后根据平行四边形的判定即可得证． 【详解】（1）解：补充： 理由：∵，， ∴四边形为平行四边形； （2）证明：连接交于O， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 又， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 18．如图，E、F是四边形的对角线上的两点．    (1)若，只添加一个条件：　 ，使四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的判定方法解答即可； （2）由，得，再证明得，进而即可得到结论． 【详解】（1）或（填写一个答案即可）， 当添加时， ∵， ∴四边形为平行四边形． 当添加时， ∵， ∴四边形为平行四边形． 故答案为：或（填写一个答案即可） （2）如图，连接，，    ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键． 平行四边形的性质 19．如图，在中，，，垂足分别为点E，F． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ，， ． ，， ，． 在和中， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． (2)120 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，证出，由垂线的性质得出，，由证明，得出，，即可得出四边形是平行四边形． （2）由勾股定理求出，得出，由勾股定理求出，得出，即可得出的面积． 【详解】（1）略 （2）解：， ． ， ， ． ， ． 20．如图，在四边形中，，对角线，与相交于点于点于点，且． (1)求证：①；②四边形是平行四边形． (2)若，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2) 【分析】（1）①利用垂直的定义推出，根据平行线性质推出，再结合全等三角形判定定理，即可证明； ②利用全等三角形性质推出，再结合平行四边形判定定理，即可证明四边形是平行四边形． （2）利用等腰三角形性质推出，结合平行四边形性质进而推出， 利用勾股定理求出，进而即可求出的长． 解题的关键在于熟练掌握全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等腰三角形性质． 【详解】（1）证明：①于点于点， ， ， ， ， ； ②， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：，， ， 四边形是平行四边形， ，， 同理可得， ， ， ， ． 21．如图，四边形是平行四边形，，是对角线上的两点且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先证明，得出，，再由平行线的判定可得，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得结论； （2）根据平行四边形的性质得到，，根据平行线的性质得到，，求得，根据平行四边形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ∵ ∴，即 在和中， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， 四边形是平行四边形，， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ． 矩形的判定 22．如图，菱形的对角线相交于点O，点E是的中点，连接，过点C作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并写出证明过程． 【答案】(1)证明：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (2)解：四边形是矩形．理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【分析】（1）利用即可证明； （2）由推出，结合，推出四边形是平行四边形，根据菱形的性质得到，则四边形是矩形． 【详解】（1）证明：略； （2）解：四边形是矩形．理由略． 23．如图，在中，对角线，相交于点，． (1)求证：是矩形； (2)点在边上，满足．若，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ，． 又， ， 是矩形． (2) 【分析】（1）利用平行四边形对角线性质推出对角线相等，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”求证； （2）先由矩形勾股定理算出对角线，得到，再用求值． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是矩形， ， 又，， 在中， ， 矩形对角线互相平分， ， ， ， ， ． 24．如图，在中，，相交于点，点，分别是，的中点，连接并延长至点，使得，连接，． (1)证明． (2)若，判断四边形的形状并证明． 【答案】(1)证明：连接，，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； (2)四边形为矩形； 证明：∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，再证明四边形为平行四边形，即可得出答案； （2）根据等腰三角形的性质得出，得出，证明四边形为平行四边形，根据，即可证明四边形为矩形． 【详解】（1）略 （2）略 矩形的性质 25．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，已知，． (1)求菱形的边长； (2)若于点，直接写出的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据菱形的对角线相互垂直平分这一性质，判断，再由勾股定理求解即可； （2）利用，即可求解答案． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，相互垂直平分，即， ∵，， ∴， 即菱形的边长为； （2）解：由（1）可知，，， ∴， ， ∴， ∴． 26．如图，点E为正方形边上一动点（不与A、D重合）．连接交于点F，经过点F，分别与、交于点P、Q，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）过Q点作于点M，先证，得到，即可证明； （2）过F点作于G，于H，根据证明即可得证； （3）设交于N点，交于T点，先证，得到，再证，得到，即有，在中，，则问题得证． 【详解】（1）证明：过Q点作于点M，如图， 在正方形中，有，，，， ， ， ∴四边形是矩形， ， ，， ， ， ∵在中，， ， ， ； （2）证明：如图，过F点作于G，于H， 则， ∵正方形中，平分， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． （3）证明：设交于N点，交于T点，如图， 在（1）中已证得，， 在（2）中已证得， ∵， ∴， 即， ， ∴， ， ∵四边形是矩形，，， ，即， ， ， ， ， ， ∵正方形中对角线平分，， ， ， ， ， 中，， ∴， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识．构造全等三角形是解答本题的关键． 27．如图，菱形的对角线，交于点，交于点，于点，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若是的中点，，，求的长． 【答案】(1)证明：， 四边形是平行四边形． ， ． 是矩形． (2)2 【分析】（1）先推导出四边形是平行四边形，，则是矩形，即可解答； （2）先推导出，，，由（1）可知，四边形是矩形，得到，，得到，则，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形， ，． 是的中点， ． 由（1）可知，四边形是矩形， ，， ， ． 矩形与折叠问题 28．如图，将矩形折叠，是折痕，点恰好落在边上的点处，量得，那么等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形的性质得到，求出，由折叠的性质得到，则，得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得到：， ∴， ∴． 29．如图，把矩形沿折叠，使点与点重合，点的对应点是点，已知，． （1）__________； （2）若点为上一个动点，则的最小值为__________． 【答案】 9 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）连接，结合是的垂直平分线，可得，当点E，P，C共线时，有最小值，即为的长，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ， ， ． （2）如图，连接， 由题意可知是的垂直平分线， ， 当点E，P，C共线时，有最小值，即为的长， ， 的最小值为9． 30．如图1，在矩形中，已知对角线的垂直平分线与边、分别交于点、． (1)求证：； (2)若，，点为线段上任意一点，求的最小值； (3)如图2，将矩形变形得到平行四边形，直线分别交边、于点、，将平行四边形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为点．若，，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是矩形， ， ， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ； (2)5 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质和垂直平分线的定义，易证，即可得出结论； （2）连接交于点，连接，根据全等三角形的性质和垂直平分线的性质，证明四边形是菱形，得出，进而得到，即当点、、三点共线时，有最小值，利用勾股定理，求出的长即可； （3）过点作交延长线于点，根据平行四边形的性质和折叠的性质，证明，得到，证明是等腰直角三角形，得出，进而得到，设，则，，由勾股定理，求得，即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：如图1，连接交于点，连接， 由（1）可知，， ， 垂直平分， ，， ， 四边形是菱形， 、两点关于对称， ， ， 即当点、、三点共线时，有最小值为的长， 在中，，， ， 即的最小值为5； （3）解：如图2，过点作交延长线于点， 四边形是平行四边形， ，，，，， 由折叠的性质可知，，，，， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：，即， . 菱形的判定 31．如图，是的对角线，于点，于点． (1)求证：； (2)连接，，添加一个条件，能使四边形为菱形吗，请说明理由． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， 在和中，    ， ． (2)不能， 理由：如图， ∵， ∴（垂线段最短）， 故当、重合时，， 而此时四边形不存在， 故添加一个条件，不能使四边形为菱形. 【分析】（1）利用平行四边形边角性质得到等角与等边，结合垂直得到直角，通过证明三角形全等，由全等对应边相等证． （2）根据垂线段最短得出，则当、重合时，，而此时四边形不存在，即可判断. 【详解】（1）略 （2）略 32．如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； (2) 【分析】（1）由和平分可得，从而，进而根据菱形的定义得证结论； （2）由求出，进而得到为等腰直角三角形，，在中，根据勾股定理求得的长，根据面积公式即可解答 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∵在中，，， ∴（舍负）， ∵在菱形中，， ∴． 33．如图，在中，平分，为延长线上一点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，于点，的延长线交于点． ①求证：；②求的值． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分，， ， ， 平行四边形中， 四边形是菱形． (2)①证明：在中：， ， ， ， 在中，， ， 菱形 ， ， ， ； ② 【分析】（1）利用平行四边形性质以及角平分线证邻边相等，一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）①先在内角和算出，结合菱形性质、直角三角形角度推导，等角对等边得； ②由，转化为求，构造直角三角形计算边长比值． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：过作交于， ， 则， 又，，， ， ， 又四边形是菱形，， ， ． 菱形的性质 34．如图，将边长为的等边沿射线向右平移到，连接，． (1)求证：； (2)求所扫过的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了图形平移的性质，等边三角形的性质，菱形的判定与性质，垂直的判定，用勾股定理解直角三角形，平移扫过图形的面积计算． （1）通过图形平移的性质证明四边形是菱形，，得到，继而得证结论． （2）通过分析平移过程中扫过区域的面积组成，分别计算各部分的面积，再将所得的面积相加即可． 【详解】（1）证明：等边边长为，平移得到， ， ， 由平移性质可得：，且， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形， 平分，即， 在中，，， ， ； （2）解：平移过程中扫过区域为与的面积之和， 又， 在中，根据勾股定理有：， ， 四边形是菱形， ，互相平分， ， 所扫过的总面积． 35．【问题情境】 已知在四边形中，E为边上一点（不与点A，D重合），连接，将沿折叠得到，点A的对应点为点F． 【问题解决】 (1)如图①，若四边形是正方形，点F落在对角线上，连接并延长交于点G．求的度数； 【拓展变式】 (2)如图②，若四边形是矩形，点F恰好落在的垂直平分线上，与交于点O．求证：； (3)如图③，若四边形是平行四边形，，点F落在线段上，点P为边上一点，连接，求的值． 【答案】(1) (2)证明：∵四边形是矩形，垂直平分线段， ， 由折叠的性质可知：，， 取的中点H，连接， ， 是等边三角形， ， ， ， 又 ， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）利用正方形性质，以及轴对称性质推出，再结合平行线性质求解，即可解题； （2）根据矩形性质，以及垂直平分线性质推出，由折叠的性质得到，取的中点H，连接，证明是等边三角形，结合等边三角形性质，等腰三角形性质，以及直角三角形性质求解，即可解题； （3）连接，由折叠的性质可知：，推出，为等边三角形，进而证明四边形是菱形，结合平行四边形性质证明四边形是平行四边形，推出，再利用勾股定理计算求解，即可解题． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ， 由折叠的性质可知：， ， ； （2）略 （3）解：连接， ， 由折叠的性质可知：，， 四边形是平行四边形， ， ， 由折叠的性质可知：， ， ，为等边三角形， ， ， ， ∴四边形是菱形， ， 在平行四边形中，， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ． 36．如图，在中，为对角线，按下列要求作图： ①分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，Q； ②作直线，分别交，，于点O，E，F，连结，． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)若平分，，，，求的面积． 【答案】(1)四边形是菱形．理由如下： 由题意得，垂直平分， ，，， 在中，， ． 又，， （ASA）， ， ， 四边形是菱形． (2) 【分析】（1）由 垂直平分 得 ，，结合平行四边形得 及全等证 ，从而四边相等得四边形是菱形； （2）利用菱形对角线垂直及角平分线性质，分别求出 和 的面积，相加得 面积，进而求出平行四边形面积． 【详解】（1）略 （2）如图，过点F作于点H． 四边形是菱形， ， ， ， ． 平分，，， ， ， ， ． 正方形的判定 37．已知：如图，菱形的对角线、交于点，分别过点C、D作，，连接交于点． (1)求证：； (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的形状是正方形，理由见解析 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，得出，证出，即可得出； （2）先证明四边形为正方形，得到，即可得出结论. 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形，， ， 四边形是菱形， ， ， 在和中， ， ； （2）解：四边形的形状是正方形，理由如下： ∵菱形，， ∴四边形为正方形， ∴， 由（1）知：四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形. 38．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，，垂足分别为．延长至点，使．连接． (1)求证：． (2)当和满足什么数量关系时四边形是正方形？并说明理由． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴； (2)当时，四边形是正方形；理由如下： 证明：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 则当时，， ∴四边形是正方形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，推出，进而利用即可证得结论； （2）易证四边形是矩形，根据全等三角形的性质和平行四边形的性质可得，于是可得当时四边形是正方形． 【详解】（1）略. （2）略. 39．矩形纸片中，，，点在边上，将沿所在的直线折叠，得到． (1)如图1，当点在上时，求证：四边形是正方形； (2)如图2，当点在对角线上时，求此时的长； (3)如图3，当点在对角线上时，与相交于点，求的长； (4)连接，当的面积为4时，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)或 【分析】（1）由折叠的性质以及正方形的判定定理解答即可； （2）由折叠，得，，，根据勾股定理得，进而求出，设，则，，由勾股定理得，即，解得，即可得解； （3）由折叠，得，，得出垂直平分，根据等面积法得，解得，再根据垂直平分得，即可得解； （4）分两种情况讨论：如图1，当点在矩形内部时；当点在矩形外部时；综上即可得解． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）解：由折叠，得，，， 在中，， ∵点在对角线上， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∴； （3）解：∵矩形纸片中，，， ∴，， ∴， 由折叠，得，， ∵点在对角线上， ∴垂直平分， ∵， ∴， 在中，， ∵垂直平分， ∴； （4）解：分两种情况： 如图1，当点在矩形内部时，过点作于N，延长，交于点，则， ∴四边形是矩形，则， ∵的面积为4，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由折叠可知，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 由折叠可知，； 如图2，当点在矩形外部时，过点作于N，交于点，则， ∵的面积为4，， ∴， ∴， 在中，， 同理在中，， ∴， 解得：， 由折叠可知，， 综上所述，的长为或． 正方形的性质 40．在正方形中，是延长线上的点，是线段上一点且．过作，使，连接． (1)如图1，连接．求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，连接交于，并取中点，连接．若，，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过作于，根据正方形的性质及垂直的定义，证得四边形为矩形，进而求得，即可解答． （2）连接、，过作于，证明，、、三点共线，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：如图，过作于， ∵四边形为正方形， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接、，过作于， ∵， ∴， ∴， 又∵为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴、、三点共线， 又∵， ∴， ∴，， 在中，根据勾股定理得， 由（1）知， ∴， ∴，， 根据勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 41．如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接、、．设点P、Q运动的时间为t秒 (1)当t为何值时，四边形是菱形； (2)当以为对角线的正方形面积为96时，求t的值． 【答案】(1)6 (2)或 【分析】（1）根据矩形的性质易证明四边形是平行四边形，根据题意得到，则，利用勾股定理求出长，当时，平行四边形是菱形，据此列方程求解即可； （2）先根据正方形面积求出边长，再利用正方形边长和的关系得到的长度，作于点M，分两种情况：当点在点左侧或点在点右侧，在中，根据勾股定理求出长，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 四边形是矩形， 且、， ， ， 四边形是平行四边形， 、点P、Q的速度都是每秒1个单位， ， 在中，由勾股定理得：， 当时，四边形是菱形， ， ， 解得：， 即当时，四边形是菱形； （2）解：正方形面积为96， 正方形的边长为， 分两种情况： ①如图1所示：作于点M， ， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， 、， 由题意得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 解得：； ②如图2所示： 由①知，、、， ， ， 解得：； 综上所述，以为对角线的正方形面积为96时，t的值为或． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、正方形的性质、菱形的判定定理、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 42．【问题提出】 (1)如图1，在四边形中，若，，则的度数为________°； 【问题探究】 (2)如图2，在四边形中，，，连接，，求证：； 【问题解决】 (3)如图3，某工业园要沿围墙和规划一个四边形休闲广场，点、分别在、上，沿、、、铺设小路，要求小路尽可能的短，并对四边形区域进行地面防滑处理．已知，，，，地面防滑处理的费用为200元/，求当小路最短时，对四边形进行地面防滑处理所需的总费用．（小路的宽度忽略不计） 【答案】(1)50 (2)证明见解析 (3)当小路最短时，对四边形进行地面防滑处理所需的总费用为500000元 【分析】（1）根据四边形的内角和为求解即可； （2）在右侧作，与的延长线交于点．证明得到，．再证明是等边三角形得到，即可证得结论； （3）连接，过点作于点，于点,证明四边形是正方形，，则可得点在的平分线上．过点作于点，由垂线段最短可得当点与点重合时，最短，长度的最小值为的长，过点作于点，易得点与点重合时，点与点重合．证明和均为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求得，，进而可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）证明：在右侧作，与的延长线交于点． ∵，， ∴． 在和中，，，， ∴， ∴，． ∵，， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （3）解：连接，过点作于点，于点． ∵，，， ∴，则四边形是矩形． ∵（即），，， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形，， ∴，即平分， ∴点在的平分线上． 过点作于点，由垂线段最短可得当点与点重合时，最短，长度的最小值为的长， 过点作于点，易得点与点重合时，点与点重合． ∵，，， ∴和均为等腰直角三角形． ∵， ∴，， ∴当小路最短时，的长为，此时． （元）， ∴当小路最短时，对四边形进行地面防滑处理所需的总费用为500000元． 三角形的中位线定理 43．如图，中，是边上一点，连接，分别是 的中点，连接，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由线段垂直平分线的性质得，即得，再根据三角形中位线的性质解答即可求解． 【详解】解：∵点是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 又∵分别是 的中点， ∴． 44．在菱形中，，，是中点，是上一动点，，是，的中点．则的最小值为________． 【答案】 【分析】连接并延长交于点，连接，证明得出，由三角形中位线定理得出，从而得出当时，最小，此时有最小值，过点作于点，此时点和点重合，根据菱形的性质得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接， ， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵分别是，的中点， ∴， ∴要使有最小值， 即最小， ∴当时，最小， 过点作于点，此时点和点重合， 在菱形中，，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值是． 45．如图1，在四边形中，为上一点，和都是等边三角形，、、、的中点分别为、、、． (1)试判断四边形为怎样四边形，并证明你的结论； (2)求的大小； (3)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)四边形为菱形， 证明：连接，． 由题意知为的中位线， ∴． 同理可得． ∴． ∴四边形为平行四边形． 在和中， ，，， 即． ∴． ∴． ∴， ∴平行四边形为菱形． (2) (3) 【分析】（1）连接，，根据中位线的性质可得，得出四边形为平行四边形，证明得出，进而可得，即可证明平行四边形为菱形； （2）设交于点，交于点，交于点，根据三角形内角和定理求得，进而根据平行线的性质，即可得出； （3）过点作于点，勾股定理求得，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设交于点，交于点，交于点 ∵是等边三角形， ∴ 由（1）可得 ∴ 又∵ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，过点作于点， ∵和都是等边三角形，，， ∴， ∴， 在中， ∴ ∴菱形的周长为 三角形中位线定理的实际应用 46．如图，两地被池塘隔开，小明想测量两地间的距离，但是不方便测量．于是想了个办法，他先选一个能直接到达的点，然后测出，的中点，．并且测得的长为18米，则，间的距离是（     ）． A．36米 B．27米 C．18米 D．9米 【答案】A 【分析】先说明是的中位线，再利用三角形的中位线等于第三边的一半求解即可． 【详解】解：∵点M，N分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴． 47．如图，A，B两地被房子隔开，小明通过下面方法估测A，B间的距离：先在外选一点C，然后步测出，的中点M，N并步测出的长约为40米，由此可知，A，B间的距离约为________米． 【答案】80 【分析】根据三角形中位线的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵M、N分别为、的中点， ∴， ∵米， ∴米． 48．【猜想探究】 如图1，在中，、分别为、的中点，连接： 操作1．将绕点按顺时针方向旋转到的位置． 操作2．延长到点，使，连接． 试探究，与有怎样的位置关系和数量关系？ (1)结合操作1或操作2的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理： ． 【结论应用】 (2)如图2，四边形中，对角线、相交于点，四条边上的中点分别为、、、，依次连接、、、，得到四边形．求证：①四边形是平行四边形； ②当与满足______时，四边形是菱形，当与满足______时，四边形是矩形． ③若，，，则四边形的面积为______． 【问题解决】 (3) 如图3所示，在一个四边形的草坪上修一条小路，其中点和点分别为边和边的中点，且，，，求小路的长度． 【答案】(1)三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半； (2)①证明见解析；②，；③ (3) 【分析】（1）通过旋转构造全等三角形，利用平行四边形的判定与性质推导中位线性质； （2）①根据平行四边形两边平行且相等的性质证明；②结合菱形、矩形的判定，利用中位线与对角线的关系推导；③先由中位线得边长，再由夹角求平行四边形面积； （3）构造三角形，利用中位线定理和直角三角形斜边中线性质求解． 【详解】（1）解：绕点顺时针旋转得到， ， ，， ， 是中点， ， 且， 四边形是平行四边形， ，， 又， ， 综上，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． （2）证明： 分别为的中点， 是的中位线， ，， 同理，是的中位线， ，， ，， 四边形是平行四边形； 解：， 当时，，四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形， 当时，，四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形； 解：， 由，得， ． （3）解：连接，取中点，连接、， 、分别为、中点， 是中位线，，； 是中位线，，， ，， ， ， ，即是直角三角形， ． 中点四边形 49．将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”．如图，四边形的对角线，且两条对角线的夹角为，则该四边形较短的“中对线”的长为______．   【答案】3 【分析】此题考查的是三角形的中位线定理，根据三角形中位线定理可得菱形，然后根据菱形的性质及等边三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，取四边的中点，依次连接起来，设与交点M， ∴是的中位线， ，， 同理， ，，， ，， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 为等边三角形， ， 较短的“中对线”长度为． 故答案为：． 50．如图，E，F，G，H分别是矩形四边的中点． (1)求证：四边形是菱形 (2)若四边形的面积为24，，求矩形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的对角线相等和三角形中位线的性质即可证得结论； （2）根据菱形的性质和矩形的性质可推出，然后根据勾股定理得到，最后利用矩形的周长，根据完全平方公式即可解答． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵E，H分别是，的中点， 且， 同理可得：且，且， 且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，连接，， ∵四边形的面积为24，且四边形是菱形， ， ∵E，F，G，H分别是矩形四边的中点， 且， ∴四边形是平行四边形， ， 同理可得：， ， ， ∵E，H分别是矩形边，的中点，， ， ， ， ∴矩形的周长 ， ∴矩形的周长为． 51．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形        B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出关于四边形的对角线的关系： 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， （4）试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）D；（2），；（3）见解析；（4），理由见解析 【分析】（1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案； （2）由中位线的性质可得：，，，，结合正方形的性质可得结论； （3）如图，取四边形各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （4）如图，记、的中点分别为E、F，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，那么有中位线的性质可得四边相等，且一个内角为直角，所以其中点四边形是正方形； （2），．理由如下： ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，． （3）如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K，    ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴、，，分别是、、、的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． （4）如图，记、的中点分别为E、F， 连接    ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 中心对称图形 52．阅读是获取知识、增长智慧的重要方式，更是传承文明、提高国民素养的重要途径．中央宣传部印发《关于促进全民阅读工作的意见》，提出在全社会大力提倡多读书、读好书，建设书香社会、书香中国，不断提升人民思想境界、增强人民精神力量．下列全国各地图书馆的标志中，既不是轴对称图形，又不是中心对称图形的为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 53．如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，则涂黑的小正方形的序号是________． 【答案】② 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 根据中心对称图形的特点进行判断即可． 【详解】解：如图，把标有序号②的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形． 故答案为：②． 54．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1，点A、B均在格点上． (1)在图①中，以为边画一个四边形，使其是中心对称图形，但不是轴对称图形，且点C、D在格点上； (2)在图②中，以为边画一个，使其面积为10，且点E、F在格点上； (3)在图③中，以为边画一个菱形，使点G、H在格点上，且． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】（1）根据题意画一个平行四边形即可； （2）由题意，将先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，构造平行四边形即可； （3）根据题意将先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，画出菱形即可. 【详解】（1）解：如图①，四边形即为所求； （2）解：如图②，即为所求； 由图可知，的面积为； （3）解：如图③，菱形即为所求； 图形的旋转 55．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，把线段绕点逆时针旋转后得到线段，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作轴，证明，即可得出结果． 【详解】解：作轴，如图，则， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴， ∴，即． 56．如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，使点B的对应点D落在边BC上，连接，如果，那么_______ °． 【答案】74 【分析】先由旋转的性质得出，再旋转前后的图形全等得出，由已知条件算出，即可求出． 【详解】解：旋转前后的图形全等， ，， ，，， ， ， ， ， ∵， ∴， 57．综合与探究 以“图形的旋转与面积”为主题开展下列数学活动． (1)如图①，将边长为2的正方形的对角线绕点顺时针旋转得到线段，连接，过点作，交的延长线于点，易证，得到的面积为 ； 问题探究 (2)如图②，在矩形中，，将对角线绕点顺时针旋转得到线段，连接，求的面积：（用含m的代数式表示） 解决问题 (3)如图③，在锐角三角形中，，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接，求的面积． 【答案】(1)2 (2) (3)25 【分析】（1）先根据正方形的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的面积公式即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，先证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的面积公式即可解答； （3）过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，最后根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为2， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为； （2）解：过点作，交的延长线于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 则的面积为； （3）解：过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴， 由旋转的性质得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰三角形， ∴是的中点， ∵， ∴， 则的面积为． 多边形内角和与外角和的综合 58．我们给出定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (1)已知：如图1，四边形是“等对角四边形”，，，求的度数． (2)在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形”（如图2），其中，，此时她发现成立．请你证明此结论． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）根据“等对角四边形”的定义可得，再由四边形内角和为360度可得答案； （2）连接，由等边对等角得到．则可证明，据此可得． 【详解】（1）解：∵四边形是“等对角四边形”，， ． ， ． （2）证明：如图，连接， ， ． ， ． ． 59．数学探究课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和． 【发现】 （1）如图1，在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个___________角，得出如下的结论：三角形的内角和等于___________． 【尝试】 （2）现在我们尝试用说理的方式说明该结论正确． 如图2，已知，分别用，，表示的三个内角，说明 解：如图2，画的边的延长线，过点C画 因为， 所以___________①___________， ___________②___________ 因为___________③+___________④ 所以 【拓展】 （3）如图3，请在六边形中画出所有从A点引出的对角线，此时六边形被分成了___________个三角形，这样，请你直接写出六边形的内角和是___________ 【答案】（1）平，180；（2）， 两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，；（3）4，720 【分析】本题考查作图-复杂作图，三角形内角和定理，平行线的性质，多边形的对角线，多边形的内角与外角，图形的拼剪，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用平角的性质解决问题即可； 利用平行线的性质平角的性质，解决问题即可； 利用三角形内角和定理解决问题即可． 【详解】解：如图1中，发现三个内角恰好拼成了一个平角，得出如下的结论：三角形的内角和等于 故答案为：平，180； 如图2，画的边的延长线，过点C画 因为， 所以两直线平行，内错角相等， 两直线平行，同位角相等， 因为 所以 故答案为：，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，； 如图3中，连接，，此时六边形被分成了4个三角形，六边形的内角和． 故答案为：4，． 60．将一个正六边形与一个正五边形，按如图所示的位置摆放，使点A为公共顶点，顶点B、C、D、E都在直线上，则________． 【答案】84 【详解】解：∵正六边形每个内角为，每个外角为，正五边形每个内角为，每个外角为， ∴， ∴． 平行四边形的判定与性质综合 61．如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，垂足为E，，，，则的长为______． 【答案】 【分析】先利用方程思想将线段设出来，再将表示出来，利用勾股定理和两个直角三角形有公共边求出设的未知数的值，再将值代入到直角三角形中求解． 【详解】解：∵, ∴设，则， ∵， ∴， 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， 解得， 将代入中， 解得． 62．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点，且a、b、c满足，点P在上从点C开始向点D运动． (1)求点D的坐标； (2)若点P的运动速度为每秒1个单位长度，点P运动的时间为t秒，当时，求t的值； (3)当是等腰三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)5 (3)P的坐标为，，， 【分析】（1）先求出点A，点B，点C的坐标，再由平行四边形的性质求解即可； （2）先判断出四边形是平行四边形．再由列式求解即可； （3）分类讨论，，，三种情况，结合勾股定理求解坐标即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． 所以，． ∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∴； （2）解：当时，又， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵点P的运动速度为每秒1个单位长度，点P运动的时间为t秒， ∴，则， ∴，解得； （3）解：当时， 如图，作，垂足为点E． 在中，，， ∴． ∴． 同理可得． 当时， 如图，作，垂足为点F． ∴， ∴． 当时， 如图，作，垂足为点G． 在中，，， ∴． ∴． ∴． 综上，点P的坐标为，，，． 63．如图，在中，F为边上的一个动点，连接． (1)当点F为边的中点时 ①如图1，过点B作，垂足为E，连接，延长交的延长线于G，求证：； ②如图2，将沿折叠，点C落在内处，连接并延长交于点G．若，求的长； (2)如图3，当时，延长到，使得，点M是边上一点．连接交于点N，当，BM平分，时，求出的面积． 【答案】(1)①证明：①∵四边形为平行四边形， ． ，． ∵点F为边的中点， ． 在和中 ． ． ， ． ． ②6 (2) 【分析】（1）①根据平行四边形的性质得 ，则，，即可证明，则，结合直角三角形的性质即可证明；②由折叠得，，则有，则，即可得到，进一步证明四边形为平行四边形，则，即可证明，可求的长； （2）过点M作于H， 得出，．再证，求出，，可得，证明，则求出的面积． 【详解】（1）①略 ②将沿折叠，点C落在内处， ，． 点F为边的中点， ． ． ． ， ． ． ． ∵四边形为平行四边形， ，． ∴四边形为平行四边形． ． ，， ． ， ． ． （2）解：如图，过点M作于H， ， ． 四边形为平行四边形， ． ． 平分， ． ． ． ． ， ． ． ． ． ． 在和中 ． ． 矩形的判定与性质综合 64．矩形的对角线、相交于点O，点E为边一点，交于点F，，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)若F是中点，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质可得，，进而得出，结合已知可得，即可得证； （2）由勾股定理得，证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：在矩形中，． ∵，， ∴ ． ∴， ∴． ∵， ∴． ∴为等腰三角形． （2）在矩形中，，，， 由勾股定理得． ∵为等腰三角形中，矩形中，， ∴ ． ∵， ∴． ∵是中点， ∴． ∴． ∴ ． 65．学习了矩形和正方形的知识后，同学们对于特殊平行四边形的性质有了一定程度的了解，某班数学兴趣小组做了进一步的探究．对于平面内的一个四边形，上若存在一点，使得且，则称这样的四边形是“可等垂四边形”，点为四边形的“等垂点”． (1)【初步探索】 如图（1），矩形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，则和的数量关系是______． (2)【类比探究】 如图（2），四边形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，分别过点、作的垂线，垂足分别为、． 请写出，，之间的数量关系，并证明； 若，，求的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析；8 【分析】（1）根据“可等垂四边形”的定义得到是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形和矩形的性质，推导线段和的数量关系； （2）利用“一线三垂直”模型证明，根据全等三角形的性质从而得到线段间的和差关系； 结合等腰三角形“三线合一”的性质和勾股定理先求出的长度，再利用等腰三角形的性质求出． 【详解】（1）解： 证明：如图（1），过点作于点，则， ∵矩形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即． （2） 证明：∵，， ∴， ∴； ∵四边形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】在第（2）问的第小问利用“一线三垂直”模型证明三角形全等是解题的关键． 66．如图，四边形是正方形，是边上一动点（不与点重合），连接． (1)如图，以为直角边，构造等腰直角三角形，连接，求证：； (2)在（）的条件下，当点运动时，的大小会不会发生变化？如果会变化，请说明理由；如果不会变化，请求出的度数； (3)如图，以为斜边，构造等腰直角三角形，连接，当点运动时，试探究，的数量关系并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)的大小不会发生变化， (3)，证明见解析 【分析】（）利用余角性质即可求证； （）如图，过点作，交的延长线于点，可证 ，得到，，进而可得，得到是等腰直角三角形，即得到，即可求解； （）如图，过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点，可证四边形 、、 、、都是矩形，得到，，，，，即得，同理（）可证，，进而得到，得 ，得到四边形是正方形，即得到，即得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，为直角边， ∴， ∴， ∴； （2）解：的大小不会发生变化，，理由如下： 如图，过点作，交的延长线于点，则， 由（）知，， ∴ ， ∵是等腰直角三角形，为直角边， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的大小不会发生变化，为； （3）解： ，证明如下： 如图，过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴四边形 、、 、、都是矩形， ∴，，，，， ∴， 同理（）可证， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴四边形是正方形， ∴ ，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 菱形的判定与性质综合 67． 如图，在中， ，点在上，．过点分别作，的平行线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)证明：∵过点分别作，的平行线交于点． ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． (2) 【分析】（1）先得出四边形是平行四边形，再得出则，根据菱形的判定即可证明结论； （2）如图：过点A作于点F，先求出的长，则可得的长，再在中，利用勾股定理求得，最后运用等面积法求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：如图：过点A作于点F，连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴在中，， 由（1）已证：， ∴， ∴在中，． ∵， ∴，解得：． 68．【问题情境】数学课上，同学们以小组为单位用两个全等的三角形进行实验探究． 如图，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，．可沿直线平移，连接， 【实验探究】 (1)在平移过程中，同学们发现四边形是平行四边形，请证明此结论； (2)当沿平移到某一个位置时，四边形恰好为菱形， ①如图，此时若，，试求的长； ②如图，连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)① ② 【分析】（1）根据全等三角形的性质可知，，可证，根据全等三角形的性质可证，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证结论成立； （2）①连接交于点，根据勾股定理可得，根据菱形的性质可知和互相垂直平分，可得：，设，则，利用勾股定理可得：，从而可以求出，，根据菱形的性质和线段之间的关系即可求出的长度； ②延长交于点，可证，根据全等三角形的性质可证是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知，根据菱形的性质即可求出的度数． 【详解】（1）证明：， ，， 在和中，， ， ， 四边形是平行四边形； （2）①解：如下图所示，连接交于点， ，， ， 四边形是菱形， ，和互相垂直平分， 在中，，，， ， 设，则， ， ， ，， ， ； ②解：如下图所示，延长交于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是菱形， ，， ． 69．问题解决： (1)如图1，在正方形中，点，分别在，边上，，且与相交于点． ①与的位置关系为________； ②延长到点，使得，连接，判断的形状，并说明理由； 类比迁移： (2)如图2，在菱形中，点，分别在，边上，与相交于点，，，，，求的长． 【答案】(1)① ②是等腰三角形， 理由如下： 由①，可知， ． ， ． ， ． 直线是线段的垂直平分线， ， 是等腰三角形． (2) 【分析】(1) ① 由正方形性质得，，利用判定，得到，再通过直角互余与三角形内角和证得，从而得出． ② 由全等性质得，结合已知得，利用证得直线为线段的垂直平分线，从而，判定为等腰三角形． (2) 延长到点使，利用菱形性质得到，通过判定，得到且；再结合判定为等边三角形，从而． 【详解】（1）解：①， ∵四边形是正方形， ，． 在和中， ， ． ， ． 在中，， ． ②略 （2）如图，延长到点，使得，连接， ∵四边形是菱形， ，， ． 在和中， ， ，． ，， ，， 是等边三角形， ． ，， ， ， ． 正方形的判定与性质综合 70．如图，在正方形中，点E，F分别在和上，，与交于点G． (1)判断与的位置关系并证明； (2)连接，取中点O，连接．过点C作，交的延长线于点H． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)， 证明：∵四边形正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)①； ②， 证明：取的中点T，连接，过点O作，如图所示： 根据题意得：， ∵的中点为T，的中点为O， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）通过证明，得出，再由各角之间的关系即可求解； （2）①根据题意补全图形即可； ②取的中点，连接，过点作，根据全等三角形的判定和性质得出，再由正方形的判定和性质得出四边形为正方形，确定，再由勾股定理确定，然后结合图形求解即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②略 71．正方形外侧作直线，点B关于直线的对称点为E，连接，，其中交直线于点F． (1)依题意补全图1； (2)若，求的度数； (3)如图2，若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)补全图1如图， (2) (3)解：，证明如下： 如图：连接，交于O， ∵四边形是正方形，点B关于直线的对称点为， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）根据题意直接画出图形得出即可； （2）利用对称的性质以及等角对等边进而得出答案； （3）由正方形的性质和轴对称的性质可得：，，，进而利用勾股定理得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图， ∵点B关于直线的对称点为E，， ， 又∵在正方形中，，， ， ， ， ， ． （3）略 72．完成下面各题． (1)【问题情境】苏科版教材97页有这样的问题： 已知正方形，点E在的延长线上，以为一边构造正方形，连接和，如图1所示，则和的数量关系为，位置关系为． (2)【继续探究】 若正方形的边长为4，点E是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接、，如图2所示， ①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，若，求的面积； (3)【拓展提升】 在（2）的条件下，点E在边上运动时，则点F的运动路径长． 【答案】(1)， (2)①，，理由如下： 延长交的延长线于点O，交于点H， ∵正方形，正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②6； (3) 【分析】（1）证明得，，再求出，进而可得； （2）①，，延长交的延长线于点O，交于点H，证明得，，再证明，可证； ②作，交的延长线于点H，连接，证明得，，然后根据求解即可； （3）如图3，当点E与点D重合时，则，，∴A，D，共线．证明得，可证，得出，则点F在与成角的射线上运动，即．当点E运动到点A时，如图4，连接，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：如图，延长交于点K， ∵正方形，正方形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①略； ②如图，作，交的延长线于点H，连接， ∴． ∵， ∴． ∵正方形的边长为4，正方形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，当点E与点D重合时，则，， ∴A，D，共线． 作于点H，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在与成角的射线上运动，即． 当点E运动到点A时，此时点F运动到，点G运动到，如图4，连接， ∵正方形，正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 特殊平行四边形的存在性问题 73．如图，以长方形的顶点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知，，点E是的中点，在上取一点D，连接，点A关于的对称点恰好落在线段边上的点F处． (1)直接写出点E，F的坐标； (2)在线段上是否存在一点P，使为等腰三角形；若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)在x轴、y轴上是否分别存在点M，N，使四边形的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或或 (3)存在， 【分析】（1）根据，，点E是的中点，利用矩形的性质即可得到点E的坐标；利用折叠性质可得，，即可得到点F的坐标； （2）用平面坐标系中两点间的距离公式即可得出线段，再分三种情况用边相等建立方程求解即可得出结论； （3）E关于x轴的对称点，作点F关于y轴的对称点，连接，分别与x轴、y轴交于点M、N，连接、、，此时四边形的周长最小，求出线段的长度，进而可得四边形的周长的最小值． 【详解】（1）解：∵，，四边形是矩形， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， 根据折叠可得， ∴，， ∴； （2）解：存在，理由如下： 由（1）知，，， 设， ∴，，， ∵为等腰三角形， ∴分以下三种情况讨论： ①当时，， 解得， ∴； ②当时，， ∴或（舍）， ∴； ③当时，， ∴或（舍）， ∴， 综上所述：满足条件的点P的坐标为或或； （3）解：存在点M，N，使得四边形的周长最小． 如图2， 作点E关于x轴的对称点，作点F关于y轴的对称点，连接，分别与x轴、y轴交于点M、N，连接、、，此时四边形的周长最小， ∴，， 设直线的解析式为， 有， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴M点的坐标为， 当时，， ∴N点的坐标为， ∵E与关于x轴对称，F与关于y轴对称， ∴，，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 即四边形的周长最小值是． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，等腰三角形的性质，求线段的和最小的问题基本的解决思路是根据对称转化为两点之间的距离的问题． 74．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，将线段沿轴向右平移个单位到为坐标平面内一点． (1)求证：四边形是菱形； (2)在第一象限内是否存在点，使得以为一边，以为另一边的四边形是正方形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在，或 【分析】（1）根据平移的性质得到四边形是平行四边形，勾股定理求出的长，得到，即可得证； （2）分两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵将线段沿轴向右平移个单位到， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵点的坐标分别是， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：存在， ∵将线段沿轴向右平移个单位到， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 当以为一边，以为另一边的四边形是正方形时，分两种情况： ①当四边形为正方形时，如图，则，作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当四边形为正方形时，如图，作轴于点，则， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 综上：或． 75．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，线段的长（）是方程组的解，点C是直线与直线的交点，点D在线段上，． (1)求点C的坐标． (2)求直线的函数解析式． (3)P是直线上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或或或． 【分析】（1）解二元一次方程组得到，，进而得到、的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，再联立直线求解，即可求出点的坐标； （2）设点的坐标为，结合求出点的坐标，再设直线的解析式为，利用待定系数法求解，即可解题； （3）根据直线的解析式推出，再结合菱形的判定与性质分情况讨论当四边形为菱形时，，当四边形为菱形时，，当四边形为菱形时，当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形时，结合勾股定理，菱形性质，坐标与图形求解，即可解题． 【详解】（1）解：解方程组，得， ， ， 即． 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为． 联立，解得， 点的坐标为． （2）解：设点的坐标为， ， ，解得． 点在线段上， ， ． 设直线的解析式为， 把代入， 得， 解得， 直线的解析式为． （3）解：存在． 直线的解析式为， 记直线与轴交于点， ． 如图，当四边形为菱形时，， ， 有， 设点的坐标为， 有， 解得， 得点的坐标为； 当四边形为菱形时，，由， 同理可得点的坐标为； 易知直线与轴的交点的坐标为， ， 当四边形为菱形时，点的坐标为； 易知当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形时， 由菱形对角线互相垂直平分可得， 点与点关于对称，且， ， 点的坐标为． 综上所述，以，，，为顶点的四边形是菱形时，点的坐标为或或或． 特殊平行四边形中的最值问题 76．已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒． (1)当为何值时，四边形是平行四边形？ (2)在直线上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在线段上有一点，且，当运动_____秒时，四边形的周长最小，并画图标出点的位置． 【答案】(1) (2)存在，时或时或时 (3)，见解析 【分析】（1）先求出，进而求出，再由运动知，进而由平行四边形的性质建立方程即可得出结论； （2）分三种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论； （3）先判断出四边形周长最小，得出最小，即可确定出点的位置，延长，取，连接，证明，得出， 证明四边形为平行四边形，得出，求出，再进一步求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，， ， ∵点是的中点， ， 由运动知，， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：存在； ∵四边形为菱形， ； ①当Q点在的右边时，如图1所示： 在中，由勾股定理得：， ， ， ∴， ； ②当点在的左边且在线段上时，如图2， 根据勾股定理得：， ， ∴， ∴； ③当点在的左边且在的延长线上时，如图3， 根据勾股定理得：， ∴， ∴， ； 综上，时或时或时； （3）解：如图4， 由（1）知，， ∵， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， ∵四边形的周长为： ， 最小时，四边形的周长最小， 作点关于的对称点，连接交于， ∴，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 如图，延长，取，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ， ． 77．活动与实践： 教材重现（新人教版八年级上册数学教材第94页综合与实践牧民饮马问题） 如图1，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短? 抽象为数学问题：如图2，已知点、在直线的同侧，在直线上找一点，使得的值最小． 探究活动1（问题转化） 如图3，若点、在直线的异侧时，连接，交直线于点，由“两点之间线段最短”知，对于直线上任意一点，均有，故、、三点在同一条直线上时最小，得所求点即为点． (1)问题1：如图3，若、两点距直线的距离分别为和，且它们之间的水平距离（即图中的垂线段的长）为，请求出此时的最小值为 ． 针对图2点、在直线的同侧，利用轴对称知识，如图4，作出点关于直线的对称点，连接交直线于点．由轴对称性质知直线是线段的垂直平分线，故，同（1）可知所求点即为点． (2)问题2：如图4，若、两点到直线的距离分别为和，且它们之间的水平距离（即图中的垂线段的长）为，请求出此时的最小值为 ． 探究活动2（数形结合） 例：求代数式的最小值． 解：代数式的几何意义： 如图5，线段，分别以、为垂足在线段的同侧作的垂线段和，且，在线段上取点，设，则． (3)问题3：中，根据勾股定理用含的代数式表示 ，同理 ．那么求的几何意义就是求线段、的长度和．此时的最小值为 ． (4)问题4：已知，利用几何意义探究代数式的最小值为 ． 探究活动3（拓展迁移） (5)问题5：求代数式的最小值为 ． (6)问题6：已知、均为正数，且是一个三角形的三边的长，则这个三角形的面积是 ．（用含、的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)；； (4) (5) (6) 【分析】（1）利用勾股定理计算出即可； （2）由轴对称的性质可得，，点到直线的距离为，则，利用勾股定理计算出，结合可得，的最小值为； （3）由勾股定理计算出和，仿照（2）的解法，得出的最小值； （4）构造线段，在两侧构造垂线段，，在上取点，使得，，则，仿照（1）的解法进行计算即可； （5）构造线段，在两侧构造垂线段，，在上取点，使得，则，仿照（1）的解法进行计算即可； （6）构造矩形，，，、分别为、的中点，由勾股定理可得，，，因此即为所求三角形，使用割补法计算面积即可． 【详解】（1）解：∵、两点距直线的距离分别为和， ∴， 在中，， ∵， ∴的最小值为； （2）解：∵点到直线的距离为， 又∵点和点关于直线对称， ∴点到直线的距离为，， ∵点到直线的距离为， ∴， 在中，， ∵， ∴的最小值为； （3）解：在中，， 在中，， 如图，作点关于直线的对称点，连接、，作于点， 由轴对称的性质可得，，， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值； （4）解：如图，点在线段上，线段，，，，且，，作，交的延长线于点，连接， 在中，， 在中，， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∴的最小值为； （5）解：如图，点在线段上，线段，，，，且，，作，交的延长线于点，连接， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∴的最小值为； （6）解：如图，矩形中，，，、分别为、的中点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵、分别为、的中点， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴即为所求三角形， ． 78．利用轴对称求最值的核心思路是通过轴对称变换，将复杂的几何问题转化为简单的对称问题．具体步骤如下：首先需要确定问题的对称轴，这通常是根据题目的几何条件来确定的．然后构造对称点，将动点关于对称轴构造出对称点，这样可以将原问题转化为两个对称点之间的问题．请据此解答下面的问题． 问题提出 （1）如图，已知，是内一点，，点，分别是，边上的动点（不与点重合），求周长的最小值．我们可以分别作点关于，的对称点，，然后连接，，与，有两个交点，当、分别与这两个交点重合时，如图，周长最小． 的度数是 ； 周长的最小值是 ． 问题探究 （2）如图，在等腰中，，，点是的中点．在上取点，连接，，试求的最小值． 问题解决 （3）如图，四边形为一个矩形绿地，点为矩形的中心，通过测量得，米，在绿地边上存在一点P，使得的值最小．请直接写出这个最小值． 【答案】（1），； （2）； （3）米 【分析】根据对称的性质可知：，，所以可知，，从而可得：； 根据对称性质可知，，所以可知是等边三角形，从而可知，线段的长度就是周长的最小值； 过点作于点，延长到点，使，连接，则点与点关于直线对称，连接交于点，则，线段的长度就是的最小值，利用勾股定理求出线段的长度即可； 过点作的垂线交的延长线于点，于的交点即为所求，根据直角三角形的性质可知米，利用可证，根据全等三角形的性质可知，米，利用勾股定理求出米，可得：的最小值是米． 【详解】解：点与点关于对称， ， 点与点关于对称， ， ， ， ， ， 故答案是：； 解：点与点关于对称， ，， 点与点关于对称， ，， ， 由可知， 是等边三角形， ， 的周长是， 周长的最小值是， 故答案是：； 解：如下图所示，过点作于点，延长到点，使，连接， 则点与点关于直线对称， 连接交于点，则， 线段的长度就是的最小值， 是等腰直角三角形，，， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， 点是的中点， ， ， 的最小值是； 如下图所示，过点作的垂线交的延长线于点，于的交点即为所求， 四边形为一个矩形， ， ，米， 米， 米， ， 点是矩形的中心， ， ， ， ， 在中， ，， ， 在和中，， ， ，米， 米， 米， 的最小值是米， 米， 的最小值是米． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形的性质、轴对称的性质、等边三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是根据轴对称的性质构造全等三角形和直角三角形，利用勾股定理求出边的长度． 特殊平行四边形中的动点问题 79．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位的速度向终点运动，当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为（秒）．以点为顶点的四边形是平行四边形时值为_____秒． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒） ∵，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动， 到达的时间为（秒）， ∴当在点以及点的左边时，即时， 则， 当在的右边时，即时， 则， 以点为顶点的四边形是平行四边形时， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或． 80．如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)______，______．（用含t的式子表示） (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (3)只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点Q的运动速度为多少？ 【答案】(1)； (2)或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； (3)当Q点的速度为时，四边形为菱形． 【分析】（1）根据P点的速度以及时间结合的长表示即可表示出；过点作，证明四边形是矩形，求出，分时，点在上，时，点在上，即可表示出； （2）只有Q点在上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形是平行四边形，②四边形是平行四边形，进行解答即可； （3）设Q的速度为，Q在边上，此时可为菱形，满足，建立方程解决即可． 【详解】（1）解：P点从A点以向B点运动，运动时间为秒， ， ， ； 过点作，则， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 则点在上运动的时间为，点在上运动的时间为， ∵点在上运动的时间为，且， ∴时，两点停止运动， 当时，点在上，此时； 当时，点在上，此时； 综上，； （2）解：∵直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况： ①四边形是平行四边形，如图所示： ∵即， 只需即可，由（1）知：，， ， 解得：； ②四边形是平行四边形，如图所示： 同理， 只需，四边形是平行四边形， 由（1）知，， 则， ， 解得：， 综上所述：或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； （3）解：设Q的速度为，由（2）可知，Q在边上，此时四边形可为菱形， ， 只需满足即可， 由（1）知：，，， ，， 解得：，， 当Q点的速度为时，四边形为菱形． 81．如图，在四边形中，，，，，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点D出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点A运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）． (1)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)当t为何值时，的长度为10？ (3)在P、Q运动过程中，四边形是有没有可能是菱形？若可能，求出t的值，若不可能，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不能，理由见解析 【分析】（1）由题意可知，，若四边形是平行四边形，则，即可得到答案； （2）过点作于点，，求出，即，即可得到答案； （3）四边形是菱形，则首先它是平行四边形，需满足，则，此时，过点作于点，则，得到． 【详解】（1）解：由题意可知，点的速度为，点的速度为， ， 点到达点需要，点到达点需要，且其中一个到达端点即停止， ， 若四边形是平行四边形，则， ， 解得； （2）解：过点作于点， 则， 在中，， ， ， ， ， 当时，； 当，； 和都在范围内， 答：当为或时，的长度为； （3）解：四边形不可能是菱形，理由如下： 若四边形是菱形，则首先它是平行四边形，需满足， ， ， 此时， 过点作于点，则，， 在中，， ，即， 故四边形不可能是菱形． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $