暑假作业05 一元二次方程的定义与一般形式（预习作业）八年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以“三要素判定法”为核心，构建“定义-形式-解”三维知识体系，通过7类梯度题型实现从概念理解到参数计算的能力进阶。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义判定|4题|三要素（一元/整式/二次项非零）排除法|从反例辨析到概念内化，培养抽象能力| |一般形式|3题|移项-合并-系数确定三步法|体现数学模型的规范性，强化符号意识| |方程的解|10题|代入验证法/参数转化法|通过根的性质探究，发展推理意识|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业05 一元二次方程的定义与一般形式 【知识点1 什么是一元二次方程：三要素判定法】 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 1. 一个未知数（一元）：方程中只出现同一个未知数（通常写x），反例：（两个未知数） 2. 整式方程：等号两边都是整式（分母不含未知数，根号内不含未知数），反例：（分式方程） 3. 最高次数是2（二次）：化简整理后，未知数项的最高指数为2，且的系数不为零，反例：（最高次是1）；（展开后消掉） 【知识点2 一元二次方程的一般形式】 任何一个关于x的一元二次方程，经过去括号、移项、合并同类项等整理后，都可以化成以下标准形式： （为常数，且） 这种形式称为一元二次方程的一般形式（等号右边必须为0）。 【知识点3 一元二次方程的解（根）】 定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做该一元二次方程的解，也叫根。 符号表述：若代入使等式成立，则是方程的一个根。 题型01 一元二次方程的定义 1．（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）下列关于x的方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0，据此逐一验证即可． 【详解】解：选项A：中未说明，当时方程不是一元二次方程， ∴A错误； 选项B：分母含有未知数，是分式方程，且含有两个未知数， ∴B错误； 选项C：整理得，未知数最高次数为3， ∴C错误； 选项D：整理得，符合一元二次方程的定义， ∴D正确． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期中）下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的概念逐一判断即可． 【详解】解：①是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ②中当时，它不是一元二次方程， ③整理得，它不是一元二次方程， ④不是一元二次方程， ⑤是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ⑥不是一元二次方程， 综上，一元二次方程有2个． 题型02 化成一元二次方程的一般式 1．（25-26八年级下·安徽六安·阶段检测）把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．4，1，3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程一般式的概念，解题思路是将原方程展开，移项合并同类项整理为一般形式，即可对应得到，，的值． 【详解】解：把一元二次方程化成一般式：， 对比一般式，可得，，． 2．（25-26八年级下·浙江温州·期中）将一元二次方程化为一般式为______． 【答案】 【分析】先根据单项式乘多项式法则展开方程左边，再通过移项整理得到一元二次方程的一般式． 【详解】解： ， ， 移项，得 ． 题型03 判断是否是一元二次方程 1．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）关于的方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项系数为1 B．一次项系数为 C．常数项为0 D．它是一元二次方程 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式：，其中叫二次项系数，叫一次项系数，叫常数项．根据一元二次方程的一般形式“一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项”进行判断即可得． 【详解】解：方程是一元二次方程，二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 则说法错误的是C， 故选：C． 2．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段检测）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、，方程有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、，方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、，方程是一元二次方程，符合题意； D、，方程是一元一次方程，不符合题意； 故选：C． 题型04 由一元二次方程的定义求参数 1．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，得到未知数最高次数为，且二次项系数不为，据此列方程即可求解． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程； 解得，即； 由得． ． 2．（25-26八年级下·北京顺义·期中）若关于的方程是一元二次方程，则应满足的条件是__________． 【答案】 【分析】一元二次方程的定义，未知数最高次数为，且二次项系数不为，据此列出等式与不等式求解即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解 ，得， 即， 又都满足， 故． 题型05 判断是否是一元二次方程的解 1．（25-26八年级下·山东泰安·期中）已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程为 ， 把代入方程左边，得， 又∵已知， ∴当时，方程左右两边相等， ∴是该一元二次方程的一个根． 2．（2026·浙江杭州·一模）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中，利用尺规构造的方法求解一元二次方程，深刻影响了数学的发展．对于形如的方程，采用如下构造步骤：如图， ①作线段，取的中点，则； ②过点作，使得； ③以为圆心、的长为半径作圆，交直线于，两点．该方程的正根为图中线段___________． 【答案】的长或的长 【分析】根据题意，，在中，利用勾股定理构造方程，整理得，对比题干的方程可知，是方程的正根，结合等量代换可知，也是方程的正根． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∴， 整理，得， ∴是方程的正根， ∵，， ∴，即， ∴也是方程的正根． 题型06 由一元二次方程的解求参数 1．（2026·浙江金华·二模）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的含义，将已知根代入原方程即可求解的值． 【详解】把代入原方程得：， 整理得， 即， 解得． 2．（2026·辽宁阜新·二模）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【分析】已知是给定一元二次方程的一个根，将代入原方程，可得到关于的一元一次方程，解该方程即可得到的值． 【详解】由题意，将代入方程， 得 ， 整理得 ， 即 ， 解得 ． 题型07 一元二次方程的解的估算 1．（25-26八年级下·山东青岛·期中）根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【详解】解：∵当时，， ∴方程有一根为，故A正确，不符合题意． ∵当时，，当时，， ∴在之间存在使，即方程有一根的取值范围是，故B正确，不符合题意． 由上述推导仅能得到根在范围内，无法确定根一定是，故C错误，符合题意． ∵方程已有一根为，另一根在，两根不相等， ∴方程有两个不相等的实数根，故D正确，不符合题意． 2．（2026·山东聊城·模拟预测）根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由表格找到的值在两个相邻处分别小于和大于，则方程的解就在这两个之间． 【详解】解： 由表格可知：当时，， 当时，， 方程的一个解的取值范围为． 1．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，利用根的定义得到含的关系式，再整体代入所求代数式求值即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入方程得 ， 整理得， ∴． 2．（25-26九年级下·山东烟台·期中）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断选项，一元二次方程需同时满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数的最高次数为． 【详解】解：、选项中是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，故不符合题意； 、选项中未说明，当时方程变为一元一次方程，故不符合题意； 、选项整理得，满足只含一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，一定是一元二次方程，符合题意； 、选项整理得，未知数最高次数为，是一元三次方程，不是一元二次方程，故不符合题意． 3．（25-26八年级下·江苏南通·期中）下列方程中，一元二次方程的个数有（   ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，逐个判断每个方程是否符合要求，统计符合定义的方程个数即可，一元二次方程需满足：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程． 【详解】解：（1）对于， ∵只含有1个未知数x，未知数最高次数为2，且是整式方程， ∴是一元二次方程； （2）对于， ∵含有x和y两个未知数， ∴不是一元二次方程； （3）对于， ∵只含有1个未知数x，未知数最高次数为2，且是整式方程， ∴是一元二次方程； （4）对， ∵分母含有未知数x，不是整式方程， ∴不是一元二次方程． 综上，一元二次方程共有2个． 4．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）将一元二次方程化成一般形式后，则二次项系数和一次项系数分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 原方程为 ， 将方程移项整理为一般形式得 ， 其中二次项为 ，一次项为 ，常数项为 ，符合题意 ∴ 二次项系数为 ，一次项系数为． 5．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）已知为一元二次方程的一个根，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的根的定义，将代入方程得到，将所求代数式提取公因式变形后，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：为一元二次方程的一个根， ， ， ． 6．（2026·四川广安·二模）若实数x满足，则______． 【答案】 【分析】利用已知一元二次方程对所求多项式进行降次处理，将高次多项式转化为低次多项式后代入计算即可得到结果． 【详解】 ， ∴ 7．（2026·山东日照·二模）已知m是方程的实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】利用整体代入法求代数式的值，根据方程根的定义得到满足的等式，变形后整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：是方程的实数根， 将代入方程得 ， 整理得 ， ∴． 8．（2026·广东广州·二模）先化简，再求值：，其中为方程的解． 【答案】， 【详解】解：原式 为方程的解， ∴． ∴原式 ． 9．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知a是一元二次方程的一个根： (1)求的值 (2)求的值． 【答案】(1)2 (2)2025 【分析】（1）根据a是一元二次方程的一个根，得到，整体代入法求值即可； （2）利用降幂和整体代入法进行计算即可. 【详解】（1）解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ . 10．（2026·重庆·模拟预测）先化简，再求值：，其中m是方程的根． 【答案】； 【分析】先分别化简原式中的整式部分和分式部分，再合并得到最简结果，利用方程根的定义得到与的关系，代入最简式计算即可得到最终结果． 【详解】解： ； 是方程的根， ， ， 将代入得，原式． / 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 完成时间： 月 日 今日打卡：口已完成 用时： min 自评勋章： 恩恩恩恩 暑假作业05一元二次方程的定义与一般形式 新知初探 【知识点1什么是一元二次方程：三要素判定法】 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 1.一个未知数（一元）：方程中只出现同一个未知数（通常写x),反例：x2+y=0(两个未知数） 2. 整式方程：等号两边都是整式（分母不含未知数，根号内不含未知数），反例：1+x=3(分式方 程) 3. 最高次数是2（二次）：化简整理后，未知数项的最高指数为2，且x2的系数不为零，反例： 3x+5=0(最高次是1)；（x+1)(x-3)=x2-3(展开后x2消掉) 【知识点2一元二次方程的般形式】 任何一个关于x的一元二次方程，经过去括号、移项、合并同类项等整理后，都可以化成以下标准 形式： ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，且a≠0) 这种形式称为一元二次方程的一般形式（等号右边必须为0）。 【知识点3一元二次方程的解（根）】 定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做该一元二次方程的解，也叫根。 符号表述：若x=x,代入ax2+bx+c=0使等式成立，则x是方程的一个根。 基础检测 题型01一元二次方程的定义 1.(25-26八年级下·福建福州·阶段检测)下列关于x的方程是一元二次方程的是() A.ax2+bx+c=0 B.y+x=1 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.xx2+1=2 D.xx+1=1 2.(25-26八年级下·山东烟台期中)下列方程中：①2x2-1=0,②ax2+bx+c=0,③ (+2川x-)=-3,@0,⑤-音=5，@F+-2=0,是一元二次方程的有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型02化成一元二次方程的一般式 1.(25-26八年级下·安徽六安阶段检测)把一元二次方程x(4x-1=2x+3化成一般式，则α，b,c的值 分别是() A.4,1,3 B.4,-3,-3 C.4,-2,3 D.1,-3,-3 2.(25-26八年级下·浙江温州期中)将一元二次方程xx+2)=1化为一般式为 题型03判断是否是一元二次方程 1.(24-25九年级上·贵州遵义·期中)关于x的方程x2-6x+3=0,下列说法错误的是() A.二次项系数为1 B.一次项系数为-6 C.常数项为0 D.它是一元二次方程 2.(24-25八年级下.甘肃武威阶段检测)下列方程是一元二次方程的是() A.x-2y=1 B.r2+1=2 C.5x2+3=0 D.2x+1=3 题型04由一元二次方程的定义求参数 1.(25-26八年级下江苏泰州阶段检测)己知(m-1)xm1+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的 值为 2.(25-26八年级下.北京顺义期中)若关于x的方程(m-1)x-3x+4=0是一元二次方程，则m应满足 的条件是 题型05判断是否是一元二次方程的解 1.(25-26八年级下山东泰安期中)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若9a+3b+c=0, 则它的一个根是() A.x=3 C.x=-3 D.x 2.(2026浙江杭州一模)古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中，利用尺规构造的方法求解一元二次 高学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方程，深刻影响了数学的发展.对于形如x2+px=9p>0,9>0)的方程，采用如下构造步骤：如图， F B C ①作线段AB=p,取AB的中点D,则DB= 2 ②过B点作BE⊥AB,使得BE2=q: ③以D为圆心、DE的长为半径作圆，交直线AB于C,F两点.该方程的正根为图中线段 题型06由一元二次方程的解求参数 1.(2026浙江金华.二模)已知关于x的一元二次方程2x2-kx+4=0的一个根为x=2,则k的值为 2.（2026辽宁阜新·二模)若x=-2是关于x的一元二次方程x2+mx-m-1=0的一个根，则m的值为 题型07一元二次方程的解附的估算 1.(25-26八年级下·山东青岛期中)根据下列表格x与ax2+bx+c的对应值，对一元二次方程 ax2+br+c=0的根，下列说法错误的是() -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 ax2+bx+c 0.43 0.09 -0.2 -0.33 -0.43 -0.44 -0.37 -0.23 0 0.31 A.方程有一根为1 B.方程有一根的取值范围是-0.4<x<-0.2 C.方程有一根为-0.33 D.方程有两个不相等的实数根 2.(2026山东聊城模拟预测)根据表格，判断关于x的方程ax2+bx+c=3a≠0)的一个解的范围是() x 1.1 1.2 1.3 1.4 ax2+bx+c -0.59 0.84 2.29 3.76 A.-0.59<x<0.84 B.1.1<x<1.2 C.1.2<x<1.3D.1.3<x<1.4 小试牛刀 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(25-26八年级下江苏南通阶段检测)已知m是一元二次方程x2-4r+1=0的一个根，则2026-m2+4m 的值为() A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 2.(25-26九年级下·山东烟台·期中)下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是() A.x2-1=2 B.ax2+bx+c=0 Y C.x(x+2)=1 D.x2(x-1)=0 3.(25-26八年级下·江苏南通期中)下列方程中，一元二次方程的个数有() ①D223三0：2》2+5：3x2-5x=0:C4）X2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(25-26八年级下·安微安庆期中)将一元二次方程3x2-2=x化成一般形式后，则二次项系数和一次项 系数分别是() A.3,-2 B.3,1 C.3,-1 D.3,0 5.(25-26八年级下·陕西西安阶段检测)己知m为一元二次方程x2-3x-1=0的一个根，则代数式 2m2-6m的值为 6.(2026四川广安.二模)若实数x满足x2-x-1=0,则x3-2x2+2027=。 7.(2026山东日照·二模)己知m是方程x2+x-2025=0的实数根，则-m2-m-1的值为 8.(2026广东广州二模)先化简，再求值：(2x-5)2-(x-2)川x-3-12,其中x为方程x2-5x+2=0的解. 9.(25-26八年级下·浙江杭州阶段检测)己知a是一元二次方程x2+x-1=0的一个根： (1)求2a2+2a的值 (2)求a3-2a+2026的值. 10.2c欧核积预》先化高.再来面：a-小-g-小产o1北 中m是方程x2-7x-7=0的根.