18.4 线段垂直平分线 同步练习 2025--2026学年沪教版（五四学制）七年级数学下册

**基本信息** 聚焦“线段垂直平分线”，分层设计基础巩固、中档应用、提升探究三阶练习，覆盖概念辨析到创新探究，适配单元复习，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|概念辨析与性质直接应用|单选题1考查定义，填空题7直接应用垂直平分线性质| |中档|性质综合应用与简单推理|填空题13结合等腰三角形面积求最值，解答题19(1)基础推理| |提升|复杂情境综合与创新探究|解答题26定义“等角分割线”，融合分类讨论与新定义应用|

2026年上海市七下新教材同步培优练习14一18.4线段垂直平分线 一、单选题 1.下列说法正确的是（) A.三角形的角平分线是射线B.线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 C.三角形的高线交于一点D.三角形的三条中线交于一点，这一点有可能在三角形外 2.如图，等腰三角形ABC底边BC的长为5cm,面积是18Cm,腰AB的垂直平分线EF交AC于点F,若 D为BC边上的动点，M为线段EF上一动点，则BM+DM最小值为()Cm. E A.5 9 B.13 c. D.9 3.如图，在ABC中，AB=AC,BC=a,∠A=36°，AB的垂直平分线交AC边于点D,交AB边于点E, CD=b,则ABC的周长为() A.3a+2b B.3a+b C.2a+2b D.a+b 4.如图，在ABC中，BC>AB,用尺规作图在BC边上确定一点P,使PA+PB=BC,则一定符合要求 的选项是() B 第1页 5.如图，在ABC中，∠A=105°，AC的垂直平分线1交BC于点M,AB+BM=BC,则∠B的度数为 () 105 M B A.459 B.50° C.55 D.60° 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,AB=10,如果点D,E分别为BC,AB上的 动点，那么AD+DE的最小值是() B E D A.8.4 B.9.6 C.10 D.10.8 二、填空题 7.在ABC中，边ABB☑C的垂直平分线相交于点O,如果点O在边BC上，那么∠BAC= 8.如图，已知AB=AC,∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D,则∠DBC= 度、 M D 9.己知，ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于E,交AC所在直线于P,若∠APE=54°，则 ∠B=- 10.如图，在ABC中，∠C=38°，边BC的垂直平分线分别与AC、BC交于点D、E,AB=CD,那么 LA=°. E 第2页 11.如图，已知在 ABC 中，点E在边AB上，AD垂直平分CE，垂足为点F，如果 AB=9，AC=5， ，那 么 BE= . A E F B C D 12.如图，在 ABC 中， $$A B = A C ， B C = a ， \angle A = 3 6 ^ { \circ } ， A B$$ 的垂直平分线交AC边于点D，交AB边于点 E⋅CD=b， ，则 ABC 的周长为(用 a、b 表示). A E D D B C 13.如图，等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为6，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交 AC，AB 边于 E，F点；若点D为B BC 边的中点，点M为线段EF上一动点，则 CDM 周长的最小值为. C E D M B A F 14.在 ABC 中， AB=AC，AB 的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为 $$7 0 ^ { \circ } ，$$ ，则底角 ∠B 等于 15.在 ABC 中， AB=AC，AB 边的垂直平分线与边AB交于点D，与AC、BC边所在直线分别交于E、 F，若 $$\angle A E D = 1 0 ^ { \circ } ，$$ ，则 ∠BFE= 16.如图，在 ABC 中，1是三角形三条角平分线的交点，O是三边垂直平分线的交点，连接AI， BI， A 10，BO，若 $$\angle A O B = 1 4 0 ^ { \circ } ，$$ 则 ∠AIB 的度数是。 C A B 第3页 17.如图，ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交边BC于点D、E,若LBAC+LDAE=150°，则 ∠BAC的度数是 18.如图，在ABC中，AC=I8,AD垂直平分BC交BC于点D,点E在线段AB上，点F在线段AD上， 连接BF、EF,若LBAC=∠BEF,BF=6,则△BEF的周长为· B D 三、解答题 19.已知：在△ACD中，P是CD的中点，B是边AD延长线上的一点，BD=AC,连接BC、AP (1)如图(1)，如果AP⊥CD,证明：BD=AD; (2)如图(2)，过点D作DE∥AC,交AP的延长线于点E,连接BE,如果∠CAD=60°，证明： BC=2AP. 第4页 20.如图，已知：在ABC中，AD是ABC的角平分线，EF垂直平分AC分别交AC、AD于点E、F, 连接CF, (1)如果∠BAC=70°，求∠EFC的度数； (2)过点F作FG∥AB交边AC于点G,如果AC=10,AF=6,求△GFC的周长. 21.如图，己知长方形ABCD,点E在线段AD上，将△ABE沿直线BE翻折后，点A落在线段CD上的点 F. (1)用圆规和直尺画出△FBE(保留作图痕迹)： (②)如果FDE的周长为6，△FCB的周长为aa>6),用含有a的代数式表示FC的长度. 第5页 22.己知在三角形ABC中，点D是边BC上一点，P是线段AD上一点，LACP=LABP,∠CPD=∠BPD 求证：AD⊥BC. B D 方法一：LCPD=∠BPD. 180°-∠CPD=180°-∠BPD,即∠APB=∠APC 在△ABP和△ACP中， I∠ABP=∠ACP ∠APB=∠APC AP=AP ·AABP≌△ACP() ∴.AB=AC,∠BAP=∠CAP() ∴.AD⊥BC () 方法二：LCPD=LBPD,LABP=∠ACP, ·LBAP=∠BPD-∠ABP,∠CAP=∠DPC-∠ACP() ∴∠BAP=∠CAP 在△ABP和△ACP中， ∠ABP=∠ACP ∠BAP=∠CAP AP=AP △ABP≌△ACP ∴AB=AC,PB=PC ·点A,点P在线段BC的垂直平分线上() ·AP垂直平分BC( 即AD⊥BC 第6页 23.如图，ABC中，AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,且BD=DE,连接 AE B DE (I)求证：AB=EC; (2)若ABC的周长为20cm,AC=9cm,求DC长. 24.已知：图1、图2中的网格均为边长是1的小正方形组成.点A、B、C、E、F、G是网格的格点. 图1 图2 (1)请利用网格，仅使用无刻度的直尺完成下面的作图（不写画法，保留画图痕迹，写出结论） ①在图1中，作出直线CD⊥AB,垂足为点D; ②在图2中，作出△EFG的重心O: (2)利用②的作图结果，求OF的长. 第7页 25.如图，在ABC中，点D、E在边BC上，BD=CE,DM⊥AC,垂足为M,EN⊥AB,垂足为 N,DM与EN交于点P,且BN=CM. N B4 0 E (I)求证：PD=PE; (2)连接AP,并延长AP交BC于点Q,求证：过点A、P的直线垂直平分线段BC. 26.定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个 等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线” 己知在ABC中，AB=AC,点D在边AC上 图1 图2 (I)如图1，如果BD=BC,求证：BD是ABC的等角分割线”； 第8页 (2)如图2，如果BD⊥AC,且BD是ABC的“等角分割线”，求∠C的度数； (3)BD是ABC的等角分割线”，∠BAC的平分线交BD于点F,如果DF=DC,那么∠BAC的度数为 第9页 参考答案 1.解：A.三角形的角平分线是线段，故本选项错误，不符合题意； B.线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，说法正确，符合题意； C.锐角三角形和直角三角形的高线交于一点，钝角三角形的高线不相交，故本选项错误，不符合题意； D.三角形的三条中线交于一点，这一点不可能在三角形外，故本选项错误，不符合题意. 故选：B 2.解：如图所示，连接AD,AM, A M ~腰AB的垂直平分线EF交AC于点F, ∴.AM=BM, ∴.BM+DM=AM+DM, ~AM+DM≥AD,且垂线段最短， ∴当A、D、M三点共线，且AD⊥BC时，AM+DM有最小值，即此时BM+DM有最小值，最小值为线 段AD的长， ~BC的长为5cm,ABC的面积是18cm, t时6CD=13. AD=36 cm 36 BM+DM的最小值为5cm, 故选：D 3.解：AB的垂直平分线交AC边于点D,交AB边于点E :.AD BD ∴.∠ABD=∠A=36°， .∠BDC=∠A+∠ABD=72°， AB=AC,∠A=36°， 第17页 ∠48c=∠c=2l80-∠A=72, ∠BDC=LC=72°， ..BD BC=AD=a, ∴.AB=AC=AD+CD=a+b, .ABC的周长为3a+2b. 故选：A 4.解：PB+PC=BC,PA+PB=BC, .PA=PC, ·点P在AC垂直平分线上， ∴作线段AC的垂直平分线， 故选：D 5.解：如图，连接AM, 105 M ~AC的垂直平分线1交BC于点M, ∴CM=AM, .AB+BM BC CM +BM =BC ∴.AB=CM=AM, ∠C=∠MAC,∠AMB=∠B, 设∠C=∠MAC=x,则∠AMB=∠B=2x, ∠BAM=180°-4x, ,∠BAC=∠MAC+∠BAM=x+180°-4x=105°， =25°， ∠B=2x=50°， 故选：B 6.解：作点A关于BC的对称点A,作点AE⊥AB,交BC于点D,连接CA',DA'如图： 第17页 D AE----- ● 则AD=A'D, AD+DE=A'D+DE≥A'E. 即AD+DE的最小值为A'E. ∠ACB=90°，AC=6,BC=8,AB=10, AA'=12, SMB=2 =A4'.BC=IAB.A'E, 2 AE=44BC-12x8=96, AB 10 即AD+DE的最小值为9.6. 故选：B 7.解：连接OA, ~边AB、AC的垂直平分线相交于点O, ∴.0A=0B,0A=0C, ∴∠0AB=∠B,∠OAC=∠C, ~∠B+C+∠BAC=180°， .2∠BAC=180°， ∠BAC=90°， 故答案为：90 8.解：AB=AC,∠A=40°， ∠ABC=180°-40 2 =70° MD是AB的垂直平分线， ∴AD=BD, 第17页 ∴∠ABD=∠A=40°， ∴.∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°. 故答案为：30 9.解：①如图1， 图1 ~PE是AB的垂直平分线， AP=BP, ∠A=∠ABP,∠APE=∠BPE=54°， ∠A=∠ABP=36°， ~∠A=36°，AB=AC, 1 ∠C=∠ABC=5=72°； 2 ②如图2， 图2 ~PE是AB的垂直平分线， .AP=BP, ∴∠PAB=∠ABP,∠APE=∠BPE=54°， ∠PAB=∠ABP=36°， ∠BAC=144°， AB=AC, 1 ∠C=∠ABC==189 2 故答案为：72°或18 第17页 10.解：如图，连接DB, :DE是BC的垂直平分线， .DB=DC, ∴∠DBC=∠C=38°， ∠BDA=∠C+∠DBC=38°+38°=76°， :AB=CD,DB=DC, :AB DB, ∠A=∠BDA=76°， 故答案为：76 11.解：~AD垂直平分CE, .AE=AC=5, .AB=9,AB=AE+BE, ∴BE=AB-AE=9-5=4, 故答案为：4 I2.解：~AB的垂直平分线交AC边于点D,交AB边于点E :.AD =BD, ∴.∠ABD=∠A=36°， ∠BDC=∠A+∠ABD=72°， AB=AC,∠A=36°， ÷∠ABC=∠C=180°-∠A=72°， ∠BDC=∠C=72°， :.BD=BC=AD=a, ∴.AB=AC=AD+CD=a+b, ·ABC的周长为3a+2b 故答案为：3a+2b 第17页 13.解：连接AD,MA, E - ~ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， .AD⊥BC, 1 Sc)BC·AD=)x6×AD=24 解得AD=8, ~EF是线段AC的垂直平分线， ∴点A关于直线EF的对称点为点C,MA=MC, ∴.MC+DM=MA+DM≥AD, AD的长为CM+MD的最小值， ÷CDM的周长最短=(CM+MD)+CD=AD+BC=8+x6=8+3=11. 1 2 故答案为：11 14.解：如图1，DE是AB的中垂线， ·AD=BD, AB=AC, ∠ABC=∠C, ~∠ADE=70°， ∠A=90°-70°=20°， ÷∠ABC=∠C=180°-∠4_180°-20 =80°； 2 2 D E 图1 图2 第17页 如图2， DE是AB的中垂线，∠ADE=70°， ∠DAE=90°-70°=20°， ~AB=AC，∠B=∠C= 2<D1E 2×20°=10， ∠B等于10°或80°. 故答案为：10°或80° 15.解：如图1， E D B 图1 :∠AED=I0°，EF垂直平分AB, ∠ADE=90°， ∠BAC=90°+10°=100°， AB=AC, 2B=∠C=180-109=40 ∠BFE=90°-40°=50°； 如图2， D 图2 E :∠AED=10°，EF垂直平分AB, ∠ADE=∠BDF=90°， ∠A=90°-10°=80°， :AB=AC, ·∠B=∠ACB=180°-80)=50， 第17页 ∠BFE=∠BDF+∠B=90°+50°=140°， 当垂直平分线与线段AC交于点E, :∠AED=10°，EF垂直平分AB, ∠BAC=90°-10°=80°， LBEA=20° .∠BEC=160° :AB=AC, ∴∠B=∠4CB=)7180-809)=502, ∠BEC+∠BCA=210 △BCE中不符合三角形的内角和定理，不符合题意， 当垂直平分线与线段AC交于点E,此种情况不存在， 综上，∠BFE=50°或140°。 故答案为：50或140 16.解：如图所示，连接CO, B ∠A0B=140°， ∴.∠0AB+∠0BA=180°-∠A0B=40°， ∠A0C+∠B0C=360°-∠A0B=220°， O是三边垂直平分线的交点， ∴0A=0C,0B=0C, LOCA=∠OAC,∠0CB=∠0BC, L0AC+∠0CA=180°-∠A0C,∠0CB+∠0BC=180°-∠B0C, 第17页 ∴∠0AC+∠0CA+∠0CB+∠0BC=180°-∠B0C+180°-∠A0C=140° ∠0CA+∠0CB=70°，即∠ACB=70°， ∴.∠CAB+∠CBA=180°-∠ACB=110°， 在ABC中，I是三角形三条角平分线的交点 ·A平分∠BAC,BI平分∠ABC, ABCB,∠B4=CBA, ÷∠AB+∠IBA=(∠CAB+∠CBA)=55°， ∴.∠AIB=180°-∠IAB-∠IBA=125°， 故答案为：125 17.解：~ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交边BC于点D、E, ∴DA=DB,EA=EC, ∠B=∠DAB,∠C=∠EAC, :∠BAC+∠DAE=150①， ∠B+∠C+2∠DAE=150°， :∠B+∠C+∠BAC=180°， 180°-∠BAC+2∠DAE=-150°， 即∠BAC-2∠DAE=30②， ∠BAC+∠DAE=150° 由①②组成的方程组 ∠BAC-2∠DAE=30°' 解得∠BAC=110°. 故答案为：110° 18.解：AD垂直平分BC, :AB=AC=18, :AD⊥BC, ∠BAC=2∠EAF, .∠BEF=LBAC=2LEAF, :∠BEF=∠EAF+∠EFA, ∠EAF=∠EFA, 第17页 .EA=EF, △BEF的周长=BF+BE+EF=BF+BE+AE=BF+AB=6+I8=24. 故答案为：24 19.解：(1)证明：AP⊥CD,P是CD的中点， AP是CD的垂直平分线， ∴.AC=AD, BD=AC, 六BD=AD; (2)DE∥AC, LCAP=∠DEP, CP=DP,∠CPA=∠DPE, ACPA≌△OPE(AAS, AP EP=AE,AC=DE BD=AC, .BD DE, DE∥AC, ∴.∠BDE=∠CAD=60°， ·.BDE是等边三角形， BD=BE,LEBD=60°， BD=AC, ·AC=BE, ∠CAB=∠EBA=60°，AB=BA, ∴△CAB≌△EBA(SAS, :.BC=AE, .BC =2AP. 20.解：(1)~AD是ABC的角平分线，∠BAC=70°， ∠DAC=∠BAD=}∠BAC=35°， 2 第17页 'EF垂直平分AC, FA=FC,FE⊥AC, ∠FCA=∠DAC=35°， ∠EFC=90°-35°=55°； (2)如下图， A E B D FG∥AB, ∴.∠AFG=∠BAD, ∠BAD=∠DAC, .∠AFG=∠DAC, ∴GA=GF, △GFC的周长=GF+FC+CG=GA+GC+AF=AC+AF=10+6=16. 21.解：（1)如图所示： D (2)将△ABE沿直线BE翻折后，点A落在线段CD上的点F, ·BA=BF,EF=AE, FDE的周长为6， .FD+DE+EF=FD+DE+AE=DF+AD=6, aFCB的周长为aa>6, .FB+BC+CF=AB+BC+FC=a, ~四边形ABCD是长方形， .AD=BC,AB=CD, ..AB+BC=AD+DC=AD+DF+FC, 第17页 ∴a-FC=6+FC, .FC=a-6 2 22.解：证明：方法一：∠CPD=∠BPD. 180°-∠CPD=180°-∠BPD,即∠APB=∠APC, 在△ABP和△ACP中， T∠ABP=∠ACP ∠APB=∠APC, AP=AP △ABP≌△ACP(AAS), ∴AB=AC,∠BAP=∠CAP(全等三角形的性质)， ·AD⊥BC(等腰三角形的三线合一). 方法二：LCPD=∠BPD,LABP=∠ACP, ∴∠BAP=∠BPD-∠ABP,∠CAP=∠DPC-∠ACP(三角形的外角性质)， ∠BAP=∠CAP, 在△ABP和△ACP中， ∠ABP=∠ACP ∠BAP=∠CAP, AP=AP .AABP≌AACP, :.AB=AC,PB=PC, 点A,点P在线段BC的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定）， “AP垂直平分BC(两点确定一条直线)， 即AD⊥BC. 23.解：(1)证明：：EF垂直平分AC, :AE EC, :AD⊥BC,BD=DE, AD垂直平分BE, :.AB=AE, AB=EC; 第17页 (2):aABC的周长为20cm, AB+BC+AC=20, AC=9cm, .AB+BC =11cm :AB=EC,BD=DE, DC=DE+EC=号BE+EC+EC 1 2 2 -1BC+1AB 2 2 -48+BC) =5.5cm. 24.解：(1)①如图1，CD即为所求； ②如图2，取FG的中点M,EG的中点H,连接EM,FH相交于点O,则点O即为所求； D F:M G 图1 图2 (2)由图可得，△F0M∽△FNK, 由勾股定理得：FN=V√32+52=√34， NF FK OF FM :343, OF 1 0p=34 3 25.解：(1)：DM⊥AC,EN⊥AB, :∠BNE=∠DMC=90 .BD=CE, .BD+DE CE+DE, 第17页 :BE=CD 在Rt△BNE与RtACMD中， BE=CD BN=CM ∴.Rt△BNE≌RtACMD(HL). .∠NED=∠MDC. :PD=PE. (2)如图， M B D O E :Rt△BNE≌Rt△CMD, ∴.∠B=∠C,NE=MD. :AB=AC, .NE MD,PD=PE, .NE-PE MD-PD, .PN PM :PN=PM,PN⊥AB,PM⊥AC, .AP平分∠BAC 即AQ平分∠BAC. .AB=AC, .AQ⊥BC,BQ=CQ, 即过点A、P的直线垂直平分BC. 26.解：(1)证明：AB=AC, ∴LABC=LC, BD=BC, ∴∠BDC=∠C, ∠ABC=∠BDC, 第17页 '∠ABC=∠ABD+∠DBC,∠BDC=∠A+∠ABD, ∠ABD+∠DBC=LA+∠ABD, ∴.∠A=∠DBC, ·BD是ABC的等角分割线”： (2)AB=AC, ∠ABC=∠C, LA+∠ABC+∠C=180°， ∠A=180°-2∠C, BD⊥AC, ·∠BDC=90°，∠BDA=90°， '∠BDC=LA+∠ABD,∠BDA=∠DBC+∠C, ∠ABD=2∠C-90°，∠DBC=90°-∠C, BD是ABC的“等角分割线”， ①∠A=∠ABD,180°-2∠C=2∠C-90°， 解得：∠C=67.5°： ②∠A=∠DBC,180°-2∠C=90°-∠C, 解得：∠C=90°（舍去）， 综上：∠C=67.5°； (3)记∠BAC的平分线与BC交于点E, ①当LDBC=∠BAC时， D 'AB=AC,AE平分∠BAC, ∴.AE⊥BC,∠BAE=∠CAE,BE=CE, 设∠BAE=∠CAE=x,则LDBC=LBAC=2x AE⊥BC,BE=CE, 第17页 ·AE垂直平分BC, .FB=FC, ·LDBC=∠FCB=2x, ∠DFC=∠FBC+∠FCB=2x+2x=4x, DF=DC, ∴.∠DFC=∠DCF=4x, LACE=∠DCF+∠FCB=4x+2x=6x, AE⊥BC, .∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°， x+6x+90°=180°， 解得：x=90 90°180° ∠BAC=2× 77 ②当∠ABD=LBAC时， D B AE平分∠BAC, ∠BAE=∠CAE, 设∠BAE=∠CAE=x,则∠ABD=∠BAC=2x, ∴.∠FDC=∠BAC+∠ABD=4x, AB=AC,∠BAE=∠CAE,AF=AF, △ABF≌△ACF(SAS), ∠ACF=∠ABD=2x, DF=DC, ∠DFC=∠DCF=2x, ~在△DFC中，∠FDC+∠DFC+∠DCF=180°， 4x+2x+2x=180°， 第17页 解得：x=22.5°， ∠BAC=2×22.5°=45°， 综上：∠BAC的度数为45°或180 第17页