第二单元《一元二次方程》培优训练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本练习通过三层递进设计，覆盖一元二次方程全知识点，从概念理解到实际应用，培养运算能力与模型意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|方程定义、根的判别式、基本解法|选择填空基础题，如根的判别式应用（题1）、直接开平方法解方程（题20(4)）| |综合应用|根与系数关系、实际问题建模|中等题结合代数几何，如等腰三角形边长与方程（题15）、增长率问题（题7）| |拓展提升|新定义问题、复杂情境应用|解答题综合题，如“C方程”概念探究（题24）、利润与销量关系优化（题29）|

北师大版九年级上册第二单元《一元二次方程》培优训练 一．选择题（共11小题） 1．关于x的方程x2﹣6x+k＝0没有实数根，则k的值可能是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 2．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 3．关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0无实数根，则一次函数y＝mx﹣m的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k＝0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1 5．已知一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根为x1，x2，式子的值是（　　） A．3 B．5 C．7 D．11 6．根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 x2+12x﹣15 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29 由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（　　） A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.3 7．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（　　） A．8000（1+2x）＝1200 B．8000（1+x）2＝12000 C．8000+8000（1+x）+8000（1+x）2＝12000 D．8000×2（1+x）＝12000 8．要组织一场排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少队伍参加比赛？设应邀请x个队参赛，则可列方程（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝4×7 D． 9．某校在操场东边开发出一块长、宽分别为18m、11m的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为96m2．设小道的宽为xm，根据题意可列方程为（　　） A．（18﹣2x）（11﹣x）＝96 B．2x2＝96 C．（18﹣x）（11﹣2x）＝96 D．（18﹣2x）（11﹣2x）＝96 10．端午节当天某班同学向全班其他同学各送一份小礼品，全班共送1560份小礼品，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　） A．x（x+1）＝1560 B．x（x﹣1）＝1560×2 C．x（x﹣1）＝1560 D．2x（x+1）＝1560 11．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），系数a，b，c满足9a+3b+c＝0，9a﹣3b+c＝0，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为（　　） A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝﹣3 C．x1＝1，x2＝﹣1 D．x1＝3，x2＝﹣3 二．填空题（共8小题） 12．若关于x的方程（a﹣2）x|a|+3x﹣4＝0是一元二次方程，则a＝ 　 　 ． 13．已知m是方程x2+3x﹣2＝0的一个实数根，则m2+3m+2025的值是　 　 ． 14．如果关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个实数根，那么m的取值范围是 　 　 ． 15．若等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣8x+n＝0的两个根，则n的值为 　 　 ． 16．若m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+mn﹣3m+n的值为 　 　 ． 17．在解关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+k＝0时，佳佳将二次项系数“﹣1”看成了“1”，得到方程有两个相等的实数根，则原方程的两根之积为　 　 ． 18．若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别为x1＝4，x2＝﹣2，那么一元二次方程ax2+bx+c＝2ax﹣a+b（a≠0）的根为　 　 ． 19．数据a，4，2，5，3的中位数为b，且a和b是方程x2﹣10x+24＝0的两个根，则b是　 　 ． 三．解答题（共10小题） 20．用适当方法解下列方程 （1）3（x﹣2）＝5x（x﹣2）； （2）（x﹣3）（x﹣2）＝6； （3）x2+x﹣1＝0； （4）（3x﹣1）2＝x2+6x+9； （5）（x2+x）2﹣2x（x+1）﹣3＝0． 21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0． （1）求证：无论m取何值，方程恒有实数根； （2）若以方程两根为等腰三角形的两边，且其中一个根为4，求此三角形的周长． 22．已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1＝0． （1）求证：不论m任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根为x1，x2且满足，求m的值． 23．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m（m+2）＝0． （1）试说明不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）如果当m＝2时，α、β为方程的两个根，求α2﹣5α+β的值． 24．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断一元二次方程x2﹣4x+3＝0是否为“C方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程4x2+bx+c＝0（c≠0）是“C方程”，求代数式b2﹣4c﹣1的最小值． 25．【方法呈现】已知：x2﹣2xy+2y2﹣8y+16＝0，求x、y的值． 解：∵x2﹣2xy+2y2﹣8y+16＝0， ∴（x2﹣2xy+y2）+（y2﹣8y+16）＝0． ∴（x﹣y）2+（y﹣4）2＝0． ∵（x﹣y）2≥0，（y﹣4）2≥0， ∴x﹣y＝0，y﹣4＝0， ∴x＝4，y＝4， ∴x的值为4，y的值为4． 【方法探究】已知m2﹣4mn+5n2﹣4n+4＝0，求m、n的值． 【方法应用】在△ABC中，BC＝a＝3，AC＝b，AB＝c，b、c满足b2﹣8b+c2﹣10c+41＝0，求证：∠C＝90°． 26．冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58元的价格出售．经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只． （1）求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只．当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 27．某农场要建一个饲养场（长方形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27m，AB位置的墙最大可用长度为15m），另两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的HE、GF、HG三处各留0.75m、0.75m、1.5m宽的门（不用栅栏）．建成后栅栏总长45m． （1）若饲养场（长方形ABCD）的一边CD长为10m，则另一边BC＝ 　 　 m． （2）若饲养场（长方形ABCD）的面积为165m2，求边CD的长． （3）饲养场的面积能达到195m2吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由． 28．某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为28米． （1）这个车棚的长和宽分别应为多少米？ （2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？ 29．某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个． （1）求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润达到6032元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 北师大版九年级上册第二单元《一元二次方程》培优训练答案 参考答案与试题解析 一．选择题（共11小题） 1．关于x的方程x2﹣6x+k＝0没有实数根，则k的值可能是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】由方程没有实数根，则Δ＝b2﹣4ac＜0，解得k的取值范围，进而得到答案． 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣6x+k＝0没有实数根， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4k＜0， 解得：k＞9， ∴k的值可能为10． 故选：D． 【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根． 2．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【分析】对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2，设t＝x﹣1得到at2+bt+2＝0，利用at2+bt+2＝0有一个根为t＝2025得到x﹣1＝2024，从而可判断一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为x＝2025． 【解答】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0， 设t＝x﹣1， 所以at2+bt+2＝0， 而关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024， 所以at2+bt+2＝0有一个根为t＝2024， 则x﹣1＝2024， 解得x＝2025， 所以一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为x＝2025． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 3．关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0无实数根，则一次函数y＝mx﹣m的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系，求得m的取值范围，再根据一次函数的图象与系数的关系求解即可． 【解答】解：∵一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0无实数根 ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×m×（﹣1）＜0， 解得m＜﹣1， 由一次函数y＝mx﹣m可得k＝m＜0， b＝﹣m＞0， ∴一次函数y＝mx﹣m过一、二、四象限，不过第三象限， 故选：C． 【点评】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 4．若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k＝0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1 【分析】先对k是否为零进行分类讨论，再结合一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【解答】解：当k＝0时， 此时方程为﹣3x﹣＝0， 该方程有实数根， 所以k＝0满足题意． 当k≠0时， Δ＝（﹣3）2﹣4k×（﹣）≥0， 解得k≥﹣1， 综上所述，k的取值范围是k≥﹣1． 故选：C． 【点评】本题主要考查了根的判别式，对k是否为零进行分类讨论及熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 5．已知一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根为x1，x2，式子的值是（　　） A．3 B．5 C．7 D．11 【分析】】求出x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣3再整体代入计算即可． 【解答】解：由题意可知：x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣3， ∴x+x＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣1）2﹣2×（﹣3）＝1+6＝7， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题关键是明确x1+x2＝﹣，x1•x2＝． 6．根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 x2+12x﹣15 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29 由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（　　） A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.3 【分析】利用表中数据得到x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0，x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84＞0，则可判断x2+12x﹣15＝0时，有一个根满足1.1＜x＜1.2． 【解答】解：∵x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0， x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84＞0， ∴1.1＜x＜1.2时，x2+12x﹣15＝0， 即方程x2+12x﹣15＝0必有一个解x满足1.1＜x＜1.2， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 7．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（　　） A．8000（1+2x）＝1200 B．8000（1+x）2＝12000 C．8000+8000（1+x）+8000（1+x）2＝12000 D．8000×2（1+x）＝12000 【分析】已知一月份销量为8000辆，三月份增至12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的（1+x）倍，故三月份销量为8000（1+x）2，据此列方程即可． 【解答】解：设每月增长率为x， 则二月份销量为8000（1+x），三月份销量为二月份的（1+x）倍，即8000（1+x）2． ∵一月份的8000辆增加到三月份的12000辆， ∴8000（1+x）2＝12000． 故选：B． 【点评】本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 8．要组织一场排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少队伍参加比赛？设应邀请x个队参赛，则可列方程（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝4×7 D． 【分析】根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设比赛组织者应邀请x个队参赛， 根据题意得：x（x﹣1）＝4×7， 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键． 9．某校在操场东边开发出一块长、宽分别为18m、11m的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为96m2．设小道的宽为xm，根据题意可列方程为（　　） A．（18﹣2x）（11﹣x）＝96 B．2x2＝96 C．（18﹣x）（11﹣2x）＝96 D．（18﹣2x）（11﹣2x）＝96 【分析】由小道的宽为x米，可得出种植菜园的部分可合成长为（18﹣2x）米，宽为（11﹣x）米的长方形，再根据种植面积为96平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵小道的宽为x米， ∴种植菜园的部分可合成长为（18﹣2x）米，宽为（11﹣x）米的长方形． 依题意得：（18﹣2x）（11﹣x）＝96． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10．端午节当天某班同学向全班其他同学各送一份小礼品，全班共送1560份小礼品，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　） A．x（x+1）＝1560 B．x（x﹣1）＝1560×2 C．x（x﹣1）＝1560 D．2x（x+1）＝1560 【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）份小礼品，那么总共送的份数应该是x（x﹣1）份，即可列出方程． 【解答】解：设全班有x名同学，根据题意得： x（x﹣1）＝1560， 故选：C． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 11．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），系数a，b，c满足9a+3b+c＝0，9a﹣3b+c＝0，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为（　　） A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝﹣3 C．x1＝1，x2＝﹣1 D．x1＝3，x2＝﹣3 【分析】根据9a+3b+c＝0，9a﹣3b+c＝0，得到当x＝±3时，满足一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），即可得出结果． 【解答】解：当x＝±3时，使一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）成立， 即方程的解为x1＝3，x2＝﹣3． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握该知识点是关键． 二．填空题（共8小题） 12．若关于x的方程（a﹣2）x|a|+3x﹣4＝0是一元二次方程，则a＝ 　﹣2　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义求解即可． 【解答】解：由题意，得 |a|＝2且a﹣2≠0， 解得a＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 13．已知m是方程x2+3x﹣2＝0的一个实数根，则m2+3m+2025的值是　2027　 ． 【分析】将x＝m代入已知方程，得到m2+3m的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【解答】解：将x＝m代入方程得：m2+3m﹣2＝0， 移项整理得：m2+3m＝2， ∴m2+3m+2025＝2027． 故答案为：2027． 【点评】本题考查方程的解的定义，熟练掌握该知识点是关键． 14．如果关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个实数根，那么m的取值范围是 m≥﹣　 ． 【分析】若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围． 【解答】解：∵方程x2﹣x﹣m＝0有两个实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣m）＝1+4m≥0， 解得：m≥﹣． 故答案为：m≥﹣． 【点评】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 15．若等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣8x+n＝0的两个根，则n的值为 　15或16　 ． 【分析】讨论：当等腰三角形的腰长为3时，则把x＝3代入原方程得9﹣24+n＝0，从而得到n＝15；当等腰三角形的底边长为3时，利用方程x2﹣8x+n＝0有两相等的实数解得到Δ＝（﹣8）2﹣4n＝0，解方程得n＝16． 【解答】解：当等腰三角形的腰长为3时， 把x＝3代入方程x2﹣8x+n＝0得9﹣24+n＝0， 解得n＝15； 当等腰三角形的底边长为3时， ∵方程x2﹣8x+n＝0有两相等的实数解， ∴Δ＝（﹣8）2﹣4n＝0， 解得n＝16， 综上所述，n的值为15或16． 故答案为：15或16． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的解、三角形三边的关系和等腰三角形的性质． 16．若m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+mn﹣3m+n的值为 　4　 ． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根， 所以m+n＝4，mn＝﹣3，且m2﹣4m﹣3＝0， 则m2﹣4m＝3， 所以m2+mn﹣3m+n＝m2﹣4m+mn+m+n＝3+（﹣3）+4＝4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 17．在解关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+k＝0时，佳佳将二次项系数“﹣1”看成了“1”，得到方程有两个相等的实数根，则原方程的两根之积为　﹣1　 ． 【分析】先根据方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根求出k的值，再代入原方程，由根与系数的关系得出两根之积． 【解答】解：∵方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝4﹣4k＝0， 解得k＝1， ∴原方程为﹣x2﹣2x+1＝0， ∴x2+2x﹣1＝0， ∵Δ＝4+4＝8＞0， ∴关于x的一元二次方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴x1x2＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查用判别式法判断一元二次方程的根，根与系数的关系，熟练掌握用判别式法判断一元二次方程的根的情况是解决问题的关键． 18．若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别为x1＝4，x2＝﹣2，那么一元二次方程ax2+bx+c＝2ax﹣a+b（a≠0）的根为　5或﹣1　 ． 【分析】根据x1+x2＝﹣，x1x2＝求出b＝﹣2a，c＝﹣8a，再代入ax2+bx+c＝2ax﹣a+b，解方程即可． 【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别为x1＝4，x2＝﹣2， ∴x1+x2＝﹣＝4+（﹣2）＝2，x1x2＝＝4×（﹣2）＝﹣8， ∴b＝﹣2a，c＝﹣8a， 把b＝﹣2a，c＝﹣8a代入ax2+bx+c＝2ax﹣a+b得：ax2﹣2ax﹣8a＝2ax﹣a﹣2a， 整理得：a（x2﹣4x﹣5）＝0， ∵a≠0， ∴x2﹣4x﹣5＝0， ∴（x﹣5）（x+1）＝0， ∴x＝5或x＝﹣1， 故答案为：5或﹣1． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数关系，掌握x1+x2＝﹣，x1x2＝是本题解题的关键． 19．数据a，4，2，5，3的中位数为b，且a和b是方程x2﹣10x+24＝0的两个根，则b是　4　 ． 【分析】先求出方程的解，得出两种情况，代入看看是否符合即可． 【解答】解：解方程x2﹣10x+24＝0得：x＝6或4， 当a＝6，b＝4时，数据为6，4，2，5，3，数据的中位数为4，符合 当a＝4，b＝6时，数据为4，4，2，5，3，数据的中位数为4，不符合， 故答案为：4． 【点评】本题考查了解一元二次方程，中位数的应用，能够求出符合的所有情况是解此题的关键． 三．解答题（共10小题） 20．用适当方法解下列方程 （1）3（x﹣2）＝5x（x﹣2）； （2）（x﹣3）（x﹣2）＝6； （3）x2+x﹣1＝0； （4）（3x﹣1）2＝x2+6x+9； （5）（x2+x）2﹣2x（x+1）﹣3＝0． 【分析】（1）（4）用因式分解法解方程；（2）先将方程整理成一般形式，再确定解法；（3）利用求根公式法解方程；（5）先用因式分解法，再用求根公式法解方程． 【解答】解：（1）∵3（x﹣2）＝5x（x﹣2）， ∴3（x﹣2）﹣5x（x﹣2）＝0， ∴（3﹣5x）（x﹣2）＝0， ∴x1＝，x2＝2； （2）∵（x﹣3）（x﹣2）＝6， ∴x2﹣5x+6＝6， ∴x2﹣5x＝0， ∴x（x﹣5）＝0， ∴x1＝0，x2＝5； （3）∵x2+x﹣1＝0， ∴a＝1，b＝1，c＝﹣1 ∴x＝＝＝， ∴x1＝，x2＝； （4）∵（3x﹣1）2＝x2+6x+9， ∴（3x﹣1）2＝（x+3）2， ∴（3x﹣1）2﹣（x+3）2＝0， ∴[（3x﹣1）+（x+3）][（3x﹣1）﹣（x+3）]＝0， ∴（4x+2）（2x﹣4）＝0， ∴x1＝2，x2＝﹣； （5）∵（x2+x）2﹣2x（x+1）﹣3＝0， ∴（x2+x﹣3）（x2+x+1）＝0， ∴x2+x+1＝（x+0.5）2+0.75＞0， ∴x2+x﹣3＝0， 利用求根公式，得 x1＝，x2＝﹣． 【点评】本题考查了解一元二次方程的方法．当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程． 21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0． （1）求证：无论m取何值，方程恒有实数根； （2）若以方程两根为等腰三角形的两边，且其中一个根为4，求此三角形的周长． 【分析】（1）利用判别式求解即可； （2）把x＝4代入原方程求出m的值，进而解方程求出方程的两个角，再根据等腰三角形的定义和构成三角形的条件求解即可． 【解答】解：（1）根据题意可得：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2） ＝m2+2m+1 ＝（m+1）2≥0， ∴无论m取何值，方程总有实数根． （2）将x＝4代入x2﹣（m+3）x+m+2＝0，得16﹣4（m+3）+m+2＝0， 解得m＝2， ∴原方程为x2﹣5x+4＝0， 解得x1＝4，x2＝1， ∴此三角形的三边为：①4，4，1，此时三角形的周长为4+4+1＝9； ②1，1，4，此时三边不符合三角形三边关系，舍去． 综上所述，此三角形的周长为9． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程解的定义，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，综合运用各知识点是解答本题的关键． 22．已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1＝0． （1）求证：不论m任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根为x1，x2且满足，求m的值． 【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，只要证明Δ＞0恒成立即可． （2）因为＝＝，所以由根与系数的关系可得＝，解方程可得m的值． 【解答】（1）证明：Δ＝（4m+1）2﹣4（2m﹣1）＝16m2+5＞0， ∴不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由根与系数的关系，得x1+x2＝﹣4m﹣1，x1x2＝2m﹣1， ∵，即＝， ∴＝①， 解得 m＝， 经检验得出m＝是方程①的根， 即m的值为． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的情况与判别式Δ的符号的关系，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题，体现了转化的数学思想． 23．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m（m+2）＝0． （1）试说明不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）如果当m＝2时，α、β为方程的两个根，求α2﹣5α+β的值． 【分析】（1）计算其判别式，判断出其符号即可； （2）当m＝2时，其方程为x2﹣6x+8＝0，利用方程根的定义可求得α2﹣6α＝﹣8，α+β＝5，代入求值即可． 【解答】解： （1）∵x2﹣2（m+1）x+m（m+2）＝0， ∴Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4m（m+2）＝4＞0， ∴不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）当m＝2时，其方程为x2﹣6x+8＝0， ∵α、β为方程的两个根， ∴α2﹣6α＝﹣8，α+β＝6， ∴α2﹣5α+β＝α2﹣6α+α+β＝﹣8+6＝﹣2． 【点评】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，掌握方程根的情况和根的判别式的关系是解题的关键． 24．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断一元二次方程x2﹣4x+3＝0是否为“C方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程4x2+bx+c＝0（c≠0）是“C方程”，求代数式b2﹣4c﹣1的最小值． 【分析】（1）求出方程的解，根据C方程的定义判断即可； （2）利用配方法，非负数的性质求解． 【解答】解：（1）是“C方程”，理由如下： ∵x2﹣4x+3＝0， ∴（x﹣3）（x﹣1）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝3，x2＝1， ∵c＝3， ∴一元二次方程x2﹣4x+3＝0是“C方程”； （2）∵关于x的一元二次方程4x2+bx+c＝0（c≠0）是“C方程”， ∴4c2+bc+c＝0， ∵c≠0， ∴b＝﹣4c﹣1， ∴b2﹣4c﹣1＝b2+b＝（b+）2﹣， ∵（b+）2≥0， ∴b2﹣4c﹣1的最小值为﹣． 【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解C方程解的定义． 25．【方法呈现】已知：x2﹣2xy+2y2﹣8y+16＝0，求x、y的值． 解：∵x2﹣2xy+2y2﹣8y+16＝0， ∴（x2﹣2xy+y2）+（y2﹣8y+16）＝0． ∴（x﹣y）2+（y﹣4）2＝0． ∵（x﹣y）2≥0，（y﹣4）2≥0， ∴x﹣y＝0，y﹣4＝0， ∴x＝4，y＝4， ∴x的值为4，y的值为4． 【方法探究】已知m2﹣4mn+5n2﹣4n+4＝0，求m、n的值． 【方法应用】在△ABC中，BC＝a＝3，AC＝b，AB＝c，b、c满足b2﹣8b+c2﹣10c+41＝0，求证：∠C＝90°． 【分析】【方法探究】依据题意，由m2﹣4mn+5n2﹣4n+4＝0可得（m﹣2n）2+（n﹣2）2＝0，从而m＝2n，n＝2，进而可以计算得解； 【方法应用】依据题意，由b2﹣8b+c2﹣10c+41＝0可得b2﹣8b+16+c2﹣10c+25＝0，则（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，从而b＝4，c＝5，结合a＝3，最后可得a2+b2＝c2，进而得解． 【解答】【方法探究】解：∵m2﹣4mn+5n2﹣4n+4＝0， ∴m2﹣4mn+4n2+n2﹣4n+4＝0， ∴（m﹣2n）2+（n﹣2）2＝0， ∴m＝2n，n＝2． ∴m＝4； 【方法应用】证明：由题意，∵b2﹣8b+c2﹣10c+41＝0， ∴b2﹣8b+16+c2﹣10c+25＝0， ∴（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0， ∴b＝4，c＝5． 又∵a＝3， ∴a2+b2＝32+42＝25＝c2． ∴由勾股定理逆定理可得，△ABC为直角是三角形，且∠C＝90°． 【点评】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质：偶次方、勾股定理的逆定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． 26．冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58元的价格出售．经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只． （1）求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只．当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【分析】（1）设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该款棉帽售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣35）元，利用月销售利润＝每件的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：256（1+x）2＝400， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）， 答：该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为25%． （2）设该棉帽售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣35）元，月销售量为 400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）只， 根据题意得：（y﹣35）（1560﹣20y）＝8400， 解得：y1＝50，y2＝63（不符合题意，舍去）． 答：该款棉帽售价为50元时，月销售利润达8400元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 27．某农场要建一个饲养场（长方形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27m，AB位置的墙最大可用长度为15m），另两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的HE、GF、HG三处各留0.75m、0.75m、1.5m宽的门（不用栅栏）．建成后栅栏总长45m． （1）若饲养场（长方形ABCD）的一边CD长为10m，则另一边BC＝ 　18　 m． （2）若饲养场（长方形ABCD）的面积为165m2，求边CD的长． （3）饲养场的面积能达到195m2吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由． 【分析】（1）由木栏总长为45米，即可求出BC的长； （2）设CD＝x（0＜x≤15）米，则BC＝（48﹣3x）米，根据饲养场（矩形ABCD）的面积为165平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值； （3）设CD＝x（0＜y≤15）米，则BC＝（48﹣3x）米，根据饲养场（矩形ABCD）的面积为195平方米，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝162﹣4×65＜0，即可得出饲养场的面积不能达到195平方米． 【解答】解：（1）BC＝45﹣10﹣2×（10﹣0.75）+1.5＝18（米）． 故答案为：18． （2）设CD＝x（0＜x≤15）米，则BC＝45﹣x﹣2（x﹣1）+1＝（48﹣3x）米， 依题意得：x（48﹣3x）＝165， 解得：x1＝5，x2＝11． ∵x≤15，48﹣3x≤27， ∴7≤x≤15， ∴x＝11， 当x＝11时，48﹣3x＝48﹣3×11＝15（米），符合题意． 答：边CD的长为11米； （3）不能，理由如下： 设CD＝x（0＜y≤15）米，则BC＝45﹣x﹣2（x﹣1）+1＝（48﹣3x）米， 依题意得：x（48﹣3x）＝195， 整理得：x2﹣16x+65＝0． ∵Δ＝162﹣4×65＜0， ∴该方程无实数根， ∴饲养场的面积不能达到195m2． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 28．某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为28米． （1）这个车棚的长和宽分别应为多少米？ （2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？ 【分析】（1）设平行于墙的边长为x米，则垂直于墙的边长为米，根据建造车棚的面积为80平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙的长度即可确定结论； （2）设小路的宽度是m米，则停放自行车的区域可合成长为（10﹣m）米，宽为（8﹣2m）米的长方形，根据停放自行车的面积为54平方米，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论． 【解答】解：（1）设平行于墙的边长为x米，则垂直于墙的边长为米， 依题意得：x•＝80， 整理得：x2﹣28x+160＝0， 解得：x1＝8，x2＝20． 又∵这堵墙的长度为12米， ∴x＝8， ∴＝10． 答：这个车棚的长为10米，宽为8米． （2）设小路的宽度是m米，则停放自行车的区域可合成长为（10﹣m）米，宽为（8﹣2m）米的长方形， 依题意得：（10﹣m）（8﹣2m）＝54， 整理得：m2﹣14m+13＝0， 解得：m1＝1，m2＝13． 当m＝1时，10﹣m＝9，8﹣2m＝6，符合题意； 当m＝13时，10﹣m＝﹣3，不合题意，舍去． 答：小路的宽度是1米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 29．某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个． （1）求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润达到6032元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意得：150（1+x）2＝216， ∴x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个， ∴（y﹣300）（60﹣×1）＝6032． ∴y1＝416，y2＝404， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴y＝404． 答：该品牌头盔的实际售价应定为404元/个． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意列出一元二次方程是解答本题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/2 11:09:29；用户：刘睿；邮箱：15902885850；学号：58379475 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $