2026年6月第37届YMO全国青少年数学思维研学交流活动九年级复赛试卷

绝密★启用前 A.29 B.32 C.35 D.37 YMO青少年数学思维研学交流活动 7,A、B两位同学各有5张卡片，现以投掬均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面向上时，A赢得B一张卡片，否则， 复赛试卷 B赢得A一张卡片.若某人已赢得所有卡片，则游戏终止那么，恰好掷完7次硬币时游戏终止的概率是()。 注意事项： A高B总C员D品 1、考生按要求用黑色.蓝色圆珠笔或钢笔在密封线内填好考生的相关信息。 2、考试时间90分钟。 8.若426-15×1012+a(aeN)能被225整除，则正整数a的最小值为()。 3、本试卷共8页，满分100分 A.207B.208 C.209D.210 4、不得在答卷做任何标记. 总分 5、考生超出答题区域答题将不得分 9.已知数列a,的首项=2，且点血，a)血EN)都在一条斜率为3的直线上，则数列的前66项的和为 6、考生在考试期间不得作弊，否则试卷记零分处理。 阅卷人 ( )。 A出B品 c温D.成 九年级试题 10.如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=2,P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值为( 一、选择题（每题3分，共计30分） 1,若cosa=子则tan2号=( ) A. B.号 c.高0.品 A.v6-V2 B.√6+√2 C.2+3 D.4-V3 长 2.若从1,2,3，…，99这99个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 ( )种。 二、填空题（每题3分，共计30分） A,1882776B.1831600C,1883260D.1882580 1,已知等差数列aJ的前n项和为S,若S4m=45,5m=12,53m-52m=()。 3.有99个整数，它们都不是5的倍数，那么它们的4次方的和被5除，得到的余数是( )。 2.已知整数a,b.c满足不等式4a2+0+c2≤b+12b+5c-61,则abc的值是()。 A.4 8.3 C.2D.1 3.如图，点G为△ABC的重心，过点G作DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E,作AI⊥BC,交E于点M,交C于 4,如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F,若AC=6, 点N,则△ABN与△ADM的周长之比为()。 BC=B,则EF的长为()。 B. 5 c.D. 第3题图 第4题图 5.已知22+3a+1=0,且品=1，则m的值是（人 &9 4。如图，在平面直角坐标系中，点A(~2,0,直线1：y=马+与x轴交于点B,以B为边作等边△BA,过 c . 点A作AB∥x轴，交直线1于点B,以AB为边作等边△ABA,过点A:作AB,∥x轴，交直线1于点B,以AB:为 6.若5x3+ax2-bx+25有两个因式x-2和x+3,则a+b的值是()。 边作等边△ABA,以此类推，…，则点A=的坐标是()。 第1页共八页 第2页共八页 5.比较两数A=当B=岩的大小，A()B。(填“大于、“小于”或“等于门 2如图，在△ABC中，∠A=75°，∠B=45°，BC=4V2,P、M、N分别是AB、AC、BC边上的动点。 6。定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”，如图，在平面直角坐 标系xOy中，矩形OABC的边OA=4W3,OC=5v3,点M在OA边上，且OM=3AM,若在AB边上存在点P,使得 △CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为()。 (1)当△PMN的周长最小时， ①CB与PB存在什么数量关系？②△PMN的周长最小值是多少？③求AP的长度。 (2)△ABC的面积是个定值，这个定值是多少？ MA衣 第6题图 第T恩图 第9圈图 3证明：当x≥0且为整数时，x4=0(mod16 {1(mod16) 7,如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30,以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D,连接BD,再 分别以点B,D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P,作射线AP交BC于点E,连接DE,则下列结论中 不正确的是()。 ①AB=A0:②愿目是想要利用尺规作图法面出D的垂直平分线，@温-只①D=CB,B昵，@DE=CBBE 4.如图，边长为6√2的正方形，内切圆记为⊙0，P是⊙0上一动点。 8。设X=a是x的小数部分，b是-x的小数部分，则日+b3-3ab=（ 9.反比例函数y=和y=(k大于1)在第一象限的图象如图所示，点P在y=上过点P作PA1y轴于点A,与 y=交于点C,过点P作PB1x轴于点B,与y=交于点D,连接OP,OC、OD、AB和D.四边形PCOD的面积记 为S:,△0CD的面积记为S2下列结论正确的是()。 (1)求V2PA十PB的最小值： ①S,随着k值的增加而增加：②需=六③若S,2=台那么k=号④当四边形Ae0是正方形时，△P0D是等腰直角 (2)当V2PA+PB取得最小值时，AP的值是多少？ 三角形：回当点P坐标是(22)时，AP上有一动点Q,Q0+QD的最小值是受，此时点Q坐标是（号，2 10.已知x+x+…+x号一号的个位数字是1，其中，x1,x2,……,x是8881,8882，，8889中的九个不同的数 且8xg>X1+为+…+Xg,那么xg是()。 5.设数列a]满足a=子+1=h+,nN。 三、解答题（每题8分，共计40分） (1)求数列{a}的通项公式： 1.求下列函数的解析式。 2)若数列a}的前n项和为T,求证：T。< (1)已知f(反-1)=2x+5,求fx): (3)设b.=(3n+1)·a,求数列h}的最大项。 (2)已知f(版+)=x2+片，求树， 第3页共八页 第4页共八页