第06讲 三角形边角范围及最值问题解法探究（5题型）讲义-2025-2026学年高一下学期数学期末必考重难点题型归纳及检测（苏教版）

第06讲三角形边角范围及最值问题解法探究 目录 01题型归纳目录… 02知识点梳理. 知识点1：解决三角形范围与最值的方法 …3 03重难点题型… 题型一：求三角形周长的取值范围或最值... 题型二：求三角形面积的取值范围或最值......................7 题型三：求三角形中指定边长或边长之和的取值范围与最值 12 题型四：通过转化为角的范围求解三角形相关问题 。。。。。.。14 题型五：在锐角三角形条件下求几何量的范围与最值… 18 04过关检测25 1/13 01 题型归纳目录 题型一：求三角形周长的取值范围或最值 题型五：在锐角三角形条件下求几何量的范围与最值 题型归纳 题型二：求三角形面积的取值范围或最值 题型四：通过转化为角的范围求解三角形相关问题 题型三：求三角形中指定边长或边长之和的取值范围与最值 2/13 02 知识点梳理 知识点1：解决三角形范围与最值的方法 在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点.解决这类问题，通 常有下列五种解题技巧： (1)利用基本不等式求范围或最值： (2)利用三角函数求范围或最值； (3)利用三角形中的不等关系求范围或最值： (4)根据三角形解的个数求范围或最值； (5)利用二次函数求范围或最值 要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函 数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形 自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大 3/13 3 重难点题型 题型一：求三角形周长的取值范围或最值 例1.(2026高一·上海阶段检测)在锐角ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足 a-b c-b ,且a=2. sin C sin A+sin B (I)若O0为ABC的外接圆，求⊙0的半径R; (2)求锐角ABC周长1的取值范围. 例2.(2026高一.陕西咸阳阶段检测)已知m=V3sinx,-cosx,元=(cosx,cosx),f(x=m.i,设ABC的 内角A,,C所对的边分别为a,b,。且利-号 0若a=7,osB=行求ABC的周长： (2)若ABC的面积为2√5，E为BC边的中点，求AE长的最小值； (3)若a=V3，求锐角ABC周长的取值范围 例3.(2026高一江苏无锡·阶段检测)已知ABC为锐角三角形，a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的 对边，且bcosC+ccosB=2 acosA, (1)求A: (2)若b+c=5, A8C的面积为3V5,求ABC的月长， 2 (3)若a=1,求ABC周长的取值范围 变式1.(2026高一广东揭阳·阶段检测)已知ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足 3sin A cos B =3sin C-sin B. 4/13 ()求cosB+C : (②)若a=1,求ABC周长1的最大值， 题型二：求三角形面积的取值范围或最值 例4.(2026高一辽宁.期中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为α，b,c,已知 +abcosC=becosA+accos B+ (1)求C (2)若c=6. (I)求△ABC周长的取值范围； (Ⅱ)求△ABC面积的最大值. 例5.(2026高一山东青岛期中)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，且 (a+2b)cosC+ccosA=0. (1)求C; (2)若c=2,求ABC面积的最大值. 例6.(2026高一·上海徐汇·阶段检测)上海某区计划将某乡村规划成休闲度假区，该度假区形状如图 ABC,设想在其中规划出三个功能区：△PBC为露营区，△PAB为垂钓区，△PAC为活动区.己知ABC 为直角三角形，∠ABC=7,AB=35km,BC=2W5km,P为4BC内一点，且∠BPC=2红 3 B (1)安全起见，垂钓区周围需要筑护栏，已知PB=2km,求∠PCB的大小； 5/13 (2)求露营区面积的最大值. 变式2.6206高-上海期卫屋数八小=2c-引m个+)-2sm7:eR (①)求函数∫(x)的最小正周期及单调递增区间； Q求函数f八x)在0上的最值； (3)在ABC中，f(A)=0,AC=m,m2,4,若对任意实数t恒有AB-1AC≥BC,求ABC面积的最大 值， 变式3.(2026高一江苏南京阶段检测)己知a,b,C分别为ABC三个内角A,B,C的对边，满足 asinB=√3 bcosA. (1)求A, (2)若a=2,且ABC的面积为3，求ABC的周长： (3)若ABC是锐角三角形，且a=2,求ABC面积S的取值范围. 题型三：求三角形中指定边长或边长之和的取值范围与最值 例7.(2026高一广西南宁.期中)在锐角aABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=√5， b2+c2-bc=3,则b-c的取值范围是() A.（1,1 B.(-1,1] C.(-3,1) D.(-√3，] 例8.(2026河南郑州二模)已知ABC的面积为1，AC,AB的中点分别D,E,且CE=2BD,则AC 的最小值为() A.5 B.2 D.2W5 例9.(2026高一河北石家庄·期中)已知锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C, 若bcosC+ccosB=1,bcosA=1+cosB,若C=ma,则m的取值范围是() 6/13 A.L,3) B.(0,1) C.(1,2) D.(0,2) 变式4.(2026高一江西南昌期中)如图，在凸四边形ABCD中，AB=1,BC=V3,AC⊥CD,AC=CD, 当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为() A.7+23 B.√7+2V3 C.7-2V6 D.V6+1 题型四：通过转化为角的范围求解三角形相关问题 例10.(2026高三全国二轮复习)在锐角ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ABC的外 圆半径为R,若ABC的面积S=8R'sin BsinC, 则P的取值范围为() C A. B 例11.(2026高一湖南株洲期末)在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 a=c-2 a cos B,则 12sin2A 的取值范围为() 4sin A-sin C A.[2V2,+0)B.(2V2,+0) C.[2√2,3] D.(2√2,3) 例12.(2026湖北武汉：模拟预测)在锐角ABC中，a2-b2=bc,则角B的范围是 5+6simA的取值范围为 tan B tanA 变式5.(2026·高一山东济南·阶段检测)已知锐角ABC中，∠A=2∠B,AC=4,则BC的范围为 变式6.(2026高一江苏泰州期中)在锐角△ABC中，若C=2B,则的范围 变式7.(2026高一贵州阶段检测)在ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,若 a cosB+b cos A+2ccosC =0,C= ;cos Acos B的范围 题型五：在锐角三角形条件下求几何量的范围与最值 例13.(2026高一山西期中)定义：设0为坐标原点，若非零向量0M=(a,b),函数f(x)的解析式满足 f(x)=asin x+bc0sx,则称f(x)为OM的伴随函数，OM为f(x)的伴随向量. (①)若向量0而为函数f()=2simx+的伴随向量，求O7的坐标； 3 (2)若函数∫(x)为向量0M的伴随函数，在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,f(C)恰好为函数 f(x)的最大值， (i)若OM=(24,7),∠ACB的角平分线交AB于点D,c=2,求CD的最大值； 7/13 (i)若OM=N5,),在锐角A8C中，求7-a+b的范围。 ab 例14.（2026高一四川攀枝花·阶段检测)已知ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,向量 m=(c,cosC）,i=(2sinA-cosB,-b),且m⊥i. (I)求角C的值： (2)若ABC为锐角三角形. (i)求角A的范围； (i)已知a=4,求b+c的取值范围. 例15.（多选题)(2026高一江苏扬州期中)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=sinB, b=sinC,c=1a(2>0),则() A.b2=ac B.TsB<π C.1的取值范围是 3-W53+V5 22 D.使ABC为锐角三角形的2的整数值只有1 变式8.(2026高一江苏盐城期中)在锐角ABC中，角A,B,C的边分别为a,b,c,S为ABC的面积， 二V352+c2一2hc-a2,则的取值范围为 bc B.(0,3 C.「22,3 D. [5 变式9.(2026高一·湖北期中)在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,记△ABC的面积为S,若 (b2-a2)sinB=2S,则b+c-a的取值范围是() a A.(1,5 B.2+1,5) C.(1,5+2 D.(2,5+ 8/13 过关检测 1.(2026高一湖北武汉·期中)在锐角ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C且 a2=2a-1sin2B,则a+√2b的取值范围() A.(2,1+V2) B.(2,1+2 D. 2.(2026高一福建福州期中）48C中，角4，B,C的对边分别为a,,c,已知6=3，osA=2,当 3 角C有两解时，a的取值范围为() A.(0,V7) B.(7,3) C.(V7,+o) D.(3,+o) 3.(2026高一河南平顶山阶段检测)在锐角ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C.若a=1, bcosA=1+cosB,则C的取值范围是() A.(2,5 B.,5) C.（2,2 D.(1,2 4.(2026高一山东阶段检测)在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，已知c=2,cosA=b- 3, 则a+b的取值范围是() A.(2,4] B.2,2V3 C.(2,6+V2 D.(2,V2+5 5.(2026高一江苏宿迁·阶段检测)在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,2a-b=2 ccosB且 c=2,则2a-b的取值范围为() 03 2 B., c.(1,2w5 D.0,2V5 6.（多选题)(2026高一江苏盐城期中)在锐角ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足 a(cosB-cosC)=(b+c)cosA.下列说法正确的有() A.A=2B B. 2C的取值范围为 4 C.cosB取值范围为 D.若∠BAC的平分线交BC于D,AD=1,cosB=,则+18 b c 5 7.(多选题)(2026高一浙江温州期中)在锐角ABC,内角A,B,C的对边分别是Q,b,C,已知 sinA=sin B sin C,则下列说法正确的是() 9/13 A.tan B+tan C tan B tan C B,simB+sinC有最大值5 sinC sin B C.a>b D.a'sbe 5 8.（多选题)(2026高一山东青岛阶段检测)在锐角ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,C, 若b+9=6c0sC,则() a b A.cosC的最小值为 B. tanC tanC=4 tan A tan B C.中线CD的长度为5 D.tanA.tanB≥2 9.(多选题)(2026高三·全国阶段检测)在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.O为外接 圆圆心，已知(c+a)(sinC-sinA)=(c-b)sinB,asinC=√3(2-acosC),则下列结论正确的是() A4=月 B.b=3 C.ABC周长取值范围为3+V5,6+2V5) 55 D.aOAC和△OBC面积之差的取值范围为 4’12 10.(2026高三北京海淀阶段检测)己知平面四边形ABCD中，CD=BC=12,∠A=120°，∠C=60°. A (1)若AD=8,求AB的长； (②)设LADB=a,记四边形ABCD的周长L,求L的最大值 11.(2026高一山西·阶段检测)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,c2+abcos C bccos A+accos B+-ab. 2 (1)求C. 10/13 (2)当c=6时. (i)求ABC周长的取值范围； (ii)求ABC面积的最大值. 12.(2026安徽模拟预测)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足 （a+b+c)(sinA+sinB-sinC）=asin B+2 bsin A. (1)求角C的大小： (2)若c=√3，求ABC面积的最大值. 13.(2026高一·黑龙江哈尔滨阶段检测)定义：设O为坐标原点，若非零向量0M=(a,b),函数f(x)的解 析式满足f(x)=asinx+bcosx,则称f(x)为OM的伴随函数，OM为f(x)的伴随向量 (1)若向量0M为函数f(x)=2sinx+ π 6 的伴随向量，求0M的坐标： 2)若函数f(x)为向量OM=(24,7)的伴随函数，在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C, f(C)恰好为函数f(x)的最大值. (i)若∠ACB的角平分线交AB于点D,c=2,求CD的最大值： (i)在锐角ABC中，求T=C+S的范围. a b 14.(2026高一湖南长沙.期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3 bcos4=V3 asin B. (1)求A: (2)若a=2,△ABC周长为6，求ABC的面积： (3)若ABC为锐角三角形，求a+的范围. 11/13 15.(2026高一福建厦门阶段检测)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知 b(2-cos A)=3a sin B. (1)求A: (2)若a=2,ABC周长为6，求ABC的面积； (③)若ABC为锐角三角形，求a+C的范围 b 16.(2026高一·四川内江·期中)在锐角ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足 a2-b2=bc. (1)求证：A=2B: (2)若b=1,求a边的范围； 3)求，1。-1+2sn4的取值范围。 tan B tan A 17.(2026高一湖南永州期末)在锐角ABC中，角A,B,C所对应边分别为a,b,c, 2sinA(ccosB+bcosC)=3a. (1)求A; (2)若a=√3，求b2+c2+bc的取值范围. 18.(2026高一四川凉山期中)已知a=(-l,25,万=(sin'x-cos2x,sinxcosx),f(x)=ai,x∈R (1)求函数f(x)的单调增区间； (3)在锐角ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=1,f(A=1,求2a2+bc的取值范围. 12/13 19.(2026高一河北承德·阶段检测)在锐角ABC中，设角A,B,C的对边依次为a,b,C,满足 a cosC+3asin C-b-c=0. (I)求A的大小： (2)若a=V3，求边BC上的中线AD的取值范围. 20.（2026高一，吉林长春·期中)在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 tan 4+8 B+tC=4. 2 2 (1)求C; (②)若a=2,求ABC的面积S的取值范围. 21.(2026高一山东济宁.阶段检测)己知函数f(x)=p-2cos2x-√3sin2x,在R上的最大值为3. (I)求P的值及函数∫(x)的最小正周期与单调递增区间： (②)若锐角ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且f4)=0,求的取值范围. 13/13第06讲三角形边角范围及最值问题解法探究 目录 01题型归纳目录… 02知识点梳理. 知识点1：解决三角形范围与最值的方法 …3 03重难点题型… 题型一：求三角形周长的取值范围或最值... 题型二：求三角形面积的取值范围或最值......................7 题型三：求三角形中指定边长或边长之和的取值范围与最值 12 题型四：通过转化为角的范围求解三角形相关问题 。。。。.。.。14 题型五：在锐角三角形条件下求几何量的范围与最值 18 04过关检测25 1/46 01 题型归纳目录 题型一：求三角形周长的取值范围或最值 题型五：在锐角三角形条件下求几何量的范围与最值 题型归纳 题型二：求三角形面积的取值范围或最值 题型四：通过转化为角的范围求解三角形相关问题 题型三：求三角形中指定边长或边长之和的取值范围与最值 2/46 02 知识点梳理 知识点1：解决三角形范围与最值的方法 在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点.解决这类问题，通 常有下列五种解题技巧： (1)利用基本不等式求范围或最值： (2)利用三角函数求范围或最值； (3)利用三角形中的不等关系求范围或最值： (4)根据三角形解的个数求范围或最值； (5)利用二次函数求范围或最值 要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函 数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形 自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大 3/46 03 重难点题型 题型一：求三角形周长的取值范围或最值 例1.（2026高一·上海阶段检测)在锐角ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足 a-b c-b ,且a=2. sin C sin A+sin B (I)若O0为ABC的外接圆，求00的半径R; (2)求锐角ABC周长I的取值范围. 【解析】（1)由正弦定理原式ab=Cb。可化为：a-b_-b sin C sinA+sinB c a+b 整理得：a2-b2=c2-bc, 即b2+c2-a2=bc, 由余弦定理cosA= 6+c2-a,代入得cosM bc 1 2bc 2bc21 因为48C是镜角三角形，故4=号 由正弦定堕可得2R==2=45 sin A 33, 2 所以00的半径R为2 39 2由D得4-骨，则8+c 3, 即sinC=sin 2c0sB+1 由正弦定理可知b=asinB=4 sinA 3 inB,c=asinc。4 sinsinC, 所以b+c= sinB+snC= 4 sinB+3 4 cosB+sinB 1 2 =4 sinB+-cosB 2 =4sinB+π） 6/· 因为ABC为锐角三角形，所以0<B<交， 0<2-B< 3 2 则88+经， 63 则m9小即aa5利 4/46 则a+b+ce(2+25,6, 故ABC的周长的取值范围为(2+2V5,6。 例2.(2026高一陕西咸阳阶段检测)已知m=V5sinx,-cosx,i=(cosx,cosx),f(x)=m·i,设ABC的 内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且f八4=2 1 (若a=1,cosB=-7求4BC的周长； (2)若ABC的面积为2√3，E为BC边的中点，求AE长的最小值； (3)若a=√5，求锐角ABC周长的取值范围， 【解折1)f时=-m-csx-号m2x1g2r=sn2x君引号 2 由-m2441… 由40对1-司后5人因t24音-4 62 3 则5<B<元，故snB=4 1 其中cosB= 2 7 由0、b sin A sin B '可得b=asin B7x sin A 1=8 V 2 由a2=b2+c2-2 becos A,则64+c2-8c=49,可得c2-8c+15=0, 所以c=3或c=5,又cosB-+c-B<0,则a+c2<b,即c2<15, 2ac 综上，c=3,故三角形的周长为a+b+c=18; (2南已知nd=,又48C的面职为25，州n4=26,解得c=8 又证=+4C,则4正=丽+aC+2丽4cc2++2cos)=e2+6+bc 242c+bc)=4×3bc=6, 当且仅当b=c时，等号取到，所以AE26→AE≥6； 即ABC边BC上中线AE长的最小值为√6， ac b 3 =2 (3)由正弦定理可知：sinA sinC sinB√3 2 5/46 因此有a+b+c=V3+2sinB+2sinC=3+2sinB+2sin -8 3 2 sinB 2simB+2sin cosB-2cos =V5+2sinB+2xV5。 osB+2×-sinB 2 2 =5+动n8+5oc8=25an8+8}5, 由于 2T-B< 6 63 0< 2 s1,因此a+b+c∈(3+5,35 π 6 例3.(2026高一江苏无锡·阶段检测)已知ABC为锐角三角形，a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的 对边，且bcosC+ccosB=2ac0sA, (1)求A: ②若6+c=5,BC的面积为2，求A6C的周长， (3)若a=1,求ABC周长的取值范围. 【解析】(1)在ABC中，因为2 acosA=ccosB+bcosC, 所以2 sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC,即2 sinAcosA=sin(C+B)=sinπ-A)=sinA, 因为Ae0,m,所以sinA>0,故cosA=7,则A=: (2)因为4BC的面积为35，即besin4=)×b×c×si π3V3 2 2 32 所以bc=6 由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccosA=b2+c2-bc=(b+c2-3bc=25-18=7 解得a=√7，所以ABC周长为5+√7 b =-a 12V3 C③》由正孩定理得8C4m号，即6= -= sin8,c=2 -sinC, 3 3 因为ABC为锐角三角形，则0<B<,0<C=2-B<,故<B< 3 6/46 3 π 故a+b+c=1+2sinB+ e(1+3,3], 6 故ABC周长的取值范围为(1+√5,3] 变式1.(2026高一·广东揭阳·阶段检测)已知ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足 3sin Acos B=3sin C-sin B B+C (1)求cos二 2 (②)若a=1,求ABC周长1的最大值 【解析】(1)在△ABC中，C=π-A+B),则sinC=sinπ-A-B)=sinA+B)=sin Acos B+cos Asin B, 代入3 sin Acos B=3sinC-sinB,得3 sin Acos B=3 sin Acos B+cos Asin B-sinB, 化简得：sinB(3cosA-1=0,显然sinB≠0，则3cosA-1=0→cosA= 3 由于B+C=-A,则cosB+C=cos,4=sin4, in2,由sin21-1-cos41 A3 2 2 因此cosB+C、V5 2 3 (2)周长1=a+b+c=1+b+c,要求周长I的最大值，即求b+c的最大值， 已知a=1,cosA=写代入余弦定理a2=6+c2-2 becos可得公+c2=1+名c, 1 3 则(b+c2=6+2bc+c2=1+2bc+2c=1+8bc, 因此要求b+c的最大值，即求bc的最大值， 利用医本不停式得谷+心≥2次c→1+号c≥2c→c≤子，当6=c时，c取最大值子 3 此时(b+c2=1+8×2=3今b+c=5, 34 因此，周长1的最大值为1=1+√5 题型二：求三角形面积的取值范围或最值 例4.(2026高一·辽宁.期中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 abcosC-becos 4+accosB+b 1 (1)求C (2)若c=6. (I)求△ABC周长的取值范围； 7/46 (IⅡ)求△ABC面积的最大值. 1 【解析】(1)因为c2+abcosC=becosA+ac cos B+二ab,sinA+B)=sinπ-C)=sinC, 所以由正弦定理得， sin2C+sinAsinBcosC sinsinCsininnninCiniC 1 则sin4 sinBcosC=sin4sinB,由A,B,Ce0.a,得sin4sinB≠0，所cosC),则C生3 a b c 6 =4V5 (2)(1)由正弦定理得，sin4sin B-sinC=V5 2 所以a=45sn4,b=45sinB=46sn4+C=45sm4+写 △假k=6-imr别6-h号9od小m引 3 期4+m+} 所以△ABC的周长的取值范围为12,18： (IⅡ)由余弦定理得c2=36=a2+b2-2 abcosC=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab, 所以ab≤36，当且仅当a=b=6时等号成立 所以Saac=absinC≤9V3, 2 所以△ABC面积的最大值为9√3 例5.(2026高一山东青岛期中)已知a,b,C分别为ABC三个内角A,B,C的对边，且 (a+2b)cosC+ccos A=0. (1)求C; (2)若c=2,求ABC面积的最大值， 【解析】(1)因为(a+2b)cosC=-ccosA, 由正弦定理得(sinA+2sinB)cosC=-sinCcosA, sinAcosC +2sinBcosC =-sinCcosA, 所以2 sin B cosC=-(sin AcosC+sinC cosA), 2sin B cosC =-sin B, 8/46 因为sinB≠0，所以cosC=- 1 因为0<C<,所以C=2 (2）S.sc=2 bsinC= 3 4b, 由余弦定理得4=a2+b2-2 abcos2π 化简得4=a2+b2+ab,又因为a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时，等号成立， 所以4ab22ab,即ab≤号y 所以Sc=5bs 6≤5，故A8C的面积最大值为5 4 3 例6.(2026高一·上海徐汇·阶段检测)上海某区计划将某乡村规划成休闲度假区，该度假区形状如图 ABC,设想在其中规划出三个功能区：△PBC为露营区，△PAB为垂钓区，△PAC为活动区，已知ABC 为直角三角形，∠ABC=,4B=3V5km,BC=2V5m,P为ABC内一点，且∠BPC-2红 3 B (I)安全起见，垂钓区周围需要筑护栏，已知PB=2km,求∠PCB的大小； (2)求露营区面积的最大值. 【解析】(1)由题设， BC PB sin∠BPC sin☑PcB→sin PCB= PBsin BPC 1 BC 而PB<BC,即∠BPC=2T>∠PCB,故∠PCB= 6 (2)由题设BC2=PB2+PC2-2PB·PC cos /BPC=PB2+PC2+PB·PC≥3PB·PC, 所以PB·PC≤4，当且仅当PB=PC=2时取等号， 以SArG =PB:PCsin∠BPC≤×2×3-V,即露营区面积的最太 2 变式2.(26有一上毒期已知医数=co-引小or+引2nxeR (I)求函数∫(x)的最小正周期及单调递增区间； ②求函数()在0 上的最值； 9/46 (3)在ABC中，f(A)=0,AC=m,m∈[2,4，若对任意实数恒有AB-1AC≥BC,求ABC面积的最大 值， 1=2w-引}m-a9w -2sin2x -sin xcos.-3sinsin2x-3.1-cs2x 2 2 2 2 则函数)的最小正周期为牙=x 令2as2x+号子+2ae2,解得资+a≤s位aez, 12 则函数f(x)的单调递增区间为 则n+写[兽6m+引35-引 则函数f(纠在0上的最小值为-3，最大值为5- 8)由小-5m24+引=0，有24+引-5 因为4Q,所以24+后行），则24骨行母4=天 33 由AB-1AC≥BC,得AB-tAC≥AC-AB, 两边平方，得AB2-21AB.AC+AC≥AC-2AB.AC+AB, 则rAC-21AB.AC+2AB.AC-AC2≥0对于任意实数恒成立， 所以△=4AB.AC-4AC2AB.AC-AC≤0， 则(AB.AC-2AC(AB.AC+AC≤0， 即(aB.4C-AC≤0，则BAC-4AC=0, 而aC=m,me2.4,4=若则acos&C=0, 西5a-a-0则2 26 6 3 10/46 当且仅当m=4等号成立，则ABC面积的最大值为8N5 3 变式3.(2026高一江苏南京·阶段检测)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，满足 asinB =3bcosA. (1)求A, (2)若a=2,且ABC的面积为√3，求ABC的周长； (3)若ABC是锐角三角形，且a=2,求ABC面积S的取值范围. 【解析】(1)由√5 bcos A=asin B和正弦定理，可得V5 sin B cosA=sin Asin B, 其中Be(0,π)，故sinB≠0.√3cosA=sinA,即tanA=√3， 因为4：0，所以4-骨 ②①因为Sbesin A-V3 be三NB,所以bcs4 4 由余弦定理可得a2=b2+c2-2 becos A=(b+c2-3bC 即4=(b+c)2-12,所以b+c=4, 所以ABC的周长为a+b+c=2+4=6. (3)因为ABC是锐角三角形，A=3, π 0<B< 所以 0<2-B< 五解得君<B<行 6 3 2 a2_45。b 由正弦定理，sinA5氵sinsin C,则b=4W5s C 3 sin B,c=43 sin C, 3 2 所sn4=94,gm8如c-5min倍- 43 3 3 43, 34 由828-）所以m28-} 11/46 所以23 即ABC面积S的取值范围为 题型三：求三角形中指定边长或边长之和的取值范围与最值 例7.(2026高一广西南宁.期中)在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=√5， b2+c2-bc=3,则b-c的取值范围是() A.（-1,1) B.(-1,] C.(-V3,1) D.(-3,] 【答案】A 【解析】由已知得：b2+c2-bc=a2,即b2+c2-a2=bc, 所cos4+c-abe,文Ag0野所以A 2bc2bc 2 3, b a 3 由正弦定理得：sinB sinC sin 4 sin =2 π 所以6=25n8,c=2sinC=2sn(写+8V5cosB+sm8 所以b-c=2sB-5cosB+sin8)=smB-5cos8=2snB-写 又C=π-(4+B)=2π-B 3 0<B< 所以由ABC是锐角三角形得： 2 台<B<T台-π<B-”< 2-B< 6 2 6 36 0< 3 -2 -1<2simB3}9 <1,即b-c的取值范围是(-1,1). 例8.(2026河南郑州二模)己知ABC的面积为1，AC,AB的中点分别D,E,且CE=2BD,则AC 的最小值为() A.√5 B.2 C.4 D.23 【答案】A 【解析】取CE∩BD=G,根据已知条件可知G为ABC的重心， 由CE=2BD,设DG=x,∠BGC=0,则BG=2x,CE=6x,CG=4x,EG=2x, 2 12/46 又因为S.cc=号BG-CGsin9=2x4rsim0=4r2sin0, 2 1 1 所以4x2sin0=。→x2= 3 12sin0 由余弦定理可知CD2=x2+16x2-2x,4x(-cos0)=17×,1。+8xcos6=17+8c0s0 12sin0 12sin0 12sin0 17+8cos0 17 令t= ,则12tsin0-8cos9=17→V64+144tsin(0-p)=17→sin(0-p)= 12sin0 V64+14412, 即764+14≤1964+144≥289314r225→F≥25 17 144, 因为1>0，所以≥5-，即cD:-17+8cos6- 124 12sin0 2 因为AC=2CD,所以AC的最小值为√5. C 例9.(2026高一·河北石家庄期中)已知锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C, 若bcosC+ccosB=1,bcosA=1+cosB,若C=ma,则m的取值范围是() A.1,3) B.(0,1) C.(1,2) D.(0,2) 【答案】C 【解析】因为三角形中bcosC+ccosB=a=1, 所以由bcosA=1+cosB,可得bcosA=a(1+cosB), EsinBcosA sinA sinAcosB, 所以sinBcosA-sinAcosB=sinA, 即sinB-A)=sinA, 又在锐角三角形中，-灭<B-A<灭，0<A<亚 2 则B-A=A或B-A+A=π，即B=2A或B=π（舍去）， 因为C=π-A-B=π-3A 由正弦定理可得 sinA sinC' msinC=sin34_sin24cos 4+cos24sin d 2sindcos+(2cos4-1)sin a sinA sinA =4cos24-1 sinA sinA 13/46 04经 因为ABC是锐角三角形，所以0<2A<) 0<π-3A< 2 所以名<4牙所以 6 2 cos4< 2 则m=4c0s2A-1∈(1,2) 变式4.(2026高一江西南昌期中)如图，在凸四边形ABCD中，AB=1,BC=√3，AC1CD,AC=CD ,当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为() B A.7+2V5 B.V7+25 C.7-2V6 D.√6+1 【答案】D 【解析】在ABC中，设LABC=0,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB.BC.cos0, 又AB=1,BC=√3，所以AC2=1+3-2V5cos0=4-2V3cos0, 由题意，△ACD为等腰直角三角形，则CD2=AC2=4-2V5cos, ∠BCD=T+∠ACB,则coS∠BCD=cOS ACB =-sin∠ACB, 2 在ABC中，由正弦定理得AC= AB 1 sin0 sin ZACB sin ACB' 所以sin∠ACB=sin0 AC 在△BCD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC.CD·coS∠BCD =3+4-2V3c0s0-2xV3xCD× sin0 =7+2v3 sin0-2v3 cos0 AC =7+26sim0-4 当sin0-π =1时，BD2取得最大值，且为7+2V6=(W6+1)2, 4 所以对角线BD的最大值为√+1 题型四：通过转化为角的范围求解三角形相关问题 例10.(2026高三全国二轮复习)在锐角ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ABC的外 接圆半径为，若48C的面积S-Rs血BsmC,则？的取但花围为(） C 14/46 A. (层c[B D 【答案】A 2R,sinC= -2R,所以S-R产sin sinC=2bc. C 【解析】由正弦定理得sinB 5 5 4 三角形面积公式besin A,可知mA,所以sinA专 2,所以cosA=3 又0<A< 由正弦定理得 bsin B sin[-(4+C)1 sin(4+C)sin AcosC+cos Asin C sin 4 :+cosA=- 43 t== c sinC sinC sin C sin C tan C 5tanC 5' 在锐角ABC中，有0<江-A<C<交，因为正切函数y=anx在0，上单调递增， 2 所以tanC>tan cos 5 3 4.3435 <t= 从而5 +< 5tanC 5 3+53 5× 4 故选：A 例11.（2026高一湖南株洲期末)在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 a=c-2 acosB,则，12sim4的取值范用为（) 4sin A-sin C A.[2V2,+0)B.(2V2,+o0) C.[2V2,3] D.(2V2,3) 【答案】D 【解析】由a=c-2 a cosB及正弦定理得sinA=sinC-2 sin AcosB, 所以sinA=sin(A+B)-2 sin Acos B,得sinA=sin(B-A), 所以A=B-A或A+(B-A)=π（舍去），所以B=2A, 0<A< 2 因为1BC是锐角三角形，故0<2A<5,解得5A<子 2 6 0<π-3A< 2 故；<sinA< 2,4<4sinA+1<3W2, 2 sin A 15/46 12sin24 12sin2A 12sin24 12sin2A 4sin A-sin C 4sin A-sin 34 4sin A-sin(A+2A)4sin A-sin A cos 24-cos Asin 2A 12sin24 4sin3A+sin A 4inA+了e2V2,3) 12 sin A 故选：D 例12.(2026湖北武汉·模拟预测)在锐角ABC中，a2-b2=bc,则角B的范围是 5 5 +6sinA的取值范围为 tan B tan A 【答案】 B<号 6 [230,11 【解析】因为a2-b2=bc及a2=b2+c2-2 be cos A, 所以c-2 b cos A=b, 由正弦定理得sinC-2 sin B cosA=sinB, 所以sin(A+B)-2 sin BcosA=sinB, 整理得sin AcosB-sin B cosA=sinB, 即sin(A-B)=sinB, 所以A-B=B,即A=2B, 0<B<π 2 又ABC为锐角三角形，所以0<2B<T ,解得刀<B<及 6 0<π-3B<T 2 故<A<,5 sin A<1, 2 2 则5 5 +6sin4=5cosB cosA +6sin A tan B tan A sin B sin A =5.sin(4-B) 5sin B 5 +6sin A= +6sin A=6sin A+ sin Bsin A sin Bsin A sin' 5√30 上单调递减， 30=230 故f)e230,1,即 故答案为：名<B<胥：[250，川 6 变式5.(2026高一山东济南·阶段检测)已知锐角ABC中，∠A=2∠B,AC=4,则BC的范围为 16/46 【答案】(42,4N3 【解析】根据题中条件，由正弦定理，得到BC=8cosB,再求出B的范围，即可得出结果因为锐角ABC中， ∠A=2∠B,AC=4, BC AC 所以，由正弦定理可得： sin A sin B 则BC=4sinA_4sin2B 8cosB. sin B sin B A+B> 又ABC为锐角三角形，所以 2 3B>π 即 2 所以交<B<石 2B=A< 2B< π 6 2 2 因此② -<cos B< ,所以BC=8cosB∈(42,4W3 2 故答案为：(42,45】 变式6.(2026高一江苏泰州期中)在锐角△ABC中，若C=2B,则的范围 b 【答案】(2，√5) 【解析】由正弦定理可知=1mC=sn2B=2cosB,而在锐角ABC中，C=2B<90°，C+B>90°，所以 b sin B sin B 30°<B<45°，从而有V2<2CosB<V3, 故答案为：（√2，√5） 变式7.(2026高一贵州阶段检测)在ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,若 a cosB+b cos A+2ccosC=0,C= ;cos Acos B的范围 【答案】 3 〔6 【解析】acosB+bcos A+2 ccosC=0, 由余弦定理可知u+cB+b+-a+2cosC=0台2 2comC=-C=6osC=-月 2ac 2bc 3 又Ce(0,,所以C=2r, 3, cos Acos B=cos Acos -sin Acos A 3 sinA小cos2A+5 2cos31 2 21 2 _1+cos24,3. 4 元 0<A< 3 17/46 :亚<2A+π<5π 6 66 1 os4owsB经 故答案为： 题型五：在锐角三角形条件下求几何量的范围与最值 例13.(2026高一·山西期中)定义：设0为坐标原点，若非零向量0M=(a,b),函数∫(x)的解析式满足 f(x)=asinx+bcosx,则称f(x)为OM的伴随函数，OM为f(x)的伴随向量. （0)若向量oW为函数f()=2simx+ π 的伴随向量，求0M的坐标： (2)若函数f(x)为向量OM的伴随函数，在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,f(C)恰好为函数 ∫(x)的最大值 (i)若OM=(24,7),∠ACB的角平分线交AB于点D,c=2,求CD的最大值； (i)若ON=5,,在锐角ABC中，求T-a+的范围， ab 【解折11由已知=2(+写引- =2 sincos+=sinx+5cosx,所以OM=,: 3 3 (2)(i)根据题意，由OM=(24,7)知，f(x=24sinx+7cosx, 利用辅助角公式得f(x)=25×24sin (25sinx+7 F25sm(k+o,其中mp 241 不妨令p为锐角，当x+0=兀时，f(x)取到最大值f(C,即C+p= 2 则sinC=sin 2c0sp=4, 25,同理co3C=c0s?-g 25 由二倍角公式得：cosC=2cos2C 25→cos2C、16 1 7 225→sin2C、9 C 3 225→sim9 125' D B 18/46 C 1 C 图，由三角形面积可待：S。c=Sc+Sc台)absin C=b:CD a·CD sin 22 所060w0cm--； 5a+b511, b a 由余弦定理得c2=a2+b2-2 abeosC→a2+b2-14 25b=4→(a+b2=64。 25ab+4, 因为a+b≥2ab→(a+b2≥4ab,所以64b+4≥4ab→36ab≤4→ab≤25 25 25 9 则CD 8181414 =55 ≤5X9=3,当且仅当a=b=时取等号 =≤一× 1 V25 3 ab (ii)由f(x)=2x sinx+-cosx-2sinx+ 1 +6结合(i,C+元=→∠C= 62 31 2+2°，B=+B4-B 利用正弦定理边化角可得7-snA+si血B,其中A=4牛B+A,B, sin Asin B 22 所以sinA=sin （A+B,A-B A+B:A-B 2+ -sin- 2 2+c0 2 2 sin B sin (A+B A-B 、22 2 且A+B=π-C= ,则B-2-A, 3 3 2sin A+B s4-B 所以T= 2co(2月 3cos4,B） 、(2 3co4- cos(A-B)-cos(A+B) 2 I 0<A< 2 由于三角形是锐角三角形，则{ 2m-A< 0< 3 2 所以o(4-副e得易知r4号 例14.(2026高一四川攀枝花阶段检测)己知ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,向量 m=c,cosC),i=2sinA-cosB,-b,且m⊥i. (1I)求角C的值； (2)若ABC为锐角三角形. (i)求角A的范围； (i)已知a=4,求b+c的取值范围. 19/46 【解析】(1)由题意，向量m=(c,cosC),i=2sinA-cosB,-b),且m⊥i, 所以m.i=0,即c2sinA-cosB-bcosC=0, 由正弦定理，可得sinC(2sinA-cosB)-sin B cosC=0, 2 sin C sin A-sin C cos B-sin B cosC=0, 2sin C sin A-(sin C cos B+cos C sin B)=2sin C sin A-sin(B+C)=0, 由于A+B+C=π，则B+C=π-A,sin(B+C)=sinπ-A=sinA, 代入得：2 sin C sin A-sinA=0, 因为ABC中，Ae0,π，所以sinA≠0， 则2sinC-1=0,即snC-分又C是三角形内角，所以C-石线 66 (2)(i)因为ABC为锐角三角形，所以C= 6 所以A+B=孤，所以B=5弧-A, 6 6 0<A< 所以 2 0< 5元-A2 解不等式得刀<A< 3 2 6 2 所以A的范围为32 π元 (i)由正弦定理a sinAsin Bsinc=2R(R为外接圆半径， b C 又a=4,C=6'则2R=4 sin d'b=2Rsin B=4sin B ，,c=2 Rsin C= sinA sin A sin' 因为+B+C=,C=6所以B=-A,则b夏 6 sin A 4sin cos -cos sin (2C0s 4+/3 1 化简可得。 4sin -sin A 6 6 2 b= sin A sin A sin A 2cos4+23sin422cos4, sin A sin A 所以b+c=2V3+2cos42 =2W5+20+c0s40 sin A sin A sin A 2x2cos24 =2V3+ 2=25+ 0心2=25+2 、A 2sin。cos sin- tan- 2 2 2 20/46 又由(i)得，4（引，所以号）】 又根据正切函数的图象性质，tan在工，上单调递增， 2(6’4 n2san，即 <tan 所以tan严、 3<tan 4<1. A 6 4 所以1< ’所以2、2 5,所u2+25<2+25<45 <2 tan tan tan 2 2 即2+2V3<b+c<4√5，即b+c∈2+2V3,4V3 例15.（多选题）(2026高一江苏扬州期中)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=sinB, b=sinC,c=元a(2>0),则() A.b2=ac B.TsB<π 3 3-V53+5 C.1的取值范围是 22 D.使ABC为锐角三角形的2的整数值只有1 【答案】ACD 【解析】由题意知，在ABC中，满足a=sinB,b=sinC,c=入a(2>O) s加A咖8snC，,可得-si血B 对于A,由正弦定理知。，=6 c sinC 因为a=sinB,b=sinC,可得9=sinB_-b, =2,可得b2=aC,故A正确； b sinC c 对于B,由余弦定理得cosB=0+c2-b=a2+元'a2-a22-元+1 2ac 2λa 2 +》分*2安分分当且收当时等号成0 11、1 因为3e0,,所以0<B≤胥故B错误： 对于C,由于b2=ac,c=元a(2>0),则b=√元a, a+b>c a+√ia>a 则由b+c>a,得{元a+元a>a, a+c>b a+ha>a 解将55，则35 2 2 2 21/46 另解，由cosB= <3+V5 +1<1,可得-3+1<0，解得3-5<元 2元 2 2 3-V53+5 所以实数入的取值范围是 ’2 故C正确： 3-V53+√5 对于D,在区间 内的整数只有1和2， 2 ’2 π 当2=1时，由B=写a=C,此时A8C为等边三角形，也是锐角三角形： 当元=2时，可得c=2a,且b2=ac=2a2, 则a+=3a<4=c2,此时cosC=a+6-c<0,C为钝角，不符合题意， 2ab 故使ABC为锐角三角形的入的整数值只有1，故D正确. 变式8.(2026高一江苏盐城期中)在锐角ABC中，角A,B,C的边分别为a,b,c,S为ABC的面积， 且5=-5(62+c2-2bc-）,则分+2C的取值范围为() 4 bc 9 A.0, B.(0,3 D. 2 C.[22,3) 25 【答案】D S=- 36+c2-2hc-a） 【解析】 之2 besin A=b+c-2bca2） → 4 S=bcsin A 又6÷+e-a=26ec0s4,所t以5 besin=-526ccos4-2hc, 2 4 即sim4+5eosA=5,即simA+）=5 “(A3=2 时0<A34+行8，所以A+2BAEP 33 3 由正弦定理可知，b2+2c_b,2c_sinB2sinC bc c b sinC sin B sin B_sin(4+C)=2 sin C+v3 sin C sin C sin C 2 2tan C 0<C<π 0<C<π 由于 2 π ”台 → 0<B< 0<π-C-A<刀 C<π 6 2 2 22/46 所以anc>5与1！V5 3 22 2tan C <2, 设t= 1,5 22tan C 则+2c bc 2.e2 1 由于函数y=1+子在兮万)上单调递减，在(5,2)上单调递端， t 当1=时，y号当=2时，=3：当1=5时=25： 9 所以2√2≤y< k9b+2c的取值范围为22,2 2'bc 变式9.(2026高一湖北期中)在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,记△ABC的面积为S,若 (b2-a2)sinB=2S,则b+c-0的取值范围是() A.(1,5 B.（V2+1,5 C.(1,w5+2 D.(2,W5+1 【答案】D 【解析】由题意得S=。acsin B,得(b2-a2)sinB=acsinB,又sinB>0,得b2-a2=ac, 2 由余弦定理得：b2=a2+c2-2 accosB→ac=c2-2 accosB,化简得a=c-2ac0sB, 由正弦定理得：sinA=sinC-2 sinAcosB=sinA+B)-2 sinAcosB, 由于sinC=sinπ-A-B）=sinA+B）=sin AcosB+cos Asin B, 代入化简得sinA=sin B cos A-cos B sin A=sin(B-A), 因为&4则-<8-4< 又因为正流函数y=血x在引 上单调递增，所以A=B-A,即B=2A,则C=π-B-A=元-3A, 0<A< 因为48C是锐角三角形，所以有0<2A<号解得名<A<子，则5<20sA<5, 6 0<元-3A< 2 b+c sinB+sinC sin24+sin(-3)2sinAcos4+sindcos24+2sinAcos sin4(2cos4+2cos24-1+2cos2A) 2c0s sinA sinA sinA sinA 令t=2 Cos4E(v2,V3,则有二次函数y=2+t-1, 由于二次函数y=户+1-1的对称精：=<0，因此函数y=产+1-1在5上单调递墙。 23/46 因此6=(2c0s2+2c0s4-1∈2+15+2，故6+Ga=+c-1∈(2,5+1，故D正确 aa 24/46 过关检测 1.(2026高一湖北武汉·期中)在锐角ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C且 a2=2a-1sin2B,则a+√2b的取值范围() A.(21+2)B.(2,1+V2 【答案】A 【解析】因为a2=2a-1sin2B,（a-1)2≥0→a2≥2a-1,所以(2a-1sin2B≥2a-1,即sin2B≥1，所 以sn28=1,所以B=年d=2-1,解得a=1 因为锐角ABC,C=元-A-B=3弧-A,所以 0<A< 2 红解得子<A子所以 <sinA<1,所以 4 π 4 2 2 <V2 sin A 由正弦定理得b=asin B-,5,所以5<bc1,所以2<a+6<1+2 sin A 2sin A 2.(2026高一福建福州期中)A8C中，角4，B,C的对边分别为a,b,c已知b=.c0s4=5,当 3 角C有两解时，a的取值范围为() A.(0,V7) B.(W7,3) C.(7,+0) D.(3,+0) 【答案】B 【解析】法：由余弦定理可得，a2=9+c2-2×3 ccos A=c2-2√2c+9,所以c2-2√2c+9-a2=0 △=(-2W2-49-a2)>0 因为角C有两解，所以关于c的一元二次方程有两个正根，所以G+c2=2√2>0 GS3=9-a2>0 解得√万<a<3,所以a的取值范围为√7,3 法二：因为cos4=怎，0<4，所以nA=-os看= 3 93 因为角C有两解，A为锐角，所以bsin A<a<b,即√7<a<3 所以a的取值范围为（√万，3 3.(2026高一河南平顶山阶段检测)在锐角ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C若a=1, 25/46 bcosA=1+cosB,则C的取值范围是() A.(V2,5 B.(,5 C.（2,2 D.(1,2) 【答案】D 【解析】因为a=1,bcosA=1+cosB,所以bcosA=a(1+cosB), sinBcosA sinA+sinAcosB, 所以sinBcosA-sinAcosB=sinA, 即sinB-A)=sinA, 又在锐角三角形申，一受<B-A<受0<4<受： 则B-A=A或B-A+A=π，即B=2A或B=π（舍去）. 因为C=元-A-B=π-3A, 由正弦定理可得a= sin4 sinC' 则c=asinC-asin3A sinA sinA a(sin24cos 4+cos24sin 4)a 2sinAcos24+(2cos24-1)sin 4 =4cos24-1 sinA sinA 0<4<骨 因为ABC是锐角三角形，所以0<2A<刀 0<π-3A< 所以<A<开，所以巨 6 4 cos4< 2 c-asinc-asin34-4cos-1E(12) sinA sinA 4.(2026高一山东阶段检测)在ABC中，ab,c分别为角4，B,C所对的边，已知c=2,cosA=b- 3, 则a+b的取值范围是() A.(2,4] B.2,23 C.(2,6+2 D.（2,2+5 【答案】A 1 【解析】已知ccosA=-b-号a,根据正弦定理a b sin A sin B sin C' 1 边化角得：sinCcosA=sinB- SinA, 因为B=π-(A+C),所以sinB=sin(A+C)=sin AcosC+cos Asin C, 26/46 代入上式：sinCcos4=-sin4cosC+cos4sinC- -sinA, 1 整理得sinAcosC=二sinA, 2 因为A∈0，，sinA#0,所以cosC=),得C- 2 3 C 24 由正弦定理，sinC sin不V5· 3 4 4 因此：a= sind,b=- 代：行小小-n+ 因为40) 所以A+T∈卫5π） 666 则m4+}行别： 因此：a+b=4sinA+ +e2,4 5.(2026高一·江苏宿迁·阶段检测)在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,2a-b=2 ccosB且 c=2,则2a-b的取值范围为() A. 0, B.(1,V5) C.(1,25 2 D.(0,25 【答案】D 【解析】由2a-b=2 ccosB,得2sinA-sinB=2 sinCcosB, 由A+B+C=π，得sinA=sin(B+C, 所以2sinB+C)-sinB=2 sinCcosB, 2sinBcosC 2cosBsinC-sinB 2sinCcosB 2sinBcosC-sinB =0, 由Be(0,π，得sinB≠0， 所以cosC= 2又Ce(0,,所以c= a 6=c=2=43 由sindsin6sinc53,得a=45 = 3 inA,b=4v -sinB 3 2 3sin4、4v5, 所以2a-b=85、n 3 sin4-4/3 .3SnA大2】 27/46 -25sin4-2c0s4=4sin4-6 π 0<A< 2 0<A< 2 由ABC为锐角三角形，得 ,所以 ,解得<A< 0<B< 6 0< 2 2 庙A得04所以0<4A 6 2 所以0<46n4-君k25,即2a-be0,25) 6.(多选题)(2026高一·江苏盐城期中)在锐角ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足 a(cosB-cosC)=(b+ccosA.下列说法正确的有() A.A=2B B. 的取位周为，4 C.cosB取值范围为 0,2 D.若∠BAC的平分线交BC于D,4D=1,cosB,则+18 b c 5 【答案】ABD 【解析】选项A:由正弦定理。-b。=C=2R,得a=2sin4,6=2 RsinB,c=2 RsinC, sinA sinB sinC 代入得：sinA(cosB-cosC)=sinB+sinC)cosA, 所以sinAcosB-cosAsinB=sinCcosA+cosCsinA, 所以sinA-B)=sinA+C, 由A+B+C=元，得A+C=π-B,故sinA+C)=sinB, 于是sinA-B)=sinB,在三角形中，解得A-B=B,即A=2B,故选项A正确； 选项C:因为△ABC为锐角三角形，所以 0<A=2B<T 0<B<号 0<C=π-A-B=元-3B< 2 解得：名<B<年故co8e 故选项C错误； 4 2’2 28/46 选项B: 2c_2sinC2sinπ-3B) a sinA sin2B 2sin3B 2(3sinB-4sinB) sin2B 2sinBcosB 3-4sin2B =4cosB-1 cosB cosB 因为8后引令=o8,则x 22 函数f(x)=4x-1 在该区间单调递增， 3 所以2ec5, 2c 4V3 故选项B正确； a 选项D:因为cos8-子，且B为锐角，得：5nB=V-eosB- 5 由A=2B,得：c0sA=c0s2B=2c0s2B-1=7 25 3424 所以sinA=sin2B=2 sinBcosB=2××= 5525 因为AD是∠BAC的平分线， 由面积关系SABc=S。ABD+S。ACD,得： besindDsinsi 1 2 22 2 所以besinA=-AD(b+csin2 因为AD=1,代入得：bcsinA=(b+c)sin4 sinA b+c 11 A 十 两边同除以bsim)：sin A bc b c 2 由三角恒等式sin4=2 sin cos,，得： 2 =2cos 4 11 b c 7 又因为A1+cosA 1+ cos 25一4，所以1+上=2×5=，故选项D正确 b c 2V2 25 7.(多选题)(2026高一浙江温州期中)在锐角ABC,内角A,B,C的对边分别是a,b,C,已知 sinA=sin B sin C,则下列说法正确的是() 29/46 A.tan B tan C tan B tan C B. sinB,sinC有最大值、5 sinC sin B C.axb D.a's4bc 【答案】AD 【解析】因为sinA=sin B sin C,所以sinB+C)=sin B sin C, sin B cosC+cos B sin C=sin B sin C, 因为ABC是锐角三角形，所以cosBcosC≠0，故sin BeosC+ossinC_sin BsinC cos Bcos C cos B cos C 即tanB+tanC=tan B tan C,选项A正确； sin B sin C sin(A+C)sin(A+B)sin Bsin C cosC+cos AsinC sin Bsin C cos B+cos Asin B sin C sin B sin C sin B sin C sin B sin B cosC cos A+sin C cos B cos A=sin A+2cos A, 2 由辅助角公式得sinA+2cosA=√5sin(A+p),其中tan0=2,sinp= 5,coso=. 当4=子p时，取最大值5， 此时sinA=si (2-0=coso=- π 1 =sin BsinC, 所以5=si(A+C)sinC=sin4 oCsinC+cos4sin'C, 化简得cos2C=cos Csin C+sin2C, 即tan2C+tanC-1=0,解得anc=-1+5或-l-V5 2 2 因C是锐角三角形的内角，所以anC=5-L,即sinC=一5-L cosC=- 2 2 V10-2√5 V10-2√5 sin B=sin(A+C)=- V10-25,满足条件sinA=sin Bsin C, 但由余弦定理得，cosB=a2+c2-b_sim24+sinC-sinB,代入求得cosB<0,即B为钝角， 2ac 2sin Asin C 与锐角三角形矛盾，故无法取最大值√5，选项B错误： 因为sinA=sin B sin C,sinC<l,所以sinA<sinB, 设ABC的外接圆半径为R,则“<b 2R2R,即a<b,选项C错误； 由于sinA=sin B sin C,所以a=bsinC,a=csin B,故a2=besin B sin C, 要证a2s4bc,等价于证明sin BsinC=sinA≤5 4 30/46 因为tanB+tanC=tan B tan C之2 tan B[tan C, 所以tan B tan C≥4，当且仅当tanB=tanC时等号成立 tan 4=-tan(B+C)=tan B+tanc_tan BtanC 1 =1+ 4 tan B tan C-1 tan Btan C-1 tan BtanC-131+ 1+33 当且仅当tanB=tanC时等号成立， 因为该三角形为锐角三角形，所以smA≤行，故选项D正确 8.（多选题)(2026高一山东青岛阶段检测)在锐角ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,C, 若2+9=6c0sC,则() a b AsC的最水值为号 B. tanC tanC=4 tan A tan B C.中线CD的长度为2 D.tan A.tan B22 【答案】ABD 【解析】对于A:由6cosC=b+号之2，b日-2，即c0sC a b Va b 3, 当合名即a=6时，等号成立，放A正确： 对于B:由余弦定理有：b+0_b+ 解得a+b=c a b ab -=6cosC=6xa+b2-c2 2ab 由tanC tanC sinC cosA cosB sinC sinBcosA+cosBsir☑ tanA tanB cosC(sinA sinB cosC sinAsinB sinc sin(4+B)1 sin'c cosC sinAsinB cosC sinAsinB 由正弦定理得： sin2C c2 sin Asin B ab 又由余弦定理得1 2ab cosC a2+b2-c2' 所以tanC+tanC。_1sin2c tan A tan B cosC sin Asin B 2ab 2c2 -=4 a2+b2-c2ab 3c2c2 ,故B正确： 对于C:由CD=)(CA+CB),所以 cD°-cD-4Cai+c-4C+20-c+cB）4(c+2C-CosC+a） 31/46 -,所cm-9 对于D:由选项B有anC+tanC =4①， tan A tan B 又A+B+C=元，所以tanA+B)=tanπ-C)=-tanC, 又tan(A+B)=,tanA+ianB =-tanC②， 1-tan A.tan B 由08有：mC-温份号，又由达项A有oC tan Atan B-1 23,且C为锐角， 所以cos2c>1,所以tan2C=,兰=0sC金1 cosC0s2Ccs'C-1≤8， 所以an'C=4 tan Atan≤8，又ABC为锐角三角形，所以tan dtan>1, tan Atan B-1 所以4 tan A tan B≤8 tan A tan B-8, 所以tan A tan B≥2，当a=b时，等号成立，故D正确. 9.(多选题)(2026高三·全国阶段检测)在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C.O为外接 圆圆心，已知(c+a(sinC-sinA=(c-b)sinB,asinC=V3(2-acosC),则下列结论正确的是() AA=号 B.b=3 C.ABC周长取值范围为3+V3,6+2V5） D.aOAC和△OBC面积之差的取值范围为 53 4’12 【答案】ACD 【解析】对A:由(c+a(sinC-sinA)=(c-b)sinB与正弦定理可得(c+a)(c-a=(c-b)b, a-be-b,+b-be=a,CosA= 1 又4e0,,故4=骨故A止确 6.6 对B:4+B+C=元，所以由正弦定理口=b sin4sinB’可得a=- 2 ，① 又t因为icc+amc=2,年2a5cwsc+}nC25,即2anc+}-25.@ 32/46 b. 将①代入②可得2 sin 2snC+=25,解得=2，选项B错误 对C由正弦定理，R=1 SinB'故： 2sin (2-B a=2RsinA=3 3 sinB ,c=2RsinC=- sinB 展开sin tanB 周长L=a+b+c=V5 1+1） +3, 、sinB'tanB 1 1 s、1 利用三角恒等变换sin B tan B tan B 2 合B得B2+3,故：LE3+5,6+2,故选项C正确 2 sinB sing'即R=1 对D:设ABC外接圆半径为R,则OA=OB=0C=R,且2R=b=2 sinB' 因为∠AOC=2B,∠BOC=2A= 2 3, 所以S.oesine∠4oc-号 2 sin2B 'sin2B=1 tanB 11 2πV3sin2B+cos2BV3 1 S.owc-'sinBsin- 1+ 3 4 sin2B 4（tan2B 所以So4C-SoBc= 1-51+,1-5 115 tanB 4 tan2B 4 tan2B'tanB 4 由Bex】 （62 则tanB∈ 3+所以x=(0,) tanB .oe-S.owe-f(x)(x -(x- 25y+ 4 4 12 △OAC和△OBC面积之差的取值范围为 5 Γ412 故选项D正确， 故选：ACD. 10.(2026高三北京海淀·阶段检测)已知平面四边形ABCD中，CD=BC=12,∠A=120°，∠C=60°. 33/46 A B (I)若AD=8,求AB的长： (2)设LADB=a,记四边形ABCD的周长L,求L的最大值 【解析】(1) D 连接BD, 因为CD=BC=12,∠A=120°，∠C=60°， 所以△BCD为正三角形，BD=12, 在△ABD中，由余弦定理可得BD2=AB2+AD2-2AB·AD cos120°， 代入数值可得AB2+8AB-80=0,解得AB=4V6-4 AD AB BD 12 =8V5 (2)在△ABD中，由正弦定理可得sin(60°-a）sina sinl20°√3 2 所以AD=8V3sin(60°-a),AB=8V3sina, 所以四边形4BCD的周长L=8V5sin(60°-a)+8v5sima+24=8V5y cosa-Is ina+sina+24 2 =8√3sin(a+60)+24, 所以当=30°时，L的最大值为8V3+24 11.(2026高一·山西·阶段检测)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为 a,bcc+abcosC=bccos A+accosB+ab 2 (1)求C. (2)当c=6时. ()求ABC周长的取值范围； 34/46 (ii)求ABC面积的最大值， 【解析】(1)由正弦定理得sinC+sin Asin BcosC=sin Bsin Ccos A+sin Asin Ccos B+二sin Asin B 而右式为sinCsin(A+B)+二sin Asin B=sinC+sin Asin B, 故得sinAsinBcosC=。sinAsinB,因为A,B,C∈(0，π，故sinA≠0，sinB≠0. 2 故osC-2则C= 3 (2)(i)由正弦定理得ABC的周长L=a+b+c=c一(sinA+sinB到+c sin C =6+45m4+m4+ 6+4N32n4W o46+12sn4+8 易得40 3 则4+怎)故m4+引经： 所以L的取值范围是(12,18]； (i)由余弦定理得c2=36=a2+b2-2 abcosC=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab, 当且仅当a=b=6时等号成立， 所以ABc的面积S=)absinC≤，x36x3 2 =95, 故ABC面积的最大值为9√3. 12.(2026安徽模拟预测)在ABC中，角A,B,C的对边分别为Q,b,C,且满足 (a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=asin B+2bsin A. (I)求角C的大小； (2)若c=√3，求ABC面积的最大值. 【解析】(1)在ABC中，由正弦定理，得 (a+b+c)(a+b-c=ab+2ba,整理得a2+b2-c2=ab, 由余弦定理，得cosC=a+-c21 2ab=2 又C∈(0，，所以C=元. 3 (2)由(1)及余弦定理知，3=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab, 故S.ABc=)absinC 2 35,当且仅当a=b=5时等号成立. 4 35/46 即A8C面积的最大值为3V5 4 13.（2026高一黑龙江哈尔滨阶段检测)定义：设0为坐标原点，若非零向量0M=(a,b),函数f(x)的解 析式满足f(x)=asinx+bcosx,则称f(x)为OM的伴随函数，OM为f(x)的伴随向量. （0)若向量0W为函数f(:)=2simx+ π 的伴随向量，求0M的坐标； (2)若函数(x)为向量OM=(24,7)的伴随函数，在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C, f(C)恰好为函数f(x)的最大值. (i)若∠ACB的角平分线交AB于点D,c=2,求CD的最大值； (i)在锐角ABC中，求T=C+S的范围. a b 【解析】(1)由已知得：f(x)=2sinx+ sinxcos+cosxsin =3sinx+cosx, 6 6 根据题意可知：OM=(5,1； (2)(①根据题意由OM=(24,7)可知：f(x=24sinx+7cosx, 利用箱动角公式得：f到=25（经nx+3os小-25nx+p1, 7 25,c0sp= 7 24 其中sinp 25 当x+9-2时，八纠取到最大值C, 所以cp-号则snc=m行小sp若 7 同理cosC=cos 2-p=sin= π 251 由二倍角公式得：omC=2w号1名>cw号碧>加号号→m气- 2 225 251 D B 如图，由三角形面积可得：Sc=S.c+S.c台)absin C=b:CDsin C 1 C a.CDsin 22 36/46 ab24=b:cp3+a.CDCD-8 a6= 25 5a+b51,1, b a 再由余弦定理得：C=a+-2 Babc0sCa+62公-号b=4→a+b2=4。 ab+4, 25 25 因为a+b≥2Vab→(a+b)2≥4ab, 所以有64ab+4≥4ab→36b≤4三abs25 25 25 9 CD= 8181414 = 则 5115.1593； b a 十一 V25 当且仅当a=b=时取等号 3 G⑩利用正弦定理角化边可得：T=C+S=sinC+sin =sinCSin 4+sin B a b sin A sin B sin Asin B' 因为sinC= 24 再利用和差化积和积化和差可得： 25 (A+B (A-B π-C (A-B C A-B T-242sin2 cos 2 96 sin 2 cos 2 cos2 25 cos(A-B)-cos(4+B)25 cos(A-B)-cos(n-C)25 cos(A-B)+cosC 2 代入osC=7, C4 25c0s25则 (A-B (A-B 7=384 co2】 384 192 1 F125c0s(A-B)+25 7 1252cos45B-18125cos4-8-9 1 225 (2厂25（A-B cos cos 2 当A=B时，( A-B 取最大值1， 2 利用已知函数y=x-a>0在0，+切上单调递减，可如T= :-9I是单调递减函数所以可得： 25t 1921192、25_12 7m-1251-9125*165 25 当A=子B=受-C时，可得：c A-B +C π (2 2 =cos 2 - 37/46 7=192 1 1921768 此时可得 1254_9.I1254_9175 5254520 由于此三角形是锐角三角形，所以根据单调递减性可得： r号】 14.(2026高一湖南长沙期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3 bcosA=√3 asin B. (1)求A; (2)若a=2,△ABC周长为6，求ABC的面积； ()若ABC为锐角三角形，求a+C的范围。 【解析】I)由正弦定理及36cosA=asin B得，sin Beos4-5, -sin Asin B=0, 3 因为Be0,,所以sinB￥0，则cos4-5 -sin A=0, 若A-子则sin4=cos4=0,矛后，则aA=5, 又A∈(0，)，所以A=交」 (2)由余弦定理a2=b2+c2-2 becos A,得4=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc, 由ABC周长为6，得b+c=4,解得bc=4, 所以A8C的面积×c如4=方×4n胥=5 3 ③)在锐角BC,由4-子得名8受吾号子测m受<m号<m牙-1， B 12 2 4 元 又tanx=tan_刀 12 34) 5m-52-5,则2-5<m9<1.1kB2+5 1+tan tan1+3 2 tan 2 3 4 由正孩定理得a+c。sA+sinC,sin+snC 3 2 +sin 0 sin B sin B sin B 3 B 5+ =2T2 cosB+sin B 3 1+2cos -1 (1+cosB)1=2( 2 2 BB sin B sin B 2sin cos- 2 2 3 B √3 cos =2 tan 2 38/46 所以a+c的范围是 b 15.(2026高一.福建厦门阶段检测)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知 b(2-cosA)=√3 a sin B. (1)求A; (2)若a=2,ABC周长为6，求ABC的面积； (③)若4C为锐角三布形，求安的范围 【解析】(1)在ABC中，由b(2-cosA)=V3 a sin B及正弦定理，得b(2-cosA)=V3 bsin A, 整理得2=√3sinA+cosA=2sin(A+),即sin(A+)=l, 6 6 ,π元 而0<4<，即1+66，于是A+刀 6 +62 所以A= 3 (2)由余弦定理a2=b2+c2-2 becos A,得4=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc, 由ABC周长为6，得b+c=4,解得bc=4, 所以A8C的面积×c血4=分×46如子=5 3 （③)在绕角48c中，由4骨得B受日号子则m合<m号 <tan=1, B 6 12 2 4 ”72tan( =3-tan tan -5号2-5，则2-5<m1,1<6<2+5, 341+anan交1+V3 2 tan 2 4 由正弦定理得a+e_s如A+snC.si加+snCy5, +sin(+B) 3 b sin B sin B 2 sin B -2+2 cosB+2sin B2 (l+cosB) 5. 3 -20+2cos2 √5 B -01 sin B BB—+2 sin B 2sin -cos 2 2 B 5 -cos 21=2。+1∈(3+5,3+2)， -∈( B+29 in92tan 2 2 所以a+的范围是(5+)5+2) b 22 16.(2026高一四川内江·期中)在锐角ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足 39/46 a2-b2=bc. (1)求证：A=2B; (2)若b=1,求a边的范围； (3)求L。L+2snA的取值范围. tan B tan 4 【解析】(1)因为a2=b2+c2-2 bccos A=b2+bc, 所以c-b=2bc0sA, 由正弦定理可得sinC-sinB=2 sin B cos A, 又因为sinC=sinA+B)=sin Acos B+cos Asin B, 代入可得sin Acos B-Cos A sin B=sinB, 即sinA-B)=sinB, 因为0<A,B<π，则sinB>0,故0<A-B<π， 所以A-B=B或A-B+B=π，即A=2B或A=π（舍去）， 所以A=2B, 法二：由正弦定理可得：sin2A-sinB=sin Bsin C, (sin A+sin B)(sin A-sin B)=sin B sin C, 2sin cosx2sincsin(B)xsin(B)-sin Bsin C. 2 2 2 2 又sin(A+B)=sinC≠0，故sinA-B)=sinB, 因为0<A,B<π，则sinB>0,故0<A-B<π， 所以A-B=B或A-B+B=π，即A=2B或A=π（舍去）， (2)因为ABC为锐角三角形，A=2B, 所以C=π-3B, 0<B<号 由0<2B< ,解得8e(引别】 0<-0< 又b=1故a= bsinA=2cosB∈(V2,V5) sin B (3)由②)知4=2B引 由、1 1 +2sin 4= cos B_cos4+2sin A, tan B tan A sin B sin A sin(4-B)+2sin4= 1 -2sinA, sinAsinB inA 40/46 1 1 所以 +2sinA的取值范围为 5 tanB tanA 33 17.(2026高一湖南永州期末)在锐角ABC中，角A,B,C所对应边分别为a,b,c, 2sinA(ccosB+bcosC)=3a. (1)求A: (2)若a=√3，求b2+c2+bc的取值范围. 【解析】(1)依题意，由正弦定理a=b C sinA sinB sinC 2sinA(sinCcosB+sinBcosC)=3sinA .2sinAsin(B+C)=3sinA 即2 sinAsinA=√3sinA 又在锐角ABC中，有A∈0， 所以sinA>0, 2 所以sinA= ,所以4 (2)结合(1)可得A=元，B+C=π-A= 2π 3 3 由a=5,则根据正弦定理有a三b三 =2, sinA sinB sinC 得b=2sinB,c=2sinC, 根据余弦定理有a2=b2+c2-2 bccosA,得b2+c2=3+bc, ..b2+c2+bc=3+2bc=3+8sin BsinC=3+8sinBsin (2T-B 3 =3+43sinBcosB+4sin'B=3+23sin2B-2cos2B=5+4sin 2B- 6 又6c为说角三角形，则有80号引8引海8居引 2-&}m8副公别 故+e2+bc=5+4sm2B-君副e(7,9列 18.(2026高一四川凉山期中)已知a=-l,2V5,6=(sin'x-cos2x,.sinxcosx,f(x=a.b,xeR (1)求函数∫(x的单调增区间； 41/46 ②法倍}-25Ra+a哥到胸： (3)在锐角ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=1,f(A)=1,求2a2+bc的取值范围 【解析】(1)f(x)=-1×sin2x-cos2x)+2V3×sinxcosx =cos2x+3sin2x=3sin2x+cos2x=2sin2x+ 6 令-元+2hm≤2x+亚s元+2km,则-T+hm≤x≤亚+km, 2 62 3 6 放面数小因的单调然区间为骨红君问eZ, 6 cosa+cora-}=oa+cosacas +sinasin 3 2sina+。cosa, -u-1 3)4=2sm24+8=1,则sm24+8) 又0<4<登则<24+名2 66 故2A+5,即A=, 66 3 2a+he=2a+be2a+be2sinA+sinBsinC 12 b2 sin2B 3 3 2 +sinBsin(A+B) +sinB(sinAcosB +cosAsinB) 2 sin'B sin2B 3,5 sinBcossin _2sin8cosB+2sing+3。 F2 cos2B sin'B sin2B 3 2 tanB+2tan2B+ 2.31+51+2 tan'B 2 tanB 2 tanB 0<B< 2 <B V3 毁角ABC中，A5,十n2五B<不A5 →tanB】 3 0< 3 2 42/46 tange) 令u=1 则2a2+bc=3w2+5 +2∈（2,8) 19.(2026高一河北承德阶段检测)在锐角ABC中，设角A,B,C的对边依次为a,b,C,满足 a cosC+3asin C-b-c=0. (I)求A的大小； (2)若a=√3，求边BC上的中线AD的取值范围. 【解析】(1)由题设知acosC+√3 asin C-b-c=0, 由正弦定理得sin A.cosC+√3 sin A.sin C-sinB-sinC=0①， 又A+B+C=元，则sinB=sinA+C, 将上式代入①式得sinA.cosC+V3 sin A.sin C-sin(A+C)-sinC=0, sin 4.cos C+3 sin 4.sin C-(sin A.cos C+cos 4.sin C)-sin C=0, 3 sin A.sin C-cos A.sin C-sin C=0, 又0<C<受，snC>0,故5sin4-cosA=1,即2sn4cosg-cos4sim-l,即2sin4-君=1， 6 6 m4引} 又0<A<分得4-骨 3 (2)因为D为BC的中点，所以D=)(AB+AC, 两边平方得而=B+AC=4aB+4C+2丽.C）=c2+2+c, 在ABC中，由余弦定理得a2=b+c2-2 bccos元=b+c2-bc,即b2+c2=3+bc, b 在ABC中，由正弦定理得sinB sinc sinA√ F2,所以b=2sin8，c=2sinC, 2 所以bc=4 sin Bsin C=4 sin Bsin 2r-B=23 sin Bcos B+2sin'B=2sin28-+1, 3 6 因为49C为悦角三角形，所以0<B<受且0<子-B<号解得<8< 3 所以管<28音名所以m20-副}1，所以子0号 6 43/46 √73 所以中线AD的取值范围是 22 20.(2026高一·吉林长春·期中)在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 tan 4+B B+nC-4. 2 2 (1)求C; (②)若a=2,求ABC的面积S的取值范围. tan C sinπ-C sin 【解析】c)因为tan42B+tan之-an无-<+a2.《 2 C cos 2 2 2 2 2osπ-C+an 2 C+c sin- cos- 2 2 2 cos x C sin 2 1 CC CC= sin-cos 2 sin。cosg -sin C 2 22 1 所以n 4,所以snC=因为4BC为悦角三角形，所以C-三 -= 6: 2)因为A+B+C=x,C=6,所以B=玩-A小 6 2 b 由正弦定理Q一 b sin A sin B 2sin 5π 所以 A b=- (6 cos4+3sin 4=3+1 sin A sin A tan A 所以S=7 absinC=)x2xbx,=x5+1 110 2 22 tan' 0<A< 2 由 5π 可得胥<4受所以m4>5,所以0<5 元 0< 3 tan A 3 -A< 6 2 22 2’3 21.(2026高一山东济宁.阶段检测)已知函数f(x)=p-2cos2x-√3sin2x,在R上的最大值为3. (I)求P的值及函数∫(x)的最小正周期与单调递增区间； (2)若锐角ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且∫(A=0,求二的取值范围. 【解析】(1)f(x)=p-2cos2x-√3sin2x 44/46 =p-(1+cos2x)-3sin 2x =p-2cos2x+ -sin 2x =p-1-2sinx+ 6 所以当sm2x+君-1时，f取到最大位3 即p-1+2=3,n=2,所以f=-2sm2x+君】 其最小正周期为T=2红=元. 2 令+2km≤2x+s3亚+2m,(keZ, 6-2 解得+m≤x≤+侃，(keZ, 所以函数∫(x)的单调递增区间为 c2) (2)由(1)知f(x)=1-2sim2x+元 ,由f(A=0, 6 可得0=1-2如24+-0，即m24:引号 因为A0引，所以24+（怎7酒 6(6'6 所以24+-5买，即A= 66 3 因为B=π-A+C), 所以sinB=sin(A+C=simc+）=lsi 3= 由正弦定理可知b sinB2snC女V③月 1 2 cosC 1 3 1 三一 X c sinC sinC 22 tanC 0<C<π 因为ABC为锐角三角形，所以了 2 2C元即AcC7 6 0< 3 2 所以anC>5,所以0<L 3 tanc, 45/46 所以<；+×c<2,即22 222 tan C 所以之的取值范国为合2习 46/46