2026年福建省莆田市擢英中学6月中考模拟数学试题

莆田擢英中学九年级下学期数学学科素养模拟测评 命题人：数学备课组 审核人：数学备课组 2026.06.05 一、单选题 1．下列各数绝对值最大的是（ ） A． B． C． D． 2．2025年政府工作报告中指出，截至2025年底，中国新能源汽车保有量为4397万辆，其中4397万用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 3．如图所示的几何体是由一个长方体和一个圆柱体组成的，则该几何体的俯视图为（ ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 5．将三角尺按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上．若，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 7．我国北宋诗人欧阳修名言：“立身以立学为先，立学以读书为本”表达了学习和读书的重要性．为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆300人次，前三个月累计进馆1092人次，设进馆人次的月平均增长率为，依题意可列方程（ ） A． B． C． D． 8．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，，则菱形的面积为（ ） A．48 B．60 C．72 D．96 9．“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形、四边形、四边形均为正方形．若，，则的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，点是抛物线的顶点，点、点在抛物线上，轴，，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．使分式有意义的的取值范围是__________． 12．因式分解：________． 13．如图，的顶点在正六边形的边上，，则______°． 14．方程的两个根为等腰三角形的两条边长，则等腰三角形的周长为_______． 15．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，在中，，于点，点在反比例函数的图像上．若，，则的值为________． 16．如图，某款“不倒翁”的主视图是圆弧和两线组成的轴对称图形，倒到最歪位置时，点的对应是点，点的对应是点，若半径为，，，那么原来与地面接触点和现在与地面的接触点之间的距离是________． 三、解答题 17．计算： 18．如图，在中，为边上的一点，为的中点，连接并延长至点，连接，使得．求证：． 19．先化简，再求值：，其中． 20．2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 5% 第2组 10 第3组 15 15% 第4组 40 40% 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________；请将频数分布直方图补充完整； （2）所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第________组的分数段内； （3）计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 21．如图，在中，，以为直径的交于点，交的延长线于点，连接． （1）求作的切线，交于点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． 22．人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近来年得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布DeepSeek-V3模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了，两种型号的机器人模型，型机器人模型单价比型机器人模型单价多200元，用2000元购买型机器人模型和用1200元购买型机器人模型的数量相同． （1）求型，型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买型和型机器人模型共40台，购买型机器人模型不超过型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买型和型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 23．【平行六边形】如图1，在凸六边形中，满足，，，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”，其中与，与，与叫做“主对边”；和，和，和叫做“主对角”；，，叫做“主对角线”． （1）类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 ________ ②平行六边形的三组主对角分别相等 ________ ③平行六边形的三条主对角线互相平分 ________ 【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． （2）如图2，已知平行六边形满足．求证：平行六边形是菱六边形： （3）如图3是一张边长为3，4，6的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长． 24．如图，锐角内接于，平分，交于点，交于点，平分，连结并延长交于点． （1）若，请直接写出，的度数． （2）求证：是的切线． （3）若平分，，，求的长． 25．在平面直角坐标系中，已知二次函数（为常数）经过点，． （1）当时，求该函数表达式； （2）若点，都在直线上，求的值； （3）当时，都有，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 擢英25-26六月数学素养模拟参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A B B A D A C C 11． 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，分母不等于零，即可求出 的取值范围 【详解】解：要使分式 有意义，则分母 ， 解得 ． 故答案为： ． 12． 【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，掌握平方差公式的特点是解题的关键；由平方差公式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 13． 【分析】先计算正六边形的内角，再利用平行四边形的对角相等得到，根据图形即可求出的度数． 【详解】解：正六边形的内角和为， ， 四边形是平行四边形，， ， ． 14．10或11 【分析】本题考查解一元二次方程根，等腰三角形周长，要分类讨论． 15． 【分析】根据等腰三角形的性质，求出点坐标，即可求出k的值． 【详解】解：∵在中，，，，， ∴， ∴， ∴． 16． 17．4 【分析】根据算术平方根、特殊三角函数值及零次幂进行求解即可； 【详解】解：原式； 18．见解析 【详解】证明：∵ ∴ ∵为的中点， ∴ ∵ ∴ ∴． 19．；2 【分析】先约分化简，再计算括号，最后代入化简即可． 【详解】解：原式= = = 将x=3代入， 原式=2. 【点睛】本题考查分式的混合运算、乘法公式等知识，解题的关键是灵活掌握分式的混合运算法则，注意简便运算，属于中考常考题型． 20．(1)10%，30%，见解析 (2)4 (3)全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人 【分析】本题考查了频率和频数，频数分布直方图，中位数，利用样本估计总体． （1）根据第2组的频数和百分比，求出抽取的学生人数，再求出相应的值，补全频数分布直方图即可； （2）根据中位数的定义求解即可 （3）利用全校人数乘以成绩不低于91分的学生占比，即可求解． 【详解】（1）解：抽取的学生人数为人， 则， ， ，， 补全频数分布直方图如下： （2）解：抽取的名学生竞赛成绩中，中位数为第和名学生竞赛成绩的平均数， 由（1）可知，第1组有5人，第2组有10人，第3组有15人，第4组有40人， 前三组人数为人，前四组人数为人， 则中位数处于第4组的分数段内， 故答案为：4； （3）解：由（1）可知，，即全校91分以上的同学占比约为， 则全校91分以上的同学约有（人）， 答：全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人． 21．（1）作射线OP，以点P为圆心，任意长为半径画弧交射线于M，N，以点M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点E，作直线PE，交AC于点Q，则直线PQ即为所求； （2）如图，连接AP，则BP=PC，根据中位线的性质证得，由切线的性质，平行线的性质证，根据直径所对的圆周角是直角，得，证得问题得证． 【详解】（1）解：如图所示，直线PQ即为所求； （2）证明：如图，连接AP， ， ， ， ， 是的切线， ， ， 是的直径， ，， ， ， . 22．(1)A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 (2)购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和一次函数，是解题的关键： （1）设B型机器人模型单价为x元，根据用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买A型机器人m台，根据购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，列出不等式求出的取值范围，设共花费w元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为元．根据题意得： 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， 此时； 答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 （2）解：设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台． ∵， 解得：， 设共花费w元，则 ， ∵ ∴w随m的减小而减小 ∴当时，w最小，最小值为11200， 此时， 答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元． 23. (1)错误；正确；错误 (2)详见解析 (3) 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定、相似三角形的性质与判定以及解方程：（1）连接，根据相似三角形和平行线的性质即可判断；（2）先证明为平行四边形，再证明为平行四边形，即可证明是菱六边形；（3）根据菱六边形得到，设，根据解得，代入即可． 【详解】（1）解：连接，交于点，由图可知： ①平行于，只能知道，其他对边同理，故平行六边形的三组主对边分别相等是错误的； ②平行于，，同理可得，其他对角同理，故平行六边形的三组主对角分别相等是正确的； ③由①可知，平行六边形的三条主对角线互相平分是错误的． （2）证明：过点作平行且相等于，连接， 则平行四边形是平行四边形， 平行于，， 在平行六边形中，平行于，， 平行且相等于， 为平行四边形， 平行于，， 在平行六边形中，平行于，平行于， 平行于，平行于， 为平行四边形， ， ， ， ， 平行六边形是菱六边形． （3）解：设三角形纸片为， 裁剪后的纸片为菱六边形， 平行于，平行于，平行于，， ， ， 设， 则， ， ， ， 解得：， ． 24.【分析】（1）连接，根据角平分线定义和圆周角定理即可解决问题； （2）结合（1）设，证明，进而可以解决问题； （3）设，证明，得，设，证明△△，对应边成比例求出，过点作于点，再证明△△，求出，根据勾股定理即可求出． 【解答】（1）解：平分， ， 平分， ， ， ， 如图，连接， ， ， ， ； （2）证明：设， ， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； （3）解：平分， ， 设， ， ，， ， ， 设， ，， ， ， ，， △△， ， ， ， ， 过点作于点， ， ，， ， ， ， ， ，， △△， ， ， ． 25.1．(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）先求出二次函数的对称轴为直线，再根据当时，点，关于对称轴对称，求出的值，即可求解； （2）先根据点，点都在直线上，求出的关系，得出点坐标，再将点、点代入二次函数即可求解； （3）先根据二次函数的系数，求出二次函数的增减性，在结合题意和数形结合进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：二次函数的对称轴为直线， ∵当时，点，关于对称轴对称， ∴， ∴该函数表达式为：； （2）解：∵点，点都在直线上， ∴， 由①②得：，即， ∴点坐标为： 将点，坐标代入函数表达式：， 解得：； （3）解：由题意可知：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴在对称轴的右侧，随的增大而增大，在对称轴的左侧，随的增大而减小， ①若和在对称轴右侧，随的增大而增大， ∵， ∴，与矛盾，不成立； ②若和在对称轴左侧，随的增大而减小， 若，在对称轴左侧，那么，有，与矛盾，不成立； 若，在对称轴右侧，那么，， 点关于对称轴的对称点坐标为，点关于对称轴的对称点坐标为， 只需满足：， 解得：． ③若和在对称轴左右两侧，点关于对称轴的对称点坐标为， 如图，要使时，都有，只需满足：， 解得：． ∴综上，的取值范围是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $