21.1 四边形及多边形 暑期巩固练习 2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 本练习以多边形核心概念为基础，通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，构建从单一公式到实际问题的知识进阶路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|多边形概念、内角和/外角和公式|选择题直接应用公式，如“内角和求边数”，夯实运算能力| |综合应用|对角线与边数关系、截角问题|解答题结合图形变换，如“截角后内角和计算”，发展空间观念| |拓展探究|平面镶嵌、实际情境问题|探究题关联生活，如“正多边形密铺设计”，提升应用意识|

人教版（2024）八年级下册 21.1 四边形及多边形 暑期巩固 利用四边形内角和与外角和计算 1、内角和为的多边形是（ ） A.六边形    B.五边形    C.四边形    D.三边形 2、下面的图形中，的值为（ ） A.103    B.105    C.115    D.133 3、下图中x的值为（ ） A.60    B.65    C.70    D.75 4、如图，四边形四边形，若，，，则    ． 5、如图，在四边形中，，如果，那么的度数是     ． 6、如图，四边形中，，是边上的点，，交于点，． (1)求的度数； (2)若，平分，试说明：． 四边形不稳定性的应用 1、下列图形中，不具有稳定性的有几个（　　） ①     ③     ③     ④ A.1 B.2 C.3 D.4 2、下列图形中具有稳定性的是（　　） A.正方形    B.长方形      C.平行四边形    D.锐角三角形 3、下列图形具有稳定性的是       （填序号）． 4、（1）下列图形中不具有稳定性是　       　；（只填图形序号） （2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性． 多边形概念及分类 1、如图所示的图形中，属于多边形的有（ ） A.2个    B.3个    C.4个    D.5个 2、下列图形中，不是多边形的是（　　） A.       B. C. D. 3、定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．如图，在的方格纸中，、在格点上，如果、在格点上，且是邻余线，那么该方格纸中符合条件的邻余四边形的个数有      个． 4、如图所示的多边形分别是       、       、        、        和       ． 5、如图所示，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝7，AE＝6，CD＝3，DE＝5，CB＝9．求多边形ABCDE的面积． 6、三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？ 多边形对角线条数与边数问题 1、边形所有对角线的条数有（ ） A.条      B.条 C.条      D.条 2、过n边形的其中－个顶点有5条对角线，则n为（ ） A.5    B.6    C.7    D.8 3、多边形的对角线共有20条，则下列方程可以求出多边形边数的是（ ） A.      B.      C.      D. 4、九边形从一个顶点出发的对角线有      条． 5、观察、探究及应用． (1)观察如图所示的图形并填空． 一个四边形有 条对角线； 一个五边形有 条对角线； 一个六边形有 条对角线； 一个七边形有 条对角线； (2)分析探究：由n边形的一个顶点出发，可作 条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作 条对角线； (3)结论：一个n边形有 条对角线； (4)应用：一个十二边形有多少条对角线？ 多边形对角线条数与分成的三角形个数问题 1、过某个多边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成个三角形，这个多边形是（ ） A.      B.      C.      D. 2、若某多边形的一个顶点与和它不相邻的其他各顶点相连接，可将多边形分成7个三角形，则该多边形是（　　） A.九边形    B.十边形    C.十二边形    D.十六边形 3、过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，则这个多边形是（　　） A.七边形    B.八边形    C.九边形    D.十边形 4、从十六边形的一个顶点出发的所有对角线，把这个十六边形分成          个三角形． 5、过某一个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，这个多边形的边数是     ． 6、四边形的一条对角线将四边形分成几个三角形？从五边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？ 7、如图，在五边形的边上，连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ 多边形内角和及应用 1、如图，的值等于（ ） A.360°    B.450°    C.540°    D.720° 2、如图，点A，点B，点C，点D，点E，点F是平面上的点，顺次连结得到不规则的图形，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（　　） A.180°    B.270°    C.360°    D.450° 3、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 　     　． 4、如图，在六边形ABCDEF中，一个外角α的度数为70°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝　    　°． 5、看图回答问题： （1）内角和为2018°，小明为什么说不可能？ （2）小华求的是几边形的内角和？ （3）错把外角当内角的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？ 多边形外角和及应用 1、如图，∠2+∠3+∠4＝320°，则∠1＝（　　） A.60度    B.40度    C.50度    D.75度 2、一个凸多边形的内角和与外角和之比为，则这个多边形的边数为（　　） A.5    B.6    C.7    D.8 3、如图，有四条直线两两相交，则的值是（ ） A.360    B.450    C.540    D.630 4、如图，小亮从点O处出发，前进5米后向右转，再前进5米后又向右转，这样走n次后恰好回到出发点O处，小亮走出的这个n边形的周长是     米． 5、亮亮从点M出发，前进20米后向左转，再前进20米后又向左转，按照这样的方式一直走下去． (1)亮亮______（填“能”或“不能”）回到M点； (2)亮亮走过的路线围成了______；（填详细图形名称） (3)求（2）中图形的周长． 6、如图，小玲从点A出发，前进3米后向右转20°，再前进3米后又向右转20°，这样一直下去，直到她第一次回到出发点A为止，她所走的路径构成了一个多边形． (1)小玲一共走了多少米？ (2)求这个多边形的内角和． 多（或少）一个角问题 1、晨曦因少算了一个内角得出一多边形的内角和为980°，则该多边形的边数为（　　） A.6    B.8    C.10    D.9 2、在计算多边形内角和时，不小心多加了一个内角，结果为，则边数为（ ） A.5    B.6    C.7    D.8 3、一个多边形除去一个内角外，剩下的内角和是1000°，则这个多边形是（ ）． A.五边形    B.六边形    C.七边形    D.八边形 4、粗心的小华在计算一个多边形的内角和时少算了一个内角，得出其余个内角的和为1900°．则这个多边形是     边形． 5、小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是，则少算的这个内角的度数为           ． 6、一个多边形，除了一个内角之外，其余内角之和为2680°，求这个内角的大小． 多边形截角后内角和问题 1、一个n边形削去一个角后变成(n+1)边形，其内角和变为2 520°，则原多边形的边数是 ( ) A.7    B.10    C.14    D.15 2、一个四边形截去一个角后内角个数是（ ） A.3    B.4    C.5    D.3、4、5 3、若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　） A.14或15    B.13或14      C.13或14或15    D.14或15或16 4、在一个凸n边形的纸板上切下一个三角形后，剩下一个内角和为1080°的多边形，则n的值为     ． 5、一个多边形的纸片，小明将这个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为2160°，求原多边形的边数． 多边形内角和与外角和综合 1、一个多边形的内角和比外角和大180°，则这个多边形的边数是（　　） A.7    B.6    C.5    D.4 2、一个多边形的内角和与它的外角和的和为1800°，则这个多边形的边数为（　　） A.11    B.10    C.9    D.8 3、将一副直角三角板与正五边形按如图所示的方式摆放．若∠1=41°，∠2=51°．则∠3的大小为              度． 4、在n边形中，设∠A的外角的度数为α，与∠A不相邻的（n﹣1）个内角的和为β．若β＝α+540°，则n＝　    　． 5、阅读小明和小红的对话，解决下列问题． （1）这个“多加的锐角”是 　  　°． （2）小明求的是几边形的内角和？ （3）若这是个正多边形，则这个正多边形的一个外角是多少度？ 正多边形内角和与外角和 1、正十边形的每个内角的大小为（ ） A.      B.      C.      D. 2、如图，在正五边形中，为边延长线上一点，连接，则的度数为（ ） A.      B.      C.      D. 3、“中国天眼”是目前世界上唯一能观测深空的射电望远镜，其中心位置是一个正五边形，这个正五边形的内角和是      ． 4、计算正五边形和正十边形的每个内角的度数. 平面镶嵌问题 1、一个顶点周围用2个正方形和个正三角形恰好无缝隙、无重叠嵌入，则的值是（ ） A.2    B.3    C.4    D.5 2、只用下列正多边形地砖中的一种，不能镶嵌的是（ ） A.正三角形    B.正四边形    C.正五边形    D.正六边形 3、李明同学在学完用正多边形拼地板这节课之后，建议爸爸为他家房屋地面进行装修．爸爸选中了一种漂亮的正八边形地砖，他告诉爸爸，只用一种八边形地砖是不能铺满地面的，但可以与另外一种边长相等的正多边形地砖组合使用，你认为要使地面铺满，李明应建议爸爸选择另一种地砖的形状为（ ） A.正三角形    B.正方形    C.正五边形    D.正六边形 4、用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙，也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺．例如，图1和图2是用全等的三角形或四边形材料密铺而成的地面．若用边长相同的 个正三角形和个正六边形材料组合密铺地面，则和满足关系式是      ． 5、已知个正多边形和个正多边形可绕一点周围镶嵌（密铺），的一个内角的度数是的一个内角的度数的． （1）试分别确定，是什么正多边形？ （2）画出这个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形（画一种即可）． 人教版（2024）八年级下册 21.1 四边形及多边形 暑期巩固（参考答案） 利用四边形内角和与外角和计算 1、内角和为的多边形是（ ） A.六边形    B.五边形    C.四边形    D.三边形 【答案】C 【解析】 解：设所求多边形边数为， 根据题意得：， 解得：， 所求多边形为四边形， 故选：C． 2、下面的图形中，的值为（ ） A.103    B.105    C.115    D.133 【答案】B 【解析】 解：∵四边形的内角和为， ∴， 故选B 3、下图中x的值为（ ） A.60    B.65    C.70    D.75 【答案】B 【解析】 解：由题意得， 解得， 故选：B． 4、如图，四边形四边形，若，，，则    ． 【答案】 105 【解析】 解：四边形四边形， ′，． ， ， ，， ． 故答案为：105． 5、如图，在四边形中，，如果，那么的度数是     ． 【答案】 【解析】 解：在四边形中，， ， ∴． 故答案为：． 6、如图，四边形中，，是边上的点，，交于点，． (1)求的度数； (2)若，平分，试说明：． 【答案】 解：（1）， ， ，， ； （2）由（1）得， 平分， ， ， ， ， ，， 又， ． 四边形不稳定性的应用 1、下列图形中，不具有稳定性的有几个（　　） ①     ③     ③     ④ A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】 解：①具有稳定性，故此选项符合题意； ②不具有稳定性，故此选项不符合题意； ③不具有稳定性，故此选项不符合题意； ④不具有稳定性，故此选项不符合题意； 故选：C． 2、下列图形中具有稳定性的是（　　） A.正方形    B.长方形      C.平行四边形    D.锐角三角形 【答案】D 【解析】 解：正方形，长方形，平行四边形，锐角三角形中只有锐角三角形具有稳定性． 故选：D． 3、下列图形具有稳定性的是       （填序号）． 【答案】 ③ 【解析】 解：∵三角形具有稳定性，四边形和五边形不具有稳定性， ∴具有稳定性的是③， 故答案为：③． 4、（1）下列图形中不具有稳定性是　       　；（只填图形序号） （2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性． 【答案】 解：（1）不具有稳定性的是2，3，5三个． （2）如图所示： 多边形概念及分类 1、如图所示的图形中，属于多边形的有（ ） A.2个    B.3个    C.4个    D.5个 【答案】A 【解析】 解：所示的图形中，多边形共有2个， 故选：A． 2、下列图形中，不是多边形的是（　　） A.       B. C. D. 【答案】C 【解析】 解：A、该图形是由4条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意； B、该图形是由5条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意； C、该图形是由线段、曲线首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它不是多边形．故本选项符合题意； D、该图形是由5条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意； 故选：C． 3、定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．如图，在的方格纸中，、在格点上，如果、在格点上，且是邻余线，那么该方格纸中符合条件的邻余四边形的个数有      个． 【答案】 【解析】 解：如图所示： 故该方格纸中符合条件的邻余四边形ABCD的个数有6个． 故答案为：6． 4、如图所示的多边形分别是       、       、        、        和       ． 【答案】 四边形；五边形；八边形；四边形；五边形 【解析】 解：如图所示的多边形分别是（1）四边形；（2）五边形；（3）八边形；（4）四边形；（5）五边形； 故答案为：（1）四边形；（2）五边形；（3）八边形；（4）四边形；（5）五边形． 5、如图所示，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝7，AE＝6，CD＝3，DE＝5，CB＝9．求多边形ABCDE的面积． 【答案】 解：如图，延长AE，CD交于点F， ∵∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∵AE∥BC，CD∥AB， ∴四边形ABCF是矩形， ∵AB＝7，CD＝3， ∴DF＝7﹣3＝4， ∵AE＝6，CB＝9， ∴EF＝9﹣6＝3， ∴S多边形ABCDE＝S矩形ABCF﹣S△DEF ＝AB•BC﹣DF•EF ＝7×9﹣×4×3 ＝63﹣6 ＝57． 6、三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？ 【答案】 解：如图所示，三角形有3个顶点，3条边，3个内角； 四边形有4个顶点，4条边，4个内角； 五边形有5个顶点，5条边，5个内角； …… 可发现，多边形的顶点个数和内角个数与边数相同； n边形有n个顶点，n条边，n个内角． 多边形对角线条数与边数问题 1、边形所有对角线的条数有（ ） A.条      B.条 C.条      D.条 【答案】C 【解析】 解：∵过边形的一个顶点可以作条对角线， ∴过个顶点可以作条对角线， 但每条对角线重复一次， ∴边形所有对角线的条数有条， 故选：． 2、过n边形的其中－个顶点有5条对角线，则n为（ ） A.5    B.6    C.7    D.8 【答案】D 【解析】 根据题意有：， ∴， 故选：D． 3、多边形的对角线共有20条，则下列方程可以求出多边形边数的是（ ） A.      B.      C.      D. 【答案】D 【解析】 解：设多边形边数为， 从一个顶点出发可引出条对角线， 再根据边形对角线的总条数为， 即， ， 故答案选：D． 4、九边形从一个顶点出发的对角线有      条． 【答案】 6 【解析】 解：九边形从一个顶点出发的对角线有条， 故答案为：6． 5、观察、探究及应用． (1)观察如图所示的图形并填空． 一个四边形有 条对角线； 一个五边形有 条对角线； 一个六边形有 条对角线； 一个七边形有 条对角线； (2)分析探究：由n边形的一个顶点出发，可作 条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作 条对角线； (3)结论：一个n边形有 条对角线； (4)应用：一个十二边形有多少条对角线？ 【答案】 解：（1）一个四边形有条对角线； 一个五边形有条对角线； 一个六边形有条对角线； 一个七边形有条对角线； （2）由（1）归纳总结可得： 由n边形的一个顶点出发，可作条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作条对角线； （3）由（1）归纳总结可得： 一个n边形有条对角线． （4）当时， 一个十二边形有条对角线． 多边形对角线条数与分成的三角形个数问题 1、过某个多边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成个三角形，这个多边形是（ ） A.      B.      C.      D. 【答案】C 【解析】 解：设多边形边数为， 过某个多边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成个三角形， ， 解得：． 故选：C． 2、若某多边形的一个顶点与和它不相邻的其他各顶点相连接，可将多边形分成7个三角形，则该多边形是（　　） A.九边形    B.十边形    C.十二边形    D.十六边形 【答案】A 【解析】 解：设多边形有n条边， 则n﹣2＝7， 解得n＝9． 故这个多边形是九边形． 故选A． 3、过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，则这个多边形是（　　） A.七边形    B.八边形    C.九边形    D.十边形 【答案】B 【解析】 解：设这个多边形是n边形， 由题意得， 解得：， 即这个多边形是八边形， 故选∶B． 4、从十六边形的一个顶点出发的所有对角线，把这个十六边形分成          个三角形． 【答案】 【解析】 解：当时，， 即可以把这个十六边形分成了个三角形， 故答案为：． 5、过某一个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，这个多边形的边数是     ． 【答案】 6 【解析】 解：，即， 故答案为：6； 6、四边形的一条对角线将四边形分成几个三角形？从五边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？ 【答案】 解：∵从n边形的一个顶点出发，可以引条（n-3）对角线，将n边形分成（n-2）个三角形． ∴从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形； 从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将五边形分成3个三角形． 7、如图，在五边形的边上，连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ 【答案】 解：根据图形可知， 图中共有4个三角形，三角形的个数等于边数减1． 多边形内角和及应用 1、如图，的值等于（ ） A.360°    B.450°    C.540°    D.720° 【答案】C 【解析】 解：如图，连接， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， 故选：C． 2、如图，点A，点B，点C，点D，点E，点F是平面上的点，顺次连结得到不规则的图形，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（　　） A.180°    B.270°    C.360°    D.450° 【答案】C 【解析】 解：如图，连接CF， ∵∠D+∠E+∠DME＝180°＝∠MCF+∠MFC+∠CMF，而∠DME＝∠CMF， ∴∠D+∠E＝∠MCF+∠MFC， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数就是四边形ABCF的内角和， 即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°， 故选：C． 3、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 　     　． 【答案】 360° 【解析】 解：如图： ∵∠E+∠A＝∠1，∠B+∠F＝∠2， ∵∠1+∠2+∠C+D＝360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°， 故答案为：360°． 4、如图，在六边形ABCDEF中，一个外角α的度数为70°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝　    　°． 【答案】 610． 【解析】 解：∵∠α＝70°， ∴∠AFE＝180°﹣70°＝110°， ∵六边形ABCDEF的内角和为（6﹣2）×180°＝720°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝720°﹣110°＝610°， 故答案为：610． 5、看图回答问题： （1）内角和为2018°，小明为什么说不可能？ （2）小华求的是几边形的内角和？ （3）错把外角当内角的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？ 【答案】 解：（1）因为n边形的内角和是（n﹣2）•180°， 所以内角和一定是180°的倍数． 因为2018÷180＝11……38， 所以内角和为2018°不可能． （2）设小华求的是n边形的内角和． 依题意有2018°﹣180°＜（n﹣2）•180°＜2018°， 解得＜n＜13． 所以多边形的边数是13，该多边形为十三边形． （3）13边形的内角和是（13﹣2）×180°＝1980°， 则错把外角当内角的那个外角的度数是2018°﹣1980°＝38°． 多边形外角和及应用 1、如图，∠2+∠3+∠4＝320°，则∠1＝（　　） A.60度    B.40度    C.50度    D.75度 【答案】B 【解析】 由多边形的外角和等于360°，有∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°，∠2＋∠3＋∠4=320°，所以∠1＝360°－320°＝40°. 2、一个凸多边形的内角和与外角和之比为，则这个多边形的边数为（　　） A.5    B.6    C.7    D.8 【答案】A 【解析】 ∵多边形的外角和为 内角和与外角和之比为 ∴多边形内角和为 ∴=， ． 故选A 3、如图，有四条直线两两相交，则的值是（ ） A.360    B.450    C.540    D.630 【答案】C 【解析】 解：如图， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4、如图，小亮从点O处出发，前进5米后向右转，再前进5米后又向右转，这样走n次后恰好回到出发点O处，小亮走出的这个n边形的周长是     米． 【答案】 120 【解析】 解：走次后构成一个边形， 多边形外角和为， ， 解得， 小亮走出的这个边形的周长是（米）， 故答案为：120． 5、亮亮从点M出发，前进20米后向左转，再前进20米后又向左转，按照这样的方式一直走下去． (1)亮亮______（填“能”或“不能”）回到M点； (2)亮亮走过的路线围成了______；（填详细图形名称） (3)求（2）中图形的周长． 【答案】 解：（1）， 则亮亮能回到M点， 故答案为：能． （2）由（1）得：小亮走8次即可回到M点，每次都前进20米， 则亮亮走过的路线围成了正八边形， 故答案为：正八边形． （3）由（2）得，路线围成的图形为：正八边形，且边长为20米， 则（米）， 则（2）中图形的周长为160米． 6、如图，小玲从点A出发，前进3米后向右转20°，再前进3米后又向右转20°，这样一直下去，直到她第一次回到出发点A为止，她所走的路径构成了一个多边形． (1)小玲一共走了多少米？ (2)求这个多边形的内角和． 【答案】 解：（1）∵所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形， ∴， （米）． 答：贾玲一共走了54米． （2）根据题意，得， 答：这个多边形的内角和是． 多（或少）一个角问题 1、晨曦因少算了一个内角得出一多边形的内角和为980°，则该多边形的边数为（　　） A.6    B.8    C.10    D.9 【答案】B 【解析】 解：设此多边形的内角和为x, 则有980°＜x＜980°+180°， 即180°×5+80°＜x＜180°×6+80°， 因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数， 所以x=180°×6=1080°． ∴， ∴这个多边形边数为8， 故选B． 2、在计算多边形内角和时，不小心多加了一个内角，结果为，则边数为（ ） A.5    B.6    C.7    D.8 【答案】D 【解析】 解：， ∴这个多加的内角为， 设这个多边形的边数为n， 根据多边形内角和定理可得出：， 解得：， 故选∶D 3、一个多边形除去一个内角外，剩下的内角和是1000°，则这个多边形是（ ）． A.五边形    B.六边形    C.七边形    D.八边形 【答案】D 【解析】 解：设多边形的边数为n， 由题意得：1000＜（n−2）·180＜1000+180， 解得：＜n＜， ∴n＝8， 即这个多边形是八边形， 故选：D． 4、粗心的小华在计算一个多边形的内角和时少算了一个内角，得出其余个内角的和为1900°．则这个多边形是     边形． 【答案】 十三 【解析】 解：设这个内角度数为，边数为，则， ∴， 解得， 又∵， ， ，即 又∵为正整数， ， 故答案为：十三． 5、小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是，则少算的这个内角的度数为           ． 【答案】 【解析】 解：设多边形的边数是n（，且n为整数）， 依题意得， 解得． ∵少算一个内角，且该内角小于， ∴． ∴多边形的内角和是， ∴少算的这个内角的度数为， 故答案为：． 6、一个多边形，除了一个内角之外，其余内角之和为2680°，求这个内角的大小． 【答案】 解：设多边形的边数为x，由题意有 （x﹣2）•180=2680， 解得x=16， 因而多边形的边数是17， 则这一内角为（17﹣2）×180°﹣2680°=20°． 多边形截角后内角和问题 1、一个n边形削去一个角后变成(n+1)边形，其内角和变为2 520°，则原多边形的边数是 ( ) A.7    B.10    C.14    D.15 【答案】D 【解析】 解：因为(n+1)边形内角和＝(n+1-2)×180=2520度 所以多边形边数n＝2520÷180+1＝15 故选D 2、一个四边形截去一个角后内角个数是（ ） A.3    B.4    C.5    D.3、4、5 【答案】D 【解析】 解：如图可知，一个四边形截去一个角后变成三角形或四边形或五边形， 故内角个数是为3、4或5. 故选D. 3、若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　） A.14或15    B.13或14      C.13或14或15    D.14或15或16 【答案】C 【解析】 解：如图，n边形，A1A2A3…An， 若沿着直线A1A3截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数少1， 若沿着直线A1M截去一个角，所得到的多边形，与原来的多边形的边数相等， 若沿着直线MN截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数多1， 因此将一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数为13或14或15， 故选：C． 4、在一个凸n边形的纸板上切下一个三角形后，剩下一个内角和为1080°的多边形，则n的值为     ． 【答案】 7或8或9 【解析】 解：设切下一个三角形后多边形的边数x， 由题意得，（x﹣2）×180°＝1080°， 解得x＝8， 所以，n＝8﹣1＝7， n＝8+1＝9， 或n＝x＝8． 故答案为：7或8或9． 5、一个多边形的纸片，小明将这个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为2160°，求原多边形的边数． 【答案】 解：设新的多边形的边数为n，由题意，得：180°（n﹣2）＝2160°， ∴n＝14， ∵切去一角有如图所示的三种切法，切完后新多边形的边数可以比原多边形多一条边，相等，少一条边，三种情况， 故：原多边形的边数为13或14或15； 多边形内角和与外角和综合 1、一个多边形的内角和比外角和大180°，则这个多边形的边数是（　　） A.7    B.6    C.5    D.4 【答案】C 【解析】 解：设则这个多边形的边数是n， 由题意得：（n﹣2）•180°﹣360°＝180°， ∴n＝5， 故选：C． 2、一个多边形的内角和与它的外角和的和为1800°，则这个多边形的边数为（　　） A.11    B.10    C.9    D.8 【答案】B 【解析】 解：设多边形的边数为n，则根据多边形的内角和与外角和的性质，有： 内角和＝（n﹣2）×180°外角和＝360°，由题可知，内角和与外角和的和为1800°， 即：（n﹣2）×180°+360°＝1800°， 解得：n＝10， 因此，这个多边形的边数为10． 故选：B． 3、将一副直角三角板与正五边形按如图所示的方式摆放．若∠1=41°，∠2=51°．则∠3的大小为              度． 【答案】 10 【解析】 解：30°的直角三角形的另一个内角的度数是60°，等腰直角三角形的直角度数是90°，正五边形的一个内角的度数是： ×（5−2）×180°＝108°， 则∠3＝360°−60°−90°−108°−∠1−∠2＝10°． 故答案是：10． 4、在n边形中，设∠A的外角的度数为α，与∠A不相邻的（n﹣1）个内角的和为β．若β＝α+540°，则n＝　    　． 【答案】 6． 【解析】 解：在n边形中，设∠A的外角的度数为α， 则与∠A相邻的内角的度数为180°﹣α， ∵与∠A不相邻的（n﹣1）个内角的和为β， ∴180°﹣α+β＝（n﹣2）•180°， ∵β＝α+540°， ∴180°﹣α+α+540°＝（n﹣2）•180°， 解得：n＝6， 故答案为：6． 5、阅读小明和小红的对话，解决下列问题． （1）这个“多加的锐角”是 　  　°． （2）小明求的是几边形的内角和？ （3）若这是个正多边形，则这个正多边形的一个外角是多少度？ 【答案】 解：（1）12边形的内角和为（12﹣2）×180°＝1800°，而13边形的内角和为（13﹣2）×180°＝1980°， 由于小红说：“多边形的内角和不可能是1830°，你一定是多加了一个锐角”，所以这个“多加的锐角是1830°﹣1800°＝30°， 故答案为：30； （2）设这个多边形为n边形，由题意得： （n﹣2）×180°＝1800°， 解得：n＝12； 答：小明求的是12边形的内角和； （3）正12边形的每一个外角都相等，而多边形的外角和始终为360°， 所以每一个外角为， 答：这个正多边形的每一个外角为30° 正多边形内角和与外角和 1、正十边形的每个内角的大小为（ ） A.      B.      C.      D. 【答案】C 【解析】 解：因为正十边形的内角和为：， 所以正十边形的每个内角的大小为， 故选：C． 2、如图，在正五边形中，为边延长线上一点，连接，则的度数为（ ） A.      B.      C.      D. 【答案】C 【解析】 解：∵正五边形， ，， ， ． 故选：C． 3、“中国天眼”是目前世界上唯一能观测深空的射电望远镜，其中心位置是一个正五边形，这个正五边形的内角和是      ． 【答案】 【解析】 解：正五边形的内角和为：， 故答案为：． 4、计算正五边形和正十边形的每个内角的度数. 【答案】 解：∵任意多边形的外角和是360°， ∴正五边形的每个外角=360÷5=72°． ∴正五边形的每个内角的度数=180°-72°=108°； ∵任意多边形的外角和是360°， ∴正十边形的每个外角=360÷10=36°． ∴正十边形的每个内角的度数=180°-36°=144°． 平面镶嵌问题 1、一个顶点周围用2个正方形和个正三角形恰好无缝隙、无重叠嵌入，则的值是（ ） A.2    B.3    C.4    D.5 【答案】B 【解析】 解：正方形的每个内角是，正三角形的每个内角是， 根据题意得：， 解得：， 故选：B． 2、只用下列正多边形地砖中的一种，不能镶嵌的是（ ） A.正三角形    B.正四边形    C.正五边形    D.正六边形 【答案】C 【解析】 解：用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案， 只用上面正五边形，不能进行平面镶嵌． 故选：C． 3、李明同学在学完用正多边形拼地板这节课之后，建议爸爸为他家房屋地面进行装修．爸爸选中了一种漂亮的正八边形地砖，他告诉爸爸，只用一种八边形地砖是不能铺满地面的，但可以与另外一种边长相等的正多边形地砖组合使用，你认为要使地面铺满，李明应建议爸爸选择另一种地砖的形状为（ ） A.正三角形    B.正方形    C.正五边形    D.正六边形 【答案】B 【解析】 解：A项，正八边形、正三角形的每个内角度数分别为，，显然不能构成的周角，所以不能铺满，不符合题意； B项，正方形、正八边形的每个内角度数分别为，，由于，所以能铺满，符合题意 C项，正六边形和正八边形的每个内角度数分别为，，显然不能构成的周角，所以不能铺满； D项，正八边形、正五边形的每个内角度数分别为，，显然不能构成的周角，所以不能铺满，不符合题意． 故选：B． 4、用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙，也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺．例如，图1和图2是用全等的三角形或四边形材料密铺而成的地面．若用边长相同的 个正三角形和个正六边形材料组合密铺地面，则和满足关系式是      ． 【答案】 【解析】 解：∵正三角形的每个内角为，正六边形的每个内角为， ∴用边长相同的 个正三角形和个正六边形材料组合密铺地面时，， 即， 故答案为：． 5、已知个正多边形和个正多边形可绕一点周围镶嵌（密铺），的一个内角的度数是的一个内角的度数的． （1）试分别确定，是什么正多边形？ （2）画出这个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形（画一种即可）． 【答案】 解：（1）设B的内角为x，则A的内角为x， ∵2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺）， ∴3x+2×x=360°， 解得：x=60°， ∴x=90° ∴可确定A为正四边形，B为正三边形． （2）所画图形如下： 学科网（北京）股份有限公司 $