1.1.2 集合的基本关系讲义-2026年暑假新高一预习数学人教B版必修第一册

1.1.2 集合的基本关系 知识点一　子集与真子集 1.子集与真子集 概念 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集 A⫋B (或B⫌A) 2．Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 【注意】(1)“集合A是集合B的子集”可以表述为：若x∈A，则x∈B． (2)符号“∈”用于表示元素与集合之间的关系，而符号“⊆”用于表示集合与集合之间的关系． 3．空集 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅． (2)规定：空集是任何集合的子集． 【注意】(1)A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个元素x∈B，但x∉A． (2)∅与{0}不同，{0}是含有一个元素的集合，∅⫋{0}；更不能把∅写作{∅}． 4.子集、真子集的性质 (1)任意集合A都是它自身的子集，即A⊆A. (2)空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A. (3)对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，那么A⊆C. (4)对于集合A，B，C，如果A⫋B，B⫋C，那么A⫋C. 【注意】(1)A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个元素x∈B，但x∉A． (2)∅与{0}不同，{0}是含有一个元素的集合，∅⫋{0}；更不能把∅写作{∅}． 知识点二　集合的相等与子集的关系 1.如果A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2.如果A＝B，则A⊆B且B⊆A. 子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集有2n个． (2)A的非空子集有2n－1个． (3)A的真子集有2n－1个． (4)A的非空真子集有2n－2个． 考点一　判断两个集合的包含关系 考点二　判断两个集合是否相等 考点三　求集合的子集(真子集)或个数 考点四　利用集合相等的问题求参数 考点五　空集的概念以及判断 考点六　根据集合的包含关系求参数 考点一　判断两个集合的包含关系 1．（2026·天津红桥·一模）集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知， 所以与的关系为 2．（25-26高一上·四川南充·期中）（多选）以下写法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】用列举法表示A中集合，根据元素与集合关系可得A正确；根据集合间关系的表示法可知B错误；用列举法表示C中集合可知C正确；根据推出关系可确定两集合的包含关系，知D错误. 【详解】对于A，由得：，，，A正确； 对于B，表示具有唯一元素的集合，，B错误； 对于C，由得：或，，C正确； 对于D，，，，D错误. 故选：AC. 3．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）若集合，则A，B，C之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别将集合表示为，和即可得结果. 【详解】∵， ， 显然， 故选：B. 4．（25-26高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)是等腰三角形}，是等边三角形}. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据子集和真子集的定义，结合已知中给定集合，逐一分析，可得结论． 【详解】（1）中唯一元素， 又， 所以； （2）， 的元素都是的元素，而的元素不是的元素， 所以； （3）是等腰三角形}，是等边三角形}， 又∵为等边三角形也是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形； 所以. 5．（25-26高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)为正整数}，，为正整数}． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件，结合子集的定义，举例即可求解； （2）根据已知条件，结合子集的定义，理解的倍数一定是的倍数，的倍数不一定是的倍数，即可求解； （3）根据已知条件，结合子集的定义，注意奇数1即可求解． 【详解】（1）解：的唯一元素， 又， ； （2）解：，， ，， 的倍数一定是的倍数， 的倍数不一定是的倍数， 例如：， ； （3）解：为正整数}正奇数， ，为正整数}不小于3的正奇数， ． 6．（25-26高一上·全国·课前预习）判断下列关系是否正确： (1)； (2) (3)⫋； (4)； (5)； (6)； (7)⫋； (8)⫋． 【答案】(1)正确 (2)正确 (3)正确 (4)正确 (5)错误 (6)错误 (7)正确 (8)正确 【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系逐一判断即可. 【详解】（1）任何一个集合是它本身的子集，所以，故正确. （2）元素相同的两个集合为相等集合，故正确． （3）空集是任何非空集合的真子集，故正确． （4）中只有一个元素0，，故正确． （5）与是两个集合，不能用“”连接，故错误． （6）中没有任何元素，而中有一个元素，二者不相等，故错误． （7）空集是任何非空集合的真子集，故正确． （8），⫋，故正确． 考点二　判断两个集合是否相等 7．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为集合， ， 所以. 8．（25-26高一上·湖北·阶段检测）下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合与元素的关系依次判断各选项即可. 【详解】对于A，是含一个元素0的集合，不含任何元素，故A错误； 对于B，集合元素具有无序性，故正确； 对于C，是包含空集的集合（有一个元素），是空集（无元素），故错误； 对于D，表示有序数对的集合，表示有序数对的集合，有序数对与不相等，故这两集合不相等，故错误； 故选：B 9．（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C． D．集合与集合是同一个集合 【答案】AC 【分析】根据集合中元素的无序性可知A正确；根据空集的定义可知B错误；根据空集是任意集合的子集可知C正确；根据两集合表示的数集不同可确定D错误. 【详解】对于A，集合中的元素具有无序性，则，均可表示由组成的集合，A正确； 对于B，是不含任何元素的集合，是含有一个元素的集合；与不是同一个集合，B错误； 对于C，是任意集合的子集，则，C正确； 对于D，，，集合与集合不是同一个集合，D错误. 故选：AC. 10．（25-26高一上·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相等集合的定义逐一判断可得. 【详解】对于A，两集合表示点的坐标不同，不是同一个集合，故A错误； 对于B，两集合元素相同，是相等集合，故B正确； 对于C，集合中有元素，集合为空集，不是相等集合，故C错误； 对于D，集合表示抛物线上的点，集合为数集，故D错误. 故选：B 11．（25-26高一上·江苏南京·期中）若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】对分奇偶进行讨论，即可判断集合，之间的关系. 【详解】对于集合，当时，， 当时，，所以. 故选：A. 12．（25-26高三·全国·一轮复习）在平面直角坐标系中，集合，集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合中方程组的解集，然后根据集合之间的关系进行判断即可. 【详解】因为集合，集合， 因为是元素与集合之间的关系，而均为点集，所以A错误； 因为集合包含，所以B正确，C,D错误. 故选：B. 考点三　求集合的子集(真子集)或个数 13．（2026·湖南常德·一模）集合 的真子集的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】先求集合，进而求解. 【详解】由题意得：，解得，又， 所以，所以，所以， 所以集合的真子集的个数为. 14．（25-26高一下·四川成都·期中）已知集合，集合，则满足关系的所有集合为__________________ 【答案】 【详解】因为，，， 所以集合可以为 15．（25-26高一上·上海·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定，再由题意可得，其中集合为集合的子集，从而可得结果. 【详解】由，得. 设集合为集合的子集，则集合可能为：，共种. 由题意，集合，所以集合共有个， 分别为：． 16．（2026·西藏林芝·二模）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以的真子集个数为个 17．（25-26高一上·安徽六安·期中）设集合，则的真子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】C 【分析】根据题意，求出，再根据子集个数规律求解. 【详解】由和， 可得或， 所以或 可得， 所以集合的真子集个数为个. 故选：C. 18．（2026·福建福州·模拟预测）满足⫋的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【详解】满足条件的集合有， ，共7个. 考点四　利用集合相等的问题求参数 19．（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知集合，，若，则的值为（   ） A．或4 B．或1 C．4 D． 【答案】C 【详解】因为，， 且，所以，解得或. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，符合题意. 20．（2026高一·全国·专题练习）设a，，若集合，则______． 【答案】0 【分析】根据集合相等的定义，结合集合元素的互异性，推导出、的值后代入所求式子计算. 【详解】因为右侧集合中有，分母不能为0，故， 两个集合相等，左侧集合必须含元素0，结合，得：，即 ，因此， 此时左侧集合为，右侧集合为，集合元素对应相等，可得，， 此时，符合条件. 所以. 21．（2026高三·全国·专题练习）设，，其中，若，则________． 【答案】1 【分析】由集合元素互异性、和集合相等的概念，分类讨论求解. 【详解】，由元素互异性得：，且． ，由元素互异性得：． 若集合中，则，此时，， 由得，所以，此时，符合要求； 若集合中，则，此时， ，这与矛盾，故这种情况不成立， 综上可知，，故． 22．（2026高一·全国·专题练习）已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________. 【答案】1 【分析】根据集合相等的定义求得后可得结论． 【详解】集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R）. 由A＝B， 得①解得此时集合A中，＝0与元素0重复，，违反互异性； ②解得，此时A＝B＝，符合题意. 综上，，所以. 23．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，若，则__，__. 【答案】 5 6 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【详解】因为， 所以一元二次方程的两个实数根为， 所以有. 24．（2026·山东德州·一模）设集合，若，则__________. 【答案】 【分析】利用两个集合相等的定义结合集合的互异性求解. 【详解】，，且且且， 或， 当时，且，，. 当时，解得，且，不成立. 综上可得，. 故答案为：. 考点五　空集的概念以及判断 25．（25-26高一上·广西河池·期中）__________________________________________________ 【答案】 【详解】空①：已知左侧集合为，右侧集合为.，故空①应填入符号. 空②：左侧是，右侧集合是，不包含任何元素，所以，故空②应填入符号. 空③：左侧集合为，右侧集合为.根据空集的性质，是任何集合的子集，所以故空③应填入符号. 空④：左侧集合为，右侧集合为.当时，有序对与不相等，因此两个集合不相等，故空④应填入符号. 空⑤：左侧元素为，右侧为自然数集.属于自然数集，因此，故空⑤应填入符号. 26．（25-26高一上·江苏·阶段检测）（多选）关于两个集合间关系的叙述，以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据空集概念和集合间的关系求解即可. 【详解】是以空集为元素的集合有且只有一个元素就是空集，根据空集是任何集合的子集所以A，C正确. 故选：AC 27．（25-26高一·全国·寒假作业）给出下列关系：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的是（    ） A．①②④⑤ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 【答案】D 【分析】根据元素与集合，集合与之间的关系一一判断即可. 【详解】由于元素与集合之间用或表示，所以①错误，②正确， 由于，集合与集合之间用或等表示，所以③错误，④正确， 根据集合与集合的关系可得⑤，⑥均正确， 所以正确的是②④⑤⑥， 故选：D. 28．（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）（多选）下列选项中不正确的是（    ） A．空集是任何集合的子集 B．任何集合至少有两个子集 C．集合用列举法表示为 D．满足方程组的点集为 【答案】BCD 【分析】利用空集的性质以及子集的概念可判断AB选项；解方程，结合集合的列举法可判断C选项；解方程组，结合集合的列举法可判断D选项. 【详解】对于A选项，空集是任何集合的子集，A对； 对于B选项，空集只有一个子集，即空集本身，B错； 对于C选项，解方程，解得或， 故，C错； 对于D选项，由得，， 故满足方程组的点集为，D错. 故选：BCD. 考点六　根据集合的包含关系求参数 29．（2026·河南开封·三模）已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【详解】由，得或，解得或． 当时，，，，符合题意， 当时，A不满足元素互异性，不符合题意，所以. 30．（2026·上海金山·模拟预测）已知集合，且，则实数a的取值范围是_________. 【答案】 【分析】根据子集的包含关系，确定端点值范围即可. 【详解】解：由，则集合中的所有元素必须属于集合， 所以，即a的取值范围为. 31．（25-26高三·全国·二轮复习）已知集合，，若，则a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简集合A，利用，讨论集合B是否为空集，求出a的取值即可. 【详解】解方程，因式分解得，解得或，因此. 当时，此时，符合. 当时，此时，方程的解为， 又，可得或，所以或； 综上，a的取值为0、1、，因此a的取值集合为. 故选：A. 32．（25-26高三上·四川广元·阶段检测）已知集合，且，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】分B为空集和不是空集两种情况，根据集合间的包含关系得到不等式求解. 【详解】分两种情况考虑： ①若B不为空集，可得：， 解得：， ， 且， 解得：， 所以, ②若B为空集，符合题意，可得：， 解得：. 综上，实数m的取值范围是. 故答案为：. 33．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，分类讨论与两种情况，结合一次方程与二次方程的解法即可得解； （2）先解二次方程化简集合，再由分类讨论集合的各种情况，结合二次方程的解法即可得解. 【详解】（1）因为只有一个元素，， 当时，； 当时，对于，有，解得， 把代入集合，得； 综上，或，对应的集合或. （2）因为，， 当时，对于，有，解得； 当时，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，则有，方程无解析，此时不存在满足条件； 综上，的取值范围为. 34．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）设集合，. (1)若集合B中有两个大于0的元素，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)实数a的取值范围为 (2)实数a的取值范围为 【分析】（1）由题意可得有两个不等正根，由根与系数的关系求解即可； （2）由题意可得或或或；分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为集合B中有两个大于0的元素，所以有两个不等正根， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为； （2）由，可得，解得或， 因为，所以或或或； 当时，，解得； 当时，，无解，故舍去； 当时，，解得； 当时，，无解，故舍去； 综上所述：实数a的取值范围为. 1．（25-26高二上·广东广州·期末）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两集合中的数字特征，即可得出两集合的关系. 【详解】由题意得, 显然仅表示奇数，而表示整数， 因此集合是集合的子集，即， 故选：B 2．（25-26高一上·山东济南·期中）下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空集的性质和子集的概念得到答案. 【详解】由于是的一个子集，故，B正确，AD错误，C选项，空集不是的元素，故C错误. 故选：B 3．（2026高一上·广东清远·专题练习）已知集合，，则满足B的集合C的个数为（   ） A．4 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【分析】方法一：根据集合关系写出所有满足题意的集合C即可得答案. 方法二：转化为求集合的任意一个真子集的个数求解即可. 【详解】方法一：因为集合，， 所以满足条件的集合C有：，，，，，，，共7个． 方法二：集合中有2个元素，集合中有5个元素， 故满足条件的集合C可以是集合的任意一个真子集与集合A的并集， 因为集合的真子集的个数为， 所以满足条件的集合C有 4．（2026·西藏日喀则·模拟预测）集合，．若，则实数（   ） A．0 B．2 C．3 D．-1 【答案】D 【详解】由知是的子集，若，则中有重复元素0，不合题意舍去； 若，则无解；若，则，经检验符合题意. 所以 5．（25-26高一上·江苏宿迁·期末）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．1或 B．3或 C．3 D． 【答案】C 【分析】利用集合相等条件求解，并检验集合中元素的互异性即可得到判断. 【详解】由可得：，解得或， 当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去， 即满足题意， 故选：C 6．（25-26高一上·重庆·期中）集合，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，利用集合端点值间的关系列不等式即可求解答案. 【详解】已知， 由于，可得：. 故选：A 7．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得集合A，根据，分别讨论集合B为空集，和为单元素集合两种情况，分别计算即可求得答案. 【详解】因为，解得或，所以集合， 因为， 当时，，解得，满足； 当且为单元素集合时，，解得，代入方程得，解得，故集合，满足. 所以实数的取值范围是. 故选：C 8．（25-26高一上·河北·阶段检测）（多选）设集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先表示出集合，然后根据再对集合进行分类讨论，由此可求得结果. 【详解】，， 因为，且集合中至多有一个元素，所以或或， 若，则； 若，则； 若，则； 故选：ABD. 9．（25-26高一上·河北保定·阶段检测）（多选）已知集合，则的值可能为（   ） A．2 B．0 C． D．4 【答案】AC 【分析】分或或三种情况讨论的值即可求解. 【详解】若，则，此时，符合题意； 若，则，此时，这不符合集合中元素的互异性，所以不符合题意； 若，则，此时，符合题意． 故选：AC 10．（25-26高一上·吉林松原·阶段检测）（多选）已知集合满足，则集合的子集个数可能是（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】ABC 【分析】根据题意可得集合中的元素个数可能是，从而可求解 【详解】由题意可知集合中的元素个数可能是， 则集合的子集个数可能是，，，故A、B、C正确. 故选：ABC. 11．（25-26高一上·上海松江·阶段检测）设集合A满足，则满足条件的A有__________个. 【答案】7 【分析】根据给定条件，写出含有元素的集合的真子集即可. 【详解】由集合A满足，得含有元素的集合的真子集为： ， 所以满足条件的A有7个. 故答案为：7 12．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，则__________．（请在横线上填写“”､“”或“”） 【答案】 【分析】根据，为奇数即可求解. 【详解】由于，为奇数， 而为任意整数， 所以，即. 故答案为： 13．（25-26高一上·河南驻马店·阶段检测）已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由真子集的定义，确定的取值范围； （2）由子集的定义，确定的取值范围； （3）由集合相等求出的值. 【详解】（1）   若是的真子集，则由图知，， 故的取值范围为. （2）   若是的子集，已知，则， 则由图知，， 故的取值范围为. （3）若，则. 14．（25-26高一上·四川德阳·阶段检测）（1）已知集合 ①若中有且仅有一个元素，求实数的所有取值. ②若中有两个元素，求实数的所有取值. （2）已知集合，若，求实数的值. 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①②讨论参数，根据集合中元素个数及一元二次方程判别式求参数； （2）讨论参数m，结合集合的包含关系求参数即可. 【详解】（1）①若，则，符合题意； 若，且集合A中只有一个元素， 这意味着当且仅当一元二次方程有两个相等的实数根， 从而，解得， 综上，实数的所有取值可能为：； ②中有两个元素，意味着一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以，则且 故的取值范围是； （2）.， 当时，，此时满足，符合题意； 当时，， 若要，则或，解得或； 综上所述，实数的值是. 15．（22-23高一上·海南·阶段检测）已知． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据包含关系得到不等式，求出a的取值范围为； （2）分和两种情况，得到不等式，求出a的取值范围. 【详解】（1）因为，， 所以，解得， 故实数a的取值范围为； （2），， 当时，，解得，满足题意； 当时，，解集为， 综上，实数a的取值范围为. 16．（11-12高三上·安徽蚌埠·期中）已知，若，求a的取值范围． 【答案】或. 【分析】分、为单元素集合、为双元素集合三种情况讨论，分别求出参数的取值范围即可得. 【详解】①若为空集，则，解得； ②若为单元素集合，则，解得， 将代入方程，得，解得， 所以，符合要求； ③若为双元素集合，则，即， 此时，即，解得； 综上所述，或. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.2 集合的基本关系 知识点一　子集与真子集 1.子集与真子集 概念 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集 A⫋B (或B⫌A) 2．Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 【注意】(1)“集合A是集合B的子集”可以表述为：若x∈A，则x∈B． (2)符号“∈”用于表示元素与集合之间的关系，而符号“⊆”用于表示集合与集合之间的关系． 3．空集 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅． (2)规定：空集是任何集合的子集． 【注意】(1)A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个元素x∈B，但x∉A． (2)∅与{0}不同，{0}是含有一个元素的集合，∅⫋{0}；更不能把∅写作{∅}． 4.子集、真子集的性质 (1)任意集合A都是它自身的子集，即A⊆A. (2)空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A. (3)对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，那么A⊆C. (4)对于集合A，B，C，如果A⫋B，B⫋C，那么A⫋C. 【注意】(1)A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个元素x∈B，但x∉A． (2)∅与{0}不同，{0}是含有一个元素的集合，∅⫋{0}；更不能把∅写作{∅}． 知识点二　集合的相等与子集的关系 1.如果A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2.如果A＝B，则A⊆B且B⊆A. 子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集有2n个． (2)A的非空子集有2n－1个． (3)A的真子集有2n－1个． (4)A的非空真子集有2n－2个． 考点一　判断两个集合的包含关系 考点二　判断两个集合是否相等 考点三　求集合的子集(真子集)或个数 考点四　利用集合相等的问题求参数 考点五　空集的概念以及判断 考点六　根据集合的包含关系求参数 考点一　判断两个集合的包含关系 1．（2026·天津红桥·一模）集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·四川南充·期中）（多选）以下写法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）若集合，则A，B，C之间的关系是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)是等腰三角形}，是等边三角形}. 5．（25-26高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)为正整数}，，为正整数}． 6．（25-26高一上·全国·课前预习）判断下列关系是否正确： (1)； (2) (3)⫋； (4)； (5)； (6)； (7)⫋； (8)⫋． 考点二　判断两个集合是否相等 7．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·湖北·阶段检测）下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C． D．集合与集合是同一个集合 10．（25-26高一上·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·江苏南京·期中）若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（   ） A． B． C． D．无法确定 12．（25-26高三·全国·一轮复习）在平面直角坐标系中，集合，集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 考点三　求集合的子集(真子集)或个数 13．（2026·湖南常德·一模）集合 的真子集的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 14．（25-26高一下·四川成都·期中）已知集合，集合，则满足关系的所有集合为__________________ 15．（25-26高一上·上海·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 16．（2026·西藏林芝·二模）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 17．（25-26高一上·安徽六安·期中）设集合，则的真子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．15 D．16 18．（2026·福建福州·模拟预测）满足⫋的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 考点四　利用集合相等的问题求参数 19．（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知集合，，若，则的值为（   ） A．或4 B．或1 C．4 D． 20．（2026高一·全国·专题练习）设a，，若集合，则______． 21．（2026高三·全国·专题练习）设，，其中，若，则________． 22．（2026高一·全国·专题练习）已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________. 23．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，若，则__，__. 24．（2026·山东德州·一模）设集合，若，则__________. 考点五　空集的概念以及判断 25．（25-26高一上·广西河池·期中）__________________________________________________ 26．（25-26高一上·江苏·阶段检测）（多选）关于两个集合间关系的叙述，以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高一·全国·寒假作业）给出下列关系：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的是（    ） A．①②④⑤ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 28．（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）（多选）下列选项中不正确的是（    ） A．空集是任何集合的子集 B．任何集合至少有两个子集 C．集合用列举法表示为 D．满足方程组的点集为 考点六　根据集合的包含关系求参数 29．（2026·河南开封·三模）已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 30．（2026·上海金山·模拟预测）已知集合，且，则实数a的取值范围是_________. 31．（25-26高三·全国·二轮复习）已知集合，，若，则a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高三上·四川广元·阶段检测）已知集合，且，则实数的取值范围是__________. 33．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 34．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）设集合，. (1)若集合B中有两个大于0的元素，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 1．（25-26高二上·广东广州·期末）设集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东济南·期中）下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026高一上·广东清远·专题练习）已知集合，，则满足B的集合C的个数为（   ） A．4 B．7 C．8 D．15 4．（2026·西藏日喀则·模拟预测）集合，．若，则实数（   ） A．0 B．2 C．3 D．-1 5．（25-26高一上·江苏宿迁·期末）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．1或 B．3或 C．3 D． 6．（25-26高一上·重庆·期中）集合，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·河北·阶段检测）（多选）设集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·河北保定·阶段检测）（多选）已知集合，则的值可能为（   ） A．2 B．0 C． D．4 10．（25-26高一上·吉林松原·阶段检测）（多选）已知集合满足，则集合的子集个数可能是（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 11．（25-26高一上·上海松江·阶段检测）设集合A满足，则满足条件的A有__________个. 12．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，则__________．（请在横线上填写“”､“”或“”） 13．（25-26高一上·河南驻马店·阶段检测）已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 14．（25-26高一上·四川德阳·阶段检测）（1）已知集合 ①若中有且仅有一个元素，求实数的所有取值. ②若中有两个元素，求实数的所有取值. （2）已知集合，若，求实数的值. 15．（22-23高一上·海南·阶段检测）已知． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 16．（11-12高三上·安徽蚌埠·期中）已知，若，求a的取值范围． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $