（易错复习讲义）2025-2026学年六年级数学下册期末复习常考易错知识点专题突破（四大专题18个易错点）（北师大版）

2025-2026学年六年级数学下册期末复习常考易错知识点专题突破 常考易错知识点专题突破 2025-2026学年六年级下册数学 （四大专题18个易错点） 目录 专题一圆柱与圆锥 2 易错点1：求“无盖”等不规则圆柱体的表面积时，审题不清。 2 易错点2：在解决问题的过程中,易忘记统一单位，从而造成错解。 6 易错点3：体积公式应用混乱，特别是圆锥忘记除以3。 9 易错点4：利用体积不变原理解决问题时（等积变形），找不准对应关系。 12 易错点5：与生活实际结合时，理解出现偏差。 16 专题二比例 19 易错点1：比例概念不清，判断两个比能否组成比例时出错。 19 易错点2：根据比例的基本性质解比例时,不能正确列出方程，应牢记两个内项的积等于两个外项的积。 23 易错点3：比例尺应用题中，单位换算和公式选择错误。 28 易错点4：图形的放大和缩小理解错误，导致判断失误。 31 专题三图形的运动 34 易错点1：旋转三要素掌握不牢，描述旋转变化错误。 34 易错点2：旋转三要素掌握不牢，导致作旋转后的图形错误。 37 易错点3：还原图形时，判断失误，描述错误。 41 易错点4：设计图案时，综合设计与描述错误。 44 专题四正比例与反比例 47 易错点1：对“相关联的量”理解不准确 47 易错点2：正比例、反比例判断错误。 51 易错点3：错误理解正比例图象。 54 易错点4：运用正反比例填表计算错误。 59 易错点5：实际问题中比例关系判断错误。 63 专题一圆柱与圆锥 易错点1：求“无盖”等不规则圆柱体的表面积时，审题不清。 【易错专练1】下图的“博士帽”用卡纸做成。上面是边长为30厘米的正方形。下面是底面直径为16 厘米、高为10厘米的无底无盖圆柱。制作20顶这样的“博士帽”至少需要卡纸多少平方厘米？合多少平方米？ 【答案】28048平方厘米；2.8048平方米 【分析】由题意可知，一顶“博士帽”所需卡纸的面积等于正方形的面积加上圆柱的侧面积，正方形的面积＝边长×边长，圆柱的侧面积＝底面直径×圆周率×高，要求制作20顶“博士帽”，用博士帽的表面积×20即可；最后根据1平方米＝10000平方厘米，进行单位换算，即可解答。 【解答】（平方厘米） ＝50.24×10 ＝502.4（平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 28048平方厘米＝2.8048平方米 答：制作20顶这样的“博士帽”至少需要卡纸28048平方厘米，合2.8048平方米。 【易错专练2】一个圆柱形的无盖水桶，其底面半径2分米，高10分米。（厚度忽略不计）做一对这样的铁皮水桶至少需要铁皮多少平方分米？ 【答案】276.32平方分米 【分析】已知圆柱形无盖水桶只有侧面和底面，求做一对这样的铁皮水桶需要铁皮的面积，就是求2个无盖水桶的表面积； 一个无盖水桶的表面积＝侧面积＋底面积，根据S侧＝2πrh，S底＝πr2，代入数据计算，求出一个铁皮水桶的表面积，再乘2即可。 【解答】2×3.14×2×10＋3.14×22 ＝12.56×10＋3.14×4 ＝125.6＋12.56 ＝138.16（平方分米） 138.16×2＝276.32（平方分米） 答：做一对这样的铁皮水桶至少需要铁皮276.32平方分米。 【易错专练3】一个圆柱形的无盖铁皮水桶，底面直径是4分米，高是6分米。为了防止生锈，要在水桶内外两面都涂上防锈漆，涂漆部分的面积是多少平方分米？（桶壁厚度忽略不计） 【答案】175.84平方分米 【分析】已知圆柱形铁皮水桶无盖，也就是只有侧面和底面；那么无盖水桶两面涂漆的面积＝（侧面积＋底面积）×2，根据S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算求解。 【解答】[3.14×4×6＋3.14（4÷2）2] ×2 ＝[3.14×24＋3.14×4] ×2 ＝[75.36＋12.56] ×2 ＝87.92×2 ＝175.84（平方分米） 答：涂漆部分的面积是175.84平方分米。 【点评】本题考查圆柱表面积公式的灵活运用，理解圆柱形的无盖铁皮水桶是一个少了上底面的圆柱体，计算无盖圆柱体的表面积时只需计算侧面积与一个底面积之和。 【易错专练4】一个底面直径是3厘米、高4厘米的无盖圆柱体笔筒。你能在下面的方格纸上画出个无盖圆柱体的表面展开图并求出表面积吗？（π取近似值3） 表面积： 【答案】见详解；表面积42.75平方厘米 【分析】（1）由圆柱的侧面展开图的特点可知：圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，圆柱的底面直径和高已知，求出底面周长，于是可以画出其表面展开图；由此作图即可； （2）根据公式“圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2”，因为是无盖，所以只加一个底面积，把数据代入公式解答即可。 【解答】（1）如图所示，即为所要求画的圆柱的表面展开图： 3×3＝9（厘米） 3÷2＝1.5（厘米） （2）3×3×4＋3×（3÷2）2 ＝36＋3×1.52 ＝36＋6.75 ＝42.75（平方厘米） 答：表面积是42.75平方厘米。 【点评】此题主要考查圆柱的表面积的计算，关键是理解并掌握圆柱表面积的计算公式。 【易错专练5】用一张长方形铁皮（如下图）裁剪出底面和侧面，做一个容积最大的圆柱形无盖水桶。 （1）请你在下图中画出水桶的底面和侧面展开图。 （2）这个水桶的底面直径是（    ）分米，高是（    ）分米。 （3）这个水桶的表面积是多少平方分米？（无盖） 【答案】（1）见详解 （2）2；2； （3）15.7平方分米 【分析】（1）要做一个容积最大的圆柱形无盖水桶，这个圆柱的底面直径和高都应等于长方形铁皮的宽，即都是2分米。据此先以2分米为直径（即1分米为半径）画出水桶的底面。圆的周长＝πd，则这个圆柱的底面周长＝3.14×2＝6.28（分米），而8.28－2＝6.28（分米），说明剩下的小长方形铁皮正好是圆柱的侧面展开图。据此解答。 （2）由（1）的分析可知：这个水桶的底面直径和高都是2分米。 （3）这个水桶的表面积＝侧面积＋底面积＝Ch＋πr2，据此代入数据计算即可解答。 【解答】通过分析可得： （1）8.28－2＝6.28（分米） 作图如下： （2）这个水桶的底面直径是2分米，高是2分米。 （3）6.28×2＋3.14×（2÷2）2 ＝12.56＋3.14×12 ＝12.56＋3.14×1 ＝12.56＋3.14 ＝15.7（平方分米） 答：这个水桶的表面积是15.7平方分米。 易错点2：在解决问题的过程中,易忘记统一单位，从而造成错解。 【易错专练1】一根2m长的圆柱形钢管，其外直径为30cm，内直径为20cm。要制造这根钢管需要多少立方米的钢材？ 【答案】0.0785立方米 【分析】先根据1米＝100厘米，把单位统一，再利用圆柱的体积＝底面积×高，分别求出以外部直径为30厘米，长2米的圆柱形钢管的体积和以内部直径为20厘米，长2米的圆柱形钢管的体积，再把两个体积相减，可得到这个钢管需要钢材的体积，据此解答。 【解答】30厘米＝0.3米 20厘米＝0.2米 （立方米） 答：要制造这根钢管需要0.0785立方米的钢材。 【点评】本题考查圆柱形体积的应用，要理解圆柱形钢管是空心的圆柱形，用外部圆柱形的体积减去内部圆柱形的体积，进而得到圆柱形钢管的体积，是解题的关键。 【易错专练2】小恒发现每次刷牙挤出的牙膏均呈圆柱形。牙膏管口是圆形的，直径为5mm，小恒每次刷牙都挤出1cm长的牙膏，一支牙膏可用72次。现牙膏厂为促进销售，将新包装的管口直径扩大了1mm，其他不变。如果小恒刷牙时还是每次挤出1cm长的牙膏，那么一支新包装的牙膏能用多少次？ 【答案】50次 【分析】已知牙膏管口是圆形的，直径为5mm，小恒每次刷牙都挤出1cm长的牙膏，一支牙膏可用72次。根据圆柱的体积公式，求出1次挤出圆柱形牙膏的体积，再乘72，求出一支牙膏的总体积；又已知现牙膏厂为促进销售，将新包装的管口直径扩大了1mm，其他不变，即牙膏总体积不变，根据圆柱的体积公式，求出1次挤出管口直径增大后的圆柱形牙膏的体积，再用总体积除以1次挤出管口直径增大后的圆柱形牙膏的体积，即可得到新包装牙膏能用的次数，据此解答。（注意：单位不统一，要先把单位换算成相同的再计算） 【解答】1厘米＝10毫米 （立方毫米） （立方毫米） （次） 答：一支新包装的牙膏能用50次。 【易错专练3】有一块圆柱形木料，底面直径是30厘米，长是1.2米。工厂要将这种圆木加工成最大的圆锥体，这种圆锥体的体积是多少？ 【答案】28260立方厘米 【分析】已知圆柱形木料的底面直径和高，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出木料的体积； 要把这种圆木加工成最大的圆锥体，那么圆锥和圆柱等底等高；根据等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，用圆柱的体积乘，即可求出圆锥的体积。 【解答】1.2米＝120厘米 3.14×（30÷2）2×120 ＝3.14×152×120 ＝3.14×225×120 ＝84780（立方厘米） 84780×＝28260（立方厘米） 答：这种圆锥体的体积是28260立方厘米。 【易错专练4】在建筑工地上有一个近似于圆锥形状的沙堆，测得底面直径4米，高12分米。每立方米沙大约重1.5吨，这堆沙约重多少吨？（得数保留整吨数） 【答案】8吨 【分析】已知圆锥形沙堆的底面直径和高，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出沙堆的体积，再乘每立方米沙的重量，即是这堆沙的总重量，得数根据“四舍五入”法保留整吨数。注意单位的换算：1米＝10分米。 【解答】12分米＝1.2米 ×3.14×（4÷2）2×1.2 ＝×3.14×22×1.2 ＝×3.14×4×1.2 ＝5.024（立方米） 1.5×5.024≈8（吨） 答：这堆沙约重8吨。 【易错专练5】在建筑工地上有一个近似于圆锥形状的沙堆，测得底面直径4米，高12分米。每立方米沙大约重1.5吨，这堆沙约重多少吨？（得数保留整吨数） 【答案】8吨 【分析】已知圆锥形沙堆的底面直径和高，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出沙堆的体积，再乘每立方米沙的重量，即是这堆沙的总重量，得数根据“四舍五入”法保留整吨数。注意单位的换算：1米＝10分米。 【解答】12分米＝1.2米 ×3.14×（4÷2）2×1.2 ＝×3.14×22×1.2 ＝×3.14×4×1.2 ＝5.024（立方米） 1.5×5.024≈8（吨） 答：这堆沙约重8吨。 易错点3：体积公式应用混乱，特别是圆锥忘记除以3。 【易错专练1】手工课上，小明用橡皮泥做了一个底面直径是20cm、高是12cm的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方厘米？ 【答案】3768立方厘米 【分析】根据圆柱的体积公式，圆柱体积＝πh进行带入计算。 【解答】r＝d÷2＝20÷2＝10（厘米） ＝πh＝3.14××12＝3.14×100×12＝3768（立方厘米） 答：这个圆柱的体积是3768立方厘米。 【易错专练2】一个高50厘米的圆柱形容器内，放有一个高为20厘米的长方体铁块。打开水龙头往容器内注水3分钟，水正好没过长方体顶面。再注水18分钟，水灌满了容器。容器的底面积与长方体底面积的比是多少？ 【答案】4∶3 【分析】后18分钟注满了容器上方50－20＝30厘米的高度，则注满1厘米高的容器空间，需要18÷30＝0.6 分钟。如果容器里没有长方体，注满20厘米高需要20×0.6＝12分钟，但实际只花了3分钟，少的12－3＝9分钟，是因为长方体占了空间，少注了水。时间差对应“长方体的体积”，而体积＝底面积×高（高都是20厘米），所以长方体底面积对应的注水时间是9分钟，容器底面积对应的注水时间是12分钟，底面积的比＝时间的比（高相同），即容器底面积∶长方体底面积＝12∶9＝4∶3 。 【解答】无长方体的容器高度：50－20＝30（厘米） 注1厘米容器空间用时：18÷30＝0.6（分钟） 注20厘米纯容器空间用时：20×0.6＝12（分钟） 长方体占空间对应时间：12－3＝9（分钟） 底面积比：12∶9 ＝（12÷3）∶（9÷3） ＝4∶3 答：容器的底面积与长方体底面积的比是4∶3。 【点评】这道题的关键是利用注水速度不变，先算出注满单位高度容器的时间，再通过“注满20厘米纯容器的理论时间”和“实际注水时间”的差值，得出长方体占据空间对应的注水时间，最后根据“同高时底面积比等于注水时间比”，算出容器与长方体的底面积比。 【易错专练3】下图所示的是一个蒙古包，上半部分可以看成一个圆锥，下半部分可以看成一个圆柱。这个蒙古包的体积是多少立方米？ 【答案】75.36立方米 【分析】根据、分别求出圆柱和圆锥的体积，再相加即可。 【解答】 （平方米） （立方米） （立方米） （立方米） 答：这个蒙古包的体积是75.36立方米。 【易错专练4】中国人食笋的历史久远，在《诗经》里就有“其蔌维何？维笋及蒲”的诗句。右图的竹笋可近似看作一个圆锥，这个竹笋的体积约是多少立方厘米？ 【答案】141.3立方厘米 【分析】竹笋可近似看作一个圆锥，已知圆锥的底面直径和高，利用圆锥的体积，即可求出这个竹笋的体积。 【解答】 （立方厘米） 答：这个竹笋的体积约是141.3立方厘米。 【易错专练5】一个从里面量底面直径是40厘米的圆柱形容器中装有一些水，将一个高是15厘米，底面半径是10厘米的实心圆锥形铁块完全浸没在水中（水未溢出）。当铁块从水中取出后，容器中的水面下降了几厘米？ 【答案】1.25厘米 【分析】根据题意，将一个实心圆锥形铁块完全浸没在圆柱形容器的水中，再从水中取出，那么水面下降部分的体积等于圆锥形铁块的体积； 根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出圆锥形铁块的体积，也是水面下降部分的体积； 水面下降部分是一个底面直径为40厘米的圆柱形，先根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆柱的底面积；再根据圆柱的体积公式V＝Sh可知，圆柱的高＝V÷S，据此求出水面下降的高度。 【解答】圆锥形铁块的体积： ×3.14×102×15 ＝×3.14×100×15 ＝1570（立方厘米） 圆柱形容器的底面积： 3.14×（40÷2）2 ＝3.14×202 ＝3.14×400 ＝1256（平方厘米） 水面下降： 1570÷1256＝1.25（厘米） 答：当铁块从水中取出后，容器中的水面下降了1.25厘米。 易错点4：利用体积不变原理解决问题时（等积变形），找不准对应关系。 【易错专练1】古代匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为10厘米圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形，然后完全没入一底面积为3000平方厘米的长方体容器里“淬火”，水面上升了1.8厘米。这个圆锥的高是多少厘米？（损耗忽略不计）（π取3） 【答案】54厘米 【分析】由题意知：“将底面半径为10厘米圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形”，则这个圆锥铁块的底面半径也是10厘米。又知：将铁块完全放入长方体容器中，则上升部分水的体积＝圆锥铁块的体积。长方体体积＝底面积×高，圆锥的体积＝×圆锥的底面积×圆锥的高，则圆锥的高＝3×圆锥的体积÷圆锥的底面积，据此计算即可。 【解答】上升部分水的体积＝圆锥的体积＝3000×1.8＝5400（立方厘米） 圆锥的高： =3×5400÷300 （厘米） 答：这个圆锥的高是54厘米。 【易错专练2】一个从里面量底面半径为2分米的圆柱形玻璃容器中装有水，水中完全浸没着一个底面直径为2分米，高为1.8分米的圆锥形铅锤，当铅锤取出后，水面下降了多少分米？ 【答案】0.15分米 【分析】铅锤的体积等于铅锤取出玻璃容器时，水下降的体积。已知圆锥形铅锤底面直径为2分米，那么半径为2÷2＝1分米，高为1.8分米，根据圆锥的体积V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入即可得出圆锥的体积。圆柱形玻璃容器的底面半径为2分米，根据圆柱体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），则h＝V÷π÷r2，把圆锥的体积和半径2分米代入计算即可解答。 【解答】2÷2＝1（分米） ×3.14×12×1.8 ＝×3.14×1×1.8 ＝1.884（立方分米） 1.884÷3.14÷22 ＝1.884÷3.14÷4 ＝0.15（分米） 答：水面下降了0.15分米。 【易错专练3】一个底面直径是20厘米的圆柱形杯子中装有水，水里完全浸没着一个底面直径是8厘米，高是15厘米的圆锥形铁块，当铁块从水中完全取出时，杯子里的水面会下降多少厘米？ 【答案】0.8厘米 【分析】圆锥形铁块底面直径8厘米，因此半径为8÷2＝4厘米，高为15厘米。根据圆锥体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入公式即可计算出圆锥形铁块的体积（水面下降部分的水体积）。 水面下降部分的水形成一个圆柱体，其体积等于圆锥体积，圆柱形杯子底面直径20厘米，因此半径为20÷2＝10厘米。根据圆柱体积公式V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），则h＝V÷（πr2），把计算出的圆锥体积，和圆柱形杯子底面半径代入计算即可。 【解答】8÷2＝4（厘米） ×3.14×42×15 ＝×3.14×16×15 ＝251.2（立方厘米） 20÷2＝10（厘米） 251.2÷（3.14×102） ＝251.2÷（3.14×100） ＝251.2÷314 ＝0.8（厘米） 答：杯子里的水面会下降0.8厘米。 【易错专练4】从古代一直到近代，匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为1分米的圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形铁块，然后完全投入一底面积为31.4平方分米的长方体容器里淬火，水面上升了0.1分米。这个圆锥形铁块的高是多少分米？（损耗忽略不计） 【答案】3分米 【分析】从题意可知：圆柱体积＝圆锥体积＝上升水的体积。上升水的体积＝长方体容器底面积×上升高度，代入数据计算，圆锥的体积（上升水的体积）。又知圆柱底面积＝圆锥底面积，即圆锥底面半径也为1分米，根据圆的面积：S＝πr2，代入数据求出圆面积，因为圆锥的体积＝底面积×高÷3，所以圆锥的高＝体积×3÷底面积，代入数据计算，即可求出这个圆锥形铁块的高。 【解答】体积：31.4×0.1＝3.14（立方分米） 底面积：12×3.14 ＝1×3.14 ＝3.14（平方分米） 高：3.14×3÷3.14＝3（分米） 答：这个圆锥形铁块的高是3分米。 【易错专练5】张大伯将一堆底面半径是3米，高是2米的圆锥形小麦装入一个圆柱形粮囤里，正好装满，粮囤的底面积是6平方米。粮囤的高是多少米？ 【答案】3.14米 【分析】根据圆锥的体积，代入数据得出小麦的体积，将小麦装入一个圆柱形粮囤里，正好装满，则圆柱形粮囤的容积等于小麦的体积，根据“”得出圆柱形粮囤的高。 【解答】×3.14×32×2÷6 ＝×3.14×9×2÷6 ＝×9×3.14×2÷6 ＝3×3.14×2÷6 ＝9.42×2÷6 ＝18.84÷6 ＝3.14（米） 答：粮囤的高是3.14米。 易错点5：与生活实际结合时，理解出现偏差。 【易错专练1】一个圆柱形的零件，将它的高减少4厘米，表面积比原来减少125.6平方厘米，体积是原来的，这个圆柱形零件原来的体积是多少立方厘米？ 【答案】785立方厘米 【分析】由题可知，高减少4厘米，表面积比原来减少125.6平方厘米，减少部分就是高4厘米的圆柱的侧面积，利用侧面积＝底面周长×高，即可求得这个圆柱的底面周长，从而求得这个圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积公式求得减少部分的体积；再把原来圆柱的体积看作单位“1”，根据减少部分的体积是原来圆柱体积的，利用分数除法计算即可求得这个圆柱原来的体积。 【解答】圆柱的底面半径为：125.6÷2÷3.14÷4 ＝62.8÷3.14÷4 ＝20÷4 ＝5（厘米） 减少部分的体积为：3.14×52×4 ＝3.14×25×4 ＝78.5×4 ＝314（立方厘米） 原来圆柱的体积为：314÷（1－） ＝314÷ ＝314× ＝785（立方厘米） 答： 这个圆柱形零件原来的体积是785立方厘米。 【点评】抓住高减少4厘米时，表面积减少125.6平方厘米，从而求得这个圆柱的底面半径是解决本题的关键。 【易错专练2】一座粮仓的形状如右下图，王爷爷家今年共收水稻300立方米，如果全部运到这个粮仓中，那么能装下吗？请说明理由。（仓壁厚度忽略不计） 【答案】能；理由见详解 【分析】这个粮仓是由圆锥和圆柱两部分组成的。圆柱和圆锥的底面直径都是8米，求出底面半径是8÷2＝4米；圆柱的高是5米，根据圆柱的体积公式求出圆柱形部分的容积；圆锥的高是3米，根据圆锥的体积公式求出圆锥形部分的容积；然后将两部分的容积相加求出总容积，最后将总容积与300立方米作比较即可解答。 【解答】8÷2＝4（米） 3.14×42×5 ＝3.14×16×5 ＝50.24×5 ＝251.2（立方米） ×3.14×42×3 ＝3.14×16 ＝50.24（立方米） 251.2＋50.24＝301.44（立方米） 301.44＞300 答：能装下，因为粮仓的容积大于水稻的体积。 【易错专练3】一根长20分米，底面直径是8分米的圆柱形木料横放入水中，正好有一半浮在水面上。 （1）这根木料露出水面部分的面积是多少平方分米？ （2）这根木料没入水中部分的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）301.44平方分米；（2）502.4立方分米 【分析】（1）木料横放，露出水面部分的面积是圆柱表面积的一半。圆柱表面积由两个底面积和侧面积组成，公式为S＝2πr2＋2πrh（r是底面半径，h是圆柱的长）。已知底面直径8分米，所以半径为8÷2＝4分米，圆柱长h＝20分米，π取3.14。把数据代入公式可得出木料的表面积，再把表面积除以2即可得出露出水面部分的面积。 （2）没入水中部分体积是圆柱体积的一半。圆柱体积公式为V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），已知r为4分米，高为20分米，把数据代入公式算出总体积再除以2即可。 【解答】（1）8÷2＝4（分米） 2×3.14×42＋2×3.14×4×20 ＝2×3.14×16＋2×3.14×4×20 ＝100.48＋502.4 ＝602.88（平方分米） 602.88÷2＝301.44（平方分米） 答：露出水面部分面积是301.44平方分米。 （2）3.14×42×20 ＝3.14×16×20 ＝1004.8（立方分米） 1004.8÷2＝502.4（立方分米） 答：没入水中部分体积是502.4立方分米。 【易错专练4】如图是一卷卫生纸，纸宽是10厘米，中间硬纸轴的直径是3.5厘米，制作一提（12卷）这种卫生纸的纸轴，至少需要多少硬纸板？（接缝处忽略不计，π取3.14） 【答案】1318.8平方厘米 【分析】硬纸轴是圆柱体，求制作纸轴需要的硬纸板面积，就是求圆柱的侧面积。圆柱侧面积公式为S＝πdh（d是底面直径，h是圆柱的高，这里纸宽就是圆柱的高）。已知中间硬纸轴的直径为3.5厘米，纸宽（即圆柱的高）h＝10厘米，π＝3.14。根据公式即可计算出一卷纸轴的侧面积，因为一提有12卷，所以用一卷纸轴的侧面积乘12即可解答。 【解答】3.14×3.5×10＝109.9（平方厘米） 109.9×12＝1318.8（平方厘米） 答：至少需要1318.8平方厘米硬纸板。 【易错专练5】蔬菜基地要搭建一批蔬菜大棚，大棚的前后面用砖砌成大小相同的半圆，顶部用塑料膜覆盖如图所示，建造20个这样的蔬菜大棚大约需要多少平方米的塑料膜？ 【答案】7536平方米 【分析】由图可知，大棚顶部塑料膜的形状可看作是圆柱侧面积的一半，已知圆柱的底面直径为8米，圆柱的长度（即高）为30米，圆柱的侧面积公式为“S＝πdh”，那么半个圆柱侧面积（即一个大棚顶部塑料膜面积）就用整个圆柱的侧面积除以2；最后计算20个大棚需要的塑料膜面积，用一个大棚的面积乘20即可。 【解答】8×3.14×30÷2×20 ＝25.12×30÷2×20 ＝753.6÷2×20 ＝376.8×20 ＝7536（平方米） 答：建造20个这样的蔬菜大棚大约需要7536平方米的塑料膜。 专题二比例 易错点1：比例概念不清，判断两个比能否组成比例时出错。 【易错专练1】能与∶组成比例的是（    ）。 A．8∶2 B．1∶2 C．∶ D．2∶1 【答案】D 【分析】根据比例的意义，若两个比的比值相等，则这两个比可以组成比例，据此逐一分析各项即可。 【解答】∶ ＝÷ ＝×8 ＝2 A．8∶2 ＝8÷2 ＝4 4≠2 则8∶2与∶不可以组成比例； B．1∶2 ＝1÷2 ＝ ≠2 则1∶2与∶不可以组成比例； C．∶ ＝÷ ＝×4 ＝ ≠2 则∶与∶不可以组成比例； D．2∶1 ＝2÷1 ＝2 2＝2 则2∶1可以与∶组成比例。 故答案为：D 【易错专练2】根据比例的基本性质，下面各组中的两个比，不能组成比例的是（    ）。 A．5∶7和8∶13 B．和 C．和 【答案】A 【分析】比例的基本性质：内项之积等于外项之积；分别计算内项积和外项积，若相等，则可以组成比例，若不相等，则不能组成比例，据此解答。 【解答】A.外项积：，内项积：，65≠56，不能组成比例。 B.外项积：，内项积：，，可以组成比例。 C.外项积：，内项积：，3.6＝3.6，可以组成比例。 故答案为：A 【易错专练3】下面各式中，（    ）是比例。 A．2×6＝3＋9 B．48∶8＝12∶2 C．3∶2.4＝6∶48 D．2.5∶1.5＞20∶15 【答案】B 【分析】比例的意义：表示两个比相等的式子，叫做比例。 A.是积与和，不符合比例的意义； B.因为，，所以两个比相等，符合比例的意义； C.因为，，所以两个比不相等；不符合比例的意义； D.是不等式，不符合比例的意义；据此解答即可。 【解答】根据分析可得：下面各式中，是比例。 故答案选：B 【易错专练4】下面的比中能与3∶8组成比例的是（    ）。 A．3.5∶6 B．1.5∶4 C．6∶1.5 D．2∶6 【答案】B 【分析】根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，据此解答。 【解答】A．3.5∶6和3∶8 3.5×8＝28；6×3＝18 28≠18，所以3.5∶6和3∶8不能组成比例。 B．1.5∶4和3∶8 1.5×8＝12；4×3＝12 12＝12，所以1.5∶4和3∶8能组成比例。 C．6∶1.5和3∶8 6×8＝48；1.5×3＝4.5 48≠4.5，所以6∶1.5和3∶8不能组成比例。 D．2∶6和3∶8 2×8＝16；6×3＝18 16≠18，所以2∶6和3∶8不能组成比例。 能与3∶8组成比例的是1.5∶4。 故答案为：B 【易错专练5】能和∶组成比例的是（    ）。 A．16∶15 B．15∶16 C．24∶15 D．24∶36 【答案】A 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义，分别求出原式和各选项中比的比值，比值相等的能组成比例；反之，比值不相等的，就不能组成比例。 【解答】∶ ＝÷ ＝× ＝ A．16∶15 ＝16÷15 ＝ ＝ 比值相等，16∶15能和∶组成比例。 B．15∶16 ＝15÷16 ＝ ≠ 比值不相等，15∶16不能和∶组成比例。 C．24∶15 ＝24÷15 ＝ ≠ 比值不相等，24∶15不能和∶组成比例。 D．24∶36 ＝24÷36 ＝ ≠ 比值不相等，24∶36不能和∶组成比例。 故答案为：A 易错点2：根据比例的基本性质解比例时,不能正确列出方程，应牢记两个内项的 积等于两个外项的积。 【易错专练1】解方程。                              【答案】1.02；15；3.4 【分析】（1）先计算0.25×8，原方程变为，根据等式的基本性质，等式两边同时加2，得到，等式两边同时除以5，即可求得的结果。 （2）将5%化为小数0.05，原方程变为，将化为小数0.25，方程变为，移项得到，等式两边同时除以0.05，即可求得的结果。 （3）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，可得，计算等式右边的结果，可得：，等式两边同时除以0.8可得，等式两边同时减去2，即可求得的结果。 【解答】 解： 解： 解： 【易错专练2】解比例。 2.7：3.2＝x÷4.8                【答案】x＝4.05；x＝2；x＝19 【分析】根据比例的基本性质，把比例改写成形式，再根据等式的性质2，方程左右两边同时除以3.2； 根据比例的基本性质，把比例改写成形式，再根据等式的性质2，方程左右两边同时除以24； 根据比例的基本性质，把比例改写成形式，再根据等式的性质2，方程左右两边同时除以。 【解答】 解：                                   解：                              解：                         【易错专练3】求未知数。 ∶＝∶10        2－22＝64         5%＋75%＝1 【答案】＝5；＝43；＝1.25 【分析】（1）先根据比例的基本性质将比例方程改写成＝×10，然后方程两边同时除以，求出方程的解； （2）方程两边先同时加上22，再同时除以2，求出方程的解； （3）先把方程化简成0.8＝1，然后方程两边同时除以0.8，求出方程的解。 【解答】（1）∶＝∶10 解：＝×10 ＝3 ÷＝3÷ ＝3× ＝5 （2）2－22＝64 解：2－22＋22＝64＋22 2＝86 2÷2＝86÷2 ＝43 （3）5%＋75%＝1 解：0.05＋0.75＝1 0.8＝1 0.8÷0.8＝1÷0.8 ＝1.25 【易错专练4】解方程。                      【答案】；； 【分析】，根据比例的基本性质，两内项积等于两外项积，原式变为，计算后根据等式的性质2，两边同时除以4解答即可。 ，根据比例的基本性质，两内项积等于两外项积，原式变为，计算后根据等式的性质2，两边同时除以4解答即可。 ，先计算方程左边，然后根据等式的性质2，两边同时除以0.65解答即可。 【解答】 解： 解： 解： 【易错专练5】解方程。 0.7x＋1.3x＝35         40%x＝2.2        3∶8＝x∶4.8 【答案】x＝17.5；x＝5.5；x＝1.8 【分析】先算方程左边，将方程化为：2x＝35。再根据等式的性质，方程两边同时除以2，求出方程的解。 根据等式的性质，方程两边同时除以0.4，求出方程的解。 根据比例的基本性质，把比例改写为8x＝3×4.8的形式，再根据等式的性质方程的两边同时除以8即可。 【解答】0.7x＋1.3x＝35 解：2x＝35 2x÷2＝35÷2 x＝17.5 40%x＝2.2 解：40%x÷0.4＝2.2÷0.4 x＝5.5 3∶8＝x∶4.8 解：8x＝3×4.8 8x＝14.4 8x÷8＝14.4÷8 x＝1.8 易错点3：比例尺应用题中，单位换算和公式选择错误。 【易错专练1】在比例尺1∶2000000的地图上，量得甲乙两地相距3.6厘米。如果一辆卡车以每小时45千米的速度在上午9时从甲地出发，那么什么时间可以到达乙地？ 【答案】10时36分 【分析】根据比例尺的定义，比例尺＝图上距离∶实际距离。已知比例尺为1∶2000000，即图上1厘米代表实际2000000厘米，图上距离是量得甲乙两地相距3.6厘米，所以实际距离＝图上距离×比例尺的后项，因为1千米＝100000厘米，求出实际距离；根据时间＝路程÷速度，已知路程，速度为每小时45千米，用路程除以速度可得到行驶时间。用出发的时刻加上行驶时间，求出到达时刻。 【解答】甲、乙两地的实际距离：3.6×2000000＝7200000（厘米） 1千米＝100000厘米，7200000＝72千米。 行驶时间：72÷45＝1.6（小时） 1小时＝60分，0.6×60＝36（分），1.6小时＝1小时36分。 到达时间：9时＋1小时36分＝10时36分 答：上午10时36分可以到达乙地。 【易错专练2】一幅地图的线段比例尺是，甲，乙两地在这幅地图上相距15厘米。如果把它们画在比例尺是1∶5000000的地图上，那么甲、乙两地之间的距离应该画多少厘米？ 【答案】9厘米 【分析】图上距离＝比例尺×实际距离，实际距离＝图上距离÷比例尺，先求出甲、乙两地之间的实际距离，再根据新的比例尺，求出图上距离。 【解答】30千米＝3000000厘米 15÷ ＝15×3000000 ＝45000000（厘米） 45000000×＝9（厘米） 答：甲、乙两地之间的距离应该画9厘米。 【易错专练3】在比例尺是1∶2000的图纸上，量得学校长方形植物园的长是4.5厘米，宽是3.6厘米。学校植物园的实际面积是多少平方米？ 【答案】6480平方米 【分析】比例尺是1∶2000，即图上1厘米代表实际2000厘米，根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，求出长方形植物园实际的长和宽，再根据长方形面积＝长×宽，代入数据，求出植物园的面积。注意单位的统一，1米＝100厘米。 【解答】长：4.5÷ ＝4.5×2000 ＝9000（厘米） 9000厘米＝90米 宽：3.6÷ ＝3.6×2000 ＝7200（厘米） 7200厘米＝72米 植物园面积：90×72＝6480（平方米） 答：学校植物园的面积是6480平方米。 【易错专练4】能力提升 新素材 科技成就 西成（西安至成都）高铁实现了西安人“早上肉夹馍，中午川火锅”的生活。在比例尺是1∶20000000的地图上量得两地间的铁路长3.3cm。甲、乙两列火车同时从两地相对开出，2小时后相遇，甲车的平均速度是220千米/时。乙车的平均速度是多少？ 【答案】110千米/时 【分析】比例尺表示图上距离与实际距离的比，即图上1厘米代表实际距离20000000厘米。已知图上距离是3.3厘米，要求实际距离，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”计算。由于计算结果的单位是厘米，而问题要求的单位是千米，计算后根据进行单位换算，最后根据路程÷时间－甲车的速度即可求出乙车的速度。 【解答】（厘米） （千米/时） 答：乙车的平均速度是110千米/时。 【易错专练5】在比例尺是1∶2500000的地图上，量得甲、乙两地之间的公路长是7.2厘米。一辆货车和一辆客车分别从甲、乙两地同时相对开出，客车每小时行65千米，货车每小时行55千米，经过多长时间两车相遇？ 【答案】1.5小时 【分析】已知地图的比例尺和甲、乙两地之间公路的图上距离，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”以及进率“1千米＝100000厘米”，求出甲、乙两地的实际距离；再根据“相遇时间＝路程÷速度和”，用甲、乙两地的实际距离除以货车与客车的速度和，求出两车的相遇时间。 【解答】7.2÷ ＝7.2×2500000 ＝18000000（厘米） 18000000厘米＝180千米 180÷（65＋55） ＝180÷120 ＝1.5（小时） 答：经过1.5小时两车相遇。 易错点4：图形的放大和缩小理解错误，导致判断失误。 【易错专练1】将边长是2cm的正方形按3∶1的比放大，放大后的面积是（    ）。 A．6 B．12 C．18 D．36 【答案】D 【分析】根据题意，将边长是2cm的正方形按3∶1的比放大，即放大后的正方形边长为（cm），根据正方形的面积公式，即可求出放大后正方形的面积，据此解答。 【解答】边长：（cm） 面积：（cm2） 将边长是2cm的正方形按3∶1的比放大，放大后的面积是36cm2。 故答案为：D 【易错专练2】山西乔家大院里的犀牛望月镜由三部分构成，上方是圆形的镜子。如果将这个圆先按1∶2缩小，再按3∶1放大，那么这个圆现在的面积是原来的（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】将这个圆先按1：2缩小，再按3：1放大，可以设原来圆的半径为1，按1：2缩小后圆的半径为，再按3：1放大后圆的半径变成；根据圆的面积公式，可以求出原来圆的面积和现在圆的面积；再用现在的面积除以原来的面积，即可解答。 【解答】设原来圆的半径为1，按1：2缩小后圆的半径为，再按3：1放大后圆的半径变成； 原来圆的面积： 现在圆的面积： 因此现在这个圆的面积是原来的。 故答案为：C 【易错专练3】2026年将上演的马年春晚主标识以“四马齐驱”为创意灵感，美术课上同学们临摹的标识画稿长28cm，宽20cm。小林将画稿缩小，宽变成10cm，要让标识不变形，缩小后的长是（ ）cm。 【答案】14 【分析】要使标识不变形，即缩小前后图形的长和宽的比例不变。先设缩小后的长为xcm，再根据缩小前的长宽比28∶20与缩小后的长宽比x∶10相等列出比例式，最后利用比例的基本性质将其转化为方程求解，即可得出缩小后的长。 【解答】解：设缩小后的长为xcm。 28∶20＝x∶10 20x＝28×10 20x＝280 20x÷20＝280÷20 x＝14 所以缩小后的长是14cm。 【易错专练4】电脑上有一张长3cm、宽2.4cm的图片，拖动鼠标后，图片的长变为15cm，宽变为12cm，相当于把这张图片按（ ）放大了；若图片的长变为1cm，宽变为0.8cm，则相当于把这张图片按（ ）缩小了。 【答案】5∶1 1∶3 【分析】第一个空，把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1，据此写出变大后的长与原来长的比，化简即可；第二个空，把图形按照1∶n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的，缩小后图形与原图形对应边长的比是1∶n，据此写出缩小后的长与原来长的比，化简即可。 【解答】15cm∶3cm＝（15÷3）∶（3÷3）＝5∶1 1cm∶3cm＝1∶3 电脑上有一张长3cm、宽2.4cm的图片，拖动鼠标后，图片的长变为15cm，宽变为12cm，相当于把这张图片按5∶1放大了；若图片的长变为1cm，宽变为0.8cm，则相当于把这张图片按1∶3缩小了。 【易错专练5】分别按3∶1和1∶2的比画出平行四边形放大和缩小后的图形，再联系自己的操作过程回答后面的问题。 原平行四边形和放大、缩小后图形的面积分别是多少？放大后图形的面积是原平行四边形面积的多少倍？缩小后图形的面积是原平行四边形面积的几分之几？ 【答案】图见详解； 8平方厘米；72平方厘米；2平方厘米 9倍； 【分析】首先数出原平行四边形的边长，分别根据放大和缩小的比例计算出新的边长，画出相应的图形；然后利用平行四边形面积＝底×高，分别计算原平行四边形和放大、缩小后图形的面积；最后，计算放大后和缩小后图形的面积与原平行四边形的面积之间的倍数关系。 【解答】原平行四边形的底是4厘米，高是2厘米； 按3∶1放大后的底是4×3＝12（厘米），高是2×3＝6（厘米）； 按1∶2缩小后的底是4÷2＝2（厘米），高是2÷2＝1（厘米）。 如图： 原平行四边形的面积：4×2＝8（平方厘米） 放大后图形的面积：12×6＝72（平方厘米） 缩小后图形的面积：2×1＝2（平方厘米） 72÷8＝9 2÷8＝ 答：原平行四边形的面积是8平方厘米，放大后的面积是72平方厘米，缩小后的面积是2平方厘米，放大后图形的面积是原平行四边形面积的9倍，缩小后图形的面积是原平行四边形面积的。 专题三图形的运动 易错点1：旋转三要素掌握不牢，描述旋转变化错误。 【易错专练1】分针从3：05走到3：20，是绕钟面中心顺时针旋转了15°。（ ） 【答案】× 【分析】钟面上，12个数字，把圆周角360°平均分成12大格，每两个数字与钟面中心的夹角是30°对应5分钟，分针正常旋转的方向是顺时针方向，据此解答。 【解答】360°÷12＝30°（对应5分钟） 3：20－3：05＝15（分） 15÷5＝3（格） 30°×3＝90° 所以分针从3：05走到3：20，是绕钟面中心顺时针旋转了90°，题干说法错误。 故答案为：× 【易错专练2】如图正三角形，至少绕中心点顺时针旋转120度，才能与原来重合。（ ） 【答案】√ 【分析】旋转：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一定的角度，这样的运动叫做图形的旋转。 旋转后图形的位置和方向改变，形状、大小不变。 【解答】如下图所示，顺时针旋转120°即可与原来重合。 所以正三角形，至少绕中心点顺时针旋转120度，才能与原来重合。 原题干说法正确。 故答案为：√ 【易错专练3】在下图中的盘秤上放（ ）kg的苹果，指针会绕中心点顺时针旋转90°；在盘秤上放5kg的苹果，指针会绕中心点（ ）时针旋转（ ）°，此时拿走2kg苹果，指针会绕中心点（ ）时针旋转（ ）°。 【答案】2.5 顺 180 逆 72 【分析】观察图可知，图中的盘秤面被平均分成10份，则1千克指针转过每份对应的角度是360°÷10＝36°，要求指针会绕中心点顺时针旋转90°，需要放多少千克的苹果，就是求90°里面有几个36°，就有几千克苹果；在盘秤上放5kg的苹果，指针会绕中心点旋转多少度，就是求5个36°是多少，放苹果后，指针会顺时针旋转，拿走苹果后，指针会逆时针旋转，要求拿走2kg苹果，指针会绕中心点旋转多少度，就是求出2千克旋转的度数，然后判断方向即可。 【解答】360°÷10＝36°，则盘秤上放苹果质量：90°÷36°＝2.5（kg）； 在盘秤上放5kg的苹果，指针会绕中心点顺时针旋转：36°×5＝180°； 此时拿走2kg苹果，指针会绕中心点逆时针旋转：36°×2＝72°。 【易错专练4】指南针是我国古代四大发明之一，它的发明对人类的科学技术和文明发展起了不可估量的作用。 灰色指针从N开始，顺时针旋转90°到（ ）。 黑色指针从S开始，逆时针旋转90°到（ ）。 【答案】E E 【分析】根据指南针上方向的分布以及指针旋转的方向和角度来确定指针旋转后指向的方向。 指南针上N代表北，顺时针旋转90°后指向东，东用E表示；指南针上S代表南，逆时针旋转90°后指向东，东用E表示。 【解答】灰色指针从N开始，顺时针旋转90°到E。 黑色指针从S开始，逆时针旋转90°到E。 【易错专练5】土家织锦是武陵山区土家族人的西兰卡普，历史源远流长。土家织锦民间称为“打花”，为我国少数民族织锦之一。 （1）图A绕点（ ）（ ）时针旋转（ ）°得到图B。 （2）图B绕点（ ）（ ）时针旋转（ ）°得到图C。 （3）图A绕点（ ）（ ）时针旋转（ ）°得到图D。 （4）图C和图D可以看作是基本图形图A利用（ ）变换得到的图形。 【答案】（1）O 顺 90 （2）O 顺 90 （3）O 逆 90 （4）旋转 【分析】（1）（2）本题考查图形的旋转，旋转中心为点O，从图A到图B，从图B到图C均为顺时针旋转，旋转4次回到图A，所以每旋转1次，旋转角度为360°÷4＝90°。（3）从图A到图D，为逆时针旋转，角度同上。（4）图B，C，D均可由图A旋转而得。 【解答】（1）图A绕点O顺时针旋转90°得到图B； （2）图B绕点O顺时针旋转90°得到图C； （3）图A绕点O逆时针旋转90°得到图D； （4）图C和图D可以看作是基本图形图A利用旋转变换得到的图形。 易错点2：旋转三要素掌握不牢，导致作旋转后的图形错误。 【易错专练1】在下面的方格纸上画出三角形绕点顺时针方向旋转90度后的图形。 【答案】见详解 【分析】将三角形中与点O相连的两条直角边绕点O顺时针方向旋转90度，然后对照原图将其补充完整。据此画出旋转后的图形。 【解答】如图： 【易错专练2】按要求在图中画出三角形ABC绕点B顺时针旋转90°后得到的图形。 【答案】见详解 【分析】旋转图形的作图方法：根据题目要求确定旋转中心、旋转方向、旋转角度；分析所作图形，找出构成图形的关键边；按一定的方向和角度分别找出各关键边的对应边；最后依次连接组成封闭图形。 【解答】作图如下： 【易错专练3】按要求画一画。 （1）在图①中画出图中三角形绕点O顺时针旋转后的图形。 （2）在图②中画出小旗绕点C逆时针旋转后的图形。 【答案】图见详解 【分析】（1）将图①绕点O顺时针旋转180°，点O的位置不动，其余各部分均绕点O按相同方向旋转相同的度数即可； （2）将图②绕点C逆时针旋转90°，点C的位置不动，其余各部分均绕点C按相同方向旋转相同的度数即可。 【解答】（1）如图： （2）如图： 【易错专练4】按要求画出图形。 （1）画出平行四边形绕点O顺时针旋转后的图形。 （2）“雨伞”绕点O逆时针旋转后的图形，如下图所示。请试着画出“雨伞”原来的位置。 【答案】见详解。 【分析】旋转是将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，据此定义操作。 “雨伞”是绕点O逆时针旋转后的图形，画出原来的位置，只需对现在的图顺时针旋转。 【解答】（1） （2） 【易错专练5】画一画。 （1）在图①中画出下图绕点O逆时针旋转90°后的图形。 （2）在图②中画出图中平行四边形绕点O逆时针旋转90°后的图形，再画出长方形绕点A顺时针旋转90°后的图形。 【答案】图见详解 【分析】（1）根据旋转的特征，将图形绕点O逆时针旋转90° ，点O位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形。 （2）根据旋转的特征，将平行四边形绕点O逆时针旋转90° ，点O位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形；再根据旋转的特征，将长方形绕点A顺时针旋转90° ，点A位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形。 【解答】作图如下： 易错点3：还原图形时，判断失误，描述错误。 【易错专练1】下图是杭州亚运会吉祥物“莲莲”，你能通过卡片的平移和旋转将图②还原成图①吗？ 【答案】见详解 【分析】先观察A、B、C、D在原图中的位置，再思考怎样还原。图A→原图的右下图，可先向右平移1格，再向下平移1格；B→原图的左上，可向左平移1格；；图C→不变；图D→原图的右上，绕其左上顶点逆时针旋转90°。 【解答】由分析可知，图A先向右平移1格，再向下平移1格；图B向左平移1格；图C不动；图D绕其左上顶点逆时针旋转90°，图②即可还原成图①。 【易错专练2】左下图是被打乱的9张图片，怎样才能还原成右下图？（填序号） 【答案】见详解 【分析】根据平移图形的特征，如果图形的大小、形状、方向不变，只是位置的不同，这就是平移；根据旋转图形的特征，如果图形的大小、形状不变，位置不变，只是方向改变，这就是旋转。 ①号图片先绕其中心逆时针旋转90°，再向下平移1格，最后向右平移1格； ②号图片先绕其中心逆时针旋转90°，再向左平移1格； ③号图片先绕其中心顺时针旋转180°，再向左平移1格； ④号图片先向上平移1格，再向右平移2格； ⑤号图片先向左平移1格，再向下平移1格； ⑥号图片向左平移2格； ⑦号图片先绕中心逆时针旋转90°，再向右平移1格； ⑧号图片先绕中心逆时针旋转90°，再向右平移1格； ⑨号图片绕其中心顺时针旋转90°，再向上平移1格； 【解答】根据分析可得最终图片排列如下图： 【易错专练3】如下图是哈尔滨亚冬会吉祥物“滨滨”，你能通过卡片的平移和旋转将图②还原成图①吗？ 【答案】图A向右平移1格，再向下平移1格；图B向左平移1格；图C不动；图D绕其左上顶点逆时针旋转90°，图②即可还原成图①。（答案不唯一） 【分析】两个图形进行对比，找出图片A、B、C、D四个部分在图①的位置，再根据平移和旋转的方法，找出这四部分还原到图①的方法。 【解答】图A向右平移1格，再向下平移1格；图B向左平移1格；图C不动；图D绕其左上顶点逆时针旋转90°，图②即可还原成图①。（答案不唯一） 【易错专练4】2025年6月28日，四只旅日大熊猫“良浜”“结浜”“彩浜”“枫浜”顺利回国。动物园工作人员拍了一张良浜的照片，打印出来后制作成了一个拼图（如下图）。请你把右图“还原”成左图，将“还原”的过程记录下来。 【答案】示例：将图形①绕右下点顺时针旋转90°，然后向左平移1格；将图形②向左平移1格，然后向上平移1格。（答案不唯一） 【分析】先确定出每张卡片需要平移的方向及距离，然后再进行平移，平移时注意图片的大小、方向不变；旋转必须明确围绕的中心和旋转的方向和角度，据此结合两个图形的特征进行求解即可。 【解答】示例：将图形①绕右下点顺时针旋转90°，然后向左平移1格；将图形②向左平移1格，然后向上平移1格。（答案不唯一） 【易错专练5】你能通过卡片的平移和旋转将图2“还原”为图1吗？请尝试将“还原”的过程记录下来。 【答案】见详解 【分析】图①向下移动1格；图②保持位置不变；图③先经过旋转，再平移即可“还原”为图1。 【解答】图②保持不变；图①向下平移1格；图③先绕左下方的点顺时针旋转90°，再向上平移1格，即可将图2“还原”为图1。 易错点4：设计图案时，综合设计与描述错误。 【易错专练1】我来设计。 大家已领略了传统文化中的对称美，学校正要为运动会征集独具创意的标志，体现团结协作、勇敢顽强、超越自我的精神。请利用轴对称的方法设计一个吧，并简要介绍这个标志的含义。（无需涂色） 含义介绍：____________________________________________________________________。 【答案】见详解 【分析】先在半圆上画3个小朋，再利用轴对称方法画出另外半圆上的3个小朋友，6个小朋友手拉手，体现他们团结协作和顽强拼搏的精神。 【解答】 含义介绍：6个小朋友手拉手，形成一个圆，体现他们团结一心，携手向上的拼搏精神。 （答案不唯一） 【易错专练2】扎染是中国少数民族一种独具特色的手工染色技艺，是国家级非物质文化遗产。下图是明明在张老师的指导下设计的扎染图案，请说说扎染图案是如何由阴影部分的图形得到的。 【答案】见详解 【分析】图案的设计就是指运用三种基本的变换图形的方法，或是综合运用其中的两种，对图形进行变换，设计出美丽的图案。 【解答】先把阴影部分绕中心点按顺时针（或逆时针）方向旋转90°、180°、270°，再把阴影部分旋转后得到的图形向右连续平移三次，即可得到扎染图案。 【易错专练3】张小明同学为班级“学习专栏”设计了报头图案，并用文字说明图案的含义，如图①请你用基本的几何图形（如直线、射线、线段、角、三角形、平行四边形、长方形、正方形等）中若干个为“环保专栏”在下图框中设计一个报头图案，并简要说明图案的含义。 【答案】见详解 【分析】本题是开放型发散思维的题目，答案不唯一，合理即可。 【解答】 含义：请走近垃圾箱，将垃圾放入箱内。 【点睛】主要考查了平移，旋转，轴对称等变换的作图，要掌握它们的基本性质才能灵活运用并设计出合理的图案。 【易错专练4】按照下面的要求设计一个徽标，并画在方格图里。 （1）为学校的“读书节”设计一个徽标，并给徽标起一个名字。 （2）文字与图形相结合。 （3）利用已学习的轴对称、平移或旋转知识进行图形变换，设计徽标。 （4）在设计徽标的过程中，你的收获是什么？ 【答案】（1）（2）（3）见详解 （4）理解了轴对称在生活中的应用（答案不唯一） 【分析】（1）（2）（3）平移时物体沿直线运动，本身方向不发生改变；旋转是物体绕着某一点或轴运动，本身方向发生了变化；轴对称图形的概念：一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合； （4）收获合理即可，可以从了解了什么知识方面说；据此解答。 【解答】（1）（2）（3）如图： （答案不唯一） （4）答：理解了轴对称在生活中的应用。（答案不唯一） 【易错专练5】MC·埃舍尔是荷兰图形艺术家，他常从数学思想中汲取创作灵感，其画作中常常出现鱼、鸟和爬行动物们互为背景，动静相融，颇具奇趣。 （1）图1、图2中蕴含了我们学过的哪些图形的变换方式？ （2）请你当一回图形设计师，完成图案设计，并写出你的设计方案时运用到哪些图形的变换方式。我用到的图形变换方式有：（    ）。 【答案】（1）平移；旋转；轴对称； （2）图见详解；旋转 【分析】（1）根据平移和旋转的特征，观察图一运用了哪种变换方式即可。 （2）根据平移和旋转的特征设计方案，答案不唯一。 【解答】（1）通过观察可知相同颜色的图形，通过平移可以得到，不同颜色的图形，通过旋转可以得到。所以图1蕴含了我们学过的平移和旋转的变换方式。图2可以通过轴对称得到，图2的上半部分和下半部分通过中间的直线可以重合，所以是轴对称图形，可以通过轴对称得到。所以图2蕴含了我们学过的轴对称变换方式。 （2）如图： 我用到的图形的变换方式有旋转。 【点睛】此题考查了平移、旋转和轴对称的特征。 专题四正比例与反比例 易错点1：对“相关联的量”理解不准确 【易错专练1】下列说法错误的是（    ）。 A．购买《科技报》应付的总钱数随数量的变化而变化 B．圆的面积随圆周率的变化而变化 C．海海骑自行车去学校，骑车的速度变化，时间就会发生变化 D．一辆汽车的耗油量随行驶路程的变化而变化 【答案】B 【分析】变量与常量的概念：变量是会发生变化的量，常量是固定不变的量，需判断各选项中量的性质。 【解答】A.《科技报》的单价固定，总钱数＝单价×数量，数量是变量，总钱数随数量变化，说法正确。 B.圆周率是固定的常数（约3.14159），不会变化；圆的面积随半径变化，而非圆周率，说法错误。 C.路程固定时，时间＝路程÷速度，速度是变量，时间随速度变化，说法正确。 D.汽车的单位路程耗油量固定，耗油量＝单位耗油量×行驶路程，路程是变量，耗油量随路程变化，说法正确。 故答案为：B 【易错专练2】下面（    ）中的两个量是相关联的量。 A．正方形的面积与边长 B．人的身高与长相 C．自行车的款式与行驶的路程 D．天气与时间 【答案】A 【分析】相关联的量必须满足一个量变化，另一个量也随之变化的关系。根据这样的定义判断。 【解答】A.正方形面积＝边长×边长，正方形的面积随着边长的变化而变化，所以正方形的面积与边长是两个相关联的量。 B.人的身高与长相没有固定的数学依赖关系，人的身高不会随着长相变化而变化，所以人的身高与长相不是两个相关联的量。 C.自行车的款式与行驶的路程没有固定的数学依赖关系，自行车的款式不会随着行驶的路程变化而变化，所以自行车的款式与行驶的路程不是两个相关联的量。 D.天气和时间没有固定的数学依赖关系，天气不会随着时间变化而变化，所以天气与时间不是两个相关联的量。 故答案为：A 【易错专练3】骆驼的体温随着时间的推移呈（ ）变化。    【答案】周期性 【分析】通过观察骆驼体温变化图，可以知道：骆驼的体温在0时至4时体温从37度下降到35度，4时至16时体温从35度逐渐上升40度，从16时到28时体温从40度逐渐下降至35度，然后又从35度逐渐上升。是一个周期性的变化过程。 【解答】骆驼的体温随着时间的推移呈（周期性）变化 【点睛】从折线统计中找出体温变化的规律是解答的关键。 【易错专练4】小恒在一个U型的滑道中练习滑板，他两次滑行的高度随时间的变化情况如下图所示。 （1）运动过程中，到达的最高点高度是（ ）m，最低点高度是（ ）m。 （2）第一次滑行的全过程中，（ ）的时间范围内高度逐渐增加，（ ）的时间范围内高度逐渐降低。 （3）到达最高点后，下一次再到达最高点需要（ ）秒。 【答案】（1）2.5 0 （2）3秒至6秒 0秒至3秒 （3）6 【分析】根据题意观察图像，可以发现最高点的高度是2.5m，最低点的高度是0m；从最高点滑出到再次到达最高点为完整的一次滑行，第一次滑行的过程中，观察哪个时间范围内高度逐渐增加，哪个时间范围内高度逐渐降低；通过计算两次到达最高点的时间差，即为下次到达最高点所需要的时间；据此解答。 【解答】（1）运动过程中，到达的最高点高度是2.5m，最低点高度是0m； （2）第一次滑行的全过程中，3秒至6秒的时间范围内高度逐渐增加，0秒至3秒的时间范围内高度逐渐降低； （3）（秒） 则到达最高点后，下一次再到达最高点需要6秒。 【易错专练5】在烧开水时，水达到100℃就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的部分数据。 加热时间/分 0 2 4 6 8 10 12 14 … 水的温度/℃ 30 44 58 72 86 100 100 100 … （1）水的温度随着时间的增加而（ ），到（ ）℃恒定。 （2）水的初始温度为（ ）℃，烧水8分时，水的温度为（ ）℃。在10分内，时间每推移2分，水的温度就增加（ ）℃。 （3）根据表格，你认为时间为16分时水的温度是（ ）℃。 （4）为了节约能源，应在（ ）（填时间）后停止烧水。 【答案】（1）增加 100 （2）30 86 14 （3）100 （4）10分钟 【分析】（1）观察表格可知，随着时间从0分钟增加到10分钟，水的温度从30℃逐渐升高到100℃，10分钟后温度保持100℃不变，所以水的温度随着时间的增加而增加，到100℃恒定。 （2）从表格中可以直接看出，时间为0分钟时，水的初始温度为30℃；时间为8分钟时，水的温度为86℃；10分钟内，时间从0分钟到10分钟，共推移了10分钟，温度从30℃升高到100℃，升高了℃，10分钟里有（）个2分钟，所以时间每推移2分，水的温度就增加℃。 （3）因为10分钟后水的温度恒定在100℃，推测16分钟时水的温度。 （4）由于10分钟后水已经沸腾且温度恒定，为了节约能源，应在水达到沸腾状态后停止加热，据此解答。 【解答】（1）由分析可知，水的温度随着时间的增加而增加，到100℃恒定。 （2）由分析可知，水的初始温度为30℃，烧水8分时，水的温度为86℃。在10分内，时间每推移2分，水的温度就增加14℃。 （3）根据表格，你认为时间为16分时水的温度是100℃。 （4）由分析可知，为了节约能源，应在10分钟后停止烧水。 易错点2：正比例、反比例判断错误。 【易错专练1】下面几组相关联的量中，成正比例的是（    ）。 A．王强读一本书，已读的页数与未读的页数 B．报纸的单价一定，总价与购买的份数 C．烧煤的总量一定、每天烧煤量和所烧的天数 D．长方形的周长一定，这个长方形的长和宽 【答案】B 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。判断两种量是否成正比例，需满足两个条件：一是两个量有相除的关系，二是商一定。 【解答】A．王强读一本书，已读的页数与未读的页数。 已读的页数＋未读的页数＝一本书的页数，两个量是相加的关系，不符合正比例的特征。 B．报纸的单价一定，总价与购买的份数。 总价÷份数＝单价（一定），两个量是相除的关系，且商一定，符合正比例的特征，总价与份数成正比例。 C．烧煤的总量一定、每天烧煤量和所烧的天数。 每天烧煤量×所烧的天数＝总量（一定），两个量是相乘的关系，不符合正比例的特征。 D．长方形的周长一定，这个长方形的长和宽。 （长＋宽）×2＝长方形的周长（一定），两个量是相加的关系，不符合正比例的特征。 成正比例的是“报纸的单价一定，总价与购买的份数”。 【易错专练2】下面各选项中的两个量成正比例的是（    ）。 A．路程一定，时间与速度 B．三角形的面积一定，底和高 C．被减数一定，减数与差 D．圆柱的高一定，体积和底面积 【答案】D 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，且这两种量中相对应的两个数的比值（商）始终是一个固定不变的常数，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。据此分析各选项，进而确定正确答案。 【解答】A．根据“路程＝速度×时间”，当路程一定时，速度×时间＝路程（一定），是乘积一定，所以时间与速度不成正比例。 B．三角形的面积公式为S＝ah÷2（S表示面积，a表示底，h表示高），当面积一定时，ah＝2S（一定），是乘积一定，所以底和高不成正比例。 C．因为被减数＝减数＋差，当被减数一定时，减数与差是和一定，不是比值或乘积一定的关系，所以减数与差不成比例。 D．圆柱的体积公式为V＝Sh（V表示体积，S表示底面积，h表示高），当高一定时，V÷S＝h（一定），是比值一定，所以体积和底面积成正比例关系。 所以选项D中的两个量成正比例关系。 故答案为：D 【易错专练3】下列各种数量关系中，成反比例关系的是（    ）。 A．已知，y与x B．正方体的表面积和它的一个面的面积 C．比的前项一定，比的后项和比值 D．出油率一定，大豆的质量和大豆油的质量 【答案】C 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是乘积一定；如果是比值（商）一定，则成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】A．已知（一定），则y与x成正比例关系； B．由“”可知，（一定），则正方体的表面积和它的一个面的面积成正比例关系； C．由“前项÷后项＝比值”可知，后项×比值＝前项（一定），则比的前项一定，比的后项和比值成反比例关系； D．大豆油的质量÷大豆的质量＝出油率（一定），则出油率一定，大豆的质量和大豆油的质量成正比例关系。 【易错专练4】下列说法错误的是（    ）。 A．圆柱的体积一定，底面积和高成反比例 B．一本书的总页数一定，已看页数和未看页数成反比例 C．正方形的周长与边长成正比例 D．出油率一定，花生油的质量和花生的质量成正比例 【答案】B 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两个量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，用式子表示为：＝k；如果这两个量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系，用式子表示为：xy＝k；如果两种关系都不满足，则这两种量不成比例；据此解答。 【解答】A．因为圆柱的底面积×高＝体积（一定），底面积和高的乘积一定，所以圆柱的体积一定，底面积和高成反比例；原说法正确； B．已看页数＋未看页数＝一本书的总页数（一定），因为已看页数和未看页数既不满足乘积一定也不满足比值一定，所以一本书的总页数一定，已看页数和未看页数不成比例；原说法不正确； C．因为正方形的周长÷边长＝4（一定），正方形的周长与边长的比值一定，所以正方形的周长与边长成正比例；原说法正确； D．因为＝出油率（一定），花生油的质量和花生的质量的比值一定，所以出油率一定，花生油的质量和花生的质量成正比例；原说法正确。 故答案为：B 【易错专练5】下列选项中的两种量成正比例关系的是（    ）。 A．订《中国少年报》的份数和总钱数 B．梯形面积一定，它的上底、下底之和与高 C．工作总量一定，工作效率和工作时间 D．小猫的体重和年龄 【答案】A 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 据此分析各选项，进而确定符合题意的答案。 【解答】A．订《中国少年报》时，总钱数÷份数＝每份《中国少年报》的单价（一定）。也就是订报的份数和总钱数相对应的比值一定，所以订《中国少年报》的份数和总钱数成正比例关系。 B．梯形的面积公式为S＝（a＋b）h÷2（S表示面积，a、b分别表示上底和下底，h表示高），当面积S一定时，（a＋b）h＝2S（一定），即上底、下底之和与高的乘积一定。所以梯形面积一定时，它的上底、下底之和与高成反比例关系。 C．工作总量＝工作效率×工作时间，当工作总量一定时，工作效率和工作时间的乘积一定。所以工作总量一定时，工作效率和工作时间成反比例关系。 D．小猫的体重和年龄不是相关联的量，体重不会随着年龄的变化而按照固定的比值变化（比如小猫在不同生长阶段，体重增长不是均匀的）。所以小猫的体重和年龄不成正比例关系。 所以符合正比例关系的是选项A中的说法。 故答案为：A 易错点3：错误理解正比例图象。 【易错专练1】下图是斑马和长颈鹿的奔跑情况，它们的奔跑速度相比，（    ）。 A．长颈鹿的奔跑速度快B．斑马的奔跑速度快C．一样快D．不确定谁的奔跑速度快 【答案】B 【分析】看图可知，长颈鹿10分钟跑了8千米，斑马10分钟跑了16千米。速度＝路程÷时间，据此分别求出长颈鹿和斑马的速度，再比较得出谁的奔跑速度更快即可。 【解答】长颈鹿速度：8÷10＝0.8（千米/分） 斑马速度：16÷10＝1.6（千米/分） 1.6＞0.8，所以斑马的奔跑速度快。 故答案为：B 【易错专练2】某环卫队要清扫一条长250米的街道，下图是环卫队清扫这条街道的进度情况。由图可知，清扫的街道长度与所用时间成（ ）比例关系，环卫队每小时清扫（ ）米，若想提前1小时完成清扫，则速度应提高到原来的（ ）%。 【答案】正 50 125 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系；清扫长度与所用时间的比值就是环卫队每小时清扫街道的长度；这条长250米的街道原来需要5小时完成清扫，现在需要（5－1）小时完成清扫，现在的清扫速度＝街道的总长度÷清扫时间，把原来的清扫速度看作单位“1”，现在速度比原来提高的百分率＝（现在的清扫速度－原来的清扫速度）÷原来的清扫速度×100%，最后加上1求出现在速度应提高到原来的百分率，据此解答。 【解答】由图可知，（一定），所以清扫的街道长度与所用时间成正比例关系，环卫队每小时清扫50米。 250÷（5－1） ＝250÷4 ＝62.5（米） （62.5－50）÷50×100% ＝12.5÷50×100% ＝0.25×100% ＝25% 1＋25%＝125% 所以，速度应提高到原来的125%。 【易错专练3】一辆汽车行驶路程和时间的关系如图。 行驶的路程和时间成（ ）比例，照这样计算，6时行驶（ ）千米，要行驶720千米需要（ ）时。 【答案】正 540 8 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，计算可知，行驶的路程和时间的比值是90，所以行驶的路程和时间成正比例关系，再根据“路程＝速度×时间”求出6时行驶的路程，最后根据“时间＝路程÷速度”求出行驶720千米需要的时间，据此解答。 【解答】由图可知，（一定），所以行驶的路程和时间成正比例。 90×6＝540（千米） 720÷90＝8（时） 所以，6时行驶540千米，要行驶720千米需要8时。 【易错专练4】下图表示一辆汽车行驶的路程和耗油量之间的关系。 （1）点A表示的意思是：______________________________ （2）从图中可以看出，汽车行驶的路程和耗油量成（ ）比例关系。 （3）如果汽车行驶120km，需要耗油（ ）L。 【答案】（1）汽车行驶30km时，耗油量是3L（答案不唯一） （2）正 （3）12 【分析】（1）观察图象，横轴代表路程，纵轴代表耗油量，点A对应的横轴数量是30km，纵轴数量是3L，所以点A表示的意思是：汽车行驶30km时，耗油量是3L。 （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。从图中选取几组数据，如行驶30km耗油3L，比值为30÷3＝10；再看行驶80km时，耗油量是8L，比值为80÷8＝10；可见汽车行驶路程与耗油量的比值一定（始终为10），所以汽车行驶的路程和耗油量成正比例关系。 （3）因为路程和耗油量成正比例，比值为10，即每耗油1L可行驶10km，如果汽车行驶120km，用路程除以每升油行驶的路程即可计算出耗油量。 【解答】（1）点A表示的意思是：汽车行驶30km时，耗油量是3L。（答案不唯一） （2）行驶30km耗油3L，比值为30÷3＝10；行驶80km耗油8L，比值为80÷8＝10；可见汽车行驶路程与耗油量的比值一定（始终为10），所以汽车行驶的路程和耗油量成正比例关系。 （3）120÷10＝12（L） 如果汽车行驶120km，需要耗油12L。 【易错专练5】下图描述了一个游泳池进水管打开后的进水情况： （1）这个进水管2小时进水量是（ ）立方米。 （2）这个进水管的进水量与时间成（ ）比例关系。 （3）照这样的速度，如果给这个游泳池注水，9小时能注水（ ）立方米；如果要给这个游泳池注水240立方米，需要（ ）小时。 【答案】（1）20 （2）正 （3）90 24 【分析】（1）观察图片，横轴为时间，纵轴为进水量，故而从中可以得出这个进水管2小时进水量是20立方米； （2）正比例是指两种相关联的量，一种量变化时，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的比值（或商）一定，那么它们的关系称为正比例关系。观察图片，进水量与时间的比值一定，都是10，故而得出这个进水管的进水量与时间成正比例关系； （3）由（2）可知，每小时进水量＝进水量÷时间，可得进水量＝每小时进水量×时间，代入数据计算即可得到9小时能注水多少；由每小时进水量＝进水量÷时间，可得时间＝进水量÷每小时进水量，代入数据计算即可得到注水240立方米需要几个小时。 【解答】（1）横轴为时间，纵轴为进水量，结合图形可知这个进水管2小时进水量是20立方米； （2），，进水量与时间的比值一定，都是10。所以进水管的进水量与时间成正比例关系； （3）（立方米），9小时能注水立方米； （小时），如果要给这个游泳池注水240立方米，需要小时。 易错点4：运用正反比例填表计算错误。 【易错专练1】如表所示，如果和成正比例，那么“？”处应填___________。如果和成反比例，那么“？”处应填___________。 3 ？ 90 150 【答案】5 1.8 【分析】如果x和y成正比例，那么x和y对应的比值相等，据此列比例：3∶90＝？∶150，解比例即可。 如果x和y成反比例，那么x和y对应的乘积相等，据此列比例：3×90＝？×150，解比例即可。 【解答】x和y成正比例。 3∶90＝？∶150 解：90？＝3×150 90？＝450 ？＝450÷90 ？＝5 x和y成反比例。 3×90＝？×150 解：150？＝270 ？＝270÷150 ？＝1.8 如果和成正比例，那么“？”处应填5。如果和成反比例，那么“？”处应填1.8。 【易错专练2】如表，当a和b成正比例时，“？”表示的数是（ ），当a和b成反比例时，“？”表示的数是（ ）。 a 6 0.4 b ？ 2.4 【答案】36 0.16 【分析】根据正比例的意义：正比例是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量相的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系。反比例的意义：指的是两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。据此解答即可。 【解答】当a和b成正比例时： 解：设？为x。 6∶x＝0.4∶2.4 0.4x＝2.4×6 0.4x÷0.4＝2.4×6÷0.4 x＝36 当a和b成反比例时： 解：设？为x。 6x＝0.4×2.4 6x÷6＝0.4×2.4÷6 x＝0.16 当a和b成正比例时，“？”表示的数是36，当a和b成反比例时，“？”表示的数是0.16。 【易错专练3】 x 2 ？ y 600 300 如果x与y成正比例，那么“？”是（ ）；如果x与y成反比例，那么“？”是（ ）。 【答案】1 4 【分析】两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），那么x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），那么x和y成反比例关系。据此分别列出正比例和反比例算式，计算即可。 【解答】2∶600＝？∶300 解：600？＝600 600？÷600＝600÷600 ？＝1 300？＝2×600 解：300？＝1200 300？÷300＝1200÷300 ？＝4 如果x与y成正比例，那么“？”是1；如果x与y成反比例，那么“？”是4。 【易错专练4】表格中，如果A和B成正比例，＝（ ），如果A和B成反比例，＝（ ）。 A 2 8 B 0.5 【答案】2 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系，用字母表示为（一定）。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系，用字母表示为（一定）。根据正、反比例的意义列出比例式，再解比例求出的值。 【解答】如果A和B成正比例，则。 解： 如果A和B成反比例，则。 解： 所以，如果A和B成正比例，＝2，如果A和B成反比例，＝。 【易错专练5】表格中，如果与两个量成正比例关系，那么的值是_____；如果与两个量成反比例关系，那么的值是_____。 8 40 64 【答案】12.8 5 【分析】两个量成正比例关系，则两个量有相除的关系，且比值一定；两个量成反比例关系，则两个量有相乘的关系，且乘积一定。 【解答】如果与两个量成正比例关系，则可得： 如果与两个量成正比例关系，那么的值是12.8。 如果与两个量成反比例关系，则可得： 如果与两个量成反比例关系，那么的值是5。 易错点5：实际问题中比例关系判断错误。 【易错专练1】李晴家装修房子。如果用面积是25平方分米的方砖铺地，需要320块；如果改用边长为8分米的方砖铺地，需要多少块？ 【答案】125块 【分析】因为房子的总面积是固定不变的，即每块方砖的面积×所需方砖的块数＝房子的总面积（一定），所以每块方砖的面积和所需方砖的块数成反比例关系。由此设需要块，列出方程求解即可。 【解答】解：设需要块。 答：需要125块。 【易错专练2】为了预防冬季感冒，校医室按1∶200的配比配制了消毒液。现在有2瓶105毫升的药液，需要加入多少毫升水？（用比例知识解答） 【答案】42000毫升 【分析】根据题意可知，药液和水的比1∶200，它们的比值一定，成正比例关系，现有2瓶105毫升的药液，即2×105＝210毫升，假设需要加水x毫升，根据比例的意义（两个比相等的式子），可列出比例1∶200＝210∶x，根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，可得x＝210×200，计算出210×200的结果，即可求出需要加入多少毫升水。。 【解答】药液总体积： （毫升） 解：设需要加入毫升水。 答：需要加入 42000 毫升水。 【易错专练3】打一篇稿子，每分钟打字个数与所需的时间如下表。 每分钟打字个数（个） 120 100 75 60 所需时间（分） 25 30 （1）把表格填写完整。 （2）每分钟打字个数和所需时间成（    ）比例关系。 （3）如果每分钟打150个字，打完这篇稿子需要多少分？ 【答案】（1）40，50（2）反（3）20分 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。通过计算已知数据可知成反比例关系，总字数固定为每分钟打字个数与所需时间的乘积，计算空白处的值。 （2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 （3）利用总字数除以每分钟打字个数，求出所需时间。 【解答】（1）120×25＝3000（个） 100×300＝3000（个） 3000÷75＝40（分） 3000÷60＝50（分） 每分钟打字个数（个） 120 100 75 60 所需时间（分） 25 30 40 50 （2）每分钟打字个数和所需时间的乘积为3000（一定），因此每分钟打字个数和所需时间成反比例关系。 （3）3000÷150＝20（分） 答：打完这篇稿子需要20分。 【易错专练4】亮亮要用一些纸装订草稿本。 每本的页数/页 15 20 25 30 50 … 装订的本数/本 20 15 12 10 6 … （1）判断草稿本每本的页数与装订的本数是否成反比例，并说明理由。 （2）若将这些纸装订成2本草稿本，则每本的页数是（    ）页；若每本的页数是100页，则这些纸可以装订成（    ）本草稿本。 【答案】（1）成反比例；理由见详解 （2）150；3 【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此分析。 （2）根据每本的页数＝总页数÷装订的本数；装订的本数＝总页数÷每本的页数，列式计算即可。 【解答】（1）15×20＝300、20×15＝300、25×12＝300、30×10＝300、50×6＝300… 答：草稿本每本的页数与装订的本数成反比例，因为每本的页数×装订的本数＝总页数（一定）。 （2）300÷2＝150（页）、300÷100＝3（本） 若将这些纸装订成2本草稿本，则每本的页数是150页；若每本的页数是100页，则这些纸可以装订成3本草稿本。 【易错专练5】同学们探究“杠杆原理”背后隐藏的数学原理时，做了如下实验，现在杠杆左边刻度4处挂3个砝码。再分别在杠杆右边不同刻度处挂不同的砝码，使杠杆保持平衡。（如图1、图2） （1）右边分别在其他刻度上挂几个砝码才能保持平衡呢？把下面表格补充完整。 右边刻度 1 2 3 4 所挂砝码数 6 3 乘积 （2）观察上图刻度数和所挂砝码数成什么比例，为什么？ 【答案】（1）12；4   12；12；12；12 （2）反比例；右边刻度×所挂砝码数＝12（一定） 【分析】（1）看图可知，图1，左边刻度4处挂3个砝码，右边刻度2处挂6个砝码，4×3＝2×6；图2，左边刻度4处挂3个砝码，右边刻度4处挂3个砝码，4×3＝4×3，由此可知，右边刻度×所挂砝码数＝12，12÷右边刻度＝所挂砝码数，据此计算后填表。 （2）两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此分析。 【解答】（1）12÷1＝12、12÷3＝4 1×12＝12、2×6＝12、3×4＝12、4×3＝12 右边刻度 1 2 3 4 所挂砝码数 12 6 4 3 乘积 12 12 12 12 （2）刻度数和所挂砝码数成反比例，因为右边刻度×所挂砝码数＝12（一定）。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级数学下册期末复习常考易错知识点专题突破 常考易错知识点专题突破 2025-2026学年六年级下册数学 （四大专题18个易错点） 目录 专题一圆柱与圆锥 2 易错点1：求“无盖”等不规则圆柱体的表面积时，审题不清。 2 易错点2：在解决问题的过程中,易忘记统一单位，从而造成错解。 4 易错点3：体积公式应用混乱，特别是圆锥忘记除以3。 6 易错点4：利用体积不变原理解决问题时（等积变形），找不准对应关系。 7 易错点5：与生活实际结合时，理解出现偏差。 9 专题二比例 10 易错点1：比例概念不清，判断两个比能否组成比例时出错。 10 易错点2：根据比例的基本性质解比例时,不能正确列出方程，应牢记两个内项的积等于两个外项的积。 11 易错点3：比例尺应用题中，单位换算和公式选择错误。 12 易错点4：图形的放大和缩小理解错误，导致判断失误。 14 专题三图形的运动 15 易错点1：旋转三要素掌握不牢，描述旋转变化错误。 15 易错点2：旋转三要素掌握不牢，导致作旋转后的图形错误。 17 易错点3：还原图形时，判断失误，描述错误。 19 易错点4：设计图案时，综合设计与描述错误。 21 专题四正比例与反比例 23 易错点1：对“相关联的量”理解不准确 23 易错点2：正比例、反比例判断错误。 25 易错点3：错误理解正比例图象。 27 易错点4：运用正反比例填表计算错误。 29 易错点5：实际问题中比例关系判断错误。 30 专题一圆柱与圆锥 易错点1：求“无盖”等不规则圆柱体的表面积时，审题不清。 【易错专练1】下图的“博士帽”用卡纸做成。上面是边长为30厘米的正方形。下面是底面直径为16 厘米、高为10厘米的无底无盖圆柱。制作20顶这样的“博士帽”至少需要卡纸多少平方厘米？合多少平方米？ 【易错专练2】一个圆柱形的无盖水桶，其底面半径2分米，高10分米。（厚度忽略不计）做一对这样的铁皮水桶至少需要铁皮多少平方分米？ 【易错专练3】一个圆柱形的无盖铁皮水桶，底面直径是4分米，高是6分米。为了防止生锈，要在水桶内外两面都涂上防锈漆，涂漆部分的面积是多少平方分米？（桶壁厚度忽略不计） 【易错专练4】一个底面直径是3厘米、高4厘米的无盖圆柱体笔筒。你能在下面的方格纸上画出个无盖圆柱体的表面展开图并求出表面积吗？（π取近似值3） 表面积： 【易错专练5】用一张长方形铁皮（如下图）裁剪出底面和侧面，做一个容积最大的圆柱形无盖水桶。 （1）请你在下图中画出水桶的底面和侧面展开图。 （2）这个水桶的底面直径是（    ）分米，高是（    ）分米。 （3）这个水桶的表面积是多少平方分米？（无盖） 易错点2：在解决问题的过程中,易忘记统一单位，从而造成错解。 【易错专练1】一根2m长的圆柱形钢管，其外直径为30cm，内直径为20cm。要制造这根钢管需要多少立方米的钢材？ 【易错专练2】小恒发现每次刷牙挤出的牙膏均呈圆柱形。牙膏管口是圆形的，直径为5mm，小恒每次刷牙都挤出1cm长的牙膏，一支牙膏可用72次。现牙膏厂为促进销售，将新包装的管口直径扩大了1mm，其他不变。如果小恒刷牙时还是每次挤出1cm长的牙膏，那么一支新包装的牙膏能用多少次？ 【易错专练3】有一块圆柱形木料，底面直径是30厘米，长是1.2米。工厂要将这种圆木加工成最大的圆锥体，这种圆锥体的体积是多少？ 【易错专练4】在建筑工地上有一个近似于圆锥形状的沙堆，测得底面直径4米，高12分米。每立方米沙大约重1.5吨，这堆沙约重多少吨？（得数保留整吨数） 【易错专练5】在建筑工地上有一个近似于圆锥形状的沙堆，测得底面直径4米，高12分米。每立方米沙大约重1.5吨，这堆沙约重多少吨？（得数保留整吨数） 易错点3：体积公式应用混乱，特别是圆锥忘记除以3。 【易错专练1】手工课上，小明用橡皮泥做了一个底面直径是20cm、高是12cm的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方厘米？ 【易错专练2】一个高50厘米的圆柱形容器内，放有一个高为20厘米的长方体铁块。打开水龙头往容器内注水3分钟，水正好没过长方体顶面。再注水18分钟，水灌满了容器。容器的底面积与长方体底面积的比是多少？ 【易错专练3】下图所示的是一个蒙古包，上半部分可以看成一个圆锥，下半部分可以看成一个圆柱。这个蒙古包的体积是多少立方米？ 【易错专练4】中国人食笋的历史久远，在《诗经》里就有“其蔌维何？维笋及蒲”的诗句。右图的竹笋可近似看作一个圆锥，这个竹笋的体积约是多少立方厘米？ 【易错专练5】一个从里面量底面直径是40厘米的圆柱形容器中装有一些水，将一个高是15厘米，底面半径是10厘米的实心圆锥形铁块完全浸没在水中（水未溢出）。当铁块从水中取出后，容器中的水面下降了几厘米？ 易错点4：利用体积不变原理解决问题时（等积变形），找不准对应关系。 【易错专练1】古代匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为10厘米圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形，然后完全没入一底面积为3000平方厘米的长方体容器里“淬火”，水面上升了1.8厘米。这个圆锥的高是多少厘米？（损耗忽略不计）（π取3） 【易错专练2】一个从里面量底面半径为2分米的圆柱形玻璃容器中装有水，水中完全浸没着一个底面直径为2分米，高为1.8分米的圆锥形铅锤，当铅锤取出后，水面下降了多少分米？ 【易错专练3】一个底面直径是20厘米的圆柱形杯子中装有水，水里完全浸没着一个底面直径是8厘米，高是15厘米的圆锥形铁块，当铁块从水中完全取出时，杯子里的水面会下降多少厘米？ 【易错专练4】从古代一直到近代，匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为1分米的圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形铁块，然后完全投入一底面积为31.4平方分米的长方体容器里淬火，水面上升了0.1分米。这个圆锥形铁块的高是多少分米？（损耗忽略不计） 【易错专练5】张大伯将一堆底面半径是3米，高是2米的圆锥形小麦装入一个圆柱形粮囤里，正好装满，粮囤的底面积是6平方米。粮囤的高是多少米？ 易错点5：与生活实际结合时，理解出现偏差。 【易错专练1】一个圆柱形的零件，将它的高减少4厘米，表面积比原来减少125.6平方厘米，体积是原来的，这个圆柱形零件原来的体积是多少立方厘米？ 【易错专练2】一座粮仓的形状如右下图，王爷爷家今年共收水稻300立方米，如果全部运到这个粮仓中，那么能装下吗？请说明理由。（仓壁厚度忽略不计） 【易错专练3】一根长20分米，底面直径是8分米的圆柱形木料横放入水中，正好有一半浮在水面上。 （1）这根木料露出水面部分的面积是多少平方分米？ （2）这根木料没入水中部分的体积是多少立方分米？ 【易错专练4】如图是一卷卫生纸，纸宽是10厘米，中间硬纸轴的直径是3.5厘米，制作一提（12卷）这种卫生纸的纸轴，至少需要多少硬纸板？（接缝处忽略不计，π取3.14） 【易错专练5】蔬菜基地要搭建一批蔬菜大棚，大棚的前后面用砖砌成大小相同的半圆，顶部用塑料膜覆盖如图所示，建造20个这样的蔬菜大棚大约需要多少平方米的塑料膜？ 专题二比例 易错点1：比例概念不清，判断两个比能否组成比例时出错。 【易错专练1】能与∶组成比例的是（    ）。 A．8∶2 B．1∶2 C．∶ D．2∶1 【易错专练2】根据比例的基本性质，下面各组中的两个比，不能组成比例的是（    ）。 A．5∶7和8∶13 B．和 C．和 【易错专练3】下面各式中，（    ）是比例。 A．2×6＝3＋9 B．48∶8＝12∶2 C．3∶2.4＝6∶48 D．2.5∶1.5＞20∶15 【易错专练4】下面的比中能与3∶8组成比例的是（    ）。 A．3.5∶6 B．1.5∶4 C．6∶1.5 D．2∶6 【易错专练5】能和∶组成比例的是（    ）。 A．16∶15 B．15∶16 C．24∶15 D．24∶36 易错点2：根据比例的基本性质解比例时,不能正确列出方程，应牢记两个内项的 积等于两个外项的积。 【易错专练1】解方程。                              【易错专练2】解比例。 2.7：3.2＝x÷4.8                【易错专练3】求未知数。 ∶＝∶10        2－22＝64         5%＋75%＝1 【易错专练4】解方程。                      【易错专练5】解方程。 0.7x＋1.3x＝35         40%x＝2.2        3∶8＝x∶4.8 易错点3：比例尺应用题中，单位换算和公式选择错误。 【易错专练1】在比例尺1∶2000000的地图上，量得甲乙两地相距3.6厘米。如果一辆卡车以每小时45千米的速度在上午9时从甲地出发，那么什么时间可以到达乙地？ 【易错专练2】一幅地图的线段比例尺是，甲，乙两地在这幅地图上相距15厘米。如果把它们画在比例尺是1∶5000000的地图上，那么甲、乙两地之间的距离应该画多少厘米？ 【易错专练3】在比例尺是1∶2000的图纸上，量得学校长方形植物园的长是4.5厘米，宽是3.6厘米。学校植物园的实际面积是多少平方米？ 【易错专练4】能力提升 新素材 科技成就 西成（西安至成都）高铁实现了西安人“早上肉夹馍，中午川火锅”的生活。在比例尺是1∶20000000的地图上量得两地间的铁路长3.3cm。甲、乙两列火车同时从两地相对开出，2小时后相遇，甲车的平均速度是220千米/时。乙车的平均速度是多少？ 【易错专练5】在比例尺是1∶2500000的地图上，量得甲、乙两地之间的公路长是7.2厘米。一辆货车和一辆客车分别从甲、乙两地同时相对开出，客车每小时行65千米，货车每小时行55千米，经过多长时间两车相遇？ 易错点4：图形的放大和缩小理解错误，导致判断失误。 【易错专练1】将边长是2cm的正方形按3∶1的比放大，放大后的面积是（    ）。 A．6 B．12 C．18 D．36 【易错专练2】山西乔家大院里的犀牛望月镜由三部分构成，上方是圆形的镜子。如果将这个圆先按1∶2缩小，再按3∶1放大，那么这个圆现在的面积是原来的（    ）。 A． B． C． 【易错专练3】2026年将上演的马年春晚主标识以“四马齐驱”为创意灵感，美术课上同学们临摹的标识画稿长28cm，宽20cm。小林将画稿缩小，宽变成10cm，要让标识不变形，缩小后的长是（ ）cm。 【易错专练4】电脑上有一张长3cm、宽2.4cm的图片，拖动鼠标后，图片的长变为15cm，宽变为12cm，相当于把这张图片按（ ）放大了；若图片的长变为1cm，宽变为0.8cm，则相当于把这张图片按（ ）缩小了。 【易错专练5】分别按3∶1和1∶2的比画出平行四边形放大和缩小后的图形，再联系自己的操作过程回答后面的问题。 原平行四边形和放大、缩小后图形的面积分别是多少？放大后图形的面积是原平行四边形面积的多少倍？缩小后图形的面积是原平行四边形面积的几分之几？ 专题三图形的运动 易错点1：旋转三要素掌握不牢，描述旋转变化错误。 【易错专练1】分针从3：05走到3：20，是绕钟面中心顺时针旋转了15°。（ ） 【易错专练2】如图正三角形，至少绕中心点顺时针旋转120度，才能与原来重合。（ ） 【易错专练3】在下图中的盘秤上放（ ）kg的苹果，指针会绕中心点顺时针旋转90°；在盘秤上放5kg的苹果，指针会绕中心点（ ）时针旋转（ ）°，此时拿走2kg苹果，指针会绕中心点（ ）时针旋转（ ）°。 【易错专练4】指南针是我国古代四大发明之一，它的发明对人类的科学技术和文明发展起了不可估量的作用。 灰色指针从N开始，顺时针旋转90°到（ ）。 黑色指针从S开始，逆时针旋转90°到（ ）。 【易错专练5】土家织锦是武陵山区土家族人的西兰卡普，历史源远流长。土家织锦民间称为“打花”，为我国少数民族织锦之一。 （1）图A绕点（ ）（ ）时针旋转（ ）°得到图B。 （2）图B绕点（ ）（ ）时针旋转（ ）°得到图C。 （3）图A绕点（ ）（ ）时针旋转（ ）°得到图D。 （4）图C和图D可以看作是基本图形图A利用（ ）变换得到的图形。 易错点2：旋转三要素掌握不牢，导致作旋转后的图形错误。 【易错专练1】在下面的方格纸上画出三角形绕点顺时针方向旋转90度后的图形。 【易错专练2】按要求在图中画出三角形ABC绕点B顺时针旋转90°后得到的图形。 【易错专练3】按要求画一画。 （1）在图①中画出图中三角形绕点O顺时针旋转后的图形。 （2）在图②中画出小旗绕点C逆时针旋转后的图形。 【易错专练4】按要求画出图形。 （1）画出平行四边形绕点O顺时针旋转后的图形。 （2）“雨伞”绕点O逆时针旋转后的图形，如下图所示。请试着画出“雨伞”原来的位置。 【易错专练5】画一画。 （1）在图①中画出下图绕点O逆时针旋转90°后的图形。 （2）在图②中画出图中平行四边形绕点O逆时针旋转90°后的图形，再画出长方形绕点A顺时针旋转90°后的图形。 易错点3：还原图形时，判断失误，描述错误。 【易错专练1】下图是杭州亚运会吉祥物“莲莲”，你能通过卡片的平移和旋转将图②还原成图①吗？ 【易错专练2】左下图是被打乱的9张图片，怎样才能还原成右下图？（填序号） 【易错专练3】如下图是哈尔滨亚冬会吉祥物“滨滨”，你能通过卡片的平移和旋转将图②还原成图①吗？ 【易错专练4】2025年6月28日，四只旅日大熊猫“良浜”“结浜”“彩浜”“枫浜”顺利回国。动物园工作人员拍了一张良浜的照片，打印出来后制作成了一个拼图（如下图）。请你把右图“还原”成左图，将“还原”的过程记录下来。 【易错专练5】你能通过卡片的平移和旋转将图2“还原”为图1吗？请尝试将“还原”的过程记录下来。 易错点4：设计图案时，综合设计与描述错误。 【易错专练1】我来设计。 大家已领略了传统文化中的对称美，学校正要为运动会征集独具创意的标志，体现团结协作、勇敢顽强、超越自我的精神。请利用轴对称的方法设计一个吧，并简要介绍这个标志的含义。（无需涂色） 含义介绍：____________________________________________________________________。 【易错专练2】扎染是中国少数民族一种独具特色的手工染色技艺，是国家级非物质文化遗产。下图是明明在张老师的指导下设计的扎染图案，请说说扎染图案是如何由阴影部分的图形得到的。 【易错专练3】张小明同学为班级“学习专栏”设计了报头图案，并用文字说明图案的含义，如图①请你用基本的几何图形（如直线、射线、线段、角、三角形、平行四边形、长方形、正方形等）中若干个为“环保专栏”在下图框中设计一个报头图案，并简要说明图案的含义。 【易错专练4】按照下面的要求设计一个徽标，并画在方格图里。 （1）为学校的“读书节”设计一个徽标，并给徽标起一个名字。 （2）文字与图形相结合。 （3）利用已学习的轴对称、平移或旋转知识进行图形变换，设计徽标。 （4）在设计徽标的过程中，你的收获是什么？ 【易错专练5】MC·埃舍尔是荷兰图形艺术家，他常从数学思想中汲取创作灵感，其画作中常常出现鱼、鸟和爬行动物们互为背景，动静相融，颇具奇趣。 （1）图1、图2中蕴含了我们学过的哪些图形的变换方式？ （2）请你当一回图形设计师，完成图案设计，并写出你的设计方案时运用到哪些图形的变换方式。我用到的图形变换方式有：（    ）。 专题四正比例与反比例 易错点1：对“相关联的量”理解不准确 【易错专练1】下列说法错误的是（    ）。 A．购买《科技报》应付的总钱数随数量的变化而变化 B．圆的面积随圆周率的变化而变化 C．海海骑自行车去学校，骑车的速度变化，时间就会发生变化 D．一辆汽车的耗油量随行驶路程的变化而变化 【易错专练2】下面（    ）中的两个量是相关联的量。 A．正方形的面积与边长 B．人的身高与长相 C．自行车的款式与行驶的路程 D．天气与时间 【易错专练3】骆驼的体温随着时间的推移呈（ ）变化。    【易错专练4】小恒在一个U型的滑道中练习滑板，他两次滑行的高度随时间的变化情况如下图所示。 （1）运动过程中，到达的最高点高度是（ ）m，最低点高度是（ ）m。 （2）第一次滑行的全过程中，（ ）的时间范围内高度逐渐增加，（ ）的时间范围内高度逐渐降低。 （3）到达最高点后，下一次再到达最高点需要（ ）秒。 【易错专练5】在烧开水时，水达到100℃就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的部分数据。 加热时间/分 0 2 4 6 8 10 12 14 … 水的温度/℃ 30 44 58 72 86 100 100 100 … （1）水的温度随着时间的增加而（ ），到（ ）℃恒定。 （2）水的初始温度为（ ）℃，烧水8分时，水的温度为（ ）℃。在10分内，时间每推移2分，水的温度就增加（ ）℃。 （3）根据表格，你认为时间为16分时水的温度是（ ）℃。 （4）为了节约能源，应在（ ）（填时间）后停止烧水。 易错点2：正比例、反比例判断错误。 【易错专练1】下面几组相关联的量中，成正比例的是（    ）。 A．王强读一本书，已读的页数与未读的页数 B．报纸的单价一定，总价与购买的份数 C．烧煤的总量一定、每天烧煤量和所烧的天数 D．长方形的周长一定，这个长方形的长和宽 【易错专练2】下面各选项中的两个量成正比例的是（    ）。 A．路程一定，时间与速度 B．三角形的面积一定，底和高 C．被减数一定，减数与差 D．圆柱的高一定，体积和底面积 【易错专练3】下列各种数量关系中，成反比例关系的是（    ）。 A．已知，y与x B．正方体的表面积和它的一个面的面积 C．比的前项一定，比的后项和比值 D．出油率一定，大豆的质量和大豆油的质量 【易错专练4】下列说法错误的是（    ）。 A．圆柱的体积一定，底面积和高成反比例 B．一本书的总页数一定，已看页数和未看页数成反比例 C．正方形的周长与边长成正比例 D．出油率一定，花生油的质量和花生的质量成正比例 【易错专练5】下列选项中的两种量成正比例关系的是（    ）。 A．订《中国少年报》的份数和总钱数 B．梯形面积一定，它的上底、下底之和与高 C．工作总量一定，工作效率和工作时间 D．小猫的体重和年龄 易错点3：错误理解正比例图象。 【易错专练1】下图是斑马和长颈鹿的奔跑情况，它们的奔跑速度相比，（    ）。 A．长颈鹿的奔跑速度快B．斑马的奔跑速度快C．一样快D．不确定谁的奔跑速度快 【易错专练2】某环卫队要清扫一条长250米的街道，下图是环卫队清扫这条街道的进度情况。由图可知，清扫的街道长度与所用时间成（ ）比例关系，环卫队每小时清扫（ ）米，若想提前1小时完成清扫，则速度应提高到原来的（ ）%。 【易错专练3】一辆汽车行驶路程和时间的关系如图。 行驶的路程和时间成（ ）比例，照这样计算，6时行驶（ ）千米，要行驶720千米需要（ ）时。 【易错专练4】下图表示一辆汽车行驶的路程和耗油量之间的关系。 （1）点A表示的意思是：______________________________ （2）从图中可以看出，汽车行驶的路程和耗油量成（ ）比例关系。 （3）如果汽车行驶120km，需要耗油（ ）L。 【易错专练5】下图描述了一个游泳池进水管打开后的进水情况： （1）这个进水管2小时进水量是（ ）立方米。 （2）这个进水管的进水量与时间成（ ）比例关系。 （3）照这样的速度，如果给这个游泳池注水，9小时能注水（ ）立方米；如果要给这个游泳池注水240立方米，需要（ ）小时。 易错点4：运用正反比例填表计算错误。 【易错专练1】如表所示，如果和成正比例，那么“？”处应填___________。如果和成反比例，那么“？”处应填___________。 3 ？ 90 150 【易错专练2】如表，当a和b成正比例时，“？”表示的数是（ ），当a和b成反比例时，“？”表示的数是（ ）。 a 6 0.4 b ？ 2.4 【易错专练3】 x 2 ？ y 600 300 如果x与y成正比例，那么“？”是（ ）；如果x与y成反比例，那么“？”是（ ）。 【易错专练4】表格中，如果A和B成正比例，＝（ ），如果A和B成反比例，＝（ ）。 A 2 8 B 0.5 【易错专练5】表格中，如果与两个量成正比例关系，那么的值是_____；如果与两个量成反比例关系，那么的值是_____。 8 40 64 易错点5：实际问题中比例关系判断错误。 【易错专练1】李晴家装修房子。如果用面积是25平方分米的方砖铺地，需要320块；如果改用边长为8分米的方砖铺地，需要多少块？ 【易错专练2】为了预防冬季感冒，校医室按1∶200的配比配制了消毒液。现在有2瓶105毫升的药液，需要加入多少毫升水？（用比例知识解答） 【易错专练3】打一篇稿子，每分钟打字个数与所需的时间如下表。 每分钟打字个数（个） 120 100 75 60 所需时间（分） 25 30 （1）把表格填写完整。 （2）每分钟打字个数和所需时间成（    ）比例关系。 （3）如果每分钟打150个字，打完这篇稿子需要多少分？ 【易错专练4】亮亮要用一些纸装订草稿本。 每本的页数/页 15 20 25 30 50 … 装订的本数/本 20 15 12 10 6 … （1）判断草稿本每本的页数与装订的本数是否成反比例，并说明理由。 （2）若将这些纸装订成2本草稿本，则每本的页数是（    ）页；若每本的页数是100页，则这些纸可以装订成（    ）本草稿本。 【易错专练5】同学们探究“杠杆原理”背后隐藏的数学原理时，做了如下实验，现在杠杆左边刻度4处挂3个砝码。再分别在杠杆右边不同刻度处挂不同的砝码，使杠杆保持平衡。（如图1、图2） （1）右边分别在其他刻度上挂几个砝码才能保持平衡呢？把下面表格补充完整。 右边刻度 1 2 3 4 所挂砝码数 6 3 乘积 （2）观察上图刻度数和所挂砝码数成什么比例，为什么？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $