（易错复习讲义）2025-2026学年六年级数学下册期末复习常考易错知识点专题突破（五大专题26个易错点）（人教版）

2025-2026学年六年级数学下册期末复习常考易错知识点专题突破 常考易错知识点专题突破 2025-2026学年六年级下册数学 （五大专题26个易错点） 目录 专题一负数 3 易错点1：负数的读写错误​ 3 易错点2：在数轴上表示点数时错误。 4 易错点3：正负数的大小比较错误 6 易错点4：计算时忽略负号或掌握不清楚导致计算错误 8 易错点5：实际问题中负数意义的理解应用错误 10 专题二百分数（二） 14 易错点1：解决打折问题时,分不清原价、现价、折扣之间的关系。 14 易错点2：求“增产/增产了”与“增产到”混淆 。 17 易错点3：对应纳税额的意义理解不透彻,导致判断错误。 19 易错点4：计算可取回的钱时,把多取回的钱（利息）和可取回的钱（本金+利息）混淆。 22 易错点5：解决“满减”或价格比较问题时，单位“1”不统一。 25 专题三圆柱和圆锥 29 易错点1：对圆柱的展开图认识错误。 29 易错点2：在解决与圆柱表面积相关的实际问题时,不能根据实际情况具体分析。 33 易错点3：对圆柱的体积公式理解不透彻，导致判断错误。 36 易错点4：圆锥的特征认识错误。 39 易错点5：圆柱和圆锥体积关系理解不透彻。 42 易错点6：在解决问题的过程中,易忘记统一单位，从而造成错解。 44 易错点7：切拼问题中对增加或减少问题考虑不全面。 48 专题四比例 51 易错点1：没有正确理解比例的意义。 51 易错点2：对比例的基本性质理解不透彻，或解比例错误。 53 易错点3：正比例、反比例判断错误。 56 易错点4：用比例解决问题时设未知数错误。 58 易错点5：没有理解比例尺的意义或解决问题错误。 61 易错点6：图形的放大与缩小概念混淆。 63 专题五数学广角—鸽巢问题 67 易错点1：区分不清“鸽巢问题"中的限制条件,导致判断错误。 67 易错点2：对“鸽巢原理（二）”理解错误。【如果把多余kn个的物体任意放进n个鸽巢里（k和n时非零自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了（k+1）个物体。】 68 易错点3：最不利情况考虑不全。 70 易错点4：逆向思考问题。 72 专题一负数 易错点1：负数的读写错误​ 【易错专练1】﹣3.14读作负三点十四。（ ） 【答案】× 【分析】负数的读法：先读“﹣”，读作“负”，再读出后面的数；小数的读法：整数部分是“0”的就读作“零”，整数部分不是“0”的按照整数的读法来读，小数点读作“点”，小数部分的数字依次读出来就行，据此解答。 【解答】﹣3.14读作：负三点一四；原读法错误。 故答案为：× 【易错专练2】﹢103读作：一百零三。（ ） 【答案】× 【分析】正数的读法是：在读正数时，数的前面有“﹢”号时，一定要读出“正”字；省略“﹢”号的，这个“正”字也要省略不读。据此解答。 【解答】﹢103读作：正一百零三。 原题干说法错误。 故答案为：× 【易错专练3】﹢16读作（ ），﹣5读作（ ）。 【答案】正十六 负五 【分析】根据正负数的读法，“＋”读作“正”，后面的数字按照整数读法读出，所以＋16读作正十六。  “”读作“负”，后面的数字按照整数读法读出，所以读作负五。 【解答】读作正十六，读作负五。 【易错专练4】填一填。 冬至既是二十四节气中一个重要的节气，也是中国民间的传统节日。在中国部分地区，每年冬至有吃饺子的习俗。某年冬至，南昌的最高气温为零上7℃，最低气温为零下2℃。 零上7℃可以表示为（ ），读作（ ）；零下2℃可以表示为（ ），读作（ ）。 【答案】﹢7℃ 正七摄氏度 ﹣2℃ 负二摄氏度 【分析】正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负。用正负数表示意义相反的两种量：气温高于0℃记作正数，则低于0℃就记作负数。由此得解。 【解答】零上7℃可以表示为﹢7℃，读作正七摄氏度；零下2℃可以表示为﹣2℃，读作负二摄氏度。 【易错专练5】﹢0.325读作（ ），负五分之二写作（ ）。 【答案】正零点三二五 ﹣ 【分析】正数的读法是：在读正数时，数的前面有“﹢”号时，一定要读出“正”字；省略“﹢”号的，这个“正”字也要省略不读。 负数的写法是：先写“﹣”号，然后再写后面的数字，数字要用阿拉伯数字进行书写。 【解答】﹢0.325读作正零点三二五，负五分之二写作﹣。 【点评】关键是掌握正数和负数的读法以及写法。 易错点2：在数轴上表示点数时错误。 【易错专练1】填一填。 【答案】从左向右依次是：﹣3；2（﹢2）；5（﹢5） 【分析】从0和7的格子数可以推断，1格为1，因此以0为分界线，向右为正，向左为负。直接按照顺序填写即可。 【解答】从左向右：第一个是-3，第二个是2（﹢2），第三个是5（﹢5）。 【易错专练2】写出点A、B、C、D表示的数。 【答案】﹣4；1（﹢1）；3（﹢3）；5（﹢5） 【分析】先确定1格代表几，图中到0是两格，说明1格代表1，从0开始往左是负数，依次是、、、、、……从0开始往左数，A在第4格上，所以A表示的数是；从0开始往右是正数，依次是（＋1）、（＋2） 、（＋3）、（＋4）、（＋5）、（＋6）……从0开始往右数，B在第1格上，所以B表示的数是（＋1）、C在第3格上，表示的数是（＋3）、D在第5格上，表示的数是（＋5）。据此解答。 【解答】0的左边表示负数，从0开始往左数，负数前面要写“－”号；0的右边表示正数，从0开始往右数，正数前面可以写“＋”号，也可以不写。 【易错专练3】做一做。 写出点A、B、C、D、E表示的数。 【答案】从左向右依次是：﹣3；﹣2；0；1；2.5 【分析】通过观察数轴上点的位置，确定每个点对应的数值。数轴上的点与数字一一对应，根据点的位置判断其数值。 点E位于-4的右侧，与-4有一定距离，且位于 -1的左侧，因此点E对应的数是-3； 点B位于点E和-1中间的位置，因此点B对应的数是-2； 点A位于-1的右侧，且在2的左侧，-1和2的之间分为相同的3段，即按顺序数出对应点的数字为-1、0、1、2，因此点A对应的数是0； 点C位于点A的右侧，处于点A和2中间的位置，因此点C对应的数是1； 点D位于2的右侧，且在3的左侧，点D位于2和3的中间，因此点D对应的数是2.5。 【解答】由分析可知，如图所示： 【易错专练4】在直线上表示下列各数。 ﹣3.5    3    1        5   ﹣5 （ ）     （ ）        （ ）       （ ）       （ ）       （ ） 【答案】﹣5 ﹣3.5 1 3 5 【分析】观察数轴可知，每一大格代表1个单位长度，每一大格被分成两个小格； 规定数轴的右方向为正，反方向为负，据此数出即可。 【解答】从左到右依次填入：﹣5；﹣3.5；；1；3；5。 【易错专练5】在方框里填上合适的数。 ①号方框填负数（ ），②号方框填小数（ ），③号方框填分数（ ）。 【答案】﹣2 0.5 / 【分析】分析题目，①在原点的左侧，表示小于0的数，即负数，负数前面有“﹣”，距离原点几个单位长度就用﹣几表示；②表示把1个单位长度平均分成6份，②表示其中的3份，1的一半，据此结合小数的意义解答；③表示把1个单位长度平均分成3份，1份表示，③表示5个。据此解答。 【解答】①号方框填负数﹣2，②号方框填小数0.5，③号方框填分数（或）。 易错点3：正负数的大小比较错误 【易错专练1】在带箭头的直线上，在的（    ）边。 A．左 B．右 C．无法确定 【答案】A 【分析】在带箭头的直线上，左边的数比右边的数小。两个负数比较大小，数大的反而小。＞，所以＜。 【解答】＞，所以＜。 即在的左边。 故答案为：A 【易错专练2】在数轴上，﹣2.5位于﹣3的（ ）边（填“左”或“右”）。 【答案】右 【分析】数轴上，右边的数总比左边的数大。两个负数比较大小，光看数字部分，数字大的反而小。 【解答】因为2.5＜3，所以﹣2.5＞﹣3。 由于数轴上右边的数比左边的数大，所以﹣2.5位于﹣3的右边。 【易错专练3】在（    ）填上“＞”“＜”或“＝”。 （ ）      （ ）          （ ）      （ ） 【答案】＞ ＞ ＜ ＝ 【分析】根据负数比较大小的方法：负号后面的数越大，负数越小；负数小于0，负数小于正数；第一、二、三小题据此解答。 把百分数化成小数，分数化成小数，再根据小数比较大小的方法：先看整数部分，整数部分大的那个数就大；如果整数部分相同，就看十分位上的数，十分位上的数大的那个数就大；如果十分位上的数也相同，就看百分位上的数，百分位上的数大的那个数就大，依此类推，第四小题据此解答。 【解答】﹣4和﹣5 因为4＜5，所以﹣4＞﹣5 和﹣0.5 ＞﹣0.5 ﹣0.3和0 ﹣0.3＜0 80%和 80%＝0.8；＝0.8 因为0.8＝0.8，所以80%＝。 【易错专练4】把、7.5、0、、这五个数按从小到大的顺序排列。 （ ）（ ）（ ）（ ）（ ） 【答案】﹣27 ﹣6 ﹣3 0 7.5 【分析】负数＜0＜正数；负数比大小，不管负号，数值越大的负数越小，据此分析。 【解答】﹣27＜﹣6＜﹣3＜0＜7.5 【易错专练5】某年12月份我国几个城市的平均气温如下表。 城市 北京 厦门 哈尔滨 南京 平均气温 ﹣3 14 ﹣13 6 把这四个城市12月份的平均气温按从高到低的顺序排列。 【答案】厦门南京北京哈尔滨 【分析】正数＞0＞负数，两负数比较大小，先不考虑负号，数字部分大的数反而小。 【解答】因为 所以这四个城市月份的平均气温按从高到低的顺序排列为：厦门南京北京哈尔滨。 【点评】比0小的数叫做负数，负数与正数表示意义相反的量。 易错点4：计算时忽略负号或掌握不清楚导致计算错误 【易错专练1】五（2）班一次数学单元检测的平均分是80分，如果把高于平均分部分的分数记作正数，低于平均分部分的分数记作负数，王明得了92分应记作（ ）分，陈红得分被记作“﹣5分”，她实际得了（ ）分。 【答案】﹢12 75 【分析】以平均分80分为基准，高于平均分的部分记作正数，低于平均分的部分记作负数。王明得分92分，高于平均分92－80＝12分，故记作﹢12分；陈红记作﹣5分，表示低于平均分5分，故实际得分为80－5＝75分。 【解答】92－80＝12（分） 80－5＝75（分） 王明得了92分应记作﹢12分，陈红得分被记作“﹣5分”，她实际得了75分。 【易错专练2】如果把平均成绩记为0分，﹢9分表示比平均成绩（ ），﹣18分表示比平均成绩（ ），比平均成绩低2分记为（ ）。 【答案】高9分 低18分 ﹣2分 【分析】正负数的实际意义：以平均成绩为0分，“＋”表示高于平均成绩，“-”表示低于平均成绩。 【解答】＋9分表示比平均成绩高9分； −18分表示比平均成绩低18分； 比平均成绩低2分记为−2分​。 【易错专练3】在一次体检中，全班同学的平均体重是32kg，如果把平均体重记作0kg，超过平均体重的记作正数，低于的记作负数。辰辰体重37kg应记作（ ）kg；娅娅体重记作﹣3kg，她的实际体重是（ ）kg。 【答案】﹢5 29 【分析】用正负数来表示具有相反意义的两种量：以平均体重为标准记为0kg，超过部分为正，不足的部分为负，由此进行解答即可。 【解答】37－32＝5（kg） 32－3＝29（kg） 所以，辰辰体重37kg应记作﹢5kg；娅娅体重记作﹣3kg，她的实际体重是29kg。 【易错专练4】一栋大楼有20层，地面以下有4层，如果地面以上第3层记作﹢3层，那么地面以上第6层记作（ ）层，地面以下第2层记作（ ）层。 【答案】﹢6/6 ﹣2 【分析】地面以下和地面以上表示两个相反意义的量。以地面为分界线记为0，地面以上的层数记为正数（由正号“﹢”和数字组成，正号可以省略不写），地面以下的层数记为负数（由负号“﹣”和数字组成），据此解答。 【解答】由分析可知： 一栋大楼有20层，地面以下有4层，如果地面以上第3层记作﹢3层，那么地面以上第6层记作（﹢6或6）层，地面以下第2层记作（﹣2）层。 【易错专练5】学校体育老师对六年级女生进行跳绳测试。如果以每分钟66个为合格，小红每分钟跳76个，记作﹢10个。小李跳了60个，她的成绩记作（ ）个。 【答案】﹣6 【分析】以66个为标准，多于66个的数量记为正，少于66个的数量记为负，据此填空。 【解答】（个） 所以小李跳了60个，她的成绩记作﹣6个。 易错点5：实际问题中负数意义的理解应用错误 【易错专练1】定州某天天气晴，气温﹣5℃~8℃，最大温差是（ ）；受冷空气影响，第二天华北等地有西北风5－6级，气温将下降5℃，预计定州第二天最低气温将达（ ）℃。 【答案】13℃ ﹣10 【分析】正负数表示一组相反意义的量，以0℃为标准，高于0℃的温度记作正，在数字前加上“﹢”号；那么低于0℃的温度就记作负，在数字前加上“﹣”号。计算一正一负两数的差时去掉正负号用数字相加即可，根据负数与负数比较，负号后的数字越大该数值反而越小，所以﹣5℃再下降5℃，用5℃＋5℃＝10℃，再加上负号即可。据此解答。 【解答】 定州某天天气晴，气温﹣5℃~8℃，最大温差是13℃；受冷空气影响，第二天华北等地有西北风5－6级，气温将下降5℃，预计定州第二天最低气温将达﹣10℃。 【易错专练2】一艘潜艇在海平面以下300米处，记作﹣300米。一条鲨鱼在潜艇上方100米处。如果潜艇下潜100米，鲨鱼上游50米。此时，潜艇和鲨鱼相距（ ）米。 【答案】250 【分析】以海平面为分界线0，在海平面以下记作负数，在海平面以上记作正数。根据题意作图如下： 一条鲨鱼在潜艇上方100米处，即鲨鱼和潜艇相距100米，潜艇下潜100米，鲨鱼上游50米，方向相反，距离增加（100＋50）米，即用原来潜水艇与鲨鱼的距离加上潜水艇下潜的距离，再加上鲨鱼上游的距离，求出此时潜水艇与鲨鱼的距离。 【解答】100＋100＋50＝250（米） 潜艇和鲨鱼相距250处。 【易错专练3】某仓库周一到周五的货物进出记录如下（﹢表示进库，﹣表示出库，单位：吨）：﹢8，﹣3，﹢5，﹣6，﹢4 （1）周一结束后，仓库货物比原来多了还是少了？多（少）多少吨？ （2）周五结束时，仓库共有货物20吨，求仓库原有的货物吨数。 【答案】（1）多了；8吨 （2）12吨 【分析】（1）正数、负数表示两种相反意义的量。如果规定进库记作正，那么出库就记作负。从货物进出记录中找出周一的记录，根据正负数的意义解答。 （2）把五天进库的吨数相加，得出五天的进库量；把五天出库的吨数相加，得出五天的出库量； 如果五天的进库量大于出库量，说明周五结束时货物吨数是增加的，用减法求出增加的吨数，再用周五结束时仓库货物的吨数减去增加的吨数，即是原有货物吨数； 如果五天的进库量小于出库量，则说明周五结束时货物吨数是减少的，用减法求出减少的吨数，再用周五结束时仓库货物的吨数加上减少的吨数，即是原有货物吨数。 【解答】（1）周一的货物进出记录为：﹢8，表示进库8吨。 答：周一结束后，仓库货物比原来多了，多了8吨。 （2）五天共进库：8＋5＋4＝17（吨） 五天共出库：3＋6＝9（吨） 17＞9，进库比出库多； 周五结束时，货物增加了：17－9＝8（吨） 原有货物：20－8＝12（吨） 答：仓库原有的货物12吨。 【易错专练4】小王在网店上销售文旦，计划每天销售100千克，但实际每天销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，如表是小王第一周文旦的销售情况：（文旦是一种水果） 星期 一 二 三 四 五 六 日 文旦销售超过或不足计划量情况 （单位：千克） ﹢3 ﹣5 ﹣2 ﹢11 ﹣7 ﹢13 ﹢5 （1）小王第一周销售文旦最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ （2）小王第一周实际销售文旦的总量是多少千克？ （3）若文旦售价为8元/千克，包装及快递费为3元/千克，则小王这一周文旦销售收入共多少元？ 【答案】（1）20千克 （2）718千克 （3）3590元 【分析】（1）文旦销售最多的一天是﹢13千克，销售最少的一天是﹣7千克，因此用最多的减最少的即可； （2）先找到文旦销售实际是超过还是不足多少千克，然后再加上计划销售的总量； （3）先找到文旦销售后一千克的实际收入，然后再乘销售的数量即可求出销售收入。 【解答】（1）13−（﹣7）＝13＋7＝20（千克） 故小王第一周销售文旦最多的一天比最少的一天多销售20千克； （2）3＋（﹣5）＋（﹣2）＋11＋（﹣7）＋13＋5＋100×7＝18＋700＝718（千克） 故小王第一周实际销售文旦的总量是718千克； （3） （8－3）×718 ＝5×718 ＝3590（元） 故小王这一周文旦销售收入共3590元。 【易错专练5】一辆公共汽车从起点站（火车站）开出，下面是它经过几个停靠站时车上乘客数量的记录表。（上车人数记为正，下车人数记为负） 车站名 火车站 A站 B站 C站 D站 F站 上车人数 ﹢16 ﹢10 ﹢6 ﹢5 0 ﹢1 下车人数 / ﹣3 0 ﹣4 ﹣3 ﹣5 （1）从火车站到F站中，（    ）站没人上车，（    ）站没人下车。 （2）这辆公共汽车从B站开出时，车上有（    ）名乘客；从F站开出时，车上有（    ）名乘客。 （3）如果从起点站（火车站）到F站，所有乘客的票价统一为2元。那么公共汽车从F站开出时，已经收入多少钱？ 【答案】（1）D；B （2）29；23 （3）76元 【分析】（1）没人上车的站点上车人数为0，没人下车的站点下车人数为0； （2）从B站开出时，将在火车站、A站、B站的上车人数减去下车人数，可得出车上乘客的人数；从F站开出，依次将火车站、A站、B站、C站、D站、F站的上车人数相加再减去这几个站点下车人数，据此可得出答案。 （3）从F站开出的收入，用火车站、A站、B站、C站、D站、F站的上车人数相加，再乘票价即可得出答案。 【解答】（1）从火车站到F站中，D站没人上车，B站没人下车。 （2）这辆公共汽车从B站开出时，车上有乘客：16＋10＋6−3＝29（人）； 从F站开出时，车上有乘客：16＋10＋6＋5＋1－3－4－3－5＝23（人）。 （3）从起点站（火车站）到F站，公共汽车从F站开出时，一共收入： （16＋10＋6＋5＋1）×2 ＝38×2 ＝76（元） 答：公共汽车从F站开出时，已经收入76元钱。 【点评】本题主要考查的是正负数的应用，解题的关键是熟练掌握负数表示的意义，进而计算得出答案。 专题二百分数（二） 易错点1：解决打折问题时,分不清原价、现价、折扣之间的关系。 【易错专练1】一台电视机原价1200元，现在商场打九折出售。这台电视机比原价便宜多少元？ 【答案】120元 【分析】一台电视机原价1200元，现在商场打九折出售，表示电视机按现价是原价的90%出售，用原价乘90%，求出现价，再用原价减去现价，可得到这台电视机比原价便宜的钱数，据此解答。 【解答】 （元） 答：这台电视机比原价便宜120元。 【易错专练2】一件衣服进价50元，打算以60%的利润定价，卖出一部分后打七折促销，最终总利润为原定利润的88%。请问该衣服在卖出总量的百分之多少后开始打折？ 【答案】85% 【分析】解答这道题的核心是通过“原定利润”“促销利润”与“实际利润”的关系，建立方程求解打折时的销量占比。解题前需明确以下关键量：基础价格与利润：先根据“进价＋利润率”算出定价，再得到原定利润；通过“定价×折扣”算出促销价，进而得到促销利润。 实际总利润的约束：实际总利润是“原定利润的88%”，需将“按原价卖出的利润”与“促销卖出的利润”相加，等于实际总利润。设未知数的思路：将衣服总量看作单位“1”，设“卖出总量的后开始打折”，则原价卖出的量为，促销卖出的量为（），通过“原定利润＋促销利润＝实际利润”这个等量关系列方程求解即可。 【解答】根据分析： 定价： （元） 原定每件利润：80－50＝30（元） 促销价（七折）：80×0.7＝56（元） 促销每件利润：56－50＝6（元） 实际利润（原定利润的88%）：30×88%＝26.4（元） 解：设卖出总量的后开始打折。 答：该衣服在卖出总量的85%后开始打折。 【点评】解答这道题的关键是 拆分利润来源：将总利润拆分为“原价销售的利润”和“促销销售的利润”，分别对应不同的销量占比。同时抓住总利润的等量关系“原定利润＋促销利润＝实际利润”。实际利润是题目给出的约束条件，以此建立方程，将“利润、销量占比关联起来求解。 【易错专练3】一种商品，按成本价提高30%后出售。元旦期间又打八折出售，打折后每件商品卖104元。元旦期间卖一件这种商品是赚了还是赔了？若赔了，赔多少元？若赚了，赚多少元？ 【答案】卖一件这种商品赚了，赚了4元。 【分析】根据题意可知，按成本价提高30%后出售，它的售价就是成本价的，再打八折出售，就是按照130%的80%出售。用此时的每件售价除以（1＋30%）再除以80%即可求出成本价，最后比较成本价和此时的售价，成本价高于此时的售价则是赔了，用成本价减去此时的售价即可算出赔了多少钱；若成本价低于此时的售价则是赚了，用此时的售价减去成本价即可算出赚了多少钱。据此解答即可。 【解答】 （元）      （元） 答：卖一件这种商品赚了，赚了4元。 【易错专练4】网上一家店铺新品上新期间有预售活动。笑笑买一件衣服，在预售期间支付了定金，付尾款阶段又支付了170元。笑笑购买这件衣服相当于打了几折？ 【答案】九折 【分析】笑笑买这件衣服实际付款（10＋170）元，这件衣服原价（10＋20＋170）元，根据实际付款÷原价＝折扣，代入数据计算即可。 【解答】 九折 答：笑笑购买这件衣服相当于打了九折。 【易错专练5】“6月18日”某商场搞打折促销活动，肖欢爸爸在该商场买了一部相机，原价4000元，现价3600元，这部相机打了几折？如果该商场所有电子产品的折扣都相同，爸爸想买一台标价6000元的笔记本电脑，与没有折扣相比能便宜多少钱？ 【答案】九折；600元 【分析】商店有时降价出售商品，叫作打折扣销售，俗称“打折”，几折就表示十分之几，也就是百分之几十，如：打九折出售，就是按原价的90%出售，折扣＝现价÷原价×100%，再根据“现价＝原价×折扣”求出笔记本电脑的现价，最后用减法求出现价比原价便宜的钱数，据此解答。 【解答】3600÷4000×100% ＝0.9×100% ＝90% ＝九折 6000－6000×90% ＝6000－5400 ＝600（元） 答：这部相机打了九折，与没有折扣相比这台笔记本电脑能便宜600元。 易错点2：求“增产/增产了”与“增产到”混淆 。 【易错专练1】蚌埠固镇县深入贯彻落实乡村振兴战略，鼓励农户种植蔬菜。该县某个蔬菜基地今年生产了2.4万吨蔬菜，比去年增产了二成。去年这个蔬菜基地的产量是多少万吨？ 【答案】2万吨 【分析】根据“比去年增产了二成”，知道今年是去年的，是把去年的产量看作单位“1”，求单位“1”用除法计算。 【解答】 （万吨） 答：去年这个蔬菜基地的产量是2万吨。 【易错专练2】红红家今年收玉米18400千克，比去年多收2400千克，今年的玉米产量比去年增加几成？ 【答案】一成五 【分析】根据“今年收玉米18400千克，比去年多收2400千克”，先求出去年的产量；然后用多收的产量除以去年的产量，求出今年的产量比去年多收百分之几，再根据“成数”和百分数之间的关系得出答案。 【解答】去年产量：18400－2400＝16000 2400÷16000＝0.15＝15% 15%表示一成五。 答：今年的玉米产量比去年增加一成五。 【易错专练3】广东省某县2017年共产粮5.8万吨，2018年更是大丰收，比2017年增产四成，2018年收获粮食多少万吨？ 【答案】8.12万吨 【分析】“四成”表示40%，“比2017年增产四成”，把2017年的产量看作单位“1”，所以2018年的产量是2017年的（1＋40%）。已知2017年粮食产量为5.8万吨，用5.8乘（1＋40%）计算即可解答。 【解答】把2014年的产量看作单位“1”。 四成＝40% 5.8×（1＋40%） ＝5.8×（1＋0.4） ＝5.8×1.4 ＝8.12（万吨） 答：2018年收获粮食8.12万吨。 【易错专练4】果园今年收获48吨苹果，比去年增产了二成，去年收获多少吨苹果？ 【答案】40吨 【分析】根据题意，“增产二成”即增产20%，把去年的产量看作单位“1”，今年的产量是去年的（1＋20%）。根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法计算。 【解答】二成＝20% 48÷（1＋20%） ＝48÷1.2 ＝40（吨） 答：去年收获40吨苹果。 【易错专练5】漳州平和县的蜜柚已有500多年的栽培历史，它味道酸甜，含有丰富的维生素C及大量其他招牌营养素。家住平和的张大伯，去年销售蜜柚8000千克，今年比去年增加二成五，今年销售蜜柚多少千克？ 【答案】10000千克 【分析】二成五转化为百分数是25%，这意味着今年比去年增加的销售量是去年的25%，把去年销售蜜柚的量看作单位“1”，那么今年销售蜜柚的数量是去年的（1＋25%）。已知去年销售蜜柚8000千克，今年是去年的（1＋25%），根据“求一个数的百分之几是多少用乘法”，即用8000乘（1＋25%）即可解答。 【解答】把去年销售蜜柚的量看作单位“1”。 二成五＝25% 8000×（1＋25%） ＝8000×（1＋0.25） ＝8000×1.25 ＝10000（千克） 答：今年销售蜜柚10000千克。 易错点3：对应纳税额的意义理解不透彻,导致判断错误。 【易错专练1】强强爸爸今年3月份的工资为5500元，按照个人所得税法规定，每月个人收入超过5000元的部分，应按照3%的税率征收个人所得税。强强爸爸这个月的税后工资是多少元？ 【答案】5485元 【分析】先计算出强强爸爸3月份工资超过5000元的部分，再根据应纳税额=应纳税所得额×税率求出需要缴纳的个人所得税，最后用总工资减去个人所得税得到税后工资。 【解答】超过5000元的部分：（元） 应缴纳的个人所得税：（元） 税后工资：（元） 答：强强爸爸这个月的税后工资是5485元。 【易错专练2】李叔叔开了一家商店，按应纳税部分的3%缴纳增值税。某月李叔叔缴纳税款约1800元，李叔叔这个月的营业额中应纳税的部分约是多少元？ 【答案】60000元 【分析】已知增值税率为3%，缴纳税款1800元，根据应纳税部分＝税款÷税率，用1800除以3%即可求出应纳税的部分。 【解答】（元） 答：李叔叔这个月的营业额中应纳税的部分约是60000元。 【易错专练3】王刚家购买了一套商品房，要按标价的1.5%缴纳契税，一共支付了81.2万元。这套商品房的标价为多少万元？ 【答案】80万元 【分析】购买了一套商品房，要按标价的1.5%缴纳契税，一共支付了81.2万元，把标价看成单位“1”，则契税是标价的1.5%，一共支付的钱是标价的，用一共支付的钱除以101.5%，即可求出房子的标价。 【解答】 （万元） 答：这套商品房的标价为80万元。 【易错专练4】餐饮业需按营业额的5%缴纳营业税，一家饭店5月份缴纳了1.1万元的营业税，这家饭店5月份的营业额是多少万元？ 【答案】22万元 【分析】根据题意可知，一家饭店5月份缴纳了1.1万元的营业税占营业额的5%，把这家饭店5月份的营业额看作单位“1”，单位“1”未知，用缴纳的营业税额除以5%，即可求出这家饭店5月份的营业额。 【解答】1.1÷5% ＝1.1÷0.05 ＝22（万元） 答：这家饭店5月份的营业额是22万元。 【易错专练5】规定：公民每年工资（薪金）所得未超过60000元的部分不纳税，超过60000元的部分为本年应纳税所得额，此项纳税按下表累计进行计算。 全年应纳税所得额 税率 不超过36000元的部分 3% 超过36000元至144000元的部分 10% 超过144000至300000元部分 20% … … （1）王叔叔去年工资收入为78000元，应缴纳税款多少元？ （2）陈叔叔去年缴纳税款2500元，那么他去年工资收入为多少元？ 【答案】（1）540元 （2）110200元 【分析】（1）王叔叔去年工资收入为78000元，未超过60000元的部分不纳税，所以应纳税所得额为78000－60000＝18000元。其中不超过36000元的部分按3%的税率纳税，王叔叔的应纳税所得额18000元在此区间内。所以应缴纳税款就是用18000乘3%计算即可。 （2）不超过36000元部分的纳税额为：36000×3%＝36000×0.03＝1080元。因为陈叔叔缴纳税款2500元，2500＞1080，所以陈叔叔的应纳税所得额超过了36000元。计算超过36000元部分的纳税额：2500－1080＝1420元。超过36000元部分对应的税率是10%，所以超过36000元的应纳税所得额为1420÷10%＝1420÷0.1＝14200元。则陈叔叔的应纳税所得额为36000＋14200＝50200元。陈叔叔去年工资收入为60000＋50200＝110200元。 【解答】（1）78000－60000＝18000（元） 18000×3% ＝18000×0.03 ＝540（元） 答：王叔叔应缴纳税款540元。 （2）36000×3% ＝36000×0.03 ＝1080（元） 2500＞1080 2500－1080＝1420（元） 1420÷10% ＝1420÷0.1 ＝14200（元） 36000＋14200＝50200（元） 60000＋50200＝110200（元） 答：陈叔叔去年工资收入为110200元。 易错点4：计算可取回的钱时,把多取回的钱（利息）和可取回的钱（本金+利息）混淆。 【易错专练1】李强2019年2月在银行里存了4000元钱，定期3年，年利率是5%。到期后，他从银行取出利息，连同本金再一次存入银行，定期1年，年利率是2.75%。再次到期后他一共能取出多少元钱？ 【答案】4726.5元 【分析】根据利息＝本金×时间×年利率，求出第一次到期后的利息，再加上本金，可得到到期后的本息金额，为第二次存款的本金，再用本金×时间×年利率，求出第二次到期后的利息，最后加本金，可得到第二次到期后的本息金额，据此解答。 【解答】第一次存款本息金额： （元） 第二次存款本息金额： （元） 答：再次到期后他一共能取出4726.5元。 【易错专练2】只列算式或方程，不计算。 王大爷把3000元钱存入银行，定期二年，年利率为1.15%，到期时可取回多少元？ 【答案】3000＋3000×1.15%×2 【分析】根据利息计算公式：利息＝本金×利率×存期，先将题干中的本金3000元，年利率1.15%，存期2年，代入到公式计算出利息；再用利息加上本金即可求出到期时可取回多少元，据此解答。 【解答】3000＋3000×1.15%×2 ＝3000＋3000×0.0115×2 ＝3000＋34.5×2 ＝3000＋69 ＝3069（元） 答：到期时可取回3069元。 【易错专练3】2020年12月明明的爸爸将45000元人民币存入银行，整存整取定期五年，年利率为2.75%。到期时他想利用利息为明明买台电脑够吗？ 【答案】够 【分析】利息＝本金×存期×年利率，其中本金是45000元人民币，存期是五年，年利率是2.75%，代入数据计算出利息，再与电脑的价格4800元比大小即可。 【解答】45000×5×2.75% ＝225000×2.75% ＝225000×0.0275 ＝6187.5（元）     6187.5＞4800 答：到期时他想利用利息为明明买台电脑够。 【易错专练4】诚诚爸爸五年前在银行里存入了5000元人民币，整存整取5年，年利率为4.00%。现在，他想用这笔钱为家里购置一台电脑，诚诚家相中的电脑售价6100元，购买时有返现折扣150元。在只花这笔钱的情况下，能买下吗？请你计算说明。 【答案】能买下 【分析】根据利息＝本金×年利率×存期，得到存入5000元人民币的利息，加上本金的结果，与电脑返现折扣后的现价比较大小即可。 【解答】5000＋5000×4.00%×5 ＝5000＋5000×20% ＝5000＋1000 ＝6000（元） 6100－150＝5950（元） 6000＞5950，能买下。 答：能买下。 【易错专练5】妈妈有1万元，有两种理财方式：一种是买三年期国债，年利率3.35%；另一种是买银行一年期理财产品，预期年收益率3.6%，每年到期后可连本带息继续购买下一年的理财产品。如果理财产品的预期年收益率能够实现，3年后，两种理财方式的收益相差多少？ 【答案】114.35元 【分析】根据利息＝本金×利率×存期，分别计算两种理财方式的到期利息，最后用减法计算两种理财方式的利息差即可。 【解答】1万元＝10000元 3年期国债的利息：10000×3.35%×3 ＝335×3 ＝1005（元） 买银行一年期理财产品： 第一年的利息：10000×3.6%＝360（元） 第二年的利息：（10000＋360）×3.6% ＝10360×3.6% ＝372.96（元） 第三年的利息： （10000＋360＋372.96）×3.6% ＝（10360＋372.96）×3.6% ＝10732.96×3.6% ≈386.39（元） 三年的利息： 360＋372.96＋386.39 ＝732.96＋386.39 ＝1119.35（元） 1119.35－1005＝114.35（元） 答：两种理财方式的收益相差114.35元。 易错点5：解决“满减”或价格比较问题时，单位“1”不统一。 【易错专练1】新能源汽车享受国家政策支持，购买时可以优惠。李叔叔准备买一辆新能源汽车，某款新能源汽车的指导价格是18万元，甲汽车销售店给出了七五折优惠，乙汽车销售店10万元以上部分可以打七折。李叔叔到哪家汽车销售店买这款新能源汽车比较合算？ 【答案】甲汽车销售店 【分析】先分别计算出甲、乙两家销售店的实际售价，甲店直接按七五折计算总价；乙店需要把18万元拆分为10万元和超出的8万元，其中10万元按原价，超出部分打七折，再相加得到总价，再对比两个价格，选择更低的那家店购买更合算。 【解答】18×75%＝18×0.75＝13.5（万元） 8×70%＝8×0.7＝5.6（万元） 10＋5.6＝15.6（万元） 13.5万元＜15.6万元 答：李叔叔到甲汽车销售店买这款新能源汽车比较合算。 【易错专练2】学校要买60个乒乓球拍，每个售价50元，现有三个商场优惠如下。 甲商场：每买10个赠送2个。 乙商场：每个球拍优惠10元。 丙商场：购物每满200元，返现金30元。 在哪个商场购买最省钱？ 【答案】在乙商场购买最省钱。 【分析】由题意知，甲商场："买10个送2个"，把个看作一组，先求出60里有多少个12，算出需付钱的乒乓球拍个数，再乘乒乓球拍的单价，即可算出在甲店购买所需的钱数； 乙商场：先算出一个乒乓球拍的现价，再乘乒乓球拍的个数，即是在乙店购买所需的钱数； 丙商场：先算出60个乒乓球拍的总价，看这个总价里有多少个200，就返还多少个30元，再用总价减去返还的现金，就是在丙商场购买所需的钱数；最后比较三家商店所需的钱数，得出去哪家商场购买比较合算。 甲商场：60÷（10＋2）×10×50＝2500（元） 乙商场：60×（50－10）＝2400（元） 丙商场：60×50－60×50÷200×30＝2550（元） 2400元＜2500元＜2550元 在乙商场购买最省钱。 【解答】甲商场：60÷（10＋2）×10×50＝2500（元） 乙商场：60×（50－10）＝2400（元） 丙商场：60×50－60×50÷200×30＝2550（元） 2400元＜2500元＜2550元 答：在乙商场购买最省钱。 【易错专练3】某学校要购买33张办公桌，现有甲、乙、丙三家商场可以选择。每家商场办公桌的规格和质量相同，价格都是500元/张。你认为选择哪家商场最合算？最少需要多少钱？ 甲商场：每购买10张办公桌免费赠送1张办公桌，不足10张不赠送。 乙商场：买30张以上（含30张），每张办公桌优惠60元，没有赠送。 丙商场：打八五折销售。 【答案】选择丙商场最合算；14025元 【分析】甲商场：每10张赠送1张；一共买33张，只要购买30张赠送3张即可；用每张的单价乘上30张就是在甲商场需要的钱数；乙商场：买30张以上的（含30张），每张办公桌优惠60元，用每张的单价减去60，求出优惠后的单价再乘33张就是在乙商场需要的钱数；丙商场：八五折优惠是指现价是原价的85%，把原价看成单位“1”，求出33张的原价，然后再乘85%就是在丙商场需要的钱数；然后比较三个商场需要的钱数解答即可。 【解答】甲商场： （元） 乙商场： （元） 丙商场： （元） 答：选择丙商场最合算，最少需要14025元。 【易错专练4】保洁组的同学要购买60个单价为55元的海绵拖把。下面是三家商店给出的优惠方案： 金百汇商厦每满1000元，返还现金120元 华联商厦 一律八五折 小芳超市 买五送一 请算出每家商店购买各需要多少钱，并比较哪家商店更划算？ 【答案】金百汇商厦：2940元；华联商厦：2805元；小芳超市：2750元；小芳超市更划算。 【分析】金百汇商厦：“每满1000元，返还现金120元”，先根据“单价×数量＝总价”求出原价购买60个拖把所需的总钱数，再用除法求出总钱数里有几个1000元，就减去几个120元，求出在金百汇商厦购买拖把需付的钱数； 华联商厦：“一律八五折”，即现价是原价的85%；先根据“单价×数量＝总价”求出原价购买60个拖把所需的总钱数，再乘85%，求出在华联商厦购买拖把所需的钱数； 小芳超市：把“买五送一”看作一组，先用除法求出60里有几组，进而求出实际需买拖把的数量；然后根据“单价×数量＝总价”，求出在小芳超市购买拖把所需的钱数； 最后比较三家商店购买60个拖把所需的钱数，得出在哪家商店买更划算。 【解答】金百汇商厦： 55×60＝3300（元） 3300÷1000＝3（个）……300（元） 3300－120×3 ＝3300－360 ＝2940（元） 华联商厦： 55×60×85% ＝3300×0.85 ＝2805（元） 小芳超市： 60÷（5＋1） ＝60÷6 ＝10（组） 实际需买：10×5＝50（个） 55×50＝2750（元） 比较：2750＜2805＜2940 小芳超市最便宜。 答：在金百汇商厦购买需要2940元，在华联商厦购买需要2805元，在小芳超市购买需要2750元。小芳超市更划算。 【易错专练5】为回馈广大顾客对长丰草莓的喜爱，又恰逢年终大促，某商城推出了三种优惠促销活动。杨叔叔打算购进4箱单价为80元的草莓，选择哪种活动购买更优惠？请通过计算说明。 活动一：预售，预付49元可抵100元消费，不可叠加使用； 活动二：直接购买可享受七折优惠； 活动三：买3箱送1箱。 【答案】选择活动二购买更优惠。 【分析】需要比较三种活动的最终花费，选择最优惠的方式；分别计算三种活动下购买4箱草莓的总费用，比较后选择最小值对应的活动。活动一的关键在于理解“预付49元抵100元”的实际支付逻辑，即总费用＝原价-100元＋49元；活动二直接应用折扣计算，总费用＝原价×折扣率；活动三需注意“买3送1”的隐含条件，实际只需支付3箱的费用。 【解答】原价：（元） 活动一：（元）； 活动二：（元）； 活动三： （元） 224＜240＜269 答：选择活动二购买更优惠。 专题三圆柱和圆锥 易错点1：对圆柱的展开图认识错误。 【易错专练1】请在下边格子图中画出下面圆柱的侧面展开图。并标出对应的数量。 【答案】见详解 【分析】圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长等于圆柱底面的周长，长方形的宽等于圆柱的高。已知圆柱底面直径d＝2cm，根据圆的周长公式C＝πd（π取3.14），可得底面周长为3.14×2＝6.28cm，圆柱的高h＝3cm。所以侧面展开图长方形的长为6.28cm（对应底面周长），宽为3cm（对应圆柱的高）。在格子图中，以1cm为单位长度，画出一个长6.28cm、宽3cm的长方形，标注长为6.28cm（底面周长）、宽为3cm（圆柱的高）。 【解答】如图： 【易错专练2】乐乐和园园分别在纸上画了几个笔筒沿高剪开的侧面展开示意图，其中正确的是( )。（填序号） 【答案】②⑥ 【分析】圆柱体沿高剪开，侧面展开一定是长方形或者正方形，据此解答。 【解答】根据分析，正确的是②⑥ 【易错专练3】一块长方形铁皮（如下图），利用图中阴影部分刚好能做成一个圆柱形的带盖水桶（接头处和厚度均忽略不计）。按要求完成下面各题。 (1)这个水桶的底面直径是( )dm，高是( )dm。 (2)这个水桶的底面周长是( )dm。 【答案】(1) 4 8 (2)12.56 【分析】（1）看图可知，长方形的宽÷2＝底面直径，长方形的宽＝圆柱的高； （2）根据圆柱的底面周长＝圆周率×底面直径，列式计算即可。 【解答】（1）8÷2＝4（dm） 这个水桶的底面直径是4dm，高是8dm。 （2）3.14×4＝12.56（dm） 这个水桶的底面周长是12.56dm。 【易错专练4】用如图的长方形和圆形铁皮搭配，制作一个无盖的圆柱形桶，可搭配的是（    ）。（单位：dm） A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【答案】C 【分析】圆柱的侧面沿高展开后是一个长方形（或正方形），这个长方形的长等于圆柱底面的周长，长方形的宽等于圆柱的高。所以要判断圆形和长方形能否搭配，需计算圆形的周长，看是否与长方形的长或宽相等。 圆的周长公式为C＝πd（C表示周长，d表示直径，π取3.14）。对于圆形①，直径d＝2（dm），其周长为3.14×2＝6.28（dm）。对于圆形②，直径d＝3dm，其周长为3.14×3＝9.42（dm）。 长方形③：长3dm，宽2dm，3dm和2dm与圆形①、圆形②的周长都不相等，无法匹配。长方形④：长6.28dm，宽4dm，长6.28dm与圆形①的周长6.28dm相等，可以匹配。 【解答】图①：3.14×2＝6.28（dm） 图②：3.14×3＝9.42（dm） 图①周长＝图④长 所以圆形①和长方形④可以搭配制作无盖圆柱形桶。 故答案为：C 【易错专练5】小丽想用卡纸制作一个无盖的圆柱形笔筒，并且笔筒的高大于或等于8厘米。她用下面的长方形卡纸做圆柱的侧面和底面，她已经在方格纸上画出了笔筒的底面，请你画出侧面，并计算做这个无盖笔筒一共用了多少平方厘米卡纸？（画出一种即可，粘合处忽略不计，每个小正方形边长1厘米，取3） 【答案】侧面画法见详解；240平方厘米 【分析】观察方格纸中底面圆，直径占8个小方格，因为每个小方格边长1厘米，所以底面直径为8厘米，半径为8÷2＝4厘米。根据圆的周长公式C＝πd（π取3），底面周长为3×8＝24厘米。因为圆柱侧面展开长方形的长等于底面周长，所以侧面长方形的长是24厘米。又因为笔筒的高大于或等于8厘米，可以选择高为8厘米，即侧面长方形的宽为8厘米。然后在方格纸上画出长24厘米、宽8厘米的长方形作为侧面。 根据圆的面积公式S＝πr2（π取3，r＝4厘米），代入公式计算得3×42＝3×16＝48平方厘米。侧面是长方形，面积公式是长×宽，长24厘米，宽8厘米，所以侧面积为24×8＝192平方厘米。那么无盖笔筒总面积是底面积加侧面积。 【解答】3×8＝24（厘米） 8÷2＝4（厘米） 3×42 ＝3×16 ＝48（平方厘米） 24×8＝192（平方厘米） 48＋192＝240（平方厘米） 答：侧面画法如下图，做这个无盖笔筒一共用了240平方厘米卡纸。 易错点2：在解决与圆柱表面积相关的实际问题时,不能根据实际情况具体分析。 【易错专练1】一个圆柱形油漆桶，高是6dm，底面直径是高的。做这个油漆桶至少需要铁皮多少平方分米？（得数保留整数） 【答案】127平方分米 【分析】做一个圆柱形油漆桶，需要多少平方分米铁皮，只需要计算圆柱的表面积即可，先根据底面直径＝高×，计算出底面直径，底面半径＝底面直径÷2，最后根据圆柱的表面积公式：，计算即可解答。 【解答】底面直径：（dm） 底面半径：（dm） （平方分米） 答：做这个油漆桶至少需要铁皮127平方分米。 【易错专练2】一个用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，长10米，横截面是半径为2米的半圆形，覆盖这个大棚至少需要塑料薄膜多少平方米？（π取3.14） 【答案】75.36平方米 【分析】塑料薄膜的面积包括圆柱侧面积的一半和一个完整的底面积，圆柱的侧面积的一半为，底面积为据此列式解答。 【解答】 （平方米） 答：这个大棚至少需要塑料薄膜75.36平方米。 【易错专练3】一种圆柱形无盖铁皮水桶的高2.5分米，底面直径是4分米。做这样的一只水桶至少要用铁皮多少平方分米？（得数保留整十平方分米） 【答案】 50平方分米 【分析】计算无盖圆柱形水桶所需铁皮的面积，即侧面积加上一个底面积。圆柱的侧面积公式为：S＝πdh，底面积公式为S＝πr2；已知圆柱形无盖铁皮水桶的高2.5分米，底面直径是4分米，计算出底面半径为4÷2＝2分米，将数据代入公式计算后，结果按实际情况（进一法）保留到整十平方分米。据此解答。 【解答】4÷2＝2（分米） 3.14×4×2.5＋3.14×22 ＝12.56×2.5＋3.14×4 ＝31.4＋12.56 ＝43.96（平方分米） 43.96≈50 答：做这样的一只水桶至少要用铁皮50平方分米。 【易错专练4】月饼象征着团圆，可以近似看作圆柱，切掉后，剩下的月饼表面积是多少？ 【答案】90.5平方厘米 【分析】先利用“”求出整个月饼的表面积，把整个月饼的表面积看作单位“1”，切掉后，表面积减少的同时又增加了2个以底面半径为长，以高为宽的长方形的面积，剩下月饼的表面积＝整个月饼的表面积×（1－）＋2个长方形的面积，据此解答。 【解答】3.14×6×2＋2×3.14×（6÷2）2 ＝3.14×6×2＋2×3.14×32 ＝3.14×6×2＋2×3.14×9 ＝3.14×（6×2＋2×9） ＝3.14×（12＋18） ＝3.14×30 ＝94.2（平方厘米） 94.2×（1－）＋（6÷2）×2×2 ＝94.2×＋3×2×2 ＝78.5＋6×2 ＝78.5＋12 ＝90.5（平方厘米） 答：剩下的月饼表面积是90.5平方厘米。 【易错专练5】灯笼厂接到一批订单，需要制作如图这种圆柱形灯笼，上、下底面的中间分别留出了78.5平方厘米的圆孔，做一个灯笼至少需要准备多少平方厘米的彩纸？ 【答案】2355平方厘米 【分析】已知圆柱形灯笼的底面直径是20厘米，高是30厘米，先计算出底面半径是20÷2＝10厘米，然后根据圆柱的表面积公式S＝πdh＋2πr2计算出圆柱的表面积； 已知上、下底面的中间分别留出了78.5平方厘米的圆孔，用一个圆孔的面积乘2计算出两个圆孔的面积； 最后用圆柱的表面积减去两个圆孔的面积即可。 【解答】20÷2＝10（厘米） 3.14×20×30＋2×3.14×102 ＝3.14×20×30＋2×3.14×100 ＝62.8×30＋6.28×100 ＝1884＋628 ＝2512（平方厘米） 78.5×2＝157（平方厘米） 2512－157＝2355（平方厘米） 答：做一个灯笼至少需要准备2355平方厘米的彩纸。 易错点3：对圆柱的体积公式理解不透彻，导致判断错误。 【易错专练1】一块正方体木材的棱长是4分米，这块木材的表面积是( )平方分米，把它切成一个最大的圆柱，圆柱的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 【答案】96 75.36 50.24 【分析】第①空：正方体表面积：正方体有6个完全相同的正方形面，每个面的面积是“棱长×棱长”，因此表面积公式为6×棱长×棱长。代入棱长4分米，可得6×4×4＝96平方分米。 第②空：要切出最大的圆柱，需让圆柱的底面直径和高都等于正方体4分米长的棱长，先利用“”代入直径和高计算出侧面积；再利用“”代入r计算出2个底面积，最后由“侧面积＋2个底面积”求出圆柱的表面积。 第③空：依据体积公式为“”，代入半径和高计算出圆柱体积。 【解答】第①空：6×4×4＝24×4＝96（平方分米） 第②空：d＝4分米，r＝4÷2＝2（分米），h＝4分米 3.14×4×4 ＝12.56×4 ＝50.24（平方分米） ＝ ＝12.56×2 ＝25.12（平方分米） 50.24＋25.12＝75.36（平方分米） 第③空： ＝ ＝12.56×4 ＝50.24（立方分米） 【易错专练2】在一个圆柱形的水桶里，垂直放入一段半径是2cm的圆钢，如果把它完全放入水中，桶里的水就上升10cm，如果把水中的圆钢露出水面6cm，那么这时桶里的水就下降3cm。这根圆钢的高是( )cm，体积是( )cm3。 【答案】20 251.2 【分析】已知圆钢半径为2厘米，根据圆的面积公式S＝πr2（π取3.14），求出圆钢底面积。当圆钢露出水面6厘米时，露出部分的体积等于水桶底面积乘水下降的高度，求出露出部分体积。水下降3厘米，用露出部分体积除以水下降的高度，求出水桶底面积。当圆钢完全放入水中时，水上升10厘米，圆钢体积等于水桶底面积乘水上升的高度，求出圆钢的体积。圆钢的高等于体积除以底面积，求出圆钢的高。 【解答】圆钢的底面积：3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 露出水面的圆钢体积：12.56×6＝75.36（cm3） 水桶底面积：75.36÷3＝25.12（cm2） 圆钢的体积：25.12×10＝251.2（cm3） 圆钢的高：251.2÷12.56＝20（cm） 所以这根圆钢的高是20cm，体积是251.2cm3。 【点睛】本题关键在于利用“圆钢露出水面的体积＝水桶中下降的水的体积”这一关系，先求出水桶的底面积，再结合“圆钢完全放入时水上升的体积＝圆钢的体积”，最终算出圆钢的高和体积。 【易错专练3】一个圆柱形大花坛的底面内直径为20m，高为0.8m。如果花坛里面填入沙土的高度为0.5m，那么花坛中填入沙土多少立方米？ 【答案】157立方米 【分析】先根据花坛的底面直径依次求出底面半径和底面积，再根据圆柱的体积公式：底面积×高，把数代入求出需要填的土的体积。 【解答】 （立方米） 答：花坛中填入沙土157立方米。 【易错专练4】在一次科学实验课上，老师准备了一个高25厘米，底面积是50平方厘米的圆柱形容器，里面装了一部分水，水面高度为8厘米（见图1）。同学们为了模拟物体排开液体的实验，往容器里放入了体积相等的小玻璃球，水面上升到了22厘米（见图2）。之后，同学们又从容器中取出了一些小玻璃球，水面下降到了16厘米（见图3）。 (1)放入容器的小玻璃球的体积一共是多少立方厘米？ (2)取出的小玻璃球的体积相当于多少毫升水？ 【答案】(1)700立方厘米 (2)300毫升 【分析】（1）先计算出放入小玻璃球后水面上升的高度；再根据“圆柱的体积＝底面积×高”用底面积乘水面上升的高度计算即可； （2）先计算出取出小玻璃球后水面下降的高度；再根据“圆柱的体积＝底面积×高”用底面积乘水面下降的高度计算出体积；最后将体积单位换算成容积单位即可。 【解答】（1） （立方厘米） 答：放入容器的小玻璃球的体积一共是700立方厘米。 （2） （立方厘米） 300立方厘米＝300毫升 答：取出的小玻璃球的体积相当于300毫升水。 【易错专练5】一个底面周长为28.26厘米的圆柱，斜着截去这个圆柱的一半（如图），剩余部分的体积是多少立方厘米？ 【答案】381.51立方厘米 【分析】根据圆的周长公式C＝2πr（C是周长，π取3.14，r是半径），则r＝C÷2÷π，已知底面周长为28.26厘米，则半径为28.26÷2÷3.14＝4.5厘米。观察图形可知，剩余部分的体积相当于一个底面半径为4.5厘米，高为（5＋7）厘米的圆柱体积的一半。根据圆柱体积公式V＝πr2h（π取3.14，r是半径，h为高），把数据代入先计算完整圆柱的体积，再除以2即可。 【解答】28.26÷2÷3.14＝4.5（厘米） 5＋7＝12（厘米） 3.14×4.52×12 ＝3.14×20.25×12 ＝763.02（立方厘米） 763.02÷2＝381.51（立方厘米） 答：剩余部分的体积是381.51立方厘米。 易错点4：圆锥的特征认识错误。 【易错专练1】按照图（    ）的截法，截出的截面如图所示。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】截面的形状与被截几何体有关，根据被截几何体的形状分析截面的形状进行解答。 【解答】A．截出的图形是长方形，不符合题意； B．截出的图形是三角形，不符合题意； C．截出的图形是半圆，不符合题意；      D. 截出的图形是圆形，符合题意； 【易错专练2】将一个圆锥沿着它的高平均切成两半（如下图），截面是一个（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．等腰三角形 【答案】C 【分析】圆锥沿着高切开时，切面会经过圆锥的顶点和底面直径。切面的两条腰是圆锥的母线，长度相等。底边是圆锥的底面直径。因此，这个截面是一个等腰三角形。 【解答】将一个圆锥沿着它的高平均切成两半（如下图），截面是一个等腰三角形。 故答案为：C 【易错专练3】下面各图中，以直线为轴旋转，可以得到圆锥的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为直角三角形绕一条直角边旋转时，另一条直角边形成圆锥底面圆，斜边形成圆锥侧面；所以圆锥是由一个直角三角形绕着一条直角边旋转一周得到的立体图形。据此分析各选项，进而确定正确答案。 【解答】A.  该图形绕斜边进行旋转，绕直线旋转一周不能得到圆锥。 B. 该图形是梯形，绕直线旋转一周得到的是圆台，不是圆锥。 C. 该图形是半圆，绕直线旋转一周得到的是球，不是圆锥。 D. 该图形是直角三角形，绕着一条直角边旋转一周可以得到一个圆锥。 故答案为：D。 【易错专练4】如下图所示的是一个圆锥，这个圆锥的高是( )cm，底面半径是( )cm，底面周长是( )cm，底面积是( )。 【答案】13 3 18.84 28.26 【分析】根据圆锥的特征，从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，底面圆的半径、周长和面积的计算公式分别为（d为直径），，，据此求解。 【解答】高：13cm 底面半径：（cm） 底面周长：（cm） 底面积：（cm²） 所以，这个圆锥的高是13cm，底面半径是3cm，底面周长是18.84cm，底面积是28.26cm²。 【易错专练5】如图，一个圆锥的高是3cm，沿着它的高平均切成两部分，表面积就增加12cm2，原来圆锥的底面直径( )cm。 【答案】4 【分析】根据题意，把一个圆锥沿着它的高平均切成两部分，表面积比原来圆锥的表面积增加了2个切面的面积，切面是一个以圆锥的底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形； 先用增加的表面积除以2，求出一个面的面积；再根据三角形的面积＝底×高÷2可知，三角形的底＝面积×2÷高，据此求出圆锥的底面直径。 【解答】一个面的面积：12÷2＝6（cm2） 三角形的底（底面直径）：6×2÷3＝4（cm） 所以，原来圆锥的底面直径4cm。 易错点5：圆柱和圆锥体积关系理解不透彻。 【易错专练1】一个圆柱的体积比与它等底等高的圆锥的体积多，圆柱的体积是( )，圆锥的体积是( )。 【答案】11.7 3.9 【分析】圆柱的体积等于与它等底等高的圆锥的3倍，则圆柱的体积比与它等底等高的圆锥多2倍，即多7.8立方米，则圆锥的体积是立方米，圆柱的体积是立方米。 【解答】由分析可得： 一个圆柱的体积比与它等底等高的圆锥的体积多，圆柱的体积是11.7，圆锥的体积是3.9。 【易错专练2】把一个圆柱削成最大的圆锥后，圆锥体积比圆柱体积少24π立方分米。如果圆锥的底面半径是3分米，圆柱的高是( )分米。 【答案】4 【分析】把一个圆柱削成最大的圆锥，那么这个圆锥和圆柱等底等高，圆柱的体积是圆锥的3倍。24π立方分米相当于圆锥体积的2倍，算出圆锥的体积。根据圆锥的体积V＝，用圆锥的体积乘3除以π除以半径的平方即可算出圆锥的高，也是圆柱的高。 【解答】24π÷2＝12π（立方分米） 12π×3÷π÷32 ＝12π×3÷π÷9 ＝36π÷π÷9 ＝4（分米） 所以，圆柱的高是4分米。 【点睛】把一个圆柱削成最大的圆锥，那么这个圆锥和圆柱等底等高，圆柱的体积是圆锥的3倍。24π立方分米相当于圆锥体积的2倍。 【易错专练3】一个正方体一个面的面积是36平方厘米，把这个正方体削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是( )立方厘米，和它等底等高的圆柱体积是( )立方厘米。 【答案】 56.52 169.56 【分析】正方体一个面是正方形，正方形面积公式为“面积＝边长×边长”。已知一个面的面积是36平方厘米，因为6×6＝36，所以正方体的棱长是6厘米。把正方体削成“最大的圆锥”，圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长（这样能保证圆锥体积最大），圆锥的底面直径为6厘米，因此底面半径为6÷2＝3厘米；圆锥的高为6厘米。根据圆锥体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高）。把数据代入计算即可得出圆锥的体积，因为“等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍”，所以用圆锥体积乘3即可得出和它等底等高的圆柱体积。 【解答】36＝6×6 把正方体削成“最大的圆锥”，圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长。 6÷2＝3（厘米） ×3.14×32×6 ＝×3.14×9×6 ＝3×3.14×6 ＝9.42×6 ＝56.52（立方厘米） 56.52×3＝169.56（立方厘米） 圆锥的体积是56.52立方厘米，和它等底等高的圆柱体积是169.56立方厘米。 【易错专练4】在一个高是3dm，底面半径是2dm的圆锥形容器里装满水，再将这些水全部倒入一个圆柱形容器中，刚好装了圆柱形容器的。这个圆柱形容器的容积是多少立方分米？ 【答案】78.5立方分米 【分析】先根据圆锥体积＝底面积×高×，求出水的体积，再除以其占圆柱形容器容积的比例，得到圆柱形容器的容积，据此解答。 【解答】圆锥体积： （立方分米） （立方分米） 答：这个圆柱形容器的容积是78.5立方分米。 【易错专练5】科学组的同学们在做实验，先将两个大小相同的烧杯中，都盛有480毫升的水，再将等底等高的圆柱与圆锥实心零件（材质相同）分别放入两个烧杯中，则甲烧杯水面刻度如图所示。乙烧杯水面刻度显示应是多少毫升？ 【答案】520毫升 【分析】甲烧杯的圆柱形零件排掉水的体积是600毫升与480毫升的差。因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以用圆柱零件的体积除以3就是圆锥形零件排掉水的体积，据此就能求出乙烧杯中水面的刻度。 【解答】 （毫升） （毫升） 答：乙烧杯水面刻度显示应是520毫升。 【点睛】此题考查排水法求体积以及等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系，解题需要灵活运用等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍。 易错点6：在解决问题的过程中,易忘记统一单位，从而造成错解。 【易错专练1】一根2m长的圆柱形钢管，其外直径为30cm，内直径为20cm。要制造这根钢管需要多少立方米的钢材？ 【答案】0.0785立方米 【分析】先根据1米＝100厘米，把单位统一，再利用圆柱的体积＝底面积×高，分别求出以外部直径为30厘米，长2米的圆柱形钢管的体积和以内部直径为20厘米，长2米的圆柱形钢管的体积，再把两个体积相减，可得到这个钢管需要钢材的体积，据此解答。 【解答】30厘米＝0.3米 20厘米＝0.2米 （立方米） 答：要制造这根钢管需要0.0785立方米的钢材。 【点睛】本题考查圆柱形体积的应用，要理解圆柱形钢管是空心的圆柱形，用外部圆柱形的体积减去内部圆柱形的体积，进而得到圆柱形钢管的体积，是解题的关键。 【易错专练2】如下图，一个破损的圆柱形木桶从里面量得底面直径是4dm，高是6dm。这个木桶正常放置时最多能盛多少升水？ 【答案】56.52L 【分析】根据题意，要计算这个木桶正常放置时最多能盛多少升水，需要先将单位统一成分米，因木桶破损了0.5分米，并且缺口的上面还有1分米，所以，桶的高度破损的高度实际盛水高度，然后用底面积乘实际能盛水的高度来计算木桶最多能装多少升水，据此解答。 【解答】 答：这个木桶正常放置时最多能盛56.52升水。 【易错专练3】一个圆柱形铁皮水桶（有底无盖）桶身出现破损，师傅从桶身破损处平行于底面截去一个高为10厘米的圆柱（如图所示），剩余部分的水桶容积比原来减少了。往这个水桶中倒入3.14升的水，水深1分米。现在水桶的容积是多少升？ 【答案】6.28升 【分析】先将3.14升换算成3.14立方分米，再除以水深1分米，求出水桶的底面积；然后把10厘米转化为1分米，用1分米除以，求出原水桶的高；再用水桶的底面积乘高，求出原水桶的容积，再乘（1－），即可求出现在水桶的容积，据此解答。 【解答】3.14升＝3.14立方分米 3.14÷1＝3.14（平方分米） 10厘米＝1分米 1÷＝3（分米） 3.14×3×（1－） ＝3.14×3× ＝9.42× ＝6.28（立方分米） 6.28立方分米＝6.28升 答：现在水桶的容积是6.28升。 【易错专练4】一堆圆锥形黄沙，底面周长是25.12米，高是1.5米，将这些沙子铺在一条宽4米厚2.5厘米的小路上，大约能铺几米长？ 【答案】251.2米 【分析】已知圆锥的底面周长，根据r＝C÷π÷2，求出圆锥形沙堆的底面半径；然后根据V锥＝πr2h，求出沙堆的体积；又已知将这堆沙子铺在小路上，那么沙子的体积不变，求能铺的长度，就是求长方体的长，根据长方体的长a＝V÷b÷h，即可得解。注意单位的换算：1米＝100厘米。 【解答】2.5厘米＝0.025米 底面半径：25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（米） 圆锥形沙堆的体积：3.14×42×1.5× ＝3.14×16×1.5× ＝50.24×1.5× ＝75.36× ＝25.12（立方米） 25.12÷4÷0.025 ＝6.28÷0.025 ＝251.2（米） 答：大约能铺251.2米长。 【易错专练5】有一堆小麦，其形状近似于一个圆锥，底面直径为4米，高为18分米，将这些小麦装入一个底面半径为4米，高为5米的圆柱形粮仓中，小麦的高为多少米？ 【答案】0.15米 【分析】首先将圆锥的底面直径转换为半径，并将所有单位统一为米。根据圆锥的体积＝计算出圆锥体积后，根据体积不变原理，用圆锥的体积除以圆柱的底面积求出粮仓内小麦的高度。 【解答】18分米＝1.8米 4÷2＝2（米） ×3.14××1.8÷（3.14×） ＝×3.14×4×1.8÷（3.14×16） ＝×1.8×3.14×4÷3.14÷16 ＝0.6×（3.14÷3.14）×4÷16 ＝2.4÷16 ＝0.15（米） 答：小麦的高为0.15米。 易错点7：切拼问题中对增加或减少问题考虑不全面。 【易错专练1】如下图，把这根圆柱形木料截成三段，表面积增加了942cm2。若原来这根圆柱形木料的体积是0.1413m3，则这根圆柱形木料原来长多少米？ 【答案】6 米 【分析】每截一次就增加2个圆柱的底面，截成3段需要截次，那么就增加了个底面，由此可求得圆柱的底面积，然后利用即可解决问题。注意单位的换算。 【解答】（个） （平方厘米） （米） 答：这根圆柱形木料原来长6米。 【易错专练2】如图，把一个直径是20厘米的圆柱从上底面的一条直径开始，沿着圆柱的高向下切，直到把这个圆柱纵向切开，它的表面积就增加了1600平方厘米。原来的这个圆柱的体积是多少立方厘米？ 【答案】12560立方厘米 【分析】增加的表面积等于长为圆柱的高，宽为圆柱的底面直径的2个长方形的面积，用增加的面积除以2求出一个长方形的面积，再用长方形的面积除以圆柱的底面直径求出圆柱的高，再根据圆柱的体积＝解答即可。 【解答】1600÷2＝800（平方厘米） 800÷20＝40（厘米） 20÷2＝10（厘米） 3.14××40 ＝3.14×100×40 ＝314×40 ＝12560（立方厘米） 答：原来的这个圆柱的体积是12560立方厘米。 【易错专练3】一个圆柱高10厘米，截成3段后，表面积增加了50.24平方厘米，求原来圆柱的体积是多少立方厘米？ 【答案】125.6立方厘米 【分析】根据题意可知，圆柱截成3段后，增加4个底面的面积，用增加的面积÷4，求出底面的面积，再根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【解答】50.24÷4×10 ＝12.56×10 ＝125.6（立方厘米） 答：原来圆柱的体积是125.6立方厘米。 【易错专练4】将一个底面直径是26厘米、高是5厘米的圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了多少平方厘米？ 【答案】130平方厘米 【分析】要把圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块，应沿着回锥的高切开，得到两个切面，切面是两个相同的等腰三角形。切开后，表面积比原来增加的部分为两个等腰三角形的面积。等腰三角形的高是圆锥的高，等腰三角形的底是圆锥的底面直径。根据“三角形的面积＝底×高÷2”可求出两个等腰三角形的面积，也就是表面积比原来增加的部分。 【解答】26×5÷2×2 ＝130÷2×2 ＝65×2 ＝130（平方厘米） 答：表面积比原来增加了130平方厘米。 【易错专练5】把一个高15厘米的圆锥，沿着底面直径垂直切开，将圆锥平均分为两份，跟原来比表面积增加了300平方厘米，求这个圆锥的体积是多少？ 【答案】1570立方厘米 【分析】由于圆锥体是由三角形旋转得到的，把一个圆锥沿底面直径和高切开，剖面是三角形，表面积比原来增加了300平方厘米，即是两个三角形的面积之和；由此可以求出剖面三角形的面积，这个三角形的底就是圆锥底面直径，根据已知三角形的面积和高求底的方法，即可求出圆锥的底面直径，再利用圆锥的体积公式解答。 【解答】一个三角形的面积：300÷2＝150（平方厘米） 圆锥的底面直径：150×2÷15＝20（厘米） ×3.14×（20÷2）2×15 ＝314×5 ＝1570（立方厘米） 答：这个圆锥的体积是1570立方厘米。 【点睛】本题考查圆锥的体积，明确沿着底面直径垂直切开，表面积增加即增加了两个三角形的面积是解题的关键。 专题四比例 易错点1：没有正确理解比例的意义。 【易错专练1】下列选项中的两个比可以组成比例的是（    ）。 A．6∶9和9∶12 B．1∶2和3∶4 C．1.2∶4和1.5∶5 D．和2∶3 【答案】C 【分析】在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。假设每个选项中的两个比均可以组成比例，逐一验证。 【解答】A．6×12＝72，9×9＝81，72≠81，不能组成比例； B．1×4＝4，2×3＝6，4≠6，不能组成比例； C．1.2×5＝6，4×1.5＝6，6＝6，能组成比例，即1.2∶4＝1.5∶5； D．×3＝，×2＝，≠，不能组成比例。 【易错专练2】下面能与组成比例的是（    ）。 A．3∶4 B． C．0.9∶1.2 D．12∶9 【答案】D 【分析】根据比例的意义，表示两个比相等的式子叫作比例。先求出的比值，再分别求各选项的比值，然后进行比较即可。 【解答】＝ A．因为3∶4＝，≠，所以不能组成比例； B．因为＝，≠，所以不能组成比例； C．因为0.9∶1.2＝，≠，所以不能组成比例； D．因为12∶9＝，＝，所以可以组成比例。 故答案为：D 【点睛】本题主要考查比例的意义即表示两个比相等的式子叫作比例。 【易错专练3】下面各组比中，不可以和∶组成比例的是（    ）。 A．18∶15 B．6∶5 C．2.4∶2 D．∶ 【答案】D 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例，分别求出题干和各个选项中五个比的比值，看选项中哪个比的比值与∶的比值不相等即可。 【解答】＝ A．18∶15＝，它与的比值相等，能组成比例； B．6∶5＝，它与的比值相等，能组成比例； C．2.4∶2＝，它与的比值相等，能组成比例； D．＝，它与的比值不相等，不能组成比例； 故答案为：D。 【点睛】本题考查如何判断两个比是否能组成比例，理解比例的意义是关键。 【易错专练4】如果5颗星星可换2根棒棒糖，淘气得了15颗星星，可换（ ）根棒棒糖，写成比例是（ ）。 【答案】6 5∶2＝15∶6 【分析】已知5颗星星可换2根棒棒糖，求15颗星星可换多少根棒棒糖，先用除法求出15里面有几个5，再乘2即可。 表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义，求出两个比的比值，相等即可组成比例。 【解答】15÷5×2 ＝3×2 ＝6（根） 可换6根棒棒糖。 5∶2＝5÷2＝ 15∶6＝15÷6＝ 比值相等，可以组成比例。 写成比例是5∶2＝15∶6。（答案不唯一） 【易错专练5】“一去二三里，烟村四五家。亭台六七座，八九十枝花”是北宋哲学家邵雍所作的一首诗，读来朗朗上口，感受到诗人对大自然的赞美和喜爱之情。请你从诗中选取四个数组成一个你喜欢的比例：（ ）。 【答案】2∶4＝3∶6 【分析】根据比例的意义：表示两个比相等的式子，叫做比例。诗中出现的数字有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，从中找出两个比值相等的比即可组成比例。 【解答】 因此从诗中选取四个数组成一个比例是2∶4＝3∶6。 易错点2：对比例的基本性质理解不透彻，或解比例错误。 【易错专练1】希望小学课后开展了丰富的社团活动。若参加人工智能科创人数的和参加美术社团人数的同样多，则人工智能科创人数∶美术社团人数＝（    ）。 A．2∶5 B．5∶2 C．2∶7 D．7∶2 【答案】A 【分析】根据“参加人工智能科创人数的和参加美术社团人数的同样多”可得出等式：人工智能科创人数×＝美术社团人数×；再根据比例的基本性质把它改写成比例式，并化简。 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 【解答】人工智能科创人数×＝美术社团人数× 人工智能科创人数∶美术社团人数＝∶＝（×10）∶（×10）＝2∶5 则人工智能科创人数∶美术社团人数＝2∶5。 故答案为：A 【易错专练2】两个非零自然数a、b，若3a＝4b，则a∶b＝（ ）∶（ ）。 【答案】4 3 【分析】在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。若a为外项，则3也为外项；b为内项，则4也为内项。 【解答】两个非零自然数a、b，若3a＝4b，则a∶b＝4∶3。 【易错专练3】解比例方程。                  【答案】x＝48；y＝；x＝2.6 【分析】解比例方程时，根据比例的基本性质，内项之积等于外项之积求解。 【解答】（1） 解：0.3x＝7.2×2 0.3x＝14.4 x＝48 （2） 解： （3） 解：2∶6.5＝0.8∶x 2x＝6.5×0.8 2x＝5.2 x＝2.6 【易错专练4】解比例。                    【答案】x＝16.8；x＝0.64；x＝96 【分析】根据比例的基本性质，两外项之积等于两内项之积，把比例式改写成方程；再根据等式的性质1，等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式两边仍然相等，解方程即可； 5：7＝12：x把比例式改写成5x＝7×12，先计算7与12的积，再把方程两边同时除以5； 9.6：x＝9：0.6把比例式改写成9x＝9.6×0.6，先计算9.6与0.6的积，再把方程两边同时除以9； 100：x＝：把比例式改写成x＝100×，先计算100与的积，再把方程两边同时除以。 【解答】5：7＝12：x 解：5x＝7×12 5x＝84 5x÷5＝84÷5 x＝16.8 9.6：x＝9：0.6 解：9x＝9.6×0.6 9x＝5.76 9x÷9＝5.76÷9 x＝0.64 100：x＝： 解：x＝100× x＝60 x÷＝60÷ x＝60× x＝96 【易错专练5】解比例。 24∶x＝8∶3              ∶0.4＝6∶x               ＝ 【答案】x＝9；x＝7.2；x＝0.4 【分析】（1）先根据比例的基本性质，把比例化为方程：8x＝24×3；再根据等式的性质2，方程两边再同时除以8求解。 （2）先根据比例的基本性质，把比例化为方程：x＝0.4×6；再根据等式的性质2，方程两边再同时除以求解。 （3）先根据比例的基本性质，把比例化为方程：75x＝25×1.2；再根据等式的性质2，方程两边再同时除以75求解。 【解答】（1）24∶x＝8∶3 解：8x＝24×3 8x＝72 8x÷8＝72÷8 x＝9 （2）∶0.4＝6∶x 解：x＝0.4×6 x＝2.4 x÷＝2.4÷ x＝2.4×3 x＝7.2 （3）＝ 解：75x＝25×1.2 75x＝30 75x÷75＝30÷75 x＝0.4 易错点3：正比例、反比例判断错误。 【易错专练1】如果（均不为0），那么与（    ）比例关系。 A．成正 B．成反 C．不成 D．不确定 【答案】A 【分析】根据比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，将转化为两个比相等的式子；当两种相关联的量，比值一定时，成正比例关系；当两种相关联的量，乘积一定时，成反比例关系；据此判断与成什么比例关系。 【解答】∶＝7∶5＝7÷5＝1.4（比值一定） 因此，如果（均不为0），那么与（成正）比例关系。 【易错专练2】下列说法不正确的是（    ）。 A．轮船行驶的速度一定，行驶的路程和时间成正比例关系。 B．平行四边形的面积一定，它的底和高成反比例关系。 C．《科普世界》的单价一定，订阅的份数与总价成正比例关系。 D．一本书的总页数一定，未读的页数与已读的页数成反比例关系。 【答案】D 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系； 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系； 【解答】A．根据速度＝路程÷时间，当速度一定时，路程与时间成正比例。该说法正确。 B．根据平行四边形的面积＝底×高，当面积一定时，它的底和高成反比例关系。该说法正确。 C．根据单价＝总价÷数量，当单价一定时，订阅的份数与总价成正比例关系。该说法正确。 D．根据总页数＝未读的页数＋已读的页数，当总页数一定时，未读的页数和已读的页数的和相等，不是商或乘积一定，它们不成比例。该说法错误。 【易错专练3】妈妈的年龄是小明的6倍，则妈妈的年龄和小明的年龄成正比例关系。（ ） 【答案】× 【分析】两种相关联的量，一种量变化另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。在年龄问题中，妈妈和小明的年龄差是固定的，但年龄的倍数会随着时间变化而变化。虽然当前妈妈年龄是小明的6倍，但随着年份增长，两人年龄都会增加相同的数值，倍数也会随之发生变化，不是固定不变的。 【解答】若今年妈妈的年龄是24岁，小明的年龄是4岁，则。 明年妈妈的年龄是25岁，小明的年龄是5岁，则。 所以，妈妈的年龄和小明的年龄的比值会随着时间的变化而变化，即，比值不一定。 妈妈的年龄和小明的年龄不成正比例关系。 故答案为：× 【易错专练4】一辆自行车的前、后齿轮的齿数比是7∶3，如果后齿轮转了28圈，那么前齿轮转了12圈。（ ） 【答案】√ 【分析】根据自行车齿轮的工作原理，前、后齿轮走过的路程相同，因此齿数与转圈数成反比。已知前、后齿轮的齿数比为7∶3，则转的圈数比为3∶7，即前齿轮转的圈数占3份，后齿轮转的圈数占7份；用后齿轮转的圈数除以7，求出一份数，再用一份数乘3，求出前齿轮转的圈数。 【解答】由前、后齿轮齿数比为7∶3可得出：前、后齿轮的圈数比为3∶7。 28÷7×3 ＝4×3 ＝12（圈） 那么前齿轮转了12圈。 故答案为：√ 【易错专练5】从学校到博物馆，速度越快，所需时间越短，速度和时间成反比例。（ ） 【答案】√ 【分析】判断两种量是否成反比例，需满足两个条件：①两种量是相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化；②这两种量对应的乘积一定。题目中，从学校到博物馆的路程一定，根据速度、时间和路程之间的关系进行分析。 【解答】从学校到博物馆的路程是一定的。速度和时间是两种相关联的量，速度变化，时间也随着变化。因为速度×时间＝路程（一定），即二者的乘积一定，所以速度和时间成反比例，原题说法正确。 故答案为：√ 易错点4：用比例解决问题时设未知数错误。 【易错专练1】法国巴黎的埃菲尔铁塔高度约为320米。北京的世界公园里有一座埃菲尔铁塔模型，它的高度与原塔高度的比是1∶10。这座模型的高度是多少厘米？（用比例解答） 【答案】3200厘米 【分析】根据题意，模型高度∶原塔高度＝1∶10，设这座模型的高度为厘米，根据等量关系列比例求解。解答前需将320米换算为32000厘米。 【解答】320米＝32000厘米 解：设这座模型的高度是厘米。 答：这座模型的高度是3200厘米。 【易错专练2】操场上有一根高耸的旗杆，旗杆旁边有一根3米高的竹竿，上午10时，聪聪量得竹竿的影长是1.2米，这时旗杆的影长是7.2米，求出旗杆的高度。（用比例知识解答） 【答案】18米 【分析】根据同一时间、同一地点物体的影长与高成正比例关系，列出方程1.2∶3＝7.2∶x，进一步解出方程即可。 【解答】解：设旗杆的高度是x米。 1.2∶3＝7.2∶x 1.2x＝3×7.2 1.2x＝21.6 1.2x÷1.2＝21.6÷1.2 x＝18 答：旗杆的高度是18米。 【易错专练3】粮店原来有一批大米，一月份卖出了80%后，又购进了60袋，这时粮店大米的袋数与原来的袋数比是4∶5，粮店原来有大米多少袋？ 【答案】100袋 【分析】设粮店原来有大米x袋。一月份卖出80%，把原来有的大米看作单位“1”，则剩下的大米袋数为原来的（1－80%），即（1－80%）x袋；又购进60袋后，现在大米的袋数为：（1－80%）x＋60袋。已知“这时粮店大米的袋数与原来的袋数比是4∶5”，即现在袋数∶原来袋数＝4∶5，代入数量关系可得比例式为：（1－80%）x＋60∶x＝4∶5，然后根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，解答即可。 【解答】解：设粮店原来有大米x袋。 把原来有的大米看作单位“1”。 （1－80%）x＋60∶x＝4∶5 （1－0.8）x＋60∶x＝4∶5 0.2x＋60∶x＝4∶5 4x＝5×（0.2x＋60） 4x＝x＋300 4x－x＝300 3x＝300 x＝300÷3 x＝100 答：粮店原来有大米100袋。 【易错专练4】“衣衣不舍”服装店所有的服装都按同样的折扣销售。李阿姨买了一件上衣，原价是400元，现价300元。李阿姨还想买一条裤子，原价180元，现价多少钱？（用比例知识解答） 【答案】135元 【分析】用比例解决问题只要等号两边的比统一即可，设裤子现价x元钱，根据裤子原价∶裤子现价＝上衣原价∶上衣现价，列出比例解答即可。 【解答】解：设裤子现价x元钱。 180∶x＝400∶300 400x＝180×300 400x÷400＝54000÷400 x＝135 答：裤子现价135元钱。 【易错专练5】学校购进一批粉笔，白粉笔与彩色粉笔的数量之比是3∶1。开学后平均每周用去36盒白粉笔和8盒彩色粉笔，用了几周后，白粉笔已用完，还剩下36盒彩色粉笔。学校购进彩色粉笔多少盒？ 【答案】108盒 【分析】由题意可知，设用了周后，白粉笔已用完，还剩下36盒彩色粉笔。根据等量关系式：，据此列比例求解可得周数，再用周数乘8加上36即可。 【解答】解：设用了周后，白粉笔已用完，还剩下36盒彩色粉笔。 （盒） 答：学校购进彩色粉笔108盒。 易错点5：没有理解比例尺的意义或解决问题错误。 【易错专练1】在一幅比例尺是1∶5000000的地图上量得甲乙两地相距3cm，在另一幅地图上量得甲乙两地的距离为7.5cm，则这幅地图的比例尺为（ ）。 【答案】1∶2000000/ 【分析】图上距离∶实际距离＝比例尺；实际距离＝图上距离÷比例尺。在两幅地图中，甲乙两地的实际距离不会变。先求出甲乙两地的实际距离，再与另一幅地图的图上距离求比例尺。 【解答】甲乙两地的实际距离： 3÷＝3×5000000＝15000000（厘米） 另一幅地图的比例尺＝7.5∶15000000＝1∶2000000 【易错专练2】在比例尺是1∶10000000的地图上量得甲、乙两地间的铁路长7厘米。有两列火车分别从甲、乙两地同时相对开出，已知一辆火车平均每小时行驶160千米，另一辆火车平均每小时行驶140千米，大约经过多少小时两车还差100千米相遇？ 【答案】2 小时 【分析】先根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出甲、乙两地的实际铁路长度，注意将单位换算成千米。两车共同行驶的路程等于实际距离减去100千米。再根据“时间＝路程÷速度和”解决。 【解答】（厘米） 70000000厘米＝700千米 （700－100）÷（160＋140） ＝600÷300 ＝2（小时） 答：大约经过2小时两车还差100千米相遇。 【易错专练3】某村规划了一个特色农业产业园区，规划图的比例尺是1∶3000，图上有一块长方形有机蔬菜种植区，长12厘米，宽8厘米，该有机蔬菜种植区实际面积是多少平方米？ 【答案】86400平方米 【分析】根据“比例尺＝”可得，实际距离＝图上距离÷比例尺。先分别求出实际的长和宽，需先将单位从厘米换算成米，再根据长方形面积公式计算实际面积。 【解答】实际长：12÷ ＝12×3000 ＝36000（厘米） ＝360（米） 实际宽：8÷ ＝8×3000 ＝24000（厘米） ＝240（米） 实际面积：360×240＝86400（平方米） 答：该有机蔬菜种植区实际面积是86400平方米。 【易错专练4】零件实际长度：在比例尺是50∶1的图纸上，量得一个零件的长度是15厘米，这个零件的实际长度是多少毫米？ 【答案】3毫米 【分析】已知零件的图上尺寸和图纸的比例尺，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”以及进率“1厘米＝10毫米”，求出这个零件的实际长度。 【解答】15÷ ＝15÷50 ＝0.3（厘米） 0.3厘米＝3毫米 答：这个零件的实际长度是3毫米。 【易错专练5】在同一幅地图上，量得甲、乙两地的距离是15厘米、甲、丙两地的距离是20厘米，如果甲、乙两地的实际距离是1200千米，那么甲、丙两地的实际距离是多少？ 【答案】1600千米 【分析】根据图上距离∶实际距离＝比例尺，先通过甲、乙两地的图上和实际距离求出比例尺，再根据实际距离＝图上距离÷比例尺，换算出甲、丙两地的实际距离。 【解答】15厘米∶1200千米 ＝15厘米∶120000000厘米 ＝（15÷15）∶（120000000÷15） ＝1∶8000000 20÷＝20×8000000＝160000000（厘米） 160000000厘米＝1600千米 答：甲、丙两地的实际距离是1600千米。 易错点6：图形的放大与缩小概念混淆。 【易错专练1】边长5厘米的正方形按4∶1放大，则正方形边长为（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 【答案】20 400 【分析】图形放大与缩小前后形状不变。根据图形放大的比例，用原边长乘放大的倍数，求出放大后的边长。再利用正方形面积＝边长×边长，计算放大后正方形的面积。 【解答】放大后的边长：5×4＝20（厘米） 放大后的面积：20×20＝400（平方厘米） 【易错专练2】如下图，涂色的小平行四边形按（ ）∶（ ）放大后是大平行四边形。如果小平行四边形面积是5平方厘米，那么空白部分面积是（ ）平方厘米。 【答案】3 1 40 【分析】把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1。图形放大后，对应边长的比相等，周长的比相等，前后项平方以后的比是面积比，将比的前后项看成份数，小平行四边形的面积÷对应份数＝一份数，一份数×大平行四边形的对应份数＝大平行四边形面积，大平行四边形面积－小平行四边形面积＝空白部分面积。 【解答】小平行四边形底是1，大平行四边形底是3，因此涂色的小平行四边形按3∶1放大后是大平行四边形。 面积比：∶＝9∶1 空白部分面积：5÷1×9－5 ＝45－5 ＝40（平方厘米） 【易错专练3】先按2∶1画出平行四边形放大后的图形；再按1∶3画出梯形缩小后的图形。 【答案】见详解 【分析】把平行四边形的底和高分别扩大到原来的2倍，画出放大后的图；把梯形的上下底和高分别缩小到原来的，画出缩小后的图形即可。 【解答】扩大后的底：3×2＝6 扩大后的高：2×2＝4 缩小后的上底：6÷3＝2 缩小后的下底：3÷3＝1 缩小后的高：3÷3＝1 画图如下： 【易错专练4】（1）画出△ABC按1∶2变化后的图形，得到图形②。   （2）将△ABC向右平移3格，得到图形③。 【答案】见详解 【分析】（1）△ABC的AB是6格，高是4格；按1∶2变化，就是将三角形的三条边都缩小到原来的，用AB的长除以2当做底，高除以2当做新的高，据此画图即可。 （2）把△ABC的三个顶点都向右平移3格后，连接3个顶点，即可画出图形③。 【解答】（1）AB是6格，高是4格； （格） （格） 画底3格，高2格的三角形，形状与原来一致。 （2）根据分析，向右平移3格后的图形如下图所示。 【易错专练5】在方格纸上，按要求画出图形。 （1）把梯形的各边放大到原来的2倍。 （2）把长方形的各边缩小到原来的。 【答案】见详解 【分析】（1）把梯形的各边放大到原来的2倍，就是把原梯形的上底、下底和高分别扩大到原来的2倍，原梯形的底和高分别是2格、4格和2格，扩大后的梯形的底和高分别是4格、8格和4格； （2）把长方形的各边缩小到原来的，就是把长方形的长和宽都缩小到原来的，原长方形的长和宽分别是8格和4格，缩小后的长方形的长和宽分别是2格和1格。 【解答】根据分析，画图如下： 专题五数学广角—鸽巢问题 易错点1：区分不清“鸽巢问题"中的限制条件,导致判断错误。 【易错专练1】某校的学生中最小的是6岁，最大的年龄是13岁，从这个学校中至少任选（ ）名同学，就一定有2名同学的年龄相同。 【答案】9 【分析】根据最不利原则，假设从6－13岁每个年龄选择1名同学，需要选择8名，再选择1名学生就一定有2名同学的年龄相同。 【解答】13－6＋1＝8（名） 8＋1＝9（名） 从这个学校中至少任选（9）名同学，就一定有2名同学的年龄相同。 【易错专练2】六（1）班有27名男生和24名女生，他们中至少有（ ）人的生日在同一个月。 【答案】5 【分析】先用男生人数加女生人数求出班级总人数，一年有12个月，再用总人数除以12个月，得到商和余数；用商加1，就是至少有多少人的生日在同一个月。 【解答】27＋24＝51（人） 51÷12＝4（人）……3（人） 4＋1＝5（人） 【易错专练3】一个布袋中有2个黄球、3个白球、5个红球。如果每次从布袋中取出一个球，至少摸出（ ）个球才能保证摸到2个同色球。 【答案】4 【分析】总共有3种颜色的球，假设前面取的3个球颜色都不相同，那么再取1个球，不管这个球是哪种颜色，都会和前面3个球中的一个球颜色相同，这样就有2个同色球。 【解答】3＋1＝4（个） 所以，至少摸出4个球才能保证摸到2个同色球。 【易错专练4】从8个抽屉里拿出17颗糖果，无论怎么拿，总要从一个抽屉里至少拿出（ ）颗糖果。 【答案】3 【分析】把17颗糖果尽可能平均分到8个抽屉里，计算（颗）（颗），得出每个抽屉拿出2颗糖果，还要再拿1颗糖果。剩下的1颗糖果不管从哪个抽屉拿，这个抽屉拿糖果的数量就会变成（颗），因此总要从一个抽屉里至少拿出3颗糖果，据此解答。 【解答】（颗）（颗） （颗） 所以，从8个抽屉里拿出17颗糖果，无论怎么拿，总要从一个抽屉里至少拿出3颗糖果。 【易错专练5】在一次体育课上，10名学生进行投篮练习，他们一共投进了61个球，他们中总有一名学生至少投进了（ ）个球。 【答案】7 【分析】根据题意，先假设10名学生投进的球数尽可能平均，用总投进球数÷学生人数，得到平均每人投进的数量和剩余的球数，剩余的球需要分给其中一名学生，所以至少有一名学生投进的数量是平均数加1，据此解答。 【解答】61÷10＝6（个）……1（个） 6＋1＝7（个） 综上所述可得，他们中总有一名学生至少投进了7个球。 易错点2：对“鸽巢原理（二）”理解错误。【如果把多余kn个的物体任意放 进n个鸽巢里（k和n时非零自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了（k+1） 个物体。】 【易错专练1】汽车站的广场上有30辆客车，这些客车的座位最少38个，最多是50个，那么这些客车中至少有（ ）辆客车的座位数是相同的。 【答案】3 【分析】座位数最少38个，最多50个，因此共有50－38＋1＝13种不同的座位数；把这13种情况当作抽屉，30辆客车当作元素，30÷13＝2⋯⋯4，即平均每个抽屉放2个后还剩4个，所以至少有2＋1＝3辆客车的座位数是相同的。 【解答】50－38＋1 ＝12＋1 ＝13（种） 30÷13＝2……4 2＋1＝3（辆） 因此，这些客车中至少有3辆客车的座位数是相同的。 【易错专练2】据统计，某边境城市2023年出生的儿童共有370人，那么这一年出生的儿童至少有（ ）个人是同一天出生的。 【答案】2 【分析】首先判断出2023年是平年，一年共有365天，再根据鸽巢原理，将370名儿童分配到2023年的总天数中，如果每天最多有1名儿童，则最多容纳365×1＝365名，但实际有370名，超出5名，这5名儿童必须分配到已有的365天中，据此解答。 【解答】2023÷4＝505……3，2023年是平年，所以有365天。 370÷365＝1（人）……5（人） 1＋1＝2（人） 因此这一年出生的儿童至少有2个人是同一天出生的。 【易错专练3】有一捧鲜花要插入一些花瓶，发现不管怎么插，总有一个花瓶至少可以插8枝鲜花。那么，如果鲜花有39枝，花瓶应该有（ ）个。 【答案】5 【分析】根据题意可知，先将每瓶都插（8－1）枝，用39÷（8－1）即可求出有多少个瓶子，余数是剩余的枝数，任意放到其中一个瓶子，都能保证总有一个花瓶至少有8枝。 【解答】39÷（8－1） ＝39÷7 ＝5（个）……4（枝） 如果鲜花有39枝，花瓶应该有5个。 【易错专练4】实验小学篮球队同学去借篮球，向管理员借30个，管理员说：“你们一次都拿走的话，一定会有一个人至少要拿4个。”篮球队最多有（ ）名队员。 【答案】9 【分析】一定有一个人至少拿4个，那么其他人至少少拿1个，也就是每人拿3个；当每个人拿3个时，10个人刚好拿完30个球，不存在一定有一个人需要多拿，则人数应该比10个人少，据此解答即可。 【解答】当篮球队有10名队员时，30÷10＝ 3（个），此时每个队员拿3个可一次抱走； 当篮球队有9名队员时，30÷ 9＝3（个）……3（个），此时需要有队员拿3＋1＝4（个）可一次抱走； 所以篮球队最多有9名队员。 【易错专练5】六年级有22名同学进行投篮训练，每人投3次。投中一次得1分，未投中得0分。至少有几名同学的成绩相同？ 【答案】6名 【分析】每人投3次，投中一次得1分，未投中得0分，可能得分有四种情况：①三次都投中，计1＋1＋1＝3分；②两次投中，一次不投中：计1＋1＋0＝2分；③一次投中，两次不投中：计1＋0＋0＝1分；④三次都不投中，计0分；现在有22名同学，相当于22个“元素”要放进这4个“抽屉”里，用22除以4，得到22÷4＝5……2，这意味着平均每个“抽屉”放5个“元素”后，还剩下2个“元素”。根据抽屉原理，剩下的这2个“元素”无论放到哪个“抽屉”里，都会使得至少有一个“抽屉”里有5＋1＝6个“元素”，也就是至少有6名同学的成绩相同。 【解答】得分可能为3分、2分、1分、0分，共4种情况。 22÷4＝5（名）……2（名） 5＋1＝6（名） 答：至少有6名同学的成绩相同。 易错点3：最不利情况考虑不全。 【易错专练1】38名学生进行答题游戏，每人答2道题，规定答对一题得2分，不答不得分，答错扣1分，则至少有几名学生的成绩相同？ 【答案】7名 【分析】抽屉原理：m÷n＝a……b（m＞n＞1），把m个物体放进n个抽屉里，不管怎么放总有一个抽屉至少放进（a＋1）个物体。2道题全答对可得2×2＝4（分）；1道题答对，另1道题不答，可得2×1＝2（分）；1道题答对，另1道题答错，可得2×1－1×1＝1（分）；2道题全不答可得0分；1道题不答，另1道题答错可得﹣1分；2道题全答错可得﹣2分。即物体数是38，抽屉数为6。 【解答】38÷6＝6（名）……2（名） 6＋1＝7（名） 答：至少有7名学生的成绩相同。 【点睛】解决抽屉原理问题，要分清“要放的物体数和抽屉数”。 【易错专练2】一个不透明的袋子里装有除颜色外其他都相同的红色帽子和黑色帽子各6顶，闭着眼睛摸，至少摸出几顶帽子才能保证有2种颜色的帽子？ 【答案】7顶 【分析】这是典型的 “抽屉原理” 问题，我们用最不利原则来分析： 最倒霉的情况，先把一种颜色的帽子全部摸完。 袋子里每种颜色各有6顶，假设先摸出的全是红色（或全是黑色），共6顶。 保证有两种颜色：此时再摸1顶，必然是另一种颜色。 因此，至少需要摸顶，才能保证有2种颜色的帽子。 【解答】（顶） 答：至少摸出7顶帽子才能保证有2种颜色的帽子。 【易错专练3】把37名志愿者最多安排到几个社区，才能保证至少有1个社区里安排了5名志愿者？ 【答案】9个 【分析】根据题意可知，如果每个社区都安排4名志愿者，则有，则最多安排9个社区，必有一个社区里安排了5名志愿者，据此解答即可。 【解答】 答：把37名志愿者最多安排到9个社区，才能保证至少有1个社区里安排了5名志愿者。 【易错专练4】有5种颜色的袜子各10只混装在纸箱内，从纸箱中至少取出多少只，能保证有3双袜子？ 【答案】10只 【分析】假设运气最差的情况，先取的5只袜子颜色都不一样，再取出1只就能配成一双；再从纸箱中取1只和刚取走的那只颜色一样，又配齐5种颜色，再取一只又能配成一双；继续从纸箱续取1只和刚取走的那只颜色一样，又配齐5种颜色，再取一只又能配成一双；这样就配成了3双袜子。 【解答】5＋1＋1＋1＋1＋1＝10（只） 答：从纸箱中至少取出10只，能保证有3双袜子。 【点睛】本题是鸽巢问题（抽屉问题），采用最不利原则（运气最差原则）来解题。 【易错专练5】把104粒花生分给15只小猴，每只小猴都要分到花生，那么至少有两只小猴分得的花生一样多，为什么？ 【答案】见详解 【分析】考虑最不利原则，假设前13只小猴分得的花生各不相同，从1一直加到13为91粒，还剩下2只小猴子分13粒花生，不管怎么分，至少有2只小猴分得的花生一样多。 【解答】假设前13只小猴分得的花生各不相同，共有： 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13 ＝（1＋13）×13÷2 ＝14×13÷2 ＝91（粒） 还剩下花生：104－91＝13（粒） 还有小猴：15－13＝2（只） 不管怎么分，至少有2只小猴分得的花生一样多。 答：至少有2只小猴分得的花生一样多，因为前13只小猴分得的花生各不相同后，剩下的2只小猴不管怎么分剩下的13粒花生，分得的花生粒数都只能是1～12粒，这样至少有2只小猴分得的花生一样多。 【点睛】本题考查鸽巢问题，采用最不利原则进行分析是解题的关键。 易错点4：逆向思考问题。 【易错专练1】“六一”儿童节，学校布置会场，小芳帮忙往6个花瓶里插花，无论她怎么插至少都有一个花瓶里有9枝鲜花。学校至少准备了多少枝鲜花？ 【答案】49枝 【分析】根据题意，要保证至少有一个花瓶里有9枝鲜花，最不利的情况是6个花瓶里都插了8枝鲜花，此时再向任意一个花瓶里插入1枝花， 就可以保证无论她怎么插至少都有一个花瓶里有9枝鲜花，据此解答。 【解答】（枝） 答：学校至少准备了49枝鲜花。 【易错专练2】育才小学共有18个班，学校要买多少个排球，才能保证有一个班至少能分到3个排球？ 【答案】37个 【分析】把18个班看作是18个抽屉，排球的总数看作元素，考虑最差情况：把这些元素平均分配在18个抽屉里，每个抽屉要有2个排球，然后还要保证剩下1个球，那么剩下的1个排球无论放到哪个抽屉都会出现3个排球在同一个抽屉里。也就是才能保证有一个班至少能分到3个排球。据此解答。 【解答】18×（3－1）＋1 ＝18×2＋1 ＝36＋1 ＝37（个） 答：学校要买37个排球，才能保证有一个班至少能分到3个排球。 【点睛】此题属于抽屉原理的逆推，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可。 【易错专练3】高老头让儿子小高去买馒头，分给高家庄上下老小40口人，请问小高至少要买多少个馒头，才能保证总有人至少能够分到5个馒头？ 【答案】161个 【分析】最坏的情况就是每人都先拿4个馒头，此时，只需要再拿1个，就一定会有人分到5个馒头。 【解答】40×（5－1）＋1 ＝160＋1 ＝161（个） 答：小高至少要买161个馒头，才能保证总有人至少能够分到5个馒头。 【点睛】本题考查抽屉原理，先按每人都先拿4个馒头进行计算是解决本题的关键。 【易错专练4】元旦时老师给表现最好的12个小朋友送贺卡，其中收到贺卡最多的小朋友至少收到5张贺卡，那么老师至少要准备多少张贺卡？ 【答案】49张 【分析】此题中求至少要准备多少件礼物，即为“最不利原则”问题。收到最多贺卡的小朋友即“抽屉王”收到5张贺卡，则其他小朋友应收到：5－1＝4（张），根据抽屉原理：4×12＝48（张），再加上“抽屉王”多出的1张贺卡，则至少准备：48＋1＝49（张），所以老师至少准备49张贺卡。 【解答】5－1＝4（张） 4×12＝48（张） 48＋1＝49（张） 答：老师至少要准备49张贺卡。 【点睛】根据抽屉原理中的“最不利原则”进行分析是完成本题的关键。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级数学下册期末复习常考易错知识点专题突破 常考易错知识点专题突破 2025-2026学年六年级下册数学 （五大专题26个易错点） 目录 专题一负数 3 易错点1：负数的读写错误​ 3 易错点2：在数轴上表示点数时错误。 4 易错点3：正负数的大小比较错误 5 易错点4：计算时忽略负号或掌握不清楚导致计算错误 6 易错点5：实际问题中负数意义的理解应用错误 7 专题二百分数（二） 9 易错点1：解决打折问题时,分不清原价、现价、折扣之间的关系。 9 易错点2：求“增产/增产了”与“增产到”混淆 。 10 易错点3：对应纳税额的意义理解不透彻,导致判断错误。 11 易错点4：计算可取回的钱时,把多取回的钱（利息）和可取回的钱（本金+利息）混淆。 13 易错点5：解决“满减”或价格比较问题时，单位“1”不统一。 14 专题三圆柱和圆锥 16 易错点1：对圆柱的展开图认识错误。 16 易错点2：在解决与圆柱表面积相关的实际问题时,不能根据实际情况具体分析。 18 易错点3：对圆柱的体积公式理解不透彻，导致判断错误。 19 易错点4：圆锥的特征认识错误。 21 易错点5：圆柱和圆锥体积关系理解不透彻。 22 易错点6：在解决问题的过程中,易忘记统一单位，从而造成错解。 24 易错点7：切拼问题中对增加或减少问题考虑不全面。 25 专题四比例 27 易错点1：没有正确理解比例的意义。 27 易错点2：对比例的基本性质理解不透彻，或解比例错误。 28 易错点3：正比例、反比例判断错误。 29 易错点4：用比例解决问题时设未知数错误。 30 易错点5：没有理解比例尺的意义或解决问题错误。 31 易错点6：图形的放大与缩小概念混淆。 32 专题五数学广角—鸽巢问题 34 易错点1：区分不清“鸽巢问题"中的限制条件,导致判断错误。 34 易错点2：对“鸽巢原理（二）”理解错误。【如果把多余kn个的物体任意放进n个鸽巢里（k和n时非零自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了（k+1）个物体。】 36 易错点3：最不利情况考虑不全。 36 易错点4：逆向思考问题。 38 专题一负数 易错点1：负数的读写错误​ 【易错专练1】﹣3.14读作负三点十四。（ ） 【易错专练2】﹢103读作：一百零三。（ ） 【易错专练3】﹢16读作（ ），﹣5读作（ ）。 【易错专练4】填一填。 冬至既是二十四节气中一个重要的节气，也是中国民间的传统节日。在中国部分地区，每年冬至有吃饺子的习俗。某年冬至，南昌的最高气温为零上7℃，最低气温为零下2℃。 零上7℃可以表示为（ ），读作（ ）；零下2℃可以表示为（ ），读作（ ）。 【易错专练5】﹢0.325读作（ ），负五分之二写作（ ）。 易错点2：在数轴上表示点数时错误。 【易错专练1】填一填。 【易错专练2】写出点A、B、C、D表示的数。 【易错专练3】做一做。 写出点A、B、C、D、E表示的数。 【易错专练4】在直线上表示下列各数。 ﹣3.5    3    1        5   ﹣5 （ ）     （ ）        （ ）       （ ）       （ ）       （ ） 【易错专练5】在方框里填上合适的数。 ①号方框填负数（ ），②号方框填小数（ ），③号方框填分数（ ）。 易错点3：正负数的大小比较错误 【易错专练1】在带箭头的直线上，在的（    ）边。 A．左 B．右 C．无法确定 【易错专练2】在数轴上，﹣2.5位于﹣3的（ ）边（填“左”或“右”）。 【易错专练3】在（    ）填上“＞”“＜”或“＝”。 （ ）      （ ）          （ ）      （ ） 【易错专练4】把、7.5、0、、这五个数按从小到大的顺序排列。 （ ）（ ）（ ）（ ）（ ） 【易错专练5】某年12月份我国几个城市的平均气温如下表。 城市 北京 厦门 哈尔滨 南京 平均气温 ﹣3 14 ﹣13 6 把这四个城市12月份的平均气温按从高到低的顺序排列。 易错点4：计算时忽略负号或掌握不清楚导致计算错误 【易错专练1】五（2）班一次数学单元检测的平均分是80分，如果把高于平均分部分的分数记作正数，低于平均分部分的分数记作负数，王明得了92分应记作（ ）分，陈红得分被记作“﹣5分”，她实际得了（ ）分。 【易错专练2】如果把平均成绩记为0分，﹢9分表示比平均成绩（ ），﹣18分表示比平均成绩（ ），比平均成绩低2分记为（ ）。 【易错专练3】在一次体检中，全班同学的平均体重是32kg，如果把平均体重记作0kg，超过平均体重的记作正数，低于的记作负数。辰辰体重37kg应记作（ ）kg；娅娅体重记作﹣3kg，她的实际体重是（ ）kg。 【易错专练4】一栋大楼有20层，地面以下有4层，如果地面以上第3层记作﹢3层，那么地面以上第6层记作（ ）层，地面以下第2层记作（ ）层。 【易错专练5】学校体育老师对六年级女生进行跳绳测试。如果以每分钟66个为合格，小红每分钟跳76个，记作﹢10个。小李跳了60个，她的成绩记作（ ）个。 易错点5：实际问题中负数意义的理解应用错误 【易错专练1】定州某天天气晴，气温﹣5℃~8℃，最大温差是（ ）；受冷空气影响，第二天华北等地有西北风5－6级，气温将下降5℃，预计定州第二天最低气温将达（ ）℃。 【易错专练2】一艘潜艇在海平面以下300米处，记作﹣300米。一条鲨鱼在潜艇上方100米处。如果潜艇下潜100米，鲨鱼上游50米。此时，潜艇和鲨鱼相距（ ）米。 【易错专练3】某仓库周一到周五的货物进出记录如下（﹢表示进库，﹣表示出库，单位：吨）：﹢8，﹣3，﹢5，﹣6，﹢4 （1）周一结束后，仓库货物比原来多了还是少了？多（少）多少吨？ （2）周五结束时，仓库共有货物20吨，求仓库原有的货物吨数。 【易错专练4】小王在网店上销售文旦，计划每天销售100千克，但实际每天销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，如表是小王第一周文旦的销售情况：（文旦是一种水果） 星期 一 二 三 四 五 六 日 文旦销售超过或不足计划量情况 （单位：千克） ﹢3 ﹣5 ﹣2 ﹢11 ﹣7 ﹢13 ﹢5 （1）小王第一周销售文旦最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ （2）小王第一周实际销售文旦的总量是多少千克？ （3）若文旦售价为8元/千克，包装及快递费为3元/千克，则小王这一周文旦销售收入共多少元？ 【易错专练5】一辆公共汽车从起点站（火车站）开出，下面是它经过几个停靠站时车上乘客数量的记录表。（上车人数记为正，下车人数记为负） 车站名 火车站 A站 B站 C站 D站 F站 上车人数 ﹢16 ﹢10 ﹢6 ﹢5 0 ﹢1 下车人数 / ﹣3 0 ﹣4 ﹣3 ﹣5 （1）从火车站到F站中，（    ）站没人上车，（    ）站没人下车。 （2）这辆公共汽车从B站开出时，车上有（    ）名乘客；从F站开出时，车上有（    ）名乘客。 （3）如果从起点站（火车站）到F站，所有乘客的票价统一为2元。那么公共汽车从F站开出时，已经收入多少钱？ 专题二百分数（二） 易错点1：解决打折问题时,分不清原价、现价、折扣之间的关系。 【易错专练1】一台电视机原价1200元，现在商场打九折出售。这台电视机比原价便宜多少元？ 【易错专练2】一件衣服进价50元，打算以60%的利润定价，卖出一部分后打七折促销，最终总利润为原定利润的88%。请问该衣服在卖出总量的百分之多少后开始打折？ 【易错专练3】一种商品，按成本价提高30%后出售。元旦期间又打八折出售，打折后每件商品卖104元。元旦期间卖一件这种商品是赚了还是赔了？若赔了，赔多少元？若赚了，赚多少元？ 【易错专练4】网上一家店铺新品上新期间有预售活动。笑笑买一件衣服，在预售期间支付了定金，付尾款阶段又支付了170元。笑笑购买这件衣服相当于打了几折？ 【易错专练5】“6月18日”某商场搞打折促销活动，肖欢爸爸在该商场买了一部相机，原价4000元，现价3600元，这部相机打了几折？如果该商场所有电子产品的折扣都相同，爸爸想买一台标价6000元的笔记本电脑，与没有折扣相比能便宜多少钱？ 易错点2：求“增产/增产了”与“增产到”混淆 。 【易错专练1】蚌埠固镇县深入贯彻落实乡村振兴战略，鼓励农户种植蔬菜。该县某个蔬菜基地今年生产了2.4万吨蔬菜，比去年增产了二成。去年这个蔬菜基地的产量是多少万吨？ 【易错专练2】红红家今年收玉米18400千克，比去年多收2400千克，今年的玉米产量比去年增加几成？ 【易错专练3】广东省某县2017年共产粮5.8万吨，2018年更是大丰收，比2017年增产四成，2018年收获粮食多少万吨？ 【易错专练4】果园今年收获48吨苹果，比去年增产了二成，去年收获多少吨苹果？ 【易错专练5】漳州平和县的蜜柚已有500多年的栽培历史，它味道酸甜，含有丰富的维生素C及大量其他招牌营养素。家住平和的张大伯，去年销售蜜柚8000千克，今年比去年增加二成五，今年销售蜜柚多少千克？ 易错点3：对应纳税额的意义理解不透彻,导致判断错误。 【易错专练1】强强爸爸今年3月份的工资为5500元，按照个人所得税法规定，每月个人收入超过5000元的部分，应按照3%的税率征收个人所得税。强强爸爸这个月的税后工资是多少元？ 【易错专练2】李叔叔开了一家商店，按应纳税部分的3%缴纳增值税。某月李叔叔缴纳税款约1800元，李叔叔这个月的营业额中应纳税的部分约是多少元？ 【易错专练3】王刚家购买了一套商品房，要按标价的1.5%缴纳契税，一共支付了81.2万元。这套商品房的标价为多少万元？ 【易错专练4】餐饮业需按营业额的5%缴纳营业税，一家饭店5月份缴纳了1.1万元的营业税，这家饭店5月份的营业额是多少万元？ 【易错专练5】规定：公民每年工资（薪金）所得未超过60000元的部分不纳税，超过60000元的部分为本年应纳税所得额，此项纳税按下表累计进行计算。 全年应纳税所得额 税率 不超过36000元的部分 3% 超过36000元至144000元的部分 10% 超过144000至300000元部分 20% … … （1）王叔叔去年工资收入为78000元，应缴纳税款多少元？ （2）陈叔叔去年缴纳税款2500元，那么他去年工资收入为多少元？ 易错点4：计算可取回的钱时,把多取回的钱（利息）和可取回的钱（本金+利息）混淆。 【易错专练1】李强2019年2月在银行里存了4000元钱，定期3年，年利率是5%。到期后，他从银行取出利息，连同本金再一次存入银行，定期1年，年利率是2.75%。再次到期后他一共能取出多少元钱？ 【易错专练2】只列算式或方程，不计算。 王大爷把3000元钱存入银行，定期二年，年利率为1.15%，到期时可取回多少元？ 【易错专练3】2020年12月明明的爸爸将45000元人民币存入银行，整存整取定期五年，年利率为2.75%。到期时他想利用利息为明明买台电脑够吗？ 【易错专练4】诚诚爸爸五年前在银行里存入了5000元人民币，整存整取5年，年利率为4.00%。现在，他想用这笔钱为家里购置一台电脑，诚诚家相中的电脑售价6100元，购买时有返现折扣150元。在只花这笔钱的情况下，能买下吗？请你计算说明。 【易错专练5】妈妈有1万元，有两种理财方式：一种是买三年期国债，年利率3.35%；另一种是买银行一年期理财产品，预期年收益率3.6%，每年到期后可连本带息继续购买下一年的理财产品。如果理财产品的预期年收益率能够实现，3年后，两种理财方式的收益相差多少？ 易错点5：解决“满减”或价格比较问题时，单位“1”不统一。 【易错专练1】新能源汽车享受国家政策支持，购买时可以优惠。李叔叔准备买一辆新能源汽车，某款新能源汽车的指导价格是18万元，甲汽车销售店给出了七五折优惠，乙汽车销售店10万元以上部分可以打七折。李叔叔到哪家汽车销售店买这款新能源汽车比较合算？ 【易错专练2】学校要买60个乒乓球拍，每个售价50元，现有三个商场优惠如下。 甲商场：每买10个赠送2个。 乙商场：每个球拍优惠10元。 丙商场：购物每满200元，返现金30元。 在哪个商场购买最省钱？ 【易错专练3】某学校要购买33张办公桌，现有甲、乙、丙三家商场可以选择。每家商场办公桌的规格和质量相同，价格都是500元/张。你认为选择哪家商场最合算？最少需要多少钱？ 甲商场：每购买10张办公桌免费赠送1张办公桌，不足10张不赠送。 乙商场：买30张以上（含30张），每张办公桌优惠60元，没有赠送。 丙商场：打八五折销售。 【易错专练4】保洁组的同学要购买60个单价为55元的海绵拖把。下面是三家商店给出的优惠方案： 金百汇商厦每满1000元，返还现金120元 华联商厦 一律八五折 小芳超市 买五送一 请算出每家商店购买各需要多少钱，并比较哪家商店更划算？ 【易错专练5】为回馈广大顾客对长丰草莓的喜爱，又恰逢年终大促，某商城推出了三种优惠促销活动。杨叔叔打算购进4箱单价为80元的草莓，选择哪种活动购买更优惠？请通过计算说明。 活动一：预售，预付49元可抵100元消费，不可叠加使用； 活动二：直接购买可享受七折优惠； 活动三：买3箱送1箱。 专题三圆柱和圆锥 易错点1：对圆柱的展开图认识错误。 【易错专练1】请在下边格子图中画出下面圆柱的侧面展开图。并标出对应的数量。 【易错专练2】乐乐和园园分别在纸上画了几个笔筒沿高剪开的侧面展开示意图，其中正确的是( )。（填序号） 【易错专练3】一块长方形铁皮（如下图），利用图中阴影部分刚好能做成一个圆柱形的带盖水桶（接头处和厚度均忽略不计）。按要求完成下面各题。 (1)这个水桶的底面直径是( )dm，高是( )dm。 (2)这个水桶的底面周长是( )dm。 【易错专练4】用如图的长方形和圆形铁皮搭配，制作一个无盖的圆柱形桶，可搭配的是（    ）。（单位：dm） A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【易错专练5】小丽想用卡纸制作一个无盖的圆柱形笔筒，并且笔筒的高大于或等于8厘米。她用下面的长方形卡纸做圆柱的侧面和底面，她已经在方格纸上画出了笔筒的底面，请你画出侧面，并计算做这个无盖笔筒一共用了多少平方厘米卡纸？（画出一种即可，粘合处忽略不计，每个小正方形边长1厘米，取3） 易错点2：在解决与圆柱表面积相关的实际问题时,不能根据实际情况具体分析。 【易错专练1】一个圆柱形油漆桶，高是6dm，底面直径是高的。做这个油漆桶至少需要铁皮多少平方分米？（得数保留整数） 【易错专练2】一个用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，长10米，横截面是半径为2米的半圆形，覆盖这个大棚至少需要塑料薄膜多少平方米？（π取3.14） 【易错专练3】一种圆柱形无盖铁皮水桶的高2.5分米，底面直径是4分米。做这样的一只水桶至少要用铁皮多少平方分米？（得数保留整十平方分米） 【易错专练4】月饼象征着团圆，可以近似看作圆柱，切掉后，剩下的月饼表面积是多少？ 【易错专练5】灯笼厂接到一批订单，需要制作如图这种圆柱形灯笼，上、下底面的中间分别留出了78.5平方厘米的圆孔，做一个灯笼至少需要准备多少平方厘米的彩纸？ 易错点3：对圆柱的体积公式理解不透彻，导致判断错误。 【易错专练1】一块正方体木材的棱长是4分米，这块木材的表面积是( )平方分米，把它切成一个最大的圆柱，圆柱的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 【易错专练2】在一个圆柱形的水桶里，垂直放入一段半径是2cm的圆钢，如果把它完全放入水中，桶里的水就上升10cm，如果把水中的圆钢露出水面6cm，那么这时桶里的水就下降3cm。这根圆钢的高是( )cm，体积是( )cm3。 【易错专练3】一个圆柱形大花坛的底面内直径为20m，高为0.8m。如果花坛里面填入沙土的高度为0.5m，那么花坛中填入沙土多少立方米？ 【易错专练4】在一次科学实验课上，老师准备了一个高25厘米，底面积是50平方厘米的圆柱形容器，里面装了一部分水，水面高度为8厘米（见图1）。同学们为了模拟物体排开液体的实验，往容器里放入了体积相等的小玻璃球，水面上升到了22厘米（见图2）。之后，同学们又从容器中取出了一些小玻璃球，水面下降到了16厘米（见图3）。 (1)放入容器的小玻璃球的体积一共是多少立方厘米？ (2)取出的小玻璃球的体积相当于多少毫升水？ 【易错专练5】一个底面周长为28.26厘米的圆柱，斜着截去这个圆柱的一半（如图），剩余部分的体积是多少立方厘米？ 易错点4：圆锥的特征认识错误。 【易错专练1】按照图（    ）的截法，截出的截面如图所示。 A． B． C． D． 【易错专练2】将一个圆锥沿着它的高平均切成两半（如下图），截面是一个（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．等腰三角形 【易错专练3】下面各图中，以直线为轴旋转，可以得到圆锥的是（    ）。 A． B． C． D． 【易错专练4】如下图所示的是一个圆锥，这个圆锥的高是( )cm，底面半径是( )cm，底面周长是( )cm，底面积是( )。 【易错专练5】如图，一个圆锥的高是3cm，沿着它的高平均切成两部分，表面积就增加12cm2，原来圆锥的底面直径( )cm。 易错点5：圆柱和圆锥体积关系理解不透彻。 【易错专练1】一个圆柱的体积比与它等底等高的圆锥的体积多，圆柱的体积是( )，圆锥的体积是( )。 【易错专练2】把一个圆柱削成最大的圆锥后，圆锥体积比圆柱体积少24π立方分米。如果圆锥的底面半径是3分米，圆柱的高是( )分米。 【易错专练3】一个正方体一个面的面积是36平方厘米，把这个正方体削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是( )立方厘米，和它等底等高的圆柱体积是( )立方厘米。 【易错专练4】在一个高是3dm，底面半径是2dm的圆锥形容器里装满水，再将这些水全部倒入一个圆柱形容器中，刚好装了圆柱形容器的。这个圆柱形容器的容积是多少立方分米？ 【易错专练5】科学组的同学们在做实验，先将两个大小相同的烧杯中，都盛有480毫升的水，再将等底等高的圆柱与圆锥实心零件（材质相同）分别放入两个烧杯中，则甲烧杯水面刻度如图所示。乙烧杯水面刻度显示应是多少毫升？ 易错点6：在解决问题的过程中,易忘记统一单位，从而造成错解。 【易错专练1】一根2m长的圆柱形钢管，其外直径为30cm，内直径为20cm。要制造这根钢管需要多少立方米的钢材？ 【易错专练2】如下图，一个破损的圆柱形木桶从里面量得底面直径是4dm，高是6dm。这个木桶正常放置时最多能盛多少升水？ 【易错专练3】一个圆柱形铁皮水桶（有底无盖）桶身出现破损，师傅从桶身破损处平行于底面截去一个高为10厘米的圆柱（如图所示），剩余部分的水桶容积比原来减少了。往这个水桶中倒入3.14升的水，水深1分米。现在水桶的容积是多少升？ 【易错专练4】一堆圆锥形黄沙，底面周长是25.12米，高是1.5米，将这些沙子铺在一条宽4米厚2.5厘米的小路上，大约能铺几米长？ 【易错专练5】有一堆小麦，其形状近似于一个圆锥，底面直径为4米，高为18分米，将这些小麦装入一个底面半径为4米，高为5米的圆柱形粮仓中，小麦的高为多少米？ 易错点7：切拼问题中对增加或减少问题考虑不全面。 【易错专练1】如下图，把这根圆柱形木料截成三段，表面积增加了942cm2。若原来这根圆柱形木料的体积是0.1413m3，则这根圆柱形木料原来长多少米？ 【易错专练2】如图，把一个直径是20厘米的圆柱从上底面的一条直径开始，沿着圆柱的高向下切，直到把这个圆柱纵向切开，它的表面积就增加了1600平方厘米。原来的这个圆柱的体积是多少立方厘米？ 【易错专练3】一个圆柱高10厘米，截成3段后，表面积增加了50.24平方厘米，求原来圆柱的体积是多少立方厘米？ 【易错专练4】将一个底面直径是26厘米、高是5厘米的圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了多少平方厘米？ 【易错专练5】把一个高15厘米的圆锥，沿着底面直径垂直切开，将圆锥平均分为两份，跟原来比表面积增加了300平方厘米，求这个圆锥的体积是多少？ 专题四比例 易错点1：没有正确理解比例的意义。 【易错专练1】下列选项中的两个比可以组成比例的是（    ）。 A．6∶9和9∶12 B．1∶2和3∶4 C．1.2∶4和1.5∶5 D．和2∶3 【易错专练2】下面能与组成比例的是（    ）。 A．3∶4 B． C．0.9∶1.2 D．12∶9 【易错专练3】下面各组比中，不可以和∶组成比例的是（    ）。 A．18∶15 B．6∶5 C．2.4∶2 D．∶ 【易错专练4】如果5颗星星可换2根棒棒糖，淘气得了15颗星星，可换（ ）根棒棒糖，写成比例是（ ）。 【易错专练5】“一去二三里，烟村四五家。亭台六七座，八九十枝花”是北宋哲学家邵雍所作的一首诗，读来朗朗上口，感受到诗人对大自然的赞美和喜爱之情。请你从诗中选取四个数组成一个你喜欢的比例：（ ）。 易错点2：对比例的基本性质理解不透彻，或解比例错误。 【易错专练1】希望小学课后开展了丰富的社团活动。若参加人工智能科创人数的和参加美术社团人数的同样多，则人工智能科创人数∶美术社团人数＝（    ）。 A．2∶5 B．5∶2 C．2∶7 D．7∶2 【易错专练2】两个非零自然数a、b，若3a＝4b，则a∶b＝（ ）∶（ ）。 【易错专练3】解比例方程。                  【易错专练4】解比例。                    【易错专练5】解比例。 24∶x＝8∶3              ∶0.4＝6∶x               ＝ 易错点3：正比例、反比例判断错误。 【易错专练1】如果（均不为0），那么与（    ）比例关系。 A．成正 B．成反 C．不成 D．不确定 【易错专练2】下列说法不正确的是（    ）。 A．轮船行驶的速度一定，行驶的路程和时间成正比例关系。 B．平行四边形的面积一定，它的底和高成反比例关系。 C．《科普世界》的单价一定，订阅的份数与总价成正比例关系。 D．一本书的总页数一定，未读的页数与已读的页数成反比例关系。 【易错专练3】妈妈的年龄是小明的6倍，则妈妈的年龄和小明的年龄成正比例关系。（ ） 【易错专练4】一辆自行车的前、后齿轮的齿数比是7∶3，如果后齿轮转了28圈，那么前齿轮转了12圈。（ ） 【易错专练5】从学校到博物馆，速度越快，所需时间越短，速度和时间成反比例。（ ） 易错点4：用比例解决问题时设未知数错误。 【易错专练1】法国巴黎的埃菲尔铁塔高度约为320米。北京的世界公园里有一座埃菲尔铁塔模型，它的高度与原塔高度的比是1∶10。这座模型的高度是多少厘米？（用比例解答） 【易错专练2】操场上有一根高耸的旗杆，旗杆旁边有一根3米高的竹竿，上午10时，聪聪量得竹竿的影长是1.2米，这时旗杆的影长是7.2米，求出旗杆的高度。（用比例知识解答） 【易错专练3】粮店原来有一批大米，一月份卖出了80%后，又购进了60袋，这时粮店大米的袋数与原来的袋数比是4∶5，粮店原来有大米多少袋？ 【易错专练4】“衣衣不舍”服装店所有的服装都按同样的折扣销售。李阿姨买了一件上衣，原价是400元，现价300元。李阿姨还想买一条裤子，原价180元，现价多少钱？（用比例知识解答） 【易错专练5】学校购进一批粉笔，白粉笔与彩色粉笔的数量之比是3∶1。开学后平均每周用去36盒白粉笔和8盒彩色粉笔，用了几周后，白粉笔已用完，还剩下36盒彩色粉笔。学校购进彩色粉笔多少盒？ 易错点5：没有理解比例尺的意义或解决问题错误。 【易错专练1】在一幅比例尺是1∶5000000的地图上量得甲乙两地相距3cm，在另一幅地图上量得甲乙两地的距离为7.5cm，则这幅地图的比例尺为（ ）。 【易错专练2】在比例尺是1∶10000000的地图上量得甲、乙两地间的铁路长7厘米。有两列火车分别从甲、乙两地同时相对开出，已知一辆火车平均每小时行驶160千米，另一辆火车平均每小时行驶140千米，大约经过多少小时两车还差100千米相遇？ 【易错专练3】某村规划了一个特色农业产业园区，规划图的比例尺是1∶3000，图上有一块长方形有机蔬菜种植区，长12厘米，宽8厘米，该有机蔬菜种植区实际面积是多少平方米？ 【易错专练4】零件实际长度：在比例尺是50∶1的图纸上，量得一个零件的长度是15厘米，这个零件的实际长度是多少毫米？ 【易错专练5】在同一幅地图上，量得甲、乙两地的距离是15厘米、甲、丙两地的距离是20厘米，如果甲、乙两地的实际距离是1200千米，那么甲、丙两地的实际距离是多少？ 易错点6：图形的放大与缩小概念混淆。 【易错专练1】边长5厘米的正方形按4∶1放大，则正方形边长为（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 【易错专练2】如下图，涂色的小平行四边形按（ ）∶（ ）放大后是大平行四边形。如果小平行四边形面积是5平方厘米，那么空白部分面积是（ ）平方厘米。 【易错专练3】先按2∶1画出平行四边形放大后的图形；再按1∶3画出梯形缩小后的图形。 【易错专练4】（1）画出△ABC按1∶2变化后的图形，得到图形②。   （2）将△ABC向右平移3格，得到图形③。 【易错专练5】在方格纸上，按要求画出图形。 （1）把梯形的各边放大到原来的2倍。 （2）把长方形的各边缩小到原来的。 专题五数学广角—鸽巢问题 易错点1：区分不清“鸽巢问题"中的限制条件,导致判断错误。 【易错专练1】某校的学生中最小的是6岁，最大的年龄是13岁，从这个学校中至少任选（ ）名同学，就一定有2名同学的年龄相同。 【易错专练2】六（1）班有27名男生和24名女生，他们中至少有（ ）人的生日在同一个月。 【易错专练3】一个布袋中有2个黄球、3个白球、5个红球。如果每次从布袋中取出一个球，至少摸出（ ）个球才能保证摸到2个同色球。 【易错专练4】从8个抽屉里拿出17颗糖果，无论怎么拿，总要从一个抽屉里至少拿出（ ）颗糖果。 【易错专练5】在一次体育课上，10名学生进行投篮练习，他们一共投进了61个球，他们中总有一名学生至少投进了（ ）个球。 易错点2：对“鸽巢原理（二）”理解错误。【如果把多余kn个的物体任意放 进n个鸽巢里（k和n时非零自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了（k+1） 个物体。】 【易错专练1】汽车站的广场上有30辆客车，这些客车的座位最少38个，最多是50个，那么这些客车中至少有（ ）辆客车的座位数是相同的。 【易错专练2】据统计，某边境城市2023年出生的儿童共有370人，那么这一年出生的儿童至少有（ ）个人是同一天出生的。 【易错专练3】有一捧鲜花要插入一些花瓶，发现不管怎么插，总有一个花瓶至少可以插8枝鲜花。那么，如果鲜花有39枝，花瓶应该有（ ）个。 【易错专练4】实验小学篮球队同学去借篮球，向管理员借30个，管理员说：“你们一次都拿走的话，一定会有一个人至少要拿4个。”篮球队最多有（ ）名队员。 【易错专练5】六年级有22名同学进行投篮训练，每人投3次。投中一次得1分，未投中得0分。至少有几名同学的成绩相同？ 易错点3：最不利情况考虑不全。 【易错专练1】38名学生进行答题游戏，每人答2道题，规定答对一题得2分，不答不得分，答错扣1分，则至少有几名学生的成绩相同？ 【易错专练2】一个不透明的袋子里装有除颜色外其他都相同的红色帽子和黑色帽子各6顶，闭着眼睛摸，至少摸出几顶帽子才能保证有2种颜色的帽子？ 【易错专练3】把37名志愿者最多安排到几个社区，才能保证至少有1个社区里安排了5名志愿者？ 【易错专练4】有5种颜色的袜子各10只混装在纸箱内，从纸箱中至少取出多少只，能保证有3双袜子？ 【易错专练5】把104粒花生分给15只小猴，每只小猴都要分到花生，那么至少有两只小猴分得的花生一样多，为什么？ 易错点4：逆向思考问题。 【易错专练1】“六一”儿童节，学校布置会场，小芳帮忙往6个花瓶里插花，无论她怎么插至少都有一个花瓶里有9枝鲜花。学校至少准备了多少枝鲜花？ 【易错专练2】育才小学共有18个班，学校要买多少个排球，才能保证有一个班至少能分到3个排球？ 【易错专练3】高老头让儿子小高去买馒头，分给高家庄上下老小40口人，请问小高至少要买多少个馒头，才能保证总有人至少能够分到5个馒头？ 【易错专练4】元旦时老师给表现最好的12个小朋友送贺卡，其中收到贺卡最多的小朋友至少收到5张贺卡，那么老师至少要准备多少张贺卡？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $