第18练 抛物线的几何性质《数学》拓展模块一上册（高教版第三版）《一课一练》（原卷版+解析版）

**基本信息** 中职数学高教版第三版《一课一练》（抛物线的几何性质），通过三阶分层设计实现从概念记忆到综合应用的递进巩固，适配同步教学，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|离心率、焦点位置、准线方程等概念|选择1-3直接考查定义，填空10系统梳理五要素，强化抽象能力| |提升层|参数范围、距离计算、方程确定|选择4结合定义求参数，填空12引入直线与抛物线相交，培养推理意识| |综合层|标准方程求解、弦长计算|解答题14综合倾斜角与弦长公式，体现数学应用，发展应用意识|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 18 练 抛物线的几何性质 一、选择题 1．抛物线的离心率（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】由抛物线的几何性质即可得解. 【详解】抛物线的离心率是抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比，故为1. 故选：C． 2．下列关于抛物线，说法正确的是（   ） A．焦点在轴的正半轴上 B．焦点在轴的负半轴上 C．关于轴对称 D．离心率是2 【答案】B 【分析】根据抛物线的性质即可求解. 【详解】对A：由抛物线，可知，所以， 则抛物线的焦点为，所以焦点在轴的负半轴上，故A项错误，B项正确； 对C：抛物线的对称轴为轴，故C项错误； 对D：抛物线的离心率为1，故D项错误. 故选：B. 3．抛物线焦点到顶点的距离是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】先求出它的焦点坐标和顶点坐标，再计算两者之间的距离. 【详解】因为抛物线方程，所以，解得. 因此，焦点坐标为，顶点坐标为. 焦点到顶点的距离为. 故选：B. 4．若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（    ） A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2 【答案】D 【解析】根据抛物线的几何性质当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值，列不等式求解. 【详解】∵设P为抛物线的任意一点， 则P到焦点的距离等于到准线：x的距离， 显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值． ∴，即p＞2． 故选：D． 【点睛】此题考查抛物线的几何性质，根据几何性质解决抛物线上的点到焦点距离的取值范围问题. 5．已知抛物线的顶点是坐标原点，准线方程为，在该抛物线上有一个动点，则动点与点的最小距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据准线方程求出抛物线方程，再设出抛物线上动点的坐标，最后根据两点间距离公式及二次函数的性质求出最小距离. 【详解】准线方程为，即， 则，得，则， 故该抛物线的方程为， 设抛物线上的动点，则， 所以， 所以当时，． 故选：C . 6．以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据抛物线的概念以及几何性质即可求抛物线的标准方程. 【详解】依题意设抛物线方程为．因为焦点与原点之间的距离为2，所以，所以，所以抛物线方程为或． 故选：C． 7．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线与双曲线的性质，分析求解即可. 【详解】由双曲线可知：，焦点在轴， 所以， 所以右焦点坐标为， 因为抛物线的焦点坐标为，且与双曲线右焦点重合， 所以，解得：． 故选：A. 8．若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，抛物线的离心率为，则它们的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三种曲线离心率的范围,比较大小即可求出. 【详解】解:根据题意得椭圆的离心率,双曲线的离心率, 抛物线的离心率; 故选:B 二、填空题 9．已知直线与抛物线的图像相切，则C的焦点坐标为_______． 【答案】 【分析】联立方程组令求出值，即可求出抛物线方程即可得解. 【详解】联立方程，整理得， ，解得或（舍去）， 所以抛物线，其焦点为， 故答案为：. 10．抛物线的焦点为_____，顶点为_____，焦点到准线的距离为_____，准线方程为_____，离心率为_____. 【答案】 / 1 / 1 【分析】由抛物线的性质，即可得出结论. 【详解】因为抛物线的标准方程为， 所以，焦点在轴的正半轴上， 所以焦点为，顶点为，准线方程为. 焦点到准线的距离为，离心率为. 故答案为：；；1；；1. 11．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在坐标轴上，若点在C上且，则C的方程为________． 【答案】 【分析】根据抛物线的性质可判断开口方向，即可分类讨论求解. 【详解】由点在C上可知抛物线为开口向上或者开口向右， 当抛物线开口向上时，设方程为，将代入可得，此时焦点，则，符合题意， 当抛物线开口向右时，设方程为，将代入可得，此时焦点，则，不符合题意， 综上可得， 故答案为： 12．已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，则________． 【答案】/ 【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，再根据已知条件求解直线的方程，联立方程，利用焦半径公式即可求解. 【详解】因为抛物线方程为，即，所以， 所以点，又直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 联立方程，整理为， 设，，则， 所以． 故答案为：. 三、解答题 13．已知抛物线的焦点为，求： (1)抛物线的标准方程； (2)抛物线上到焦点的距离等于3的点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设抛物线方程为，由焦点坐标解得即可得解； （2）根据抛物线的定义，求出该点的横坐标，代入抛物线方程可求纵坐标. 【详解】（1）由题意，设抛物线的标准方程为， 又焦点为，所以，解得， 所以抛物线方程为； （2）由可知，其准线方程为. 设抛物线上所求点的坐标为，则满足且. 因为该点到焦点的距离等于3，根据抛物线的定义，可得该点到准线的距离也等于3， 故有，解得， 将代入，可得， 所以抛物线上到焦点的距离等于3的点的坐标为或. 14．已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线经过点. (1)求抛物线的方程； (2)若经过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，求线段的长. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）设出抛物线方程，根据图像过点，代入求解即可. （2）求出焦点坐标，根据点斜式方程求出直线方程，再联立方程以及弦长公式求解即可. 【详解】（1）因为焦点在y轴上，所以设抛物线方程为. 代入点：. 故抛物线方程为. （2）因为，所以焦点为. 因为倾斜角为，所以斜率，所以方程为； 联立与，得：. 设，，由韦达定理，. 根据弦长公式，得 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 18 练 抛物线的几何性质 一、选择题 1．抛物线的离心率（   ） A． B． C． D．无法确定 2．下列关于抛物线，说法正确的是（   ） A．焦点在轴的正半轴上 B．焦点在轴的负半轴上 C．关于轴对称 D．离心率是2 3．抛物线焦点到顶点的距离是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 4．若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（    ） A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2 5．已知抛物线的顶点是坐标原点，准线方程为，在该抛物线上有一个动点，则动点与点的最小距离为（    ） A． B． C． D． 6．以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 7．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则（   ） A．4 B． C． D． 8．若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，抛物线的离心率为，则它们的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知直线与抛物线的图像相切，则C的焦点坐标为_______． 10．抛物线的焦点为_____，顶点为_____，焦点到准线的距离为_____，准线方程为_____，离心率为_____. 11．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在坐标轴上，若点在C上且，则C的方程为________． 12．已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，则________． 三、解答题 13．已知抛物线的焦点为，求： (1)抛物线的标准方程； (2)抛物线上到焦点的距离等于3的点的坐标． 14．已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线经过点. (1)求抛物线的方程； (2)若经过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，求线段的长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $