2026年中考数学复习《二次函数的应用》解答题题型分类综合练习题

**基本信息** 以二次函数实际应用为主线，通过五大模块20道典例构建"建模-求解-拓展"的完整方法体系，强化数学建模与几何直观素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |拱桥问题|4题|坐标系建立、顶点式应用、对称性转化|从几何图形抽象为二次函数模型，通过关键点坐标求解析式解决高度/宽度问题| |喷水问题|4题|轨迹分析、最值计算、平移变换|结合物理运动轨迹，运用二次函数顶点式和交点式解决射程与覆盖范围问题| |几何图形|4题|面积最值、动态几何、相似转化|以矩形、抛物线形为载体，通过变量设定构建二次函数求最值| |商品销售|4题|利润函数、分段计价、参数优化|建立售价与销量的函数关系，利用二次函数性质求解最大利润| |其他问题|4题|运动综合、数据拟合、跨知识整合|融合动点问题与函数建模，培养综合应用与创新意识|

2026年九年级数学中考复习《二次函数的应用》解答题题型分类综合练习题（附答案） 一、拱桥问题 1．某地计划完善公交站设施，给公交站加上顶棚，如图，公交站的顶棚由两段抛物线：，组成，立柱均与地面垂直，垂足分别为，且米，米，抛物线的最高点与地面的距离为3米，点分别在抛物线上，抛物线和抛物线关于所在直线对称．以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，现要在抛物线的下方安装一个矩形广告牌（点M在点Q的左侧），轴，且点到地面的距离为米，到抛物线的竖直距离为米，与之间的距离为2米，求的长． 2．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面宽为． (1)把桥拱看作一个二次函数的图像，以所在的直线为轴，以的中点为原点建立如图①所示的平面直角坐标系，求这个函数的表达式； (2)有一艘装满货物的船，露出水面部分的高为，宽为（横断面如图②），以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？说明理由． 3．某校为举办毕业典礼，搭建了一个近似于抛物线形的毕业拱门，如图1所示，是垂直于水平地面的柱子，已知，是平行于地面的一根支架，拱门的最高点在点C处，测得，． (1)求出图中支架的长度； (2)从柱子上的点M处拉一条横幅到拱门的点N处（），拉上横幅后，若要使身高是的小明不弯腰通过该拱门，横幅长度最多为多少米？ (3)小明想在毕业拱门顶部挂一盏高为米的灯笼（如图2）．如图3，灯笼与立柱的水平距离为m米，灯笼须在（2）中最长横幅的上方，底端（点Q）与横幅的铅垂高度为n米，灯笼顶端（点P）与悬挂点（T点）的距离为d米．若，，求d的最小值． 4．如图1是正在施工中的校门门洞的截面，该截面为轴对称图形，它是由矩形和抛物线L构成，其中，，过抛物线上的最高点E向作垂线，垂足为F，交于点G，． 施工中需要有关数据，设计师给出以下三种建立平面直角坐标系的方案： ①如图2，以G为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴； ②如图3，以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴； ③如图4，以B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴． 如果你是建筑的决策者，你会选择哪一个建立平面直角坐标系的方案，并根据你所选的方案完成以下问题： (1)直接写出点D，E的坐标； (2)求该抛物线对应的函数表达式； (3)根据施工需要，在两侧各增加一根立柱，，K，N分别为，的中点，求这3根立柱的总长度． 二、喷水问题 5．如图，某农场需要用喷水装置灌溉果树．装置的喷头固定在一根竖直立柱顶端，如图，以喷头正下方的地面为原点，竖直向上为轴的正方向，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，已知喷头喷出的水流轨迹为抛物线，水流的最高处距离原点的水平距离为，最大竖直高度为，喷头所在位置的竖直高度为． (1)请直接写出水流最高处的坐标：____________． (2)求喷出水流的竖直高度（）与距离原点的水平距离（）之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） (3)为了适配不同高度的果树，工人可以调节喷头的竖直高度，调节的过程中，水流的抛物线轨迹形状和对称轴保持不变．要求水流落地点距离原点的最远水平距离不超过，求喷头高度的最大值． 6．如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度米．如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象：把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米．下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米，灌溉车到的距离为米． (1)求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内），直接写出的取值范围． 7．综合与实践 【问题情境】如图所示是在平面直角坐标系中，甲、乙两名选手在某场羽毛球比赛中一个回合的示意图，其中是球距地面的高度，是球和原点的水平距离，甲在A处以扣球方式击球，乙在C处接球后以吊球方式回击． 【数学建模】扣球时羽毛球运动路线可近似看成一条直线，吊球时羽毛球运动路线可近似地看成一条抛物线．已知赛场中间拦网 ，双方最远边界到中间拦网的水平距离均为 ．在比赛后通过“鹰眼”技术回放，得到如下信息： 信息一：甲在A处击球时，距离拦网水平距离为，此时羽毛球距离地面的高度 ，在击球后，羽毛球从拦网正上方的B处飞过，再过到达点C． 信息二：乙在点C处回击，经过后，和交于点F．甲、乙击球后羽毛球均在水平方向上做匀速运动，其速度分别为，，． 【问题解决】 (1)求所在直线的表达式； (2)若乙回击球时，羽毛球在距离中间拦网左边处到达最高点．通过计算说明甲选择不接球是否正确； (3)若乙回击球，在甲选择不接球的情况下羽毛球不出界，且落点在距离边界处，求a的值． 8．项目式学习 项目主题：无人机喷洒农药研究 项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的安全性． 驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济． 建立模型：如图1是无人机的示意图，其中点O为无人机的摄像头，A，B是喷药口，A，B，O，在同一条水平直线上，．如图2，以无人机摄像头所在位置O为坐标原点，竖直方向为y轴，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，喷药口点A和点B到点O的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与y轴的交点为C，． （1）依题意，得点A的坐标为：______；求出点A所在抛物线的函数表达式． 问题解决： （2）启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图3位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且时，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度； （3）如图4，在直线上再增加2个喷药口M和N，M在A左侧，N在B右侧，，当无人机上升到距地面的高度为时，请求出此时喷洒农药覆盖区域宽度的长． 三、几何图形 9．综合与实践 汕尾市素有“中国青梅之乡”的美誉，青梅种植是本地特色农业产业．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校结合本土特色，计划在校园西侧利用围墙（围墙不限长）和长度为的篱笆，围成一块矩形青梅种植实践基地（如图），用于开展青梅育苗与管护实践活动．该校数学兴趣小组结合实际需求设计了以下两种规划方案（除围墙外，篱笆仅围，，三边，篱笆无浪费），请根据方案完成以下探究． (1)方案一：若限定矩形实践基地的边为，则矩形实践基地的边为______，此时矩形实践基地的面积为______． (2)方案二：若要使围成的矩形实践基地面积最大，设矩形实践基地的边为，则用含的代数式表示边的长度为______；当边为多少米时，矩形实践基地的面积最大？最大为多少？ 10．如图1是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，为杯底，点是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为15，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，液面恰好到达点处（），如图2． （ⅰ）请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标； （ⅱ）求此时杯子内液体的最大深度． 11．综合探究：在校园“创客工坊”的桌面设计实践探究活动中，同学们拿到一块直角三角形木质板材，开展“实用小桌面”的设计与制作探究．已知木板的一条直角边长，整体面积为，请结合图形完成以下探究任务：    (1)小明率先设计了正方形桌面方案，如图1所示，则正方形的边长为______； (2)请你在图2中设计另一种正方形桌面，但不同于小明的方案，使得正方形的一边落在斜边上，另两个顶点分别落在、上，并求出你所设计的正方形的边长． (3)如图3，在第（2）问的条件下，把正方形桌面改为矩形桌面，问矩形桌面是否存在最大值？若存在，求出该最大值及此时矩形桌面的长和宽，若不存在，请说明理由．（以上作图只需画出示意图，不要求尺规作图） 12．综合与实践 【课本再现】 (1)九年级兴趣小组在复习课本时，发现这样一个题目，请你帮忙解决： 如图①，一个铝合金型材长，用它制作一个“日”字形窗户的框架，如果恰好用完这条铝合金型材，那么当，分别为多少米时，窗户的面积最大？直接写出答案； 【类比迁移】 (2)兴趣小组的小明同学认为可以把这种解决问题的方法从平面图形迁移到立体图形，并绘制了如图②所示的长方形硬纸片，其中，，现要用它围成一个长方体盒子的侧面，请你帮忙算一下这个盒子的最大体积是多少？ 【深入思考】 (3)兴趣小组的小亮同学认为将（2）中的长方形硬纸片按照图③的方式围成的长方体盒子的侧面，会让这个长方体的体积更大，你认可小亮的观点吗？请说明理由； 【拓展延伸】 (4)若给出一个长为a，宽为的长方形纸片围成一个长方体盒子的侧面，直接写出其最大体积． 四、商品销售 13．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，环保节能设备的产品供不应求．某公司购进了两种节能产品，其中种节能产品每件成本比种节能产品多万元；若购买相同数量的两种节能产品，种节能产品要花万元，种节能产品要花万元． (1)求两种节能产品每件的成本价； (2)公司将购进的两种节能产品进行销售，已知两种节能产品的每周销售数量（件）与每件产品售价（万元/件）都满足函数关系．若以同样价格出售两种节能产品，求这两种节能产品每周的总销售利润（万元）与每件产品售价（万元/件）之间的函数关系式：并说明这两种节能产品的售价为多少时，每周的总销售利润最大？最大总销售利润多少万元？ 14．某市商贸公司购进某种商品，经过多方市场调研，整理出这种商品在第（，为整数）天的售价与日销售量的相关信息如表： 时间(天) 售价 (元) 日销售量() 已知这种商品的进价为元，设销售这种商品的日销售利润为元 (1)求与的函数关系式： (2)第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ (3)公司在销售的前天中，每销售这种商品就捐赠元给“希望工程”．若每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大，则的取值范围是 15．某文具专卖店专销某种品牌的钢笔，进价12元/支，售价20元/支．为了促销，专卖店决定：凡是一次性购买超过10支的，每超过一支，所购钢笔每支售价就降低0.20元，但是每支售价不能低于16元．如图线段和是购买钢笔的单价y（元/支）与购买数量x（支）的函数图象的一部分． (1)顾客要想以最低价购买，需要一次至少购买_________支（填最后结果）； (2)当顾客一次购买x支时，求专卖店的利润w（元）与购买数量x（支）之间的函数关系式； (3)求顾客一次购买多少支时，专卖店的利润是123.2元？ 16．突如其来的疫情，让我们的家园按下了“暂停键”，为解决受“疫情”影响下居民的生活饮食问题，我市某保供单位提供蔬菜配送上门服务．已知蔬菜的进价为元千克，在连续天的销售中发现在进价不变的情况下，第天的销售量千克与时间满足某种函数关系见表；蔬菜的售价元与时间第天的函数图象如图所示． 时间第天 每天的销售量千克 (1)第天的销售量为______千克，每天的销售量千克与时间第天满足的函数关系式为______； (2)求与满足的函数关系式； (3)设每天的利润为元，在销售的第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少元？ (4)在销售的天中，使当天的销售利润不低于元的共有多少天？直接写出结果 五、其他问题 17．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点以的速度移动，同时点从点出发，沿BC边向终点以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：______，______；（用含的代数式表示） (2)求出当为何值时，？ (3)设的面积为，点，的运动时间为秒，求与的函数解析式，并写出的取值范围． (4)在动点，运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 18．某校物理兴趣小组举办“水火箭”发射距离比赛，如图是甲组的水火箭实物图．王老师用频闪照相机记录并测量甲组的水火箭的飞行水平距离米和飞行高度米的数据，记录数据如下表： 照相机频闪时间/s 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … 水平距离米 0 5 10 15 20 25 30 … 飞行高度米 0 4.5 8 10.5 12 12.5 12 … (1)根据表格中的数据描点，连线，发现与近似地满足二次函数关系，请写出与之间的函数表达式； (2)根据表格数据，可知水平距离与时间满足关系式．根据比赛规定，在水平距离相同的情况下，飞行高度不低于8米的持续时间越长成绩越好．求甲组水火箭飞行高度不低于8米的持续时间； (3)乙组的水火箭与甲组的水火箭同时从同一高度发射，已知乙组水火箭的飞行高度（米）与水平距离（米）满足函数关系，当水平距离为多少米时，两组水火箭的高度差最大？最大高度差是多少？ 19．如图1，已知抛物线的图像与y轴交于点A，与x轴交于点B、C两点，C点的坐标为． (1)求出a的值和直线的表达式； (2)如图2，连接，点P是抛物线上一动点，且在直线的下方，过点P作y轴的平行线，交线段于点F，以为直径的与的另一交点为E，连接． ①求劣弧弧长的最大值； ②试问与能否相似？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 20．小明是个热爱数学的学生，平时总喜欢把数学知识用到生活里．周末，小明帮妈妈准备午饭，看到家里常用的炒菜锅图1，他发现锅的侧面线条十分规整，仔细观察后联想到数学中的抛物线，发现其侧面可抽象为图2中的几何图形，其中经过锅心与盖心的纵截面是两段抛物线组成的封闭图形．他测量得知：锅口与锅盖贴合面的直径为，锅深，锅盖的高度是锅深的．小明以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立如图的平面直角坐标系，点，均在轴上．请你和小明一起解决下列问题： (1)请求出锅盖所在抛物线的函数表达式； (2)小明求出锅底所在抛物线的函数表达式为．妈妈准备蒸鱼，需要往锅里加水如图3，当水深达到时，求水面的直径的长；（保留根号） (3)小明拿出一个直径为，高为的蒸屉图4，将其平放在锅中如图5，蒸屉边缘，两点恰好落在炒菜锅所在的抛物线上（点，关于轴对称，），这个蒸屉能否让锅盖正常盖严？说明理由． 参考答案 1．（1）解：∵米，米， ∴，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的最高点与地面的距离为3米， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的函数表达式为， 将代入得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）知，的顶点坐标为， ∵抛物线和抛物线关于所在直线对称， ∴抛物线开口大小、方向不变，顶点坐标变为， 则抛物线的函数表达式为， 如图，延长交抛物线于， ， ∵点到地面的距离为米，到抛物线的竖直距离为米， ∴， 此时， 解得：，（舍去）， ∵与之间的距离为2米， ∴． 2．(1) (2)船不能安全通过此桥，见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，核心是将拱桥的几何问题转化为平面直角坐标系下的函数问题，熟练掌握二次函数表达式的求解、函数值的计算以及行程与水位变化的综合分析是解题关键． （1）以中点为原点、所在直线为轴建立坐标系，根据的长度确定、两点坐标，设出二次函数的交点式；再结合水位上升后水面的宽度，确定点坐标，代入函数式求解参数，从而得到函数表达式； （2）先根据船的宽度，计算船边缘对应的横坐标，代入函数表达式求出该位置的桥高；再根据船的行驶距离和速度，计算船行至桥时的水位上升高度，结合船露出水面的高度，得到船顶距的高度；最后通过比较桥高与船顶高度的大小，判断船能否安全通过． 【详解】（1）解：为16m，的中点为原点， 点，的坐标分别是，． 可设此函数的表达式为， 当水位上升时，水面宽为， 点的坐标为， 把，代入， ， 解得． 此函数的表达式为，即． （2）解：船不能安全通过此桥． 把，代入，得 ， 当船行至桥时水位上升高度为， 船顶距高为． ， 船不能安全通过此桥． 3．(1) (2)横幅长度最多为5米； (3)d的最小值为． 【分析】（1）作交于F，交于E，可知，，根据三角函数得到，，求出，则，根据二次函数的对称性得到，即可求出支架的长度； （2）以O为原点，为一个单位建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，当横幅最长时，，求出x的值即可； （3）根据“求d的最小值”可知应取最大值，进而求出底端（点Q）与地面的铅垂高度，根据抛物线图象可知抛物线下方直线上的点离对称轴越远，离抛物线的铅垂高度越小，即d的值越小，得到当时，d的值最小，求出当时y的值，即可求出d的最小值． 【详解】（1）解：如图，作交于F，交于E，可知，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵搭建了一个近似于抛物线形的毕业拱门，拱门的最高点在点C处， ∴， ∴； （2）解：如图，以O为原点，为一个单位建立平面直角坐标系， 由（1）可知， ∴，，， 设抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当横幅最长时，取， 解得：（负值舍去）， ∴， 即横幅长度最多为5米； （3）解：∵灯笼须在（2）中最长横幅的上方，，求d的最小值， ∴底端（点Q）与地面的铅垂高度为， ∵抛物线开口向下，灯笼在抛物线下方， ∴抛物线下方直线上的点离对称轴越远，离抛物线的铅垂高度越小，即d的值越小， ∵， ∴当时，d的值最小， 当时，， ∴． 4．(1)方案①：D点坐标为，E点坐标为；方案②：D点坐标为，E点坐标为；方案③：， (2)方案①：；方案②：；方案③： (3)方案①：17米；方案②：17米；方案③：17米 【分析】（1）根据原点的位置，，，，E是抛物线上的最高点，即可得点D，E的坐标； （2）设抛物线的顶点式，代入点D的坐标即可求解； （3）由点K，N分别为，的中点，可求出点K，N的横坐标，代入抛物线解析式即可得点H，M的纵坐标，则可得立柱，的长，再计算3根立柱的总长度即可． 【详解】（1）解：方案①： 以G为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴， ∵四边形是矩形，，，，E是抛物线上的最高点， ∴，， ∴D点坐标为，E点坐标为． 方案②： 以点A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴， ∵四边形是矩形，，，，E是抛物线上的最高点， ∴，， ∴D点坐标为，E点坐标为． 方案③： 以点B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴， ∵四边形是矩形，，，，E是抛物线上的最高点， ∴，， ∴， ∴D点坐标为，E点坐标为． （2）解：方案①： ∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入表达式，可得， ∴抛物线的解析式为． 方案②： ∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入顶点式可得， ∴抛物线的解析式为． 方案③： ∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入顶点式，可得， ∴抛物线对应的函数表达为． （3）解：方案①： ∵，F是中点， ∴， ∵K是中点，N是中点， ∴， ∴K的横坐标为，则H的纵坐标为，即， N的横坐标为2，则M的纵坐标为，即， ∴3根立柱的总长度为． 方案②： ∵，F是中点， ∴， ∵K，N分别为，的中点， ∴， ∴K点的横坐标为2，则H的纵坐标为，即， N点的横坐标为6，则M的纵坐标为，即， ∴3根立柱的总长度为． 方案③： ∵，F是中点， ∴， ∵K，N分别为，的中点， ∴， ∴K点的横坐标为2，则H的纵坐标为，即， N点的横坐标为6，则M的纵坐标为，即， ∴3根立柱的总长度为． 5．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意正确的列出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意得点的横坐标为，纵坐标为，即可求解； （2）依据题意，设抛物线的解析式为，由点的坐标为，求出的值，进而求得抛物线的解析式； （3）设设调整后的抛物线的函数解析式为，根据水流离喷水池中心的最远水平距离不超过，求出调整后的抛物线的函数解析式，进而求出喷头高度的最大值． 【详解】（1）解：以喷头正下方的地面为原点，竖直向上为轴的正方向，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，水流的最高处距离原点的水平距离为，最大竖直高度为， 水流最高处的坐标． 故答案为：． （2）解：由（1）可得，顶点的坐标为， 设抛物线的函数解析式为． 由题意得，点的坐标为，代入中得： ，解得， 抛物线的函数解析式为． （3）解：调节的过程中，水流的抛物线轨迹形状和对称轴保持不变， 可设调整后的抛物线的函数解析式为， 由题意得，当最大时，点的坐标为， ，解得， ． 将代入，得， 喷头高度的最大值为． 6．(1)上边缘抛物线的函数表达式为，喷水的最大射程米； (2)； (3)． 【分析】（1）根据上边缘抛物线顶点坐标，设其顶点式．代入喷水口求出参数，得到函数表达式．令求解方程，得到与轴正半轴交点的坐标，确定最大射程． （2）过作轴，交上边缘抛物线于．令代入上边缘抛物线解析式，求出的坐标，得到平移距离．根据平移距离写出下边缘抛物线解析式，再令求出与轴正半轴交点的坐标． （3）明确矩形各顶点坐标：，，，．为保证矩形在两条抛物线所夹区域内，需满足点横坐标不大于（即在左侧或重合），且点在上边缘抛物线上或其下方．分别将代入上边缘抛物线、结合点坐标约束，求出的临界值，确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵上边缘抛物线顶点为， ∴设上边缘抛物线的函数表达式为， ∵抛物线过点， ∴代入得得 ， 解得， ∴上边缘抛物线的函数表达式为， 令，则， 解得（舍去负根） ∴， ∴喷水的最大射程米； （2）解：过点作轴交上边缘抛物线于， ∵上边缘抛物线的函数表达式为， 令，则， 解得， ∴， ∵， ∴平移距离为个单位， ∴下边缘抛物线由上边缘抛物线向左平移个单位得到， ∴下边缘抛物线的函数表达式为， 令，则， 解得（舍去负根）， ∴下边缘抛物线与轴正半轴交点的坐标为； （3）解：∵矩形顶点为，，，， ∵矩形需位于两条抛物线所夹区域内， ∴点横坐标， 把代入上边缘抛物线得 ， 解得（舍去负根）， 把代入下边缘抛物线得， 解得（舍去负根）， ∵且， ∴的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用、抛物线的平移规律、函数与方程的关系、不等式的取值范围确定，熟练掌握二次函数的顶点式、平移法则以及利用函数表达式求点坐标是解题的关键． 7．(1) (2)甲选择不接球是正确的，见解析 (3) 【分析】（1）根据题意可得，，再利用待定系数法求表达式即可； （2）根据题意，利用待定系数法求出羽毛球运行的解析式 ，再判断即可； （3）求出此时抛物线的表达式为 ，根据最终羽毛球落点在距离边界处，则当 时，，代入可得计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点A坐标为， ， ∴点B坐标为， 设， 将分别代入， 得 解得 ， 即所在直线的表达式为 ； （2）解：甲选择不接球是正确的，计算如下： 由题意可知，在甲击球后经过飞行的水平距离为， ， ， ∵再经过后到达点C， ∴点C横坐标为， 代入 可得，故点C坐标为， 乙在点C处回击，经过后，和交于点F，故此时羽毛球往回飞行的水平距离为，即点F横坐标为， 代入 可得，故点F坐标为， ∵羽毛球在距离中间拦网左边处到达最高点， ∴此时羽毛球最高点的横坐标为，即， 将分别代入中， 得， 解得， ， ∵场地最远边界到中间拦网的水平距离为6.7米， 当 时， ，故羽毛球会出界， ∴甲选择不接球是正确的； （3）解：由（2）可知抛物线一定过，两点， ∴ 解得， ∴抛物线的表达式为 ． ∵最终羽毛球落点在距离边界处， ∴当 时，， 代入可得 ， 解得， 故的值为． 8．（1），点所在抛物线的函数表达式为；（2）无人机应该下降的高度为；（3）长 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，包括根据点坐标求二次函数表达式、利用函数性质解决高度和距离问题；解题关键是通过建立平面直角坐标系，准确找出各点坐标并代入二次函数表达式进行求解． （1）首先根据喷药口A、B到O距离相等且，确定A点在x轴上的坐标；由抛物线与y轴交点特征确定C点坐标．然后根据待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）以摄像头为原点建立平面直角坐标系，且明确喷药抛物线函数表达式不变． 由于田埂宽度为且关于y轴对称，设田埂边缘在x轴正半轴点的坐标，将其代入已知抛物线表达式，求出该点纵坐标，此纵坐标即为调整高度时无人机摄像头距地面高度， 用无人机初始高度减去调整高度时摄像头距地面高度，得到无人机应下降的高度． （3）根据已知条件求出M的坐标．求出所在抛物线表达式为，求出与x轴交点的坐标，由于覆盖区域关于y轴对称，用求出的横坐标距离乘以，得到喷洒农药覆盖区域宽度． 【详解】解：（1）∵，点与点到点的距离相等， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． ∵， ∴点的坐标为． 设点所在抛物线的函数表达式为， 将点代入得． 解得． ∴点所在抛物线的函数表达式为． （2）∵以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，水平方向为轴，建立平面直角坐标系， ∴喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变． ∵，由题可知点和点关于轴对称， ∴可以设点的坐标为． 将点代入， 得． ∴点的坐标为． ∴此时无人机摄像头距离地面的高度为． ． 答∶ 无人机应该下降的高度为． （3）∵，点坐标为， ∴点坐标为． ∵所在抛物线形状与所在抛物线相同，二次项系数相同， 设所在抛物线表达式为， ∵无人机高度为， ∴代入到中，得． 解得，． ∴， ∵关于y轴对称， ∴， ∴长． 9．(1)，； (2)，当时，矩形实践基地的面积最大，最大为 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据篱笆的长度直接计算即可； （2）根据二次函数的性质进行解题． 【详解】（1）解：∵篱笆的长度为， ∴， ； 故答案为：，； （2）解：， 设矩形实践基地的面积为， 由题意，得， 当时，有最大值， 即当时，矩形实践基地的面积最大，最大为. 10．(1) (2)（ⅰ）见解析，；（ⅱ）液体的最大深度为 【分析】（1）根据题意得到，，运用待定系数法即可求解； （2）（ⅰ）建立平面直角坐标系如图所示，设与轴交于点，直线与轴交于点S，与轴交于点，则，，，，在中，，得到，则，由此即可求解； （ⅱ）已知二次函数解析式为，如图所示，在抛物线第一象限取点，过点作轴交于点，过点作轴于点，作于点，，根据二次函数最值得到当时，有最大值，最大值为，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵点是的中点，且，杯子的高度（即之间的距离）为， ∴，， 设杯体所在抛物线的解析式为， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为； （2）解：（ⅰ）建立平面直角坐标系如图所示，设与轴交于点，直线与轴交于点S，与轴交于点， 根据题意，，，杯子的高度（即之间的距离）为， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴与轴的交点坐标； （ⅱ）已知二次函数解析式为，如图所示，在抛物线第一象限取点，过点作轴交于点，过点作轴于点，作于点， ∴，，， ∴， 由（ⅰ）可知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∵轴， ∴， ∴， ∴杯子内液体的最大深度为． 11．(1) (2) (3)当时，有最大值为，此时矩形桌面的长为，宽为 【分析】（1）设正方形的边长为，根据正方形的性质可得，，于是可证明，再列出比例式求得，然后根据整体面积为，得到关于的方程求解，求得正方形的边长为； （2）先利用图1，运用相似三角形的判定与性质求得与，再根据（2）画出图形，利用相似三角形的判定与性质，得到关于正方形的边长的方程求出正方形的边长； （3）设，用表示出，再根据矩形面积公式列出二次函数，配方后求出最大值即可． 【详解】（1）解：设正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ， ∴， ∴， ∵直角边长， ∴， ∴， ∴， ∵整体面积为， ∴， ∴， ∴， 故正方形的边长为， 故答案为：； （2）如图，      ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据题意，作图如下：    设正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 即正方形的边长为； （3）解：如图，设，    ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴ 当时， 有最大值为， 此时，， 即矩形桌面的长为，宽为． 【点睛】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，图形问题(实际问题与二次函数)，根据矩形的性质求面积，根据正方形的性质求线段长，相似三角形的判定与性质综合，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 12．(1)， (2)576 (3)不认可，理由见解析 (4) 【分析】（1）设为，则，然后表示出矩形的面积，根据二次函数的性质求解即可求得答案； （2）设，则，然后表示出这个盒子的体积，根据二次函数的性质求解即可求得答案； （3）设，则，然后表示出这个盒子的体积，根据二次函数的性质求解即可求得答案； （4）设，则，然后表示出这个盒子的体积，根据二次函数的性质求解即可求得答案． 【详解】（1）解：设为，则， ∴窗户的面积 ∵， ∴抛物线开口向下 ∴当时，S取得最大值， ∴，时，窗户的面积最大； （2）解：如图， 设，则 根据题意得，这个盒子的体积 ∵， ∴抛物线开口向下 ∴当时，V取得最大值576； （3）解：不认可，理由如下： 如图， 设，则 根据题意得，这个盒子的体积 ∵， ∴抛物线开口向下 ∴当时，V取得最大值384 ∵ ∴按照图③的方式围成的长方体盒子的侧面，会让这个长方体的体积更小， ∴不认可小亮的观点； （4）解：如图， 设，则 根据题意得，这个盒子的体积 ∵， ∴抛物线开口向下 ∴当时，V取得最大值． 13．(1)种节能产品每件的成本价为万元，B种节能产品每件的成本价为万元 (2)，当节能产品的售价为万元，每周的销售利润最大万元 【分析】（）设种节能产品每件的成本价为万元，种为万元，根据“万元买的数量与万元买的数量相等”列分式方程，求解并检验即可； （）根据利润公式列出总利润关于售价的表达式，化简为二次函数后配方成顶点式，利用二次函数性质，求出售价为万元时，每周销售利润最大为万元． 【详解】（1）解：设种节能产品每件的成本价为万元，种为万元， ，解： 经检验是原方程的解． 种节能产品每件的成本价为万元，种节能产品每件的成本价为万元． （2）解：， 即， ， ∵， ∴， 当时，最大为． 当节能产品的售价为万元，每周的销售利润最大万元． 14．(1) (2)第25天利润最大，为2450元 (3) 【分析】（1）根据“日销售利润（售价进价）日销售量”，分和两种情况，分别推导与的函数关系式； （2）分别分析两种函数关系式的最值：二次函数用顶点式求最大值，一次函数根据增减性求最大值，再比较得出最终最大利润及对应天数； （3）先列出扣除捐赠后的利润函数，再根据二次函数的单调性（对称轴与取值范围的关系），确定的取值范围． 【详解】（1）当时，， 当时，， ∴． （2）当时，， ∴当时，， 当时， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，， ∴在第天时，利润最大为元． （3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为元， ， ∴对称轴为直线， ∵随的增大而增大，为整数， ∴， 解得， ∴． 15．(1) (2)且为整数 (3)顾客一次购买支或支时，专卖店利润为元 【分析】（1）设需要一次购买支，根据一次性购买超过10支的，每超过一支，所购钢笔每支售价就降低0.20元，但是每支售价不能低于16元，列出一元一次不等式，求解即可； （2）分，，三种情况讨论，根据利润购买的支数（购买单价进价）列出关系式即可； （3）由（2）中关系式，分别计算即可． 【详解】（1）解：设需要一次购买支， 根据题意得：， 解得：， 则需要一次购买支； （2）解：根据题意， 当时，； 当时，； 当时，； 综上，且为整数； （3）解：由（2）知专卖店的利润w（元）与购买数量x（支）之间的函数关系式为且为整数， 当时，最大，不符合题意； 当时，令， 整理得：， 解得或，符合题意； 当时，令，解得，不是整数，不符合题意； 答：顾客一次购买支或支时，专卖店利润为元． 16．(1)， (2) (3)第10天，最大利润为2400元 (4)共7天 【分析】（1）根据表中的数据找规律求解； （2）根据图象利用待定系数法分，求解； （3）根据利润等于单利润乘以销售量分，列式表示，再求最大值； （4）根据题意分，列不等式求解． 【详解】（1）解：根据表中的数据得：天数增加，销量增加，所以第天的销售量为（千克）， 设每天的销售量（千克）与时间第（天）满足的函数关系式为， 把代入， 得， 解得， ∴； （2）解：当时，设， 则：， 解得：， ， 当时，； ∴． （3）解：当时， ， 当时，利润最大，为元， 当时， ， 当时，利润最大，为元， ， 当时，利润最大，为元； （4）当时： ， 解得：， 当时， ， 解得：， ， 所以当天的销售利润不低于元的共有天． 17．(1)， (2)当时， (3) (4)存在，当或时，使得五边形的面积为矩形面积的 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，二次函数以及一元二次方程的运用，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据点的移动速度，行程问题的数量关系可得，，由此即可求解； （2）根据矩形的性质可得，结合（1）中的信息可得，在中，运用勾股定理得，由此求解即可； （3）根据题意，由五边形的面积为矩形面积的，求得，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 故答案为：，； （2）解：四边形是矩形， ， 由（1）可知，，， ， 在中，，且， ，整理得，， 解得（舍去），， 当时，； （3）由（2）可知，， ； （4）存在， ∵，， ， 五边形的面积为矩形面积的， ， ， ， 整理得， 解得或， 当或时，使得五边形的面积为矩形面积的． 18．(1) (2)持续时间秒 (3)当水平距离为20米时，最大高度差为4米 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）令，解出x的值求解即可； （3）设高度差为h，，根据二次函数的性质判断即可． 【详解】（1）解：设，将、、代入，得 ， ； （2）解：令，， ，， 将，代入得， 得，， 持续时间秒． （3）解：设高度差为， ， 当水平距离为20米时，最大高度差为4米． 19．(1)，直线的函数表达式为； (2)①；②与能相似，点P的坐标为或 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，圆周角定理，最值问题，轴对称及旋转的性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）利用待定系数法确定二次函数解析式，得出，，然后求一次函数解析式即可； （2）①根据题意得出，确定，，连接，根据圆周角定理得出，再由弧长公式得出劣弧的长为，得出当最大时劣弧的弧长最大，设点，则点，其中，结合图象得出，求解即可； ②根据题意得出，只需讨论2种情况：当时，当时，利用轴对称及旋转的性质，画出相应图象，然后结合图象求解即可． 【详解】（1）解：将C点的坐标为代入， ∴， 解得：， ∴， 当时，，即点， 当时，， 解得：， ∴， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为； （2）①∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵以为直径的与的另一交点为E， ∴， ∴， 连接，如图所示： ∴， ∴劣弧的长为， ∴当最大时劣弧的弧长最大， 设点，则点，其中， ∴， ∴的最大值为2， ∴劣弧长的最大值是； ②能，理由如下： ∵， ∴只需讨论2种情况即可； 当时，如图所示， 作关于对称的图形， ∴， ∴轴， ∴， ∴当P为直线与抛物线的交点时,成立， ∵， ∴， ∴， 同理得：直线的函数表达式为， ∵点在直线上， ∴， 解得(舍去)， 当时，， ∴点； 当时,如图所示,将绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴当P为直线与抛物线的交点时，，此时成立， ∵，，， ∴， ∴， 过点作轴，交x轴于点R， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵点在第三象限， ∴， 同理：直线的函数表达式为， ∵点在直线上， ∴， 解得(舍去)， 当时，， ∴点 综上所述，与能相似，点P的坐标为或 ． 20．(1) (2) (3)这个蒸屉能让锅盖正常盖严，理由见解析 【分析】（1）根据已知点的坐标，设出抛物线的交点式解析式，代入点坐标求出系数，进而得到解析式 （2）根据水位高度确定的值，代入求出，进而得到水面直径； （3）根据蒸屉的高度与炒菜锅(含锅盖)的高度比较即可判断锅盖能否盖上． 【详解】（1）解：由条件可知， ∵以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立如图的平面直角坐标系，直径为，点，均在轴上， ∴，，， 设锅盖所在抛物线的函数表达式为，过点， ∴， 解得：， ∴， ∴锅盖所在抛物线的函数表达式为； （2）解：∵，， ∴，即， ∵锅底所在抛物线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴水面的直径的长为； （3）解：这个蒸屉能让锅盖正常盖严．理由如下： 由条件可知蒸屉直径，高， ∵点，关于y轴对称， ∴， ∴，， ∵， ∴这个蒸屉能让锅盖正常盖严． 学科网（北京）股份有限公司 $