精品解析：辽宁抚顺市新抚区2025-2026学年九年级下学期中考考前自测数学试卷

2025—2026学年度（下）学期教学质量检测 九年级数学试卷（三） （本试卷共23道题，满分120分，考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，每题四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. ，，0，中最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 豆包大模型于2024年5月15日正式发布，上线后迅速引起全球关注．据第三方（）最新监测，2026年3月，月活跃用户稳定在310000000户．数据310000000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 已知甲、乙两人10次标枪的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差，的描述正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 下列式子中，从左往右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被气象界誉为“中国第五大发明”小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小明．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），将邮票洗匀后，让小明从中随机抽取两张，则小明恰好抽到“立夏”和“秋分”的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 《算法统宗》中有一道题：原文是：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？”题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童、多少个杏？设共有个杏，可列方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，工人师傅用边长均为a的正三角形、正六边形和一个角为的菱形地砖绕着点O进行铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 如图，点A，点B，点C在上，连接，连接并延长交于点D．若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 某中学组织甲、乙两个生态兴趣小队在公园进行自然寻宝徒步，由出发点步行前往6公里远的集合点．学校安排两队在不同时刻出发，已知乙队始终以5公里/小时的速度匀速前进，甲队匀速前进0.5小时后，速度降低为原来的一半，最后两队恰好同时到达集合点．甲、乙两队前进的路程（单位：）与甲队出发时间（单位：）的函数图象如图所示，当甲出发时间时，甲乙两队相距（ ） A. B. C. 1.5 km D. 2 km 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______． 12. 分解因式：________． 13. 中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像的示意图，其对应的数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是_____． 14. 如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点E，连接，若，，，则的长为_______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，其两个锐角的外角平分线相交于点P，若点P恰好在反比例函数的图象上，且的面积为15，则k的值是______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息． 信息一：排球垫球成绩如下图所示（成绩用x表示，分成六组：A． ；B． ；C． ；D． ；E． ；F． ）． 信息二：排球垫球成绩在D． 这一组的是： 20，20，21，21，21，22，22，23，24，24 信息三：掷实心球成绩（成绩用y表示，单位：米）的人数（频数）分布表如下： 分组 人数 2 m 10 9 6 2 信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如下： 学生 学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6 排球垫球 26 25 23 22 22 15 掷实心球 ▲ 7．8 7．8 ▲ 8．8 9．2 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______； （2）下列结论正确的是_____；（填序号） ①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%； ②掷实心球成绩的中位数记为n，则； ③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀． （3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数． 18. 近年来抚顺文旅市场消费持续火爆，以文塑旅，以旅兴城等文创贴深受大家喜爱，某商家计划购进A，B两种类型的文创贴共60套进行销售，若购进5套A型文创贴和3套B型文创贴共需175元，若购进2套A型文创贴和1套B型文创贴共需65元． （1）求A，B两种类型文创贴的购进单价分别是多少元？ （2）若该商家计划购进这批文创贴所花的总费用不超过1400元，且A型文创贴的售价定为30元/套，B型文创贴的售价定为40元/套．要使这批文创贴全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 19. 如图1是一款订书机，其平面示意图如图2所示，其主体部分矩形由支撑杆垂直固定于底座上，其中，，压杆，，使用过程中矩形可以绕点E旋转． （1）订书机不使用时，如图2，，求压杆端点到底座的距离； （2）使用过程中，当点落在底座上时，如图3，测得，求压杆端点到底座的高度． （参考数据：，，结果精确到） 20. 2026年抚顺中小学春假和五・一节假日连休，抚顺某旅游景区开园检票时游客出现了排队现象．某校数学兴趣小组对该景区每天开园60分钟内“排队检票人数与开园时间、开、检票窗口之间的关系”开展了综合与实践活动． 调研数据： 信息1：景区开园时，检票窗口同时开始检票．已知每个检票窗口每分钟可检票15人． 信息2：景区开园后，到达景区的总人数（单位：人）与开园时间（单位：）满足二次函数（）． 信息3：开园后不断有新的游客到达检票窗口，任意时刻满足：排队检票人数（单位：人）=到达景区的总人数-已检票人数．（该景区共有10个检票窗口）． （1）若开园时景区同时开放6个检票窗口 ①求排队检票人数与开园时间之间的函数关系式； ②求开园多少分钟不再有游客排队检票． （2）问题解决：景区负责人为了让游客尽快完成检票，增加游客游园时的体验感，决定增派人手，在开园时同时开放个检票窗口，使得排队检票人数在5分钟时达到最大值，求的值． 21. 如图，点E为正方形的边上的一点，是的外接圆，与交于点F，G是上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求半径的长． 22. 在边长为的正方形中，以点为旋转中心，将边逆时针旋转得到，旋转角为（），连接，过点作的垂线交的延长线于点． （1）如图1，当时，求出的度数和的长； （2）如图2，连接，判断，的位置关系，并说明理由； （3）连接，当四边形是平行四边形时，请画出图形，求出的面积． 23. 如图，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． （1）如图1，请求出抛物线的解析式； （2）如图2，点为线段上一动点，作交抛物线于点，点在第一象限，过点作轴，垂足为点，交于点，过点作，交于点，连接，，，设和的面积和为． ①求面积的最大值； ②直接写出面积最大时点的坐标； （3）抛物线与抛物线关于轴对称，当时抛物线与时抛物线组成新的函数，若函数图象上有不重合的两点和，点和点的横坐标分别为和，图象上点和点之间部分（包括点和点）的最大值和最小值均与的取值无关，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度（下）学期教学质量检测 九年级数学试卷（三） （本试卷共23道题，满分120分，考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，每题四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. ，，0，中最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ ，， ∴ 最小的数在和中 ∵ ，，且 ∴ 因此四个数中最小的数是. 2. 豆包大模型于2024年5月15日正式发布，上线后迅速引起全球关注．据第三方（）最新监测，2026年3月，月活跃用户稳定在310000000户．数据310000000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，据此判断即可． 【详解】解：． 3. 如图所示的几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵俯视图是从上向下观察几何体所得到的图形 ∴该几何体的俯视图外部轮廓为长方形 ∵从上向下看，几何体中间凹槽的两条棱是可见的 ∴这两条棱在俯视图中应画为实线 俯视图为一个长方形，内部有两条实线将长方形分为三部分，如图： 4. 已知甲、乙两人10次标枪的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差，的描述正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了方差与数据集中性的关系．方差越小，数据越集中，据此可得答案． 【详解】解：由图可知，乙的成绩比甲的成绩更加的集中， ， 故选：C． 5. 下列式子中，从左往右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的基本性质逐一判断变形是否正确即可． 【详解】解：A．不符合分式的基本性质，变形错误，不符合题意； B．，变形正确，符合题意； C．当时，无意义，变形错误，不符合题意； D．不符合分式的基本性质，变形错误，不符合题意． 6. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被气象界誉为“中国第五大发明”小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小明．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），将邮票洗匀后，让小明从中随机抽取两张，则小明恰好抽到“立夏”和“秋分”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先得到所有等可能的抽取结果，再找出符合条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：记“立春”为A，“立夏”为B，“秋分”为C，“大寒”为D， 列表： A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C ∵共有种等可能的抽取结果，其中恰好抽到“立夏”B和“秋分”C的结果有种， ∴所求概率． 7. 《算法统宗》中有一道题：原文是：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？”题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童、多少个杏？设共有个杏，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，第一种分法中，分掉的杏数为个，因此总牧童人数为，第二种分法中，分掉的杏数为个，因此总牧童人数为，根据牧童总人数不变，即可列出方程． 【详解】解：设共有个杏，牧童总人数不变， ∴． 8. 如图所示，工人师傅用边长均为a的正三角形、正六边形和一个角为的菱形地砖绕着点O进行铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题意得：，正六边形的内角为， ∴， ∴这块正多边形地砖的边数为． 9. 如图，点A，点B，点C在上，连接，连接并延长交于点D．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据圆周角定理求出，及，再根据等腰三角形的性质求出，然后根据三角形外角的性质可得，则此题可解． 【详解】解：∵， ∴，． ∵， ∴． ∵是的外角， ∴， 即， 解得． 10. 某中学组织甲、乙两个生态兴趣小队在公园进行自然寻宝徒步，由出发点步行前往6公里远的集合点．学校安排两队在不同时刻出发，已知乙队始终以5公里/小时的速度匀速前进，甲队匀速前进0.5小时后，速度降低为原来的一半，最后两队恰好同时到达集合点．甲、乙两队前进的路程（单位：）与甲队出发时间（单位：）的函数图象如图所示，当甲出发时间时，甲乙两队相距（ ） A. B. C. 1.5 km D. 2 km 【答案】B 【解析】 【分析】根据速度=路程÷时间求出甲队前0.5小时的速度，从而求出其0.5小时后的速度；根据时间=路程÷速度求出乙到达集合点所用的时间，从而求出甲队出发后多久乙队才出发，分别计算甲、乙两队当甲出发时前进的路程，进而求出这时两队之间的距离． 【详解】解：∵甲队前0.5小时的速度为， ∴甲队0.5小时后的速度为， ∵乙到达集合点所用的时间为（小时）， ∴甲队出发后（小时）乙队才出发， 当甲出发时间时，甲队前进的路程为，乙队前进的路程为， ∴当甲出发时间时，甲乙两队相距． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，掌握二次根式的被开负数为非负数是解题的关键．由被开负数为非负数可得不等式，再解不等式可得答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用提公因式法与公式法因式分解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先提取公因式，再对剩余部分利用平方差公式继续分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像的示意图，其对应的数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可证明，结合高之比等于相似比得到，再结合蜡烛火焰的高度是求解即可． 【详解】解：∵与交于点，， ∴， ∵点到的距离为，点到的距离为， ∴， ∵蜡烛火焰的高度是， ∴，解得，即蜡烛火焰倒立的像的高度是． 14. 如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点E，连接，若，，，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查基础作图的方法，平行四边形的性质和勾股定理，熟练掌握基本作图作角平分线的方法，平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键； 根据题意可知，根据平行四边形的性质得到， ，利用勾股定理逆定理求得为直角三角形，证明，进而求解； 【详解】解：根据作法可知，平分， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，，， ， 为直角三角形， ， ， ， 在中，， 故答案为： 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，其两个锐角的外角平分线相交于点P，若点P恰好在反比例函数的图象上，且的面积为15，则k的值是______． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，求反比例函数的解析式，正方形的判定与性质，过点作轴于点，轴于点，于点，则四边形为矩形，由题意可得，，由角平分线的性质定理可得，从而得出矩形为正方形，设，则，从而得出，再结合，求出，即可得出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于点，轴于点，于点， ， 则四边形为矩形， ∵，， ∴，， ∵的两个锐角的外角平分线相交于点P， ∴，， ∴，矩形为正方形， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 将代入反比例函数可得：， ∴． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）化简结果为，值为 【解析】 【分析】（1）原式运用绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂的运算法则，分别计算每一项后再合并即可； （2）原式先通分计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，约分得到最简结果，最后代入的值计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 当时，原式． 17. 某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息． 信息一：排球垫球成绩如下图所示（成绩用x表示，分成六组：A． ；B． ；C． ；D． ；E． ；F． ）． 信息二：排球垫球成绩在D． 这一组的是： 20，20，21，21，21，22，22，23，24，24 信息三：掷实心球成绩（成绩用y表示，单位：米）的人数（频数）分布表如下： 分组 人数 2 m 10 9 6 2 信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如下： 学生 学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6 排球垫球 26 25 23 22 22 15 掷实心球 ▲ 7．8 7．8 ▲ 8．8 9．2 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______； （2）下列结论正确的是_____；（填序号） ①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%； ②掷实心球成绩的中位数记为n，则； ③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀． （3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数． 【答案】（1） （2）②③ （3）人 【解析】 【分析】（1）由总人数减去各小组已知人数即可得到答案； （2）由排球垫球成绩超过10个的人数除以总人数可判断①，由中位数的含义可判断②，分三种情况进行分析讨论可判断③，从而可得到答案； （3）由样本的百分率乘以总人数即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得：； 【小问2详解】 ①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比为，故①不符合题意； ②∵掷实心球成绩排在第20个，第21个数据落在这一组， ∴掷实心球成绩的中位数记为n，则；故②符合题意； ③由排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀． ∴从这点出发可得：学生1，学生2，学生3，学生4，学生5为优秀， ∵信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名， ∴若学生1为优秀，则学生4不为优秀，可得学生3优秀； 若学生4为优秀，学生1不为优秀，可得学生3优秀； 学生1，学生4不可能同时为优秀， ∴学生3掷实心球的成绩必为优秀，故③符合题意； 故答案为：②③ 【小问3详解】 排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数为（人）． 【点睛】本题考查的是从频数分布表，统计表中获取信息，利用样本估计总体，熟练的从频数分布表与统计表中获取互相关联的信息是解本题的关键． 18. 近年来抚顺文旅市场消费持续火爆，以文塑旅，以旅兴城等文创贴深受大家喜爱，某商家计划购进A，B两种类型的文创贴共60套进行销售，若购进5套A型文创贴和3套B型文创贴共需175元，若购进2套A型文创贴和1套B型文创贴共需65元． （1）求A，B两种类型文创贴的购进单价分别是多少元？ （2）若该商家计划购进这批文创贴所花的总费用不超过1400元，且A型文创贴的售价定为30元/套，B型文创贴的售价定为40元/套．要使这批文创贴全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【答案】（1） A型文创贴购进单价为20元，B型文创贴购进单价为25元. （2） 购进A型文创贴20套，B型文创贴40套时可获得最大利润，最大利润为800元. 【解析】 【分析】（1）先设A，B两种类型文创贴的购进单价分别是x，y元，再根据购进两种文创贴的总价相等得出二元一次方程组，求出解； （2）设购进A类型文创贴m套，则购进B类型文创贴套，商家获得的利润为w元，再根据两种文创贴的利润和等于总利润得出关系式，并根据总费用得出不等式，然后根据一次函数图象的性质，结合不等式的解集得出购进方案即可． 【小问1详解】 解：设A，B两种类型文创贴的购进单价分别是x，y元，根据题意，得 ， 解得， 所以A，B两种类型文创贴的购进单价分别是20元，25元； 【小问2详解】 解：设购进A类型文创贴m套，则购进B类型文创贴套，商家获得的利润为w元，根据题意，得 ，且， 即，且， ∵一次函数中， ∴函数w随着m的增大而减小， 当时，， 所以购进A类型文创贴20套，则购进B类型文创贴40套，商家获得最大利润为800元． 19. 如图1是一款订书机，其平面示意图如图2所示，其主体部分矩形由支撑杆垂直固定于底座上，其中，，压杆，，使用过程中矩形可以绕点E旋转． （1）订书机不使用时，如图2，，求压杆端点到底座的距离； （2）使用过程中，当点落在底座上时，如图3，测得，求压杆端点到底座的高度． （参考数据：，，结果精确到） 【答案】（1）压杆端点到底座的距离为 （2）即压杆端点到底座的高度为 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的应用，矩形的性质，解题的关键是正确作出辅助线． （1）过点作于点，延长交于点，根据题意可得，由，四边形是矩形，，可得，进而得到，然后根据，求出，最后根据，即可求解； （2）过点作于点，过点作于点，过点作于点，根据矩形的性质可得，，可推出，然后求出，结合进而得到，，可得，推出，，根据周角求出，进而根据三角函数求出，最后根据线段的和差即可求解． 【小问1详解】 解：如图2，过点作于点，延长交于点， ， ， 四边形是矩形，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， 即压杆端点到底座的距离为； 【小问2详解】 如图3，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 即压杆端点到底座的高度为． 20. 2026年抚顺中小学春假和五・一节假日连休，抚顺某旅游景区开园检票时游客出现了排队现象．某校数学兴趣小组对该景区每天开园60分钟内“排队检票人数与开园时间、开、检票窗口之间的关系”开展了综合与实践活动． 调研数据： 信息1：景区开园时，检票窗口同时开始检票．已知每个检票窗口每分钟可检票15人． 信息2：景区开园后，到达景区的总人数（单位：人）与开园时间（单位：）满足二次函数（）． 信息3：开园后不断有新的游客到达检票窗口，任意时刻满足：排队检票人数（单位：人）=到达景区的总人数-已检票人数．（该景区共有10个检票窗口）． （1）若开园时景区同时开放6个检票窗口 ①求排队检票人数与开园时间之间的函数关系式； ②求开园多少分钟不再有游客排队检票． （2）问题解决：景区负责人为了让游客尽快完成检票，增加游客游园时的体验感，决定增派人手，在开园时同时开放个检票窗口，使得排队检票人数在5分钟时达到最大值，求的值． 【答案】（1）①；② （2）8 【解析】 【分析】（1）①根据排队检票人数（单位：人）到达景区的总人数已检票人数，列出函数关系式即可； ②令，进行求解即可； （2）求出新的函数解析式，根据二次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：①由题意，； ②根据题意，不再有游客排队检票时，． 将代入，得． 解得，（不符合题意，舍去）． 答：开园不再有游客排队检票； 【小问2详解】 解：根据题意，开放n个检票窗口时，排队检票人数与开园时间x之间的函数关系式为， 整理得． ∴该二次函数的对称轴为直线． ∵排队检票人数在5分钟时达到最大值， ． 解得． 21. 如图，点E为正方形的边上的一点，是的外接圆，与交于点F，G是上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求半径的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据正方形的性质得出，则，根据，推出，进而得出，即可求证； （2）连接，证明四边形为矩形，设，则，， 证明，根据，求出x的值，最后根据勾股定理即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：，即， 根据勾股定理可得： ∴半径的长为． 【点睛】本题主要考查了圆与四边形的综合，相似三角形的判定和性质，切线的判定，解题的关键是掌握直径所对的圆周角为直角，相似三角形对应边成比例． 22. 在边长为的正方形中，以点为旋转中心，将边逆时针旋转得到，旋转角为（），连接，过点作的垂线交的延长线于点． （1）如图1，当时，求出的度数和的长； （2）如图2，连接，判断，的位置关系，并说明理由； （3）连接，当四边形是平行四边形时，请画出图形，求出的面积． 【答案】（1）， （2），理由如下：如图2所示，连接， 在正方形中，，，， ∴是等腰直角三角形， 由旋转，得，，则， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）当四边形是平行四边形时，如图所示： 此时 【解析】 【分析】（1）由旋转，得，利用等腰三角形的性质可得，再得出是等边三角形，通过角度的计算得出，再由，即可求出结果； （2）连接，可得、是等腰直角三角形，可证明，得出，利用，即可证明； （3）当四边形是平行四边形时，可得互相平分，取中点，连接即可确定此时的位置，在过点作即可得到点，再作即可画出此时的图；当四边形是平行四边形时，，先由勾股定理求出，，在中，求出，最后根据即可求出结果． 【小问1详解】 解：由旋转，得， ∴， 在正方形中，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当四边形是平行四边形时，如图所示，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 设与的交点为， 由题意得为的中点， ∴，， 由（2），可得是等腰直角三角形， ∴， ∴，，由勾股定理得， ∴，解得：（负值舍去）， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴． 23. 如图，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． （1）如图1，请求出抛物线的解析式； （2）如图2，点为线段上一动点，作交抛物线于点，点在第一象限，过点作轴，垂足为点，交于点，过点作，交于点，连接，，，设和的面积和为． ①求面积的最大值； ②直接写出面积最大时点的坐标； （3）抛物线与抛物线关于轴对称，当时抛物线与时抛物线组成新的函数，若函数图象上有不重合的两点和，点和点的横坐标分别为和，图象上点和点之间部分（包括点和点）的最大值和最小值均与的取值无关，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①的最大值；② （3）或 【解析】 【分析】（1）把和代入即可求出抛物线的解析式； （2）①先求出直线为，设，，则，可表示出，由，可得，即可求出，据此即可求出的最大值；②由①得：当时，取最大值，可得，由，即可求出的坐标； （3）过点作轴的平行线，交对称轴左侧图象于点，当时，即，此时点在点的左侧，图象上点和点之间部分（包括点和点）的最大值和最小值均与的取值无关，则点要在函数的段，点要在函数的段；当时，即，此时点在点的右侧，同理，点要在函数的段，点要在函数的段；分别根据这两种情况列出不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：把和代入中得： ，解得：， ∴． 【小问2详解】 解：①令，得，解得：或， ∴， 设直线的解析式为，将，代入可得： ，解得， ∴直线为， ∵轴， ∴轴， 设，，则， ∴， ∵，轴， ∴轴，， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴当时，； ②由①得：当时，取最大值， ∴当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，解得：， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：设的顶点为， ∵， ∴， ∵抛物线与抛物线关于轴对称， ∴， 过点作轴的平行线，交对称轴左侧图象于点， 令，解得：或， ∵的图象是的部分， ∴点的横坐标为， 当时，即，此时点在点的左侧，如图所示： 图象上点和点之间部分（包括点和点）的最大值和最小值均与的取值无关，则点要在函数的段，点要在函数的段， ∴，解得：， 当时，即，此时点在点的右侧，如图所示： 同理，点要在函数的段，点要在函数的段， ∴，解得：， 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $