期末复习：二项式定理复习讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

期末复习：二项式定理复习讲义 期末复习：二项式定理复习讲义 知识点解析 一、核心基础知识点 1. 二项展开式公式 ，共 项 2. 通项公式（重中之重） 第 项： · ： 的次数；： 的次数 · ：二项式系数 3. 二项式系数性质 （1）对称性： （2）和的性质： 全部二项式系数和： 奇数项系数和 = 偶数项系数和 = （3）增减最值： 偶数：中间一项 系数最大； 奇数：中间两项 、 系数相等且最大。 4. 区分两个概念 · 二项式系数：只指 ，不带字母系数； · 项的系数： 乘 、 自带数字系数。 二、常考题型 + 标准解题思路 题型 1：求指定项（常数项、 项） 思路 1. 写出通项 ； 1. 整理化简字母的指数； 1. 令指数等于目标值，解出 ； 1. 回代通项算出该项系数/数值。 题型 2：求二项式系数最大项 / 系数最大项 1. 二项式系数最大：直接用奇偶中间项结论； 1. 项的系数最大：设第 项系数为 ，列不等式组 解整数 。 题型 3：赋值法求系数和 通用赋值技巧： 1. 求所有项系数和：令 ； 1. 求常数项：令 ； 1. 奇偶分开：联立 、 两式加减。 设 相加除以 2 得偶次项和；相减除以 2 得奇次项和。 题型 4：整除、余数问题 把大数拆成 ，展开后除最后一项其余都含因数 ，只用最后一项求余数。 题型 5：三项式转化二项式 如 ，分组：，两次套用通项逐层展开。 题型 6：近似估算 不大、 很小时，，高阶小项忽略。 三、易错点提醒 1. 通项是 ，不是 ，代值别少 1； 1. 负号、分数、指数化简极易算错，分步整理； 1. 二项式系数≠项的系数，题目问法看清； 1. 必须取 整数，算出非整数说明无对应项。 例题分析 例1．（2026·北京·三模）已知，则（    ） A．1 B． C． D．122 【答案】B 【分析】利用赋值法分别令和得到两个等式，相加后除以2即可求得偶数次项的系数之和. 【详解】令，则 ， 即 ① 令，则 ， 即 ② ①+②得： ，所以. 例2．（25-26高二下·吉林长春·期中）二项式的展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，解得，所以二项式的展开式中的常数项为. 例3．（25-26高二下·云南红河·月考）的展开式中常数项为（    ） A．-20 B．20 C．-924 D．924 【答案】D 【分析】将整理为，利用二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】因为， 展开式的通项公式为， 则当时为常数项. 例4．（25-26高二下·吉林长春·期中·多选）已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（     ） A． B．展开式的二项式系数和为 C．展开式的各项系数和为 D． 【答案】ABC 【分析】根据二项式系数相等求出的值，根据二项式定理、二项式系数的性质、二项式系数和、及赋值法求解即可. 【详解】选项A：二项式展开中第项的二项式系数为，由题意知，解得，A正确. 选项B：二项式展开的二项式系数和恒为，时，二项式系数和为，B正确. 选项C：令，代入得，C正确. 选项D：令，得常数项， 令，代入原式得， 两式相减得，D错误. 例5．（25-26高二下·河北唐山·期中·多选）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】本题核心方法是赋值法，通过代入不同的值得到对应等式，再对等式运算得到所求系数和。 【详解】选项A：令，代入原式得，故A错误； 选项B：令得①式：； 令得②式：， ①+②得，即，故B正确； 选项C：①②得，即，故C正确； 选项D：令，代入原式得，移项得，故D正确. 例6．（2026·北京大兴·三模）的展开式中的系数为_____________.（用数字作答） 【答案】 【详解】设是含的项， 则， 则有，解得， 则的系数为. 例7．（25-26高二下·重庆渝北·期中）当时，将展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角”： 若在的展开式中，项的系数为10，则实数______. 【答案】 【分析】根据广义杨辉三角的展开式，结合题意，得到的项为，列出方程，即可求解. 【详解】由广义杨辉三角，可得， 因为的展开式中，的项为， 所以，即，解得. 例8．（2026·山西忻州·模拟预测）的展开式中，的系数为_____． 【答案】 【分析】先写出的展开式，再将每一项与组合即可求得的系数. 【详解】， 则的系数为. 例9．（25-26高二下·黑龙江绥化·期中）设，求下列各式的值． (1)求； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）令，得． （2）令，得①， 所以． （3）令，得②． 由①②联立，得． 例10．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知，展开式的第二项，第三项，第四项的二项式系数成等差数列. (1)求； (2)求的值； 【答案】(1) (2)2059 【分析】（1）根据二项式系数的性质，结合等差数列的性质列出关于的方程，进而求解的值； （2）可通过对赋值，利用已知等式求出的值. 【详解】（1）由题意得， 即，得， 化简得：， 解得或， 因为，所以. （2）已知， 令，可得，即， 令，可得，即， 将代入， 可得：. 变式训练 变式1．（25-26高二下·上海·期末）今天是星期五，小明在参加数学考试，那么再过天后是星期（    ） A．四 B．五 C．六 D．日 【答案】D 【分析】结合二项式定理求除以7的余数即可． 【详解】因为， 所以可以写成，的形式； 所以除以7所得的余数为2，故天后为星期日. 变式2．（2026·北京丰台·三模）在的展开式中，常数项为（ ） A．4 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】利用二项展开式的通项公式，再令通项中的指数为0取得的值，最后代入计算求得常数项即可. 【详解】因为， 所以，， 因为常数项的次数为0，所以，解得， 代入得. 变式3．（25-26高二下·重庆·阶段检测）在的展开式中项的系数是（     ） A． B． C．24 D．48 【答案】D 【分析】将原式转化为，再利用两个二项展开式求含项的系数． 【详解】， 中项的系数为，项的系数为，常数项为， 中项的系数为，项的系数为，常数项为， 所以展开式中含有项的系数为． 变式4．（25-26高二下·黑龙江绥化·期中·多选）已知在的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则下列结论错误的是（    ） A． B．展开式中含的项的系数是60 C．展开式的各二项式系数和为128 D．展开式的各项系数和为729 【答案】ACD 【分析】先利用二项式系数的对称性，根据展开式中只有第四项的二项式系数最大求出的值，再利用展开式通项公式和二项式系数性质逐一计算验证各选项的结论判断正误即可得. 【详解】对A：根据二项式系数的性质：展开式中只有一项二项式系数最大，说明为偶数， 且最大二项式系数对应中间项，则，即，故A错误； 对B：对，有， 令，解得，则， 即展开式中含的项的系数是，故B正确； 对C：二项式系数和为，故C错误； 对D：对，令，有， 故展开式的各项系数和为，故D错误. 变式5．（25-26高二下·福建泉州·期中·多选）如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为（时），则下列选项正确的有（   ） A．第2026行中，从左到右数，第1013个数最大 B．第2026行中，所有奇数项的和为 C．第48行的所有数字之和被7除的余数为3 D． 【答案】BD 【详解】由题意得第行的第个数为，则第2026行中，从左到右数，第1013个数是， 而这一行的二项式系数的最大值为，故A错误； 根据二项式系数性质：所有二项式系数的和为，且奇数项和偶数项的二项式系数和相等， 所以第2026行中，所有奇数项的二项式系数和为，故B正确； 根据二项式系数性质：第48行所有数字和为， 则， 即第48行的所有数字之和被7除的余数为，故C错误； 根据组合数递推公式， 累加得 ，故D正确. 变式6．（25-26高二下·吉林长春·期中）设．若n是大于3的偶数，则除以1225的余数是__________． 【答案】 【分析】利用二项式定理化简，再将偶数换元为并展开，可证是1225的倍数，即可求得. 【详解】因为， 所以， 若是大于3的偶数，令， 则 ， 因为对，， 所以能被1225整除，故余数为0，即余数是. 变式7．（2025·山东济南·高考模拟）展开式中，常数项是________． 【答案】 【分析】利用二项展开式的通项公式，令的幂次为0求出的值，代入计算即可得到常数项. 【详解】根据二项式定理展开式的通项为： ， 令，得， 故展开式的常数项为. 故答案为60. 变式8．（25-26高二下·福建泉州·期中）已知二项式展开式中的系数为，则实数___________． 【答案】2 【详解】二项式展开式通项公式为， 令，解得，所以， 又因为二项式展开式中的系数为，所以， 即，解得. 变式9．（25-26高二下·江苏·阶段检测）已知的展开式中，二项式系数之和等于1024．常数项为， (1)求的值； (2)第项的系数是第项系数的6倍，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出展开式的通项公式，利用常数项求出的值； （2）利用项的系数关系，结合组合数计算求得的值. 【详解】（1）根据二项式性质，二项式系数之和为，由题知，得. 展开式的通项为： 常数项满足的指数为0，令，解得. 所以常数项为：. 由题意得，且，解得，即. （2）第项对应，系数为； 第项对应，系数为. 由题意得：， 整理得：， 由组合数性质可得：，代入得： 解得（符合的范围）. 变式10．（25-26高二下·天津静海·阶段检测）已知在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，并且所有项的系数之和为1． (1)求和的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求的展开式中的常数项． (4)若，求．（结果用数字表达） 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】（1）利用二项式的性质结合已知条件求出展开式的项数，进而求出，再利用赋值法结合所有项系数和为1，构造方程求出； （2）列出二项式的通项公式，结合第5项最大代入求解； （3）利用二项展开式的通项公式，采用赋值法求出，进而求解； （4）利用赋值法求出与，再作差计算求解． 【详解】（1）二项式只有第5项二项式系数最大，说明展开式共项，故， 令，，且，解得． （2）二项式的通项公式为，第5项对应， 则． （3）已知，，则的常数项由两部分组成： 当时，； 当时，， 则常数项为：． （4）， 令，则， 令，则， 则． 实战演练 1．（25-26高二下·江苏泰州·期中）（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据二项式定理即可得到答案. 【详解】因为 . 2．（25-26高二下·广东东莞·期中）“的展开式中的系数为”是“”的（   ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 【答案】C 【详解】的展开式中的系数为， 若的系数为，则，故， “的展开式中的系数为”推不出“”， 若，则展开式中的系数为， 故“”能推出“的展开式中的系数为”， “的展开式中的系数为”是“”的必要不充分条件． 3．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）已知的展开式中，所有项的系数之和、二项式系数之和分别为729，64，则展开式中的常数项为________． 【答案】240 【分析】 根据二项式系数和，得到的值，令，解得，再写出二项式的展开式的通项，令的指数为，即可得到. 【详解】由题可知，所有项的二项式系数之和为，解得， 令，得，解得， 所以的展开式的通项为， 令0，解得，所以常数项为． 4．（2026·山东聊城·模拟预测）已知，则___________． 【答案】 【分析】根据题意，分别令和，得到运算结果，两式相加，进而得到答案. 【详解】由， 令，则 ①； 令，则， 即 ②． ，得． 5．（25-26高二下·吉林长春·期中）（1）求的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比； （2）求的展开式中第2项与第3项的系数之比； （3）求的展开式中系数最大的项． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】利用二项式展开式通项分别得出相应的二项式系数和展开式中项系数求解即可. 【详解】（1）二项式展开式的第项为, 二项式展开式中的二项式系数分别为,． 所以展开式中,第项,第项的二项式系数分别为： ,,二项式系数之比； （2）的展开式中第2项与第3项的系数分别为： ， ，比值为； （3）设的展开式中第项系数最大，其系数为， 则有，化简， ，即， 得，的整数，所以，因此系数最大的项为第项． 所以展开式中系数最大的项：，即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：二项式定理复习讲义 期末复习：二项式定理复习讲义 知识点解析 一、核心基础知识点 1. 二项展开式公式 ，共 项 2. 通项公式（重中之重） 第 项： · ： 的次数；： 的次数 · ：二项式系数 3. 二项式系数性质 （1）对称性： （2）和的性质： 全部二项式系数和： 奇数项系数和 = 偶数项系数和 = （3）增减最值： 偶数：中间一项 系数最大； 奇数：中间两项 、 系数相等且最大。 4. 区分两个概念 · 二项式系数：只指 ，不带字母系数； · 项的系数： 乘 、 自带数字系数。 二、常考题型 + 标准解题思路 题型 1：求指定项（常数项、 项） 思路 1. 写出通项 ； 1. 整理化简字母的指数； 1. 令指数等于目标值，解出 ； 1. 回代通项算出该项系数/数值。 题型 2：求二项式系数最大项 / 系数最大项 1. 二项式系数最大：直接用奇偶中间项结论； 1. 项的系数最大：设第 项系数为 ，列不等式组 解整数 。 题型 3：赋值法求系数和 通用赋值技巧： 1. 求所有项系数和：令 ； 1. 求常数项：令 ； 1. 奇偶分开：联立 、 两式加减。 设 相加除以 2 得偶次项和；相减除以 2 得奇次项和。 题型 4：整除、余数问题 把大数拆成 ，展开后除最后一项其余都含因数 ，只用最后一项求余数。 题型 5：三项式转化二项式 如 ，分组：，两次套用通项逐层展开。 题型 6：近似估算 不大、 很小时，，高阶小项忽略。 三、易错点提醒 1. 通项是 ，不是 ，代值别少 1； 1. 负号、分数、指数化简极易算错，分步整理； 1. 二项式系数≠项的系数，题目问法看清； 1. 必须取 整数，算出非整数说明无对应项。 例题分析 例1．（2026·北京·三模）已知，则（    ） A．1 B． C． D．122 例2．（25-26高二下·吉林长春·期中）二项式的展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·云南红河·月考）的展开式中常数项为（    ） A．-20 B．20 C．-924 D．924 例4．（25-26高二下·吉林长春·期中·多选）已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（     ） A． B．展开式的二项式系数和为 C．展开式的各项系数和为 D． 例5．（25-26高二下·河北唐山·期中·多选）若，则（   ） A． B． C． D． 例6．（2026·北京大兴·三模）的展开式中的系数为_____________.（用数字作答） 例7．（25-26高二下·重庆渝北·期中）当时，将展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角”： 若在的展开式中，项的系数为10，则实数______. 例8．（2026·山西忻州·模拟预测）的展开式中，的系数为_____． 例9．（25-26高二下·黑龙江绥化·期中）设，求下列各式的值． (1)求； (2)； (3)； 例10．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知，展开式的第二项，第三项，第四项的二项式系数成等差数列. (1)求； (2)求的值； 变式训练 变式1．（25-26高二下·上海·期末）今天是星期五，小明在参加数学考试，那么再过天后是星期（    ） A．四 B．五 C．六 D．日 变式2．（2026·北京丰台·三模）在的展开式中，常数项为（ ） A．4 B． C．12 D． 变式3．（25-26高二下·重庆·阶段检测）在的展开式中项的系数是（     ） A． B． C．24 D．48 变式4．（25-26高二下·黑龙江绥化·期中·多选）已知在的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则下列结论错误的是（    ） A． B．展开式中含的项的系数是60 C．展开式的各二项式系数和为128 D．展开式的各项系数和为729 变式5．（25-26高二下·福建泉州·期中·多选）如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为（时），则下列选项正确的有（   ） A．第2026行中，从左到右数，第1013个数最大 B．第2026行中，所有奇数项的和为 C．第48行的所有数字之和被7除的余数为3 D． 变式6．（25-26高二下·吉林长春·期中）设．若n是大于3的偶数，则除以1225的余数是__________． 变式7．（2025·山东济南·高考模拟）展开式中，常数项是________． 变式8．（25-26高二下·福建泉州·期中）已知二项式展开式中的系数为，则实数___________． 变式9．（25-26高二下·江苏·阶段检测）已知的展开式中，二项式系数之和等于1024．常数项为， (1)求的值； (2)第项的系数是第项系数的6倍，求的值． 变式10．（25-26高二下·天津静海·阶段检测）已知在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，并且所有项的系数之和为1． (1)求和的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求的展开式中的常数项． (4)若，求．（结果用数字表达） 实战演练 1．（25-26高二下·江苏泰州·期中）（    ） A． B． C．1 D． 2．（25-26高二下·广东东莞·期中）“的展开式中的系数为”是“”的（   ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 3．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）已知的展开式中，所有项的系数之和、二项式系数之和分别为729，64，则展开式中的常数项为________． 4．（2026·山东聊城·模拟预测）已知，则___________． 5．（25-26高二下·吉林长春·期中）（1）求的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比； （2）求的展开式中第2项与第3项的系数之比； （3）求的展开式中系数最大的项． 2 学科网（北京）股份有限公司 $