精品解析：河北石家庄市第二十八中学校2025-2026学年九年级下学期5月 数学中考模拟试题

九年级5月份数学练习 一、选择题 1. 在数轴上有四个点分别表示实数，，，0，其中离原点距离最远的点所表示的数是（ ） A. B. C. D. 0 2. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜后，光线的传播方向发生改变，其与一束经过光心的光线（此光线的方向不发生改变）相交于点，与主光轴交于点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 中国瓷器以“技术+文化”为双驱动，在国际市场保持核心竞争力．如图，是白釉暗刻龙纹高足杯，下面说法正确的是（ ） A. 主视图和俯视图相同 B. 主视图和左视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 主视图、左视图和俯视图都相同 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若点与点关于y轴对称，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 如图所示的数轴上，的大致位置可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7. “七巧板”是一种古老的中国传统智力玩具，由“七巧板”组成的正方形如图所示，若在正方形区域内随意取一点，则该点取在阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点都在网格纸的格点上，若是由绕点按顺时针方向旋转得到，且点在一条直线上，则最小旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2027 11. 如图，在平行四边形中，是对角线上的动点，且分别是边，边上的动点．下列说法错误的是（ ） A. 存在无数个平行四边形 B. 存在无数个矩形 C. 存在无数个菱形 D. 存在无数个正方形 12. 如图，抛物线与抛物线交于点，以下结论： ①无论取何值，总是负数； ②抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先增大后减小； ④当直线与抛物线有3个交点时，． 下列说法正确的是（ ） A. 只有①正确 B. 只有②④正确 C. 只有③④不正确 D. ①②③④都正确 二．填空题 13. 若最简二次根式与能合并，则的值为__________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则________． 15. 若干个全等的正五边形按照图中的方式拼接在一起，相邻的正五边形存在一个公共顶点，若图中，最终所有的正五边形围绕圆心拼接一圈后，形成一个正边形，则的值为__________． 16. 如图，，，，，点在线段上运动，当点从点运动到点时． （1）当时，则______； （2）设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是______． 三、解答题 17. 李老师在黑板上出示了如图1的一个算式，但是老师用手遮挡了其中的一个数． （1）若被手遮挡的数是，求这个算式的值； （2）若这个算式的结果落在图2所示的范围内，求被遮挡的数的最小值． 18. 【定义新运算】对正实数，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________． 【探究运算律】 对正实数运算“”是否满足交换律？ ， ． ∴运算“”满足交换律． （2）对正实数，运算“”是否满足结合律？请说明理由． 19. 2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ；请将频数分布直方图补充完整； （2）所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内； （3）计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 20. 如图，点在线段上，，，，是的中点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 21. 摄氏温度和热力学温度是两种不同的温度计量方法，二者成一次函数关系，与之间的部分对应数值如下表所示． 摄氏温度 热力学温度 （1）求与之间的函数解析式： （2）是热力学温度中的绝对零度，则绝对零度是_________； （3）一定质量的理想气体，在压强不变时，气体体积与气体的热力学温度成正比，即常数．在压强不变时，将的氮气加热到时，求此时氮气的体积． 22. 2024年全国青少年U系列自由式小轮车冠军赛在四川广安成功举办，思思深受赛事氛围感染，特意购置了一辆小轮车并开始训练．小轮车如图1所示，该车的车轮半径为（含轮胎），图2是该车的车架示意图，已知立管，且与上管垂直，下管比上管长，座管可以伸缩，点在同一条直线上，后下叉与地面平行，且与立管所成的夹角为，即． （1）求下管的长． （2）当座垫离地面的距离为时，思思骑行更舒服，问此时应将座管调为多长？（结果精确到，参考数据） 23. 在综合实践活动课上，同学们以“正方形的折叠”开展数学探究活动． 【操作一】如图1，在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部的点处，在上选一点，沿折叠，使与重合． （1）的度数为__________； （2）已知正方形的边长为为的中点．若点在上，且，求的长； （3）【操作二】将正方形按【操作一】中折叠后展平，得到折痕，连接交于点，交于点，易得，则． （4）如图2，连接，判断的形状，并证明； （5）如图3，连接，过点作，分别交于点，直接写出的值． 24. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点是直线上方的抛物线上不与抛物线的顶点重合的动点，点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）若点在抛物线上且横坐标比点的横坐标小2．若，求点纵坐标的最大值； （3）平移抛物线得到抛物线，抛物线的顶点是直线在第二象限部分上的动点，过点作轴于点，过点作轴，交抛物线于点．若，求点的坐标； （4）过点作轴的垂线交于点，过点作轴的平行线与抛物线的另一个交点为，线段的长度之和记为，直接写出关于的函数解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级5月份数学练习 一、选择题 1. 在数轴上有四个点分别表示实数，，，0，其中离原点距离最远的点所表示的数是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】一个数表示的点到原点的距离等于这个数的绝对值，只需比较四个数的绝对值大小，绝对值最大的数对应的点离原点最远. 【详解】解：∵ ，，，，，，， ∴， ∴ ，即的绝对值最大， ∴ 离原点距离最远的点所表示的数是. 2. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜后，光线的传播方向发生改变，其与一束经过光心的光线（此光线的方向不发生改变）相交于点，与主光轴交于点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，对顶角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据对顶角相等得到，再根据三角形的外角性质求得，最后根据平行线的性质，即得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：D． 3. 中国瓷器以“技术+文化”为双驱动，在国际市场保持核心竞争力．如图，是白釉暗刻龙纹高足杯，下面说法正确的是（ ） A. 主视图和俯视图相同 B. 主视图和左视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 主视图、左视图和俯视图都相同 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形得到其三视图，进而问题可求解． 【详解】解：由图可知：该白釉暗刻龙纹高足杯的主视图和左视图相同，故B选项符合题意． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据运算法则对选项逐一判断即可． 【详解】解：选项，，运算错误，不符合题意，选项错误； 选项，，运算正确，符合题意，选项正确； 选项，，运算错误，不符合题意，选项错误； 选项，和不是同类项，不能合并，运算错误，不符合题意，选项错误． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是同底数幂相乘、积的乘方、同底数幂相除、合并同类项，解题关键是熟练掌握相关运算法则． 5. 若点与点关于y轴对称，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可． 【详解】∵点与点关于y轴对称， ∴a=-2，b=-1， ∴a-b=-1， 故选A． 【点睛】本题考查了关于y轴对称的点坐标的关系，代数式求值，解题的关键在于明确关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数． 6. 如图所示的数轴上，的大致位置可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ ∴的大致位置可能是点 7. “七巧板”是一种古老的中国传统智力玩具，由“七巧板”组成的正方形如图所示，若在正方形区域内随意取一点，则该点取在阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是几何概率，正方形的性质，勾股定理的应用，先求出大正方形的面积和阴影部分面积，再利用几何概率公式计算即可，正确计算出图形的面积是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，阴影部分是一个正方形， 设大正方形的边长为， 大正方形的对角线长为，面积为， 阴影部分的边长为， ， (该点取到阴影部分)， 故选：A． 8. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组． 根据甲和乙的陈述，甲得乙9只羊后，羊数是乙的2倍；乙得甲9只羊后，两人羊数相等．由此列出二元一次方程组． 【详解】解：设甲有x只羊，乙有y只羊， 甲得乙9只羊后，甲有只，乙有只，且； 乙得甲9只羊后，乙有只，甲有只，且； ∴方程组为． 故选：B． 9. 如图，点都在网格纸的格点上，若是由绕点按顺时针方向旋转得到，且点在一条直线上，则最小旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取格点，得出是等腰直角三角形，进而根据旋转的性质可得，进而得出旋转角的度数，即可求解． 【详解】解：如图，取格点， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴，即 ∵是由绕点按顺时针方向旋转得到，且点在一条直线上， ∴ ∴ ∴最小旋转角的度数是 10. 若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2027 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为2027，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解： 方程变形为， ∵是关于的方程的一个根， ∴是关于的方程的一个根， 此时， 即关于的方程必有一个根为2025． 故选：C 11. 如图，在平行四边形中，是对角线上的动点，且分别是边，边上的动点．下列说法错误的是（ ） A. 存在无数个平行四边形 B. 存在无数个矩形 C. 存在无数个菱形 D. 存在无数个正方形 【答案】D 【解析】 【分析】连接、，、、交于点，由平行四边形的性质可得，再根据平行四边形、矩形．菱形、正方形的判定条件逐一判断即可． 【详解】解：如图，连接，、交于点，连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 分别是边，边上的动点． 若过点时， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 过点时，四边形是平行四边形， 即存在无数个平行四边形， 故说法正确，不符合题意； 只需，，四边形是矩形， 而，是对角线上的动点，即存在无数个矩形， 故说法正确，不符合题意； 只，四边形是菱形， ，是对角线上的动点，即存在无数个菱形， 故说法正确，不符合题意； 只需，，四边形是正方形， 此时符合要求的正方形只有一个，不存在无数个， 故说法错误，符合题意． 12. 如图，抛物线与抛物线交于点，以下结论： ①无论取何值，总是负数； ②抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先增大后减小； ④当直线与抛物线有3个交点时，． 下列说法正确的是（ ） A. 只有①正确 B. 只有②④正确 C. 只有③④不正确 D. ①②③④都正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的图象及性质，二次函数的平移等．根据题意逐一对序号进行判断分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵，且， ∴的最大值为， ∴无论取何值，总是负数，故①正确； 把点代入得： ，解得：， ∴， ∴的顶点坐标为， ∵， ∴顶点坐标为， ∴抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到的，故②正确； ， ∴当时，的值随着的增大而减小，故③错误； 根据题意得：当直线与抛物线有3个交点时，直线过的顶点或点A， 此时或，故④错误． 故选：C 二．填空题 13. 若最简二次根式与能合并，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【详解】先化简得：， 最简二次根式与能合并， 与是同类二次根式， 根据同类二次根式的定义，可得二者被开方数相同， ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点作轴的垂线，垂足分别为，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足分别为，如图， ∵， ∴， ∴设，则， ∴点， ∵点A在反比例函数上， ∴， ∴（负值已舍），则点， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴点， ∵点B落在反比例函数上， ∴， 故答案为：8． 15. 若干个全等的正五边形按照图中的方式拼接在一起，相邻的正五边形存在一个公共顶点，若图中，最终所有的正五边形围绕圆心拼接一圈后，形成一个正边形，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得围成的多边形为正边形，利用正五边形的内角与夹角计算出正边形的每个内角的度数，然后根据内角和定理得到方程求解即可． 【详解】解：∵正五边形的外角和为， ∴正五边形每个外角的度数为：， ∴正五边形每个内角为：， ∴组成的正边形的每个内角为：， ∵个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形， ∴组成的正多边形为正边形， ∴， 解得：． 16. 如图，，，，，点在线段上运动，当点从点运动到点时． （1）当时，则______； （2）设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是______． 【答案】 ①. ## ②. 4 【解析】 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ， 即， ∵， ∴， ， ∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵P为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴的值最小时，的值最小，此时的值最小， ∵，，， ∴， 根据垂线段最短可知，当时，此时， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理等知识，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 三、解答题 17. 李老师在黑板上出示了如图1的一个算式，但是老师用手遮挡了其中的一个数． （1）若被手遮挡的数是，求这个算式的值； （2）若这个算式的结果落在图2所示的范围内，求被遮挡的数的最小值． 【答案】（1）这个算式的值为 （2）被遮挡的数的最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的加减乘除运算，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式是解题关键． （1）将直接代入算式即可求解； （2）设被遮挡的数为，根据题意得，解不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：若被手遮挡的数是，则， 这个算式的值为． 【小问2详解】 解：设被遮挡的数为， 由题意得：， 解得：， 被遮挡的数的最小值为． 18. 【定义新运算】对正实数，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________． 【探究运算律】 对正实数运算“”是否满足交换律？ ， ． ∴运算“”满足交换律． （2）对正实数，运算“”是否满足结合律？请说明理由． 【答案】（1） （2）满足，理由如下， 左边：， 右边：， ∴左边右边， ∴对正实数，运算“”满足结合律． 【解析】 【分析】（1）因为新运算规则为​，所以将分别代入对应位置，按照规则计算即可； （2）如果要验证结合律是否成立，那么需要分别计算和的结果，再对比二者是否相等，计算时先将括号内的运算按照新运算规则化简，再将化简结果作为新的运算元素代入外层的新运算，最后整理表达式验证是否相等． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 略 19. 2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ；请将频数分布直方图补充完整； （2）所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内； （3）计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 【答案】（1）10%，30%， 补全频数分布直方图如下： （2）4 （3）全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人 【解析】 【分析】本题考查了频率和频数，频数分布直方图，中位数，利用样本估计总体． （1）根据第2组的频数和百分比，求出抽取的学生人数，再求出相应的值，补全频数分布直方图即可； （2）根据中位数的定义求解即可 （3）利用全校人数乘以成绩不低于91分的学生占比，即可求解． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为人， 则， ， ，， 【小问2详解】 解：抽取的名学生竞赛成绩中，中位数为第和名学生竞赛成绩的平均数， 由（1）可知，第1组有5人，第2组有10人，第3组有15人，第4组有40人， 前三组人数为人，前四组人数为人， 则中位数处于第4组的分数段内， 故答案为：4； 【小问3详解】 解：由（1）可知，，即全校91分以上的同学占比约为， 则全校91分以上的同学约有（人）， 答：全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人． 20. 如图，点在线段上，，，，是的中点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用平行线性质得到相等角，通过证明，得出 ，即为等腰三角形；再结合等腰三角形“三线合一”的性质，由是中点，证明． （2）先结合全等三角形性质得，算出，再利用等腰三角形内角和求． 【小问1详解】 证明：， ， ，， ， ， 是的中点， ． 【小问2详解】 解：由（1），得， ， ， ， ， ， ， ． 21. 摄氏温度和热力学温度是两种不同的温度计量方法，二者成一次函数关系，与之间的部分对应数值如下表所示． 摄氏温度 热力学温度 （1）求与之间的函数解析式： （2）是热力学温度中的绝对零度，则绝对零度是_________； （3）一定质量的理想气体，在压强不变时，气体体积与气体的热力学温度成正比，即常数．在压强不变时，将的氮气加热到时，求此时氮气的体积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，即可求出与之间的函数解析式； （2）代入，求出值即可； （3）根据题意分别求得，，将，代入，即可求解． 【小问1详解】 解：设一次函数表达式为，将代入表达式， 得：． 所以，一次函数表达式． 【小问2详解】 当时，， 解得：， ∴绝对零度是； 【小问3详解】 将代入表达式，得：，对应的热力学温度． 由，根据，得： 所以，此时氮气的体积为． 22. 2024年全国青少年U系列自由式小轮车冠军赛在四川广安成功举办，思思深受赛事氛围感染，特意购置了一辆小轮车并开始训练．小轮车如图1所示，该车的车轮半径为（含轮胎），图2是该车的车架示意图，已知立管，且与上管垂直，下管比上管长，座管可以伸缩，点在同一条直线上，后下叉与地面平行，且与立管所成的夹角为，即． （1）求下管的长． （2）当座垫离地面的距离为时，思思骑行更舒服，问此时应将座管调为多长？（结果精确到，参考数据） 【答案】（1） （2）此时应将座管调为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及勾股定理、三角函数等知识，读懂题意，数形结合是解决问题的关键． （1）设下管的长为，则，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案； （2）由题意得：，，在中，由，代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 设下管的长为，则， ， 在中，由勾股定理可得，则， ， 答：下管的长为； 【小问2详解】 解：由题意得：，， 在中，， ， ， 答：此时应将座管调为． 23. 在综合实践活动课上，同学们以“正方形的折叠”开展数学探究活动． 【操作一】如图1，在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部的点处，在上选一点，沿折叠，使与重合． （1）的度数为__________； （2）已知正方形的边长为为的中点．若点在上，且，求的长； （3）【操作二】将正方形按【操作一】中折叠后展平，得到折痕，连接交于点，交于点，易得，则． （4）如图2，连接，判断的形状，并证明； （5）如图3，连接，过点作，分别交于点，直接写出的值． 【答案】（1） （2）3 （3） （4）是等腰三角形． 证明：． ∴ ， ， ， ∴． 由正方形的对称性可得， 是等腰三角形． （5） 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得，，进而可求出； （2）设，则，然后根据列方程求解即可； （3）先证明，进而可证，然后利用相似三角形的性质可得结论； （4）由可得，证明得，可证，由正方形的对称性可得，进而可证结论成立； （5）证明得，证明得，进而可求出． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴． 由折叠的性质得，， ∴； 【小问2详解】 解：∵正方形的边长为6， ∴． ∵为的中点， ∴． ∵， ∴． 由折叠的性质得，． 设，则， ∵， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 【小问4详解】 略； 【小问5详解】 解：由翻折得，， ∵四边形是正方形， ， ， ， ． ∵， ∴， ， ， ， ， ， ∴． 24. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点是直线上方的抛物线上不与抛物线的顶点重合的动点，点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）若点在抛物线上且横坐标比点的横坐标小2．若，求点纵坐标的最大值； （3）平移抛物线得到抛物线，抛物线的顶点是直线在第二象限部分上的动点，过点作轴于点，过点作轴，交抛物线于点．若，求点的坐标； （4）过点作轴的垂线交于点，过点作轴的平行线与抛物线的另一个交点为，线段的长度之和记为，直接写出关于的函数解析式． 【答案】（1） （2）4 （3）点F的坐标为 （4）当时，；当时， 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求出二次函数的解析式，即可作答． （2）先表示出点的横坐标，再代入二次函数的解析式，得，结合二次函数的性质进行分析，即可作答． （3）由（1）得，得，，设直线的解析式为，运用待定系数法求解，根据平移抛物线得到抛物线，抛物线的顶点是直线在第二象限部分上的动点，得，，设抛物线的解析式为，得，则，再把数值代入，再解得的值，即可作答． （4）依题意，得，，且，再表示出，结合抛物线的轴对称性质，得，然后进行分类讨论，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，把代入， 得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵点的横坐标为．点在抛物线上且横坐标比点的横坐标小2． ∴点Q的横坐标为； ∴点Q的纵坐标为 ∴对称轴为直线 ∵， ∴当时，y随的增大而增大， 则在中，当时，点Q的纵坐标有最大值， ∴，即最大值为4； 【小问3详解】 解：由（1）得， 则平移后的抛物线的解析式为， 依题意，， 当时，， 即 设直线的解析式为 把点和点代入， 得 ∴ ∴直线的解析式为； ∵平移抛物线得到抛物线，抛物线的顶点是直线在第二象限部分上的动点， ∴设点的横坐标为， ∴， ∴， 设抛物线的解析式为， 当时，则， ∴， ∴， ∵ ∴ 解得， ∵点在第二象限， ∴， ∴点F的坐标为 【小问4详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线 ∵是直线上方的抛物线：上不与抛物线的顶点重合的动点，点的横坐标为． ∴，，且， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线 依题意，点P和点H关于对称轴直线对称， ∴， ∴ ∴ ∴ 当时， 则 ∵线段的长度之和记为， ∴ 当时， 则 ∴． 综上：当时，；当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $