精品解析：甘肃省金昌市第七中学2026年中考数学模拟一试卷

2025-2026学年度第二学期模拟考试（一） 初三数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 计算：（　　） A. 9 B. C. D. 2. 决胜“十四五”迈向“十五五”．在深化拓展祁连山国家森林公园体制试点的过程中，一系列数据直观展现生态之变：甘肃片区内753600公顷林地的森林蓄积量持续增加，52100公顷水域面积更趋稳定．数据753600用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在两千多年前，我们的祖先就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥（děng）子．一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 6. 正八边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 如图是中国秦初至清末部分朝代历经的时间，下列说法正确的是（ ） A. 明朝时间最长 B. 隋朝时间最短 C. 有4个朝代超过250年 D. 若西汉，东汉合并为汉，则汉朝时间最长 9. 如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为，则水柱的最大高度是（ ） A. 6 B. 2 C. 8 D. 5 10. 如图1，在长方形中，动点P从点A出发，沿运动，至点D处停止．点P运动的路程为x，的面积为y，且y与x之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的x的值是（　　） A. 4 B. 4或12 C. 4或16 D. 5或12 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：_____． 12. 方程的解为________． 13. 已知反比例函数（k是常数，）的图像有一支在第四象限，那么k的取值范围是 _____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________． 15. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图是八卦模型图，其制作要样板为图中的正八边形ABCDEFGH，已知八卦模型图的周长为10cm，在模型放大3倍的样板图中AB＋BC＋CD＋DE＝_____cm． 16. 农夫将苹果树种在正方形的果园内，为了保护苹果树不受风吹，他在苹果树的周围种上针叶树．在下图里，你可以看到农夫所种植苹果树的列数(n)和苹果树数量及针叶树数量的规律：当n为某一个数值时，苹果树数量会等于针叶树数量，则n为___________ 三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组，并将解集表示在数轴上． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 用直尺和圆规作圆的内接四边形． 作法 图形 ①作直线． ②过点作的垂线． ③作的平分线交于点． ④以为圆心，长为半径，作弧交于点． ⑤依次连接，，． 四边形就是所求作四边形． （1）完成作图；（保留作图痕迹） （2）按以上作法作出的四边形___________正方形（填“是”或“不是”） 21. 文房四宝是我国传统文化中的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒．每个盲盒的外观和重量完全相同，内含对应文房四宝之一的卡片．一套盲盒套装中包含笔、墨、纸、砚盲盒各一个． （1）若从一套盲盒套装中随机选一个，恰好选中墨盲盒的概率为______． （2）若从一套盲盒套装中随机选两个，用列表或画树状图的方法求恰好选中笔盲盒和纸盲盒的概率． 22. 随着网络时代的发展，各种“视频直播”已经成为当前网络购物新潮流．图1是网络主播使用的某种手机支架，其平面示意图如图2所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点 B旋转，，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．若调节支杆，悬杆，使得，，且点 D到地面的距离为，求此时悬杆的长度．（参考数据： ，，，结果精确到） 四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展．颖立中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图． A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65 70 73 80 85 95 96 96 98 组别 次数（单位：次） 频数 A组 9 B组 C组 12 D组 3 根据以上信息回答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）A组学生跳绳次数的中位数是_____，的值是_____； （3）若颖立中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有多少名． 24. 如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点，与轴相交于点． （1）求反比例函数与一次函数解析式； （2）求的面积． 25. 如图，为的直径，点为延长线上一点，以点为圆心，为半径画弧，以点为圆心，为半径画弧，两弧相交于点，连结交于点，连结． （1）求证：与相切； （2）若，，求的半径． 26. 已知，四边形是正方形，绕点旋转（），，，连接，． （1）如图，求证：≌； （2）直线与相交于点． 如图，于点，于点，求证：四边形是正方形； 如图，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值． 27. 如图，已知抛物线与轴交于点、，顶点为． （1）求抛物线的解析式和点的坐标； （2）点是第一象限内抛物线上的一个动点，设的面积为，求出的最大值，并求出此时点的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是直角三角形，且为斜边？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期模拟考试（一） 初三数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 计算：（　　） A. 9 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数的加法，根据绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值解题． 【详解】解：， 故选：D． 2. 决胜“十四五”迈向“十五五”．在深化拓展祁连山国家森林公园体制试点的过程中，一系列数据直观展现生态之变：甘肃片区内753600公顷林地的森林蓄积量持续增加，52100公顷水域面积更趋稳定．数据753600用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中要求，为整数． 【详解】解：用科学记数法可以表示为． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按照整式的幂运算法则与合并同类项法则逐一判断选项即可． 【详解】解：选项：，错误； 选项：，错误； 选项：，错误； 选项：，正确． 4. 在两千多年前，我们的祖先就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥（děng）子．一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，， ． 故选：B． 5. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义，二次项系数不为0，以及根的判别式与根的个数的关系：当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，据此计算求解即可． 【详解】∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 又∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 计算得， 解得， 综上，的取值范围是． 6. 正八边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，熟记内角和公式是解题的关键．根据多边形的内角和公式，列式进行计算即可得解． 【详解】解：． ∴正八边形的内角和是， 故选：C． 7. 如图，在中，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握同弧所对圆周角与圆心角的关系是解题的关键． 根据可直接计算出的度数． 【详解】解：∵，结合， ∴， 故选C． 8. 如图是中国秦初至清末部分朝代历经的时间，下列说法正确的是（ ） A. 明朝时间最长 B. 隋朝时间最短 C. 有4个朝代超过250年 D. 若西汉，东汉合并为汉，则汉朝时间最长 【答案】D 【解析】 【分析】根据条形统计图的信息，逐项分析即可． 【详解】解：由图可得：A.唐朝时间最长，故选项不合题意； B.秦朝时间最短，故选项不合题意； C.有3个朝代超过250年，为：唐，明，清，故选项不合题意； D.若西汉，东汉合并为汉，其汉朝时间为四百多年，故选项符合题意. 9. 如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为，则水柱的最大高度是（ ） A. 6 B. 2 C. 8 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解二次函数顶点坐标的意义是解题关键，直接利用二次函数最值求法得出答案． 【详解】解：∵抛物线形水柱，其解析式为 ， ∴水柱的最大高度是，  故选：A ． 10. 如图1，在长方形中，动点P从点A出发，沿运动，至点D处停止．点P运动的路程为x，的面积为y，且y与x之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的x的值是（　　） A. 4 B. 4或12 C. 4或16 D. 5或12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． 根据图象求出和，再分析当点P在上运动时，当点P在上运动时的的高为4，据此求出x的值即可． 【详解】解：当点P运动到点B处时，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 当点P在上运动时，， ∴， ∴， 当点P在上运动时，， ∴， ∴， 综上，x的值为4或12． 故选：B． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程求解．先整理成同分母的分式，再去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1即可求出结果，最后再进行检验． 【详解】解：整理：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是原分式方程的解，故原分式方程的解为． 故答案为：． 13. 已知反比例函数（k是常数，）的图像有一支在第四象限，那么k的取值范围是 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】由于反比例函数的图像有一支在第四象限，可得，求出k的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像有一支在第四象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解答此题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解∶设正方形的边长为a，与y轴相交于G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点E的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键． 15. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图是八卦模型图，其制作要样板为图中的正八边形ABCDEFGH，已知八卦模型图的周长为10cm，在模型放大3倍的样板图中AB＋BC＋CD＋DE＝_____cm． 【答案】15 【解析】 【分析】根据相似多边形的性质求解即可； 【详解】解：设原图周长为，放大后的图为， ，放大了3倍， ， cm， 又是正八边形， cm， 故答案为：15． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方． 16. 农夫将苹果树种在正方形的果园内，为了保护苹果树不受风吹，他在苹果树的周围种上针叶树．在下图里，你可以看到农夫所种植苹果树的列数(n)和苹果树数量及针叶树数量的规律：当n为某一个数值时，苹果树数量会等于针叶树数量，则n为___________ 【答案】8 【解析】 【详解】分析：观察图形不难发现，苹果树的棵树为相应序号的平方，再求出各个图形中针叶树的棵树，并找出规律写出第n个图形中的棵树的表达式，然后列出方程求解即可． 详解：第1个图形中苹果树的棵树是1，针叶树的棵树是8， 第2个图形中苹果树的棵树是4=22，针叶树的棵树是16=8×2， 第3个图形中苹果树的棵树是9=32，针叶树的棵树是24=8×3， 第4个图形中苹果树的棵树是16=42，针叶树的棵树是32=8×4， …， 所以，第n个图形中苹果树的棵树是n2，针叶树的棵树是8n， ∵苹果树的棵数与针叶树的棵数相等， ∴n2=8n， 解得n1=0（舍去），n2=8． 故答案为8． 点睛：本题是对图形变化规律的考查，仔细观察图形，写出苹果树与针叶树的棵树的变化规律并写出第n个图形中的表达式是解题的关键． 三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 18. 解不等式组，并将解集表示在数轴上． 【答案】1≤x＜3，数轴见解析 【解析】 【分析】首先计算出两个不等式的解集，然后再根据解集的规律确定不等式组的解集，在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①得x≥1， 解不等式②得x＜3， 所以不等式组的解集为1≤x＜3． 用数轴表示为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：分别求出不等式组各不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解决问题的关键． 先由分式加减乘除混合运算法则化简，再将代入计算即可得到答案． 【详解】解： ＝， 当时，原式． 20. 用直尺和圆规作圆的内接四边形． 作法 图形 ①作直线． ②过点作的垂线． ③作的平分线交于点． ④以为圆心，长为半径，作弧交于点． ⑤依次连接，，． 四边形就是所求作四边形． （1）完成作图；（保留作图痕迹） （2）按以上作法作出的四边形___________正方形（填“是”或“不是”） 【答案】（1） （2）是 【解析】 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）根据邻边相等的矩形是正方形证明即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：按以上作法作出的四边形是正方形， ， ， 的平分线交于点， ， 是的直径， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形． 21. 文房四宝是我国传统文化中的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒．每个盲盒的外观和重量完全相同，内含对应文房四宝之一的卡片．一套盲盒套装中包含笔、墨、纸、砚盲盒各一个． （1）若从一套盲盒套装中随机选一个，恰好选中墨盲盒的概率为______． （2）若从一套盲盒套装中随机选两个，用列表或画树状图的方法求恰好选中笔盲盒和纸盲盒的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法或者列表法求概率，解题的关键是画树状图． （1）根据概率公式计算概率即可． （2）画出树状图得出12种等可能性，其中恰好抽中内含墨和砚的可能性有2种，然后根据概率公式计算概率即可． 【小问1详解】 解：从一套盲盒套装中随机选一个，恰好选中墨盲盒的概率为． 【小问2详解】 解：画树状图如下． 共有12种等可能的结果，其中恰好选中笔和纸盲盒的结果有2种， ∴恰好选中笔盲盒和纸盲盒的概率为． 22. 随着网络时代的发展，各种“视频直播”已经成为当前网络购物新潮流．图1是网络主播使用的某种手机支架，其平面示意图如图2所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点 B旋转，，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．若调节支杆，悬杆，使得，，且点 D到地面的距离为，求此时悬杆的长度．（参考数据： ，，，结果精确到） 【答案】60 【解析】 【分析】过点D作于点E，过点C作于点G，交于点F，则四边形是矩形，解直角三角形求解即可． 本题考查了矩形的判定和性质，特殊角的三角函数值的应用，解直角三角形，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：过点D作于点E，过点C作于点G，交于点F， 则四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 答：此时悬杆的长度为． 四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展．颖立中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图． A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65 70 73 80 85 95 96 96 98 组别 次数（单位：次） 频数 A组 9 B组 C组 12 D组 3 根据以上信息回答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）A组学生跳绳次数的中位数是_____，的值是_____； （3）若颖立中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有多少名． 【答案】（1）60 （2）85，36 （3）900 【解析】 【分析】本题主要考查频率分布表和扇形统计图、中位数，熟练掌握频率分布表和扇形统计图、中位数是解题的关键； （1）由扇形统计图和频率分布表可知C组的人数为12人，所占百分比为，然后问题可求解； （2）根据中位数的定义可进行求解； （3）由（1）（2）及题意可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得：（名）． 答：一共抽取60名学生． 【小问2详解】 解：由A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65、70、73、80、85、95、96、96、98，排在中间位置的数是85，所以A组学生跳绳次数的中位数是85， ； 故答案为85，36． 【小问3详解】 解：由题意得：（名）． 答：估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有900名． 24. 如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点，与轴相交于点． （1）求反比例函数与一次函数解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）反比例函数解析式为：，一次函数解析式为：； （2）6 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）求出点坐标，根据三角形面积公式即可． 【小问1详解】 解：在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为：， 点在一次函数图象上， ，解得， 一次函数解析式为：； 【小问2详解】 解：对于， 当时，， 解得， ∴， ． 25. 如图，为的直径，点为延长线上一点，以点为圆心，为半径画弧，以点为圆心，为半径画弧，两弧相交于点，连结交于点，连结． （1）求证：与相切； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在上， ∴与相切； （2）． 【解析】 【分析】（）由题意得，，证明即可； （）设的半径为，由可得，再由勾股定理即可求解； 此题考查了切线的判定，三角函数，全等三角形的判定与性质和勾股定理，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设的半径为，由（）得：， 又∵， ∴，即， ∵，， ∴，解得（负值舍去）， ∴的半径为． 26. 已知，四边形是正方形，绕点旋转（），，，连接，． （1）如图，求证：≌； （2）直线与相交于点． 如图，于点，于点，求证：四边形是正方形； 如图，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形， ，． ，． ， ， 在和中， ≌； （2） ①证明：如图中，设与相交于点． ， ． ≌， ． ， ． ， ，， 四边形是矩形， ． 四边形是正方形， ，． ． 又， ≌． ． 矩形是正方形； ② 【解析】 【分析】根据证明三角形全等即可； 根据邻边相等的矩形是正方形证明即可； 作交于点，作于点，证明是等腰直角三角形，求出的最小值，可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 解：作交于点，作于点， ∵ ∴≌． ． ，， 最大时，最小，． ． 由可知，是等腰直角三角形， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 27. 如图，已知抛物线与轴交于点、，顶点为． （1）求抛物线的解析式和点的坐标； （2）点是第一象限内抛物线上的一个动点，设的面积为，求出的最大值，并求出此时点的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是直角三角形，且为斜边？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）将点、的坐标代入函数解析式，列出方程组，通过解方程组求得、的值即可；利用配方法将函数解析式转化为顶点式，即可得到点的坐标； （2）利用待定系数法确定直线解析式，由函数图象上点的坐标特征求得点E、F的坐标，然后根据两点间的距离公式求得长度，结合三角形的面积公式列出函数式，根据二次函数最值的求法求得点E的横坐标，易得其纵坐标，则点E的坐标可得； （3）利用两点之间的距离公式得出，，，利用勾股定理得出，解出n的值，进而可求出点P的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点、， ． 解得． ，则； 【小问2详解】 解：当时，则， ∴， 如图，作轴交于点， ，， 设直线的解析式为：， 则， 解得， ∴直线的解析式为：， 设，则， ， ， 当时，， 此时，点的坐标是； 【小问3详解】 解：设，、， ， 同理：，， 当时，，即 整理得： 解得或． 当时，则， 当时，则． 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $