专题4 一元二次方程单元复习一（概念解法及根系关系）（八大知识点） 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以八大知识点为框架，系统覆盖一元二次方程概念、解法及根系关系，通过基础辨析、解法应用与综合拓展题，构建“概念-解法-根的性质”递进逻辑链，培养抽象能力与运算推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义/一般形式|4题|参数取值、构造方程|概念生成：从定义要素到一般形式结构| |方程的解|9题|根的代入、虚数拓展|原理推导：解的定义及延伸应用| |三种解法|20题|配方法证明、公式法逆用、因式分解几何应用|应用拓展：解法选择与实际情境建模| |判别式/根系关系|19题|参数讨论、三角形/菱形综合题|深化提升：根的性质判断与代数几何融合|

专题4 一元二次方程单元复习一（概念解法及根系关系）（八大知识点） 知识点一 一元二次方程的定义 1．（2025秋•陇南期末）关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ﹣2　． 【分析】根据一元二次方程的定义即可进行求解． 【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得， 因此m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的最高指数是2的整式方程，且二次项系数不等于0”． 2．（2026春•雁塔区月考）已知关于x的方程（k+1）x|k|+1﹣3x+1＝0是一元二次方程，则k的值为　1　 ． 【分析】根据方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，像这样的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【解答】解：根据题意可知，|k|+1＝2，且k+1≠0， 解得：k＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，绝对值，掌握相应的定义是关键． 知识点二 一元二次方程的一般形式 3．（2026春•义乌市月考）已知关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣9＝0的常数项为0，则k的值为　﹣3　 ． 【分析】由二次项系数非零及常数项为零，可列出关于k的不等式及方程，解之即可得出k的值． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣9＝0的常数项为0， ∴， 解得：k＝﹣3， ∴k的值为﹣3． 故答案为：﹣3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程的定义，利用一元二次方程的定义以及一元二次方程的常数项为零，找出关于k的不等式及方程是解题的关键． 4．（2025秋•杨浦区期中）写出一个根为的一元二次方程：　（答案不唯一）　 （写成一般式）． 【分析】利用根与系数的关系，根据已知两根计算两根之和与两根之积，从而构造一元二次方程的一般式即可． 【解答】解：设一元二次方程为 x2+px+q＝0，根据根与系数的关系，有 x1+x2＝﹣p，x1x2＝q， 计算两根之和： ， 所以 ， 计算两根之积： ， 所以 q＝12， 因此，方程为 ． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的定义及一般形式，正确进行计算是解题关键． 知识点三 一元二次方程的解 5．（2026春•雁塔区月考）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2026的值为（　　） A．2026 B．﹣2025 C．2025 D．﹣2026 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2＝a+1，再利用a表示a3，然后利用降次的方法进行计算． 【解答】解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根， ∴a2﹣a﹣1＝0， ∴a2＝a+1， ∴a3＝a（a+1）＝a2+a＝a+1+a＝2a+1， ∴﹣a3+2a+2026＝﹣（2a+1）+2a+2026＝﹣2a﹣1+2a+2026＝2025． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 6．（2025秋•游仙区期末）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足，则ax2+bx+c＝0必有一根为（　　） A．9 B．﹣9 C．3 D．﹣3 【分析】根据可得，然后代入到原方程中得到，可得（3ax﹣c）（x﹣3）＝0，由此即可得到答案． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴3ax2﹣（9a+c）x+3c＝0， ∴3ax2﹣9ax+3c﹣cx＝0， ∴3ax（x﹣3）﹣c（x﹣3）＝0， ∴（3ax﹣c）（x﹣3）＝0， ∴ax2+bx+c＝0必有一根为3， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，根据题意把原方程化为（3ax﹣c）（x﹣3）＝0是解题的关键． 7．（2026•宿迁二模）若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式值是　﹣2026　 ． 【分析】根据一元二次方程的根的概念，可得a2+a＝1，变形可得a1，再整体代入求值即可． 【解答】解：由题意可得：a2+a﹣1＝0，则a2+a＝1， 当a＝0时，﹣1＝0不成立， ∴a≠0， ∴a+10，即a1． ∴ ＝1+a2026 ＝﹣2025+a ＝﹣2025﹣1 ＝﹣2026． 故答案为：﹣2026． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，正确进行计算是解题关键． 8．（2026•余干县模拟）已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣3x+a2﹣4＝0有一个根为x＝0，则a＝　﹣2　 ． 【分析】根据一元二次方程的概念得到a﹣2≠0，再把x＝0代入计算，由此得到a的值． 【解答】解：由条件可知a﹣2≠0，a2﹣4＝0， ∴a1＝﹣2，a2＝2且a≠2， ∴a＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握该知识点是关键． 9．（2026春•临泉县月考）数学家笛卡尔为了解决一元二次方程x2＝﹣1在实数范围内无解的问题，引进虚数单位i，规定i2＝﹣1．形如a+bi（a，b为实数）的数统称为复数，当b≠0时，称a+bi为虚数；当b＝0时，称a+bi为实数． （1）化简（2+i）（2﹣i）＝　5　 ； （2）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0有一个根是3﹣i，其中m，n是实数，则m+n＝　4　 ． 【分析】（1）利用乘法公式计算，结合规定i2＝﹣1化简求值； （2）将x＝3﹣i代入原方程，可得出3m+n+8+（﹣6﹣m）i＝0，进而可得出∴3m+n+8＝0，﹣6﹣m＝0，解之可得出m，n的值，再将其代入m+n中，即可求出结论． 【解答】解：（1）（2+i）（2﹣i）＝22﹣i2＝4﹣（﹣1）＝5； 故答案为：5； （2）由条件可得（3﹣i）2+m（3﹣i）+n＝0， 整理得：3m+n+8+（﹣6﹣m）i＝0， ∴3m+n+8＝0，﹣6﹣m＝0， ∴m＝﹣6，n＝10， ∴m+n＝﹣6+10＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握该知识点是关键． 知识点四 解一元二次方程-配方法 10．（2026春•香坊区期中）对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b＝a2﹣b，例如，5※3＝52﹣3＝22．若x※（2x﹣4）＝3，则x的值为　1　 ． 【分析】根据题目中给出的运算规则，将x※（2x﹣4）转化为常规的一元二次方程，再求解方程． 【解答】解：∵a※b＝a2﹣b，x※（2x﹣4）＝3， ∴x2﹣（2x﹣4）＝3， x﹣1＝0， 解得x＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法是解题的关键． 11．（2026春•同步）用配方法解下列一元二次方程： （1）x2+6x＝1； （2）x2+5x﹣6＝0． 【分析】（1）由配方法解一元二次方程的步骤解答即可； （2）由配方法解一元二次方程的步骤解答即可． 【解答】解：（1）∵x2+6x＝1， ∴（x+3）2＝10， ∴x+3＝±， ∴x13，x23； （2）∵x2+5x﹣6＝0， ∴x2+5x＝6， ∴（x）2， ∴x±， ∴x1＝1，x2＝﹣6． 【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟记配方的步骤是解此题的关键． 12．（2026春•东阳市期中）“配方法”在数学中非常有用，有时我们可以将代数式配成完全平方式，如：x2+2x+3＝x2+2x+1+2＝（x+1）2+2，∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2，∴x2+2x+3≥2；有时我们也可以用配方法解一元二次方程．请解决下列问题： （1）证明：代数式2x2﹣8x+9的值恒为正数． （2）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连接CD．设BC＝a，AC＝b． ①则线段AD或AE （空格中填写图中的线段）的长是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根，你是如何得到这个结论的？请写出你的发现过程． ②若AD＝EC，求的值． 【分析】（1）仿照题干证明即可； （2）①将x2+2ax＝b2化简为，由勾股定理得|x+a|＝AB，再等量代换即可；②由题意得AD＝AE＝EC，根据AB﹣BD＝AE，AC＝AE+EC＝2AE，得，化简得． 【解答】（1）证明：2x2﹣8x+9＝2（x﹣2）2+1， ∴2（x﹣2）2+1≥1， ∴2x2﹣8x+9≥1， 即代数式2x2﹣8x+9的值恒为正数； （2）解：①由条件可知x2+2ax+a2＝a2+b2， ∴（x+a）2＝a2+b2， ∴， ∵BC＝a，AC＝b， ∴a2+b2＝AB2， ∴， ∴|x+a|＝AB， 解得x＝AB﹣a＝AB﹣BC或x＝﹣AB﹣a＝﹣AB﹣BC（舍去）， 由作图可知，BC＝BD，AD＝AE， ∴x＝AB﹣BD＝AD＝AE； 故答案为：AD或AE； ②∵以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，AD＝EC， ∴AD＝AE＝EC， ∵AB﹣BD＝AE，AC＝AE+EC＝2AE， ∴，b＝2AE， ∴， ， 4（a2+b2）＝（b+2a）2， 4a2+4b2＝b2+4ab+4a2， 3b＝4a， ∴． 【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 知识点五 解一元二次方程-公式法 13．（2026•福州模拟）若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A．3x2+x﹣5＝0 B．3x2﹣x﹣5＝0 C．x2﹣3x﹣5＝0 D．x2+3x﹣5＝0 【分析】通过比较给出的求根公式与标准求根公式，确定系数a、b、c的值，从而得到原方程． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程的根为， ∴， ∴﹣b＝1，2a＝6， 解得b＝﹣1，a＝3， ∵b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×3×（﹣5）， ∴c＝﹣5， ∴原方程为3x2﹣x﹣5＝0， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的公式法是解题的关键． 14．（2025秋•长宁县期末）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{1，3}＝3，因此max{﹣1，﹣3}＝﹣1；按照这个规定，若max{x，﹣x}，则x的值是（　　） A．﹣1 B．﹣1或2 C．2 D．1或2 【分析】根据新定义分x＞0和x＜0列出方程，再分别求解可得． 【解答】解：若x＞﹣x，即x＞0，则x，解得x＝2（负值舍去）； 若x＜﹣x，即x＜0，则﹣x，解得x＝﹣1（正值舍去）； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了新定义和解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 15．（2026春•庐阳区期中）一元二次方程的较小的实数根应在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【分析】利用一元二次方程求根公式得到较小的根的表达式，再通过估算无理数的大小，确定较小根所在区间； 【解答】解：原方程整理得， ∵a＝1，，c＝38， ∴判别式， 由求根公式得， ∵， ∴较小的实数根为， 又∵72＝49，82＝64，且49＜63＜64， ∴，即， 不等式同减5得； 因此较小的实数根在2和3之间． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 16．（2026•鼓楼区模拟）定义运算m☆n＝mn2﹣mn﹣1，如4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程2☆x＝0的解为x1，x2　 ． 【分析】根据题意列出代数式进行计算即可． 【解答】解：∵m☆n＝mn2﹣mn﹣1，2☆x＝0， ∴2x2﹣2x﹣1＝0， ∵a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）＝4+8＝12， ∴x， ∴x1，x2． 故答案为：x1，x2． 【点睛】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的公式法是解题的关键． 17．（2026•南京模拟）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则正数a的值为　　 ． 【分析】由题意得方程2a+1＝a2，利用公式法解方程即可． 【解答】解：由题意得方程2a+1＝a2， 利用公式法解方程可得： 或（舍）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握该知识点是关键． 18．（2025秋•海淀区期末）写出一个一元二次方程，使它的两个根差为1：x2﹣3x+2＝0（答案不唯一）　 ． 【分析】设符合题意的方程为（x﹣m）[x﹣（m+1）]＝0，另m为任意一个数即可（此处用的m＝1）． 【解答】解：设符合题意的方程为（x﹣m）[x﹣（m+1）]＝0， 当m＝1时，原方程为（x﹣1）（x﹣2）＝0， 即x2﹣3x+2＝0． 故答案为：x2﹣3x+2＝0（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据两根之差，巧设方程是解题的关键． 19．（2026春•同步）一元二次方程M：ax2+bx+c＝0；N：cx2+bx+a＝0，其中ac≠0，a≠c，若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根为x＝1或x＝﹣1　 ． 【分析】根据方程M、N有相同的根，可得出ax2+bx+c＝cx2+bx+a，再结合ac≠0，a≠c，即可得出x2＝1，求出x的值． 【解答】解：∵方程M和方程N有一个相同的根， ∴ax2+bx+c＝cx2+bx+a，即（a﹣c）x2＝a﹣c． ∵ac≠0，a≠c， ∴x2＝1， 解得：x＝±1． ∴这个相等的根为x＝1或x＝﹣1． 故答案为：x＝1或x＝﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，本题属于基础题，难度不大． 20．（2026春•同步）用公式法解下列方程： （1）x2﹣5x﹣6＝0； （2）4x2+9＝12x； （3）； （4）． 【分析】利用公式法依次对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣5x﹣6＝0， Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣6）＝49＞0， 则x， 所以x1＝﹣1，x2＝6； （2）4x2+9＝12x， 4x2﹣12x+9＝0， Δ＝（﹣12）2﹣4×4×9＝0， 则x， 所以； （3）， 10＞0， 则x， 所以； （4）， 4x2﹣x﹣3＝0， Δ＝（﹣1）2﹣4×4×（﹣3）＝49＞0， 则x， 所以． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程﹣公式法，熟知公式法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 知识点六 解一元二次方程-因式分解法 21．（2026春•拱墅区月考）已知方程（x﹣a）（x﹣b）＝0有M个解，方程（ax+2）（bx+2）＝0有N个解，a≠b，则（　　） A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N或M＝N+1 C．M＝N﹣1或M＝N+2 D．M＝N或M＝N﹣1 【分析】根据题意，分别求出所给方程的解，据此即可解决问题． 【解答】解：由（x﹣a）（x﹣b）＝0得， x1＝a，x2＝b． 因为a≠b， 所以该方程有2个解， 所以M＝2． 由（ax+2）（bx+2）＝0得， 当a和b有一个是0时，该方程有1个解， 当a和b都不是0时，该方程有2个解， 所以N＝1或2， 所以M＝N或M＝N+1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法，能根据题意求出M和N的值是解题的关键． 22．（2026春•义乌市期中）如图，电路中有三个定值电阻R1，R2，R3，且R1，R2的阻值（单位：Ω）满足方程R2﹣3R+2＝0，R3＝1Ω．若闭合开关S后，电流表的读数为6A，则电源的电压是（　　） A．8V B．10V C．15V D．24V 【分析】依据题意，先根据一元二次方程的根与系数的关系得出R1+R2＝3，R1•R2＝2，根据已知关系式求出并联电阻，再求然后根据得出结论． 【解答】解：由题意，∵R1，R2的阻值满足方程R2﹣3R+2＝0， ∴R1+R2＝3，R1•R2＝2． ∵， ∴， ∴电路中总电阻为R1（Ω）． ∵， ∴U＝IR＝610， ∴电源的电压是10V． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用和一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 23．（2026•巨野县模拟）已知一元二次方程（x+1）2＝3x+3的两个根分别是点P的横坐标、纵坐标，则点P在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 【分析】先根据因式分解法解一元二次方程，即可得出点P的坐标，再根据坐标系中各象限内点的坐标的特征判断即可． 【解答】解：（x+1）2＝3x+3， （x+1）2＝3（x+1）， （x+1）2﹣3（x+1）＝0， （x+1）（x+1﹣3）＝0， （x+1）（x﹣2）＝0， x+1＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝2， ∴点P的坐标是（﹣1，2）或（2，﹣1）， ∴点P在第二象限或第四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，点的坐标，熟练掌握利用因式分解法解一元二次方程及坐标系中各象限内点的坐标的特征是解题的关键． 24．（2026春•淄川区期中）已知菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣6x+8＝0的两个实数根，则与该菱形面积相等的正方形的边长为（　　） A． B．4 C．2 D． 【分析】根据题意，求出菱形的两条对角线长，进一步求出菱形的面积，最后求出正方形的边长即可． 【解答】解：由x2﹣6x+8＝0得， （x﹣2）（x﹣4）＝0， 则x﹣2＝0或x﹣4＝0， 所以x1＝2，x2＝4， 所以菱形的两条对角线长为2和4， 则菱形的面积为：， 即正方形的面积为4， 所以正方形的边长为2． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法及菱形的性质，熟知菱形的性质及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 25．（2026•任城区二模）已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程x2﹣10x﹣24＝0的解，则这个三角形的周长是　26　 ． 【分析】先求出方程x2﹣10x﹣24＝0的解，然后根据三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程x2﹣10x﹣24＝0的解，即可得到这个三角形的周长． 【解答】解：由方程x2﹣10x﹣24＝0可得x＝12或x＝﹣2， ∵三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程x2﹣10x﹣24＝0的解， ∴第三边长为12， ∴这个三角形的周长是6+8+12＝26， 故答案为：26． 【点睛】本题考查解一元二次方程、三角形三边关系，解答本题的关键是明确题意，求出三角形的第三边的长． 26．（2026春•台州期中）若是方程x4+ax2+b＝0的两根，则关于x的方程ax2+bx+2＝0的两根分别是x或x　 ． 【分析】依据题意，由是方程x4+ax2+b＝0的两根，则，从而a＝﹣10，b＝1，进而方程ax2+bx+2＝0为﹣10x2+x+2＝0，最后计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵是方程x4+ax2+b＝0的两根， ∴， ∴a＝﹣10，b＝1． ∴方程ax2+bx+2＝0为﹣10x2+x+2＝0， ∴（2x﹣1）（5x+2）＝0． ∴2x﹣1＝0或5x+2＝0． ∴x或x． 故答案为：x或x． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 27．（2026春•朝阳区期中）解下列一元二次方程： （1）（x﹣4）2＝4； （2）（x+2）2＝5（x+2）； （3）x2﹣4x＝3； （4）3x2﹣7x+1＝0． 【分析】（1）利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （3）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可； （4）利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：（1）（x﹣4）2＝4， 则x﹣4＝±2， 所以x1＝2，x2＝6； （2）（x+2）2＝5（x+2）， （x+2）2﹣5（x+2）＝0， （x+2）（x﹣3）＝0， 则x+2＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝﹣2，x2＝3； （3）x2﹣4x＝3， x2﹣4x+4＝3+4， （x﹣2）2＝7， 则x﹣2， 所以； （4）3x2﹣7x+1＝0， Δ＝（﹣7）2﹣4×3×1＝37＞0， 则x， 所以． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法、解一元二次方程﹣配方法、解一元二次方程﹣直接开平方法及解一元二次方程﹣公式法，熟知解一元二次方程的步骤是解题的关键． 知识点七 根的判别式 28．（2026•江阳区二模）已知关于x的方程ax2+4x﹣2＝0有两个实数根，则a的取值范围是（　　） A．a≥﹣2 B．a＞﹣2 C．a≥﹣2且a≠0 D．a≤2且a≠0 【分析】方程有两个实数根说明是一元二次方程，故二次系数a≠0，再利用判别式Δ≥0列不等式，求出a取值范围即可． 【解答】解：∵ax2+4x﹣2＝0有两个实数根， ∴， Δ＝16+8a≥0， ∴a≥﹣2， 综上：a≥﹣2且a≠0， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练记住“两个实根需a≠0且Δ≥0”是解题的关键． 29．（2026•庐阳区三模）若关于x的一元二次方程x2﹣mx＝﹣m有两个相等的正实数根，则m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 【分析】把方程变形为一般形式：x2﹣mx+m＝0，因为方程有两个相等的实数根，则Δ＝m2﹣4m＝0，解关于m的方程即可． 【解答】解：方程化为一般形式为：x2﹣mx+m＝0， ∵关于x的一元二次方程x2﹣mx＝﹣m有两个相等的正实数根， ∴Δ＝m2﹣4m＝0，则m＝0或m＝4． 又∵两个实数根为正实数， ∴m＝0，不合题意，舍去， ∴m＝4． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 30．（2026•岳麓区模拟）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则实数m的取值范围是m≤2且m≠1　 ． 【分析】根据方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，可知二次项系数不为0，再由一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根得出判别式△≥0，进而可得出结论． 【解答】解：∵方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程， ∴m﹣1≠0，即m≠1， ∵方程有实数根， ∴Δ＝4﹣4×（m﹣1）×1≥0， 解得m≤2． 故m的取值范围为m≤2且m≠1， 故答案为：m≤2且m≠1． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，根据题意得出关于m的不等式是解题的关键． 31．（2026•金凤区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2＝0有两个互为相反数的实数根，则m的值为　　 ． 【分析】依据题意，由一元二次方程：x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2＝0两根x1，x2互为相反数，则x1+x2＝0，结合x1+x2＝2m﹣1，可得m，代入计算Δ＝7＞0，符合题意，进而得解． 【解答】解：由题意，∵一元二次方程：x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2＝0两根x1，x2互为相反数， ∴x1+x2＝0， 又∵x1+x2＝2m﹣1， ∴． 又∵Δ＝（2m﹣1）2﹣4×1×（m2﹣2）， ∴代入m计算可得Δ＝7＞0，符合题意， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 32．（2026春•浙江期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若Rt△ABC两直角边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，斜边BC的长为5，求k的值． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝1＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根； （2）利用因式分解法可求出AB，AC的长，利用勾股定理可得出关于k的一元一次方程或一元二次方程，解之即可得出k值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形）即可得出结论． 【解答】（1）证明：关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0， ∵a＝1，b＝﹣（2k+1），c＝k2+k， ∴Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k） ＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4k ＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：∵△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根， ∴AB+AC＝2k+1，AB•AC＝k2+k． 由勾股定理，得AB2+AC2＝52， 即（AB+AC）2﹣2AB•AC＝25， （2k+1）2﹣2（k2+k）＝25， 整理得：k2+k﹣12＝0， 解得k1＝﹣4，k2＝3． ∵k＝﹣4时，AB+AC＝2×（﹣4）+1＝﹣7，不符合题意， ∴k的值为3． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，勾股定理，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键． 33．（2026春•西湖区月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+k＝0． （1）证明：此方程一定有两个实数根． （2）若一个等腰三角形的一边为5，另外两边的长是该方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 【分析】（1）利用根的判别式即可证明； （2）通过解方程求得该三角形的另两边的长度，然后由三角形的三边关系和三角形的周长公式进行解答． 【解答】（1）证明：对于一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+k＝0， Δ＝（3k+1）2﹣4（2k2+k）＝k2+2k+1＝（k+1）2， ∵（k+1）2≥0， ∴Δ≥0， ∴此方程一定有两个实数根． （2）解：由x2﹣（3k+1）x+2k2+k＝0得x1＝k，x2＝2k+1， 若k＝5，则2k+1＝11，此等腰三角形的三边分别为5，5，11，5+5＝10＜11，不能构成三角形； 若2k+1＝5，则k＝2，此等腰三角形的三边分别为2，5，5，2+5＝7＞5，能构成三角形，周长为2+5+5＝12； 若2k+1＝k，则k＝﹣1，此时三角形边长为负数，不符合题意； 综上所述，这个等腰三角形的周长为12． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，等腰三角形性质，解题的关键是掌握一元二次方程的判别式． 知识点八 根与系数的关系 34．（2026•丰润区二模）若实数m，n满足m2+m﹣3＝0，n2+n﹣3＝0，且m≠n，则m+n﹣mn的值为（　　） A． B． C．﹣2 D．2 【分析】把m，n看作一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【解答】解：实数m，n满足m2+m﹣3＝0，n2+n﹣3＝0，且m≠n， ∴可以把m，n看作一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴原式＝﹣1﹣（﹣3）＝2． 故选：D． 【点睛】本题考查根与系数的关系，正确进行计算是解题关键． 35．（2026•白云区二模）关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+6＝0的两个实数根都是整数，则正整数m的值为（　　） A．1 B．3 C．1或2 D．2或3 【分析】先对原方程进行因式分解，得到（x﹣3）（mx﹣2）＝0，求出两个根x1＝3，x2，因为两个实数根都是整数，所以必须是整数，结合m是正整数，分析得出m的可能取值． 【解答】解：mx2﹣（3m+2）x+6＝0， mx2﹣3mx﹣2x+6＝0， mx（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0， （x﹣3）（mx﹣2）＝0， 则x﹣3＝0或mx﹣2＝0， 解得x1＝3，x2， ∵方程的根都是整数， ∴必须是整数． ∴m的值为1或2． 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式以及因式分解法解一元二次方程的知识点．解题关键是熟练运用根的判别式判断根的情况，以及通过因式分解将方程转化为两个一次方程求解． 36．（2026•江阳区二模）已知m，n是关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2＝0的两个实数根，且满足等式，则k的值为　3　 ． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，结合根的判别式进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为m，n是关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2＝0的两个实数根， 所以m+n＝﹣2k﹣3，mn＝k2． 因为， 则， 所以， 解得k＝﹣1或3． 因为该方程跟的判别式为（2k+3）2﹣4k2＝12k+9， 则12k+9≥0， 解得k， 所以k＝﹣1舍去， 所以k的值为3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 37．（2026春•柯桥区期中）关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根m和2m，则8b﹣9ac的最大值是　8　 ． 【分析】利用根与系数的关系，可得出b＝﹣3am，c＝2am2，将其代入原式中，可得出原式＝﹣18a2m2﹣24am，令t＝am，则原式变为﹣18t2﹣24t，配方后，可得出原式＝﹣18（t）2+8，结合偶次方的非负性，即可求出8b﹣9ac的最大值． 【解答】解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根m和2m， ∴m+2m，m•2m， ∴b＝﹣3am，c＝2am2， ∴8b﹣9ac＝8×（﹣3am）﹣9a×2am2＝﹣18a2m2﹣24am， 令t＝am，则原式变为﹣18t2﹣24t＝﹣18（t）2+8， ∵﹣18（t）2≤0， ∴当t时，8b﹣9ac取得最大值8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及偶次方的非负性，利用根与系数的关系，找出原式＝﹣18a2m2﹣24am是解题的关键． 38．（2026春•拱墅区月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个不相等实数根． （2）若△ABC的一条边AC的长为，另两边AB，CB的长是一元二次方程的两个实数根．当m为何值时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形？ 【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，需计算判别式Δ，通过配方判断Δ恒大于0即可； （2）先利用一元二次方程的根与系数关系得到方程两根的和与积，再结合勾股定理将边长关系转化为关于m的方程，求解后需验证两根为正数，舍去不符合条件的解． 【解答】证明：（1）Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣m）＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣m） ＝4m2﹣4m+1﹣4m2+4m ＝1＞0， ∴无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：设AB，CB的长分别为x1，x2，则x1，x2是方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0的两个实数根， 根据根与系数关系得：， ∵△ABC是以AC为斜边的直角三角形，AC， ∴xxAC2， 又∵xx（x1+x2）2﹣2x1x2，AC2＝（）2， ∴（2m﹣1）2﹣2（m2﹣m）＝5， 解得m＝﹣1或m＝2， ∵AB，CB是三角形的边长， ∴x1＞0，x2＞0， ∴x1+x2＝2m﹣1＞0，x1x2＝m2﹣m＞0， 当m＝﹣1时，x1+x2＝﹣2﹣1＝﹣3＜0，不符合题意，舍去； 当m＝2时，x1+x2＝4﹣1＝3＞0，x1x2＝4﹣2＝2＞0，符合题意， 即当m＝2时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 39．（2026•连州市一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2+3m+5＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）在第（1）问的条件下，若x1，x2是一元二次方程的两个实数根，当时，求m的值． 【分析】（1）根据根的判别式的意义得到4m2﹣4（m2+3m+5）＞0，然后解不等式即可； （2）先利用根与系数的关系得x1+x2＝2m，x1x2＝m2+3m+5，再利用完全平方公式变形已知条件得（x1+x2）2﹣2x1x2＝10，所以4m2﹣2（m2+3m+5）＝10，接着解关于m的方程，然后利用m的取值范围确定m的值． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝4m2﹣4（m2+3m+5）＞0， 解得m， 即m的取值范围为m； （2）根据根与系数的关系得x1+x2＝2m，x1x2＝m2+3m+5， ∵， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝10， ∴4m2﹣2（m2+3m+5）＝10， 整理得m2﹣3m﹣10＝0， 解得m1＝5，m2＝﹣2， ∵m， ∴m为﹣2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 40．（2026春•柯桥区期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则，． 材料2：已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根． （1）材料理解：一元二次方程3x2﹣6x+1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　2　 ，x1x2＝　　 ． （2）应用探究：已知实数a，b满足：a2﹣5a+1＝0，b2﹣5b+1＝0且a≠b，求a2b+ab2的值． （3）思维拓展：已知实数m，n满足：m2+5m﹣3＝0，4n2+10n﹣3＝0，求的值． 【分析】（1）利用根与系数的关系，即可求出x1+x2及x1x2的值； （2）根据题意，可得出实数a，b是关于x的一元二次方程x2﹣5x+1＝0的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出a+b＝5，ab＝1，再将其代入a2b+ab2＝ab（a+b）中，即可求出结论； （3）根据题意，可得出m＝2n或m，2n是关于x的一元二次方程x2+5x﹣3＝0的两个实数根，当m＝2n时，可得出原式＝2；当m，2n是关于x的一元二次方程x2+5x﹣3＝0的两个实数根时，利用根与系数的关系，可得出m+2n＝﹣5，m•2n＝﹣3，再将其代入原式中，即可求出结论． 【解答】解：（1）∵一元二次方程3x2﹣6x+1＝0的两个根为x1，x2， ∴x1+x2＝2，x1x2． 故答案为：2，； （2）∵实数a，b满足：a2﹣5a+1＝0，b2﹣5b+1＝0且a≠b， ∴实数a，b是关于x的一元二次方程x2﹣5x+1＝0的两个实数根， ∴a+b＝5，ab＝1， ∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝1×5＝5； （3）∵实数m，n满足：m2+5m﹣3＝0，4n2+10n﹣3＝0， ∴m＝2n或m，2n是关于x的一元二次方程x2+5x﹣3＝0的两个实数根． 当m＝2n时，1+1＝2； 当m，2n是关于x的一元二次方程x2+5x﹣3＝0的两个实数根时，m+2n＝﹣5，m•2n＝﹣3， ∴． 综上所述，的值为的2或． 【点睛】本题考查了根与系数的关系、分式的化简求值以及一元二次方程的解，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和是，两根之积等于”是解题的关键． 41．（2026春•上城区期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程x2+3x+2＝0是否为“邻根方程”； （2）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0是“邻根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程ax2+bx+2＝0（a＞0）是“邻根方程”，令t＝12a﹣b2，试求t的最大值． 【分析】（1）根据所给“邻根方程”的定义进行判断即可； （2）根据所给“邻根方程”的定义进行计算即可； （3）根据所给“邻根方程”的定义得出a，b的关系，再据此进行计算即可． 【解答】解：（1）由x2+3x+2＝0得， x1＝﹣2，x2＝﹣1． 因为﹣1﹣（﹣2）＝1， 所以该方程是“邻根方程”； （2）由x2﹣（m+2）x+2m＝0得， x1＝m，x2＝2． 因为该方程是“邻根方程”， 则当m＞2时，m﹣2＝1， 解得m＝3； 当m＜2时，2﹣m＝1， 解得m＝1， 综上所述，m的值为1或3； （3）由ax2+bx+2＝0得， x． 因为该方程是“邻根方程”， 所以， 整理得，b2＝a2+8a． 因为t＝12a﹣b2， 所以t＝12a﹣（a2+8a）＝﹣a2+4a， 所以当a时， t取得最大值为﹣22+4×2＝4， 所以t的最大值为4． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程的解、解一元二次方程﹣因式分解法及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及理解所给定义是解题的关键． 42．（2026春•浙江期中）已知关于x的一元二次方程M：ax2+（a+c）x+c＝2（ac≠0）． （1）判断x＝﹣1是否是方程M的根，并说明理由； （2）现有一个关于x的一元二次方程N：cx2+（a+c）x+a＝2，若方程M，N仅有一个相同的根，求证：a+c＝1； （3）若a﹣c＝1，方程M的两实数根x1，x2满足|x1|＝x2，求a，c的值． 【分析】（1）把x＝﹣1代入方程求解即可； （2）根据题意可得，则有（a﹣c）（x2﹣1）＝0，然后分类进行求解即可； （3）由题意易得，，则有，，然后根据|x1|＝x2进行分类求解即可． 【解答】（1）解：把x＝﹣1代入原等式得0＝2，不成立， 故x＝﹣1不是方程M的根． （2）证明：由题意，得， 则（a﹣c）x2+c﹣a＝0，即（a﹣c）（x2﹣1）＝0， 当a＝c时，方程M，N完全相同，不合题意， 当a≠c时，则x2＝1，故x1＝﹣1（舍去），x2＝1， 把x＝1代入M，得a+c＝1． （3）解：，， ∵|x1|＝x2， ∴x2≥0． 当x1＝x2时，Δ＝（a+c）2﹣4a（c﹣2）＝0，可得，， ∴x1+x2＝﹣10， 此时x1＝x2＝﹣5＜0，舍去． 当x1＝﹣x2时，即， 可得， ∴． 综上所述，，． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4 一元二次方程单元复习一（概念解法及根系关系）（八大知识点） 知识点一 一元二次方程的定义 1．（2025秋•陇南期末）关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 　． 2．（2026春•雁塔区月考）已知关于x的方程（k+1）x|k|+1﹣3x+1＝0是一元二次方程，则k的值为　 　 ． 知识点二 一元二次方程的一般形式 3．（2026春•义乌市月考）已知关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣9＝0的常数项为0，则k的值为　 　 ． 4．（2025秋•杨浦区期中）写出一个根为的一元二次方程：　 　 （写成一般式）． 知识点三 一元二次方程的解 5．（2026春•雁塔区月考）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2026的值为（　　） A．2026 B．﹣2025 C．2025 D．﹣2026 6．（2025秋•游仙区期末）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足，则ax2+bx+c＝0必有一根为（　　） A．9 B．﹣9 C．3 D．﹣3 7．（2026•宿迁二模）若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式值是　 　 ． 8．（2026•余干县模拟）已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣3x+a2﹣4＝0有一个根为x＝0，则a＝　 　 ． 9．（2026春•临泉县月考）数学家笛卡尔为了解决一元二次方程x2＝﹣1在实数范围内无解的问题，引进虚数单位i，规定i2＝﹣1．形如a+bi（a，b为实数）的数统称为复数，当b≠0时，称a+bi为虚数；当b＝0时，称a+bi为实数． （1）化简（2+i）（2﹣i）＝　 ； （2）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0有一个根是3﹣i，其中m，n是实数，则m+n＝　 　 ． 知识点四 解一元二次方程-配方法 10．（2026春•香坊区期中）对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b＝a2﹣b，例如，5※3＝52﹣3＝22．若x※（2x﹣4）＝3，则x的值为　 　 ． 11．（2026春•同步）用配方法解下列一元二次方程： （1）x2+6x＝1； （2）x2+5x﹣6＝0． 12．（2026春•东阳市期中）“配方法”在数学中非常有用，有时我们可以将代数式配成完全平方式，如：x2+2x+3＝x2+2x+1+2＝（x+1）2+2，∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2，∴x2+2x+3≥2；有时我们也可以用配方法解一元二次方程．请解决下列问题： （1）证明：代数式2x2﹣8x+9的值恒为正数． （2）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连接CD．设BC＝a，AC＝b． ①则线段 （空格中填写图中的线段）的长是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根，你是如何得到这个结论的？请写出你的发现过程． ②若AD＝EC，求的值． 知识点五 解一元二次方程-公式法 13．（2026•福州模拟）若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A．3x2+x﹣5＝0 B．3x2﹣x﹣5＝0 C．x2﹣3x﹣5＝0 D．x2+3x﹣5＝0 14．（2025秋•长宁县期末）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{1，3}＝3，因此max{﹣1，﹣3}＝﹣1；按照这个规定，若max{x，﹣x}，则x的值是（　　） A．﹣1 B．﹣1或2 C．2 D．1或2 15．（2026春•庐阳区期中）一元二次方程的较小的实数根应在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 16．（2026•鼓楼区模拟）定义运算m☆n＝mn2﹣mn﹣1，如4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程2☆x＝0的解为 ． 17．（2026•南京模拟）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则正数a的值为　 ． 18．（2025秋•海淀区期末）写出一个一元二次方程，使它的两个根差为1： ． 19．（2026春•同步）一元二次方程M：ax2+bx+c＝0；N：cx2+bx+a＝0，其中ac≠0，a≠c，若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根为 ． 20．（2026春•同步）用公式法解下列方程： （1）x2﹣5x﹣6＝0；（2）4x2+9＝12x；（3）；（4）． 知识点六 解一元二次方程-因式分解法 21．（2026春•拱墅区月考）已知方程（x﹣a）（x﹣b）＝0有M个解，方程（ax+2）（bx+2）＝0有N个解，a≠b，则（　　） A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N或M＝N+1 C．M＝N﹣1或M＝N+2 D．M＝N或M＝N﹣1 22．（2026春•义乌市期中）如图，电路中有三个定值电阻R1，R2，R3，且R1，R2的阻值（单位：Ω）满足方程R2﹣3R+2＝0，R3＝1Ω．若闭合开关S后，电流表的读数为6A，则电源的电压是（　　） A．8V B．10V C．15V D．24V 23．（2026•巨野县模拟）已知一元二次方程（x+1）2＝3x+3的两个根分别是点P的横坐标、纵坐标，则点P在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 24．（2026春•淄川区期中）已知菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣6x+8＝0的两个实数根，则与该菱形面积相等的正方形的边长为（　　） A． B．4 C．2 D． 25．（2026•任城区二模）已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程x2﹣10x﹣24＝0的解，则这个三角形的周长是　 　 ． 26．（2026春•台州期中）若是方程x4+ax2+b＝0的两根，则关于x的方程ax2+bx+2＝0的两根分别是 ． 27．（2026春•朝阳区期中）解下列一元二次方程： （1）（x﹣4）2＝4； （2）（x+2）2＝5（x+2）； （3）x2﹣4x＝3； （4）3x2﹣7x+1＝0． 知识点七 根的判别式 28．（2026•江阳区二模）已知关于x的方程ax2+4x﹣2＝0有两个实数根，则a的取值范围是（　　） A．a≥﹣2 B．a＞﹣2 C．a≥﹣2且a≠0 D．a≤2且a≠0 29．（2026•庐阳区三模）若关于x的一元二次方程x2﹣mx＝﹣m有两个相等的正实数根，则m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 30．（2026•岳麓区模拟）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则实数m的取值范围是 ． 31．（2026•金凤区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2＝0有两个互为相反数的实数根，则m的值为　 ． 32．（2026春•浙江期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若Rt△ABC两直角边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，斜边BC的长为5，求k的值． 33．（2026春•西湖区月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+k＝0． （1）证明：此方程一定有两个实数根． （2）若一个等腰三角形的一边为5，另外两边的长是该方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 知识点八 根与系数的关系 34．（2026•丰润区二模）若实数m，n满足m2+m﹣3＝0，n2+n﹣3＝0，且m≠n，则m+n﹣mn的值为（　　） A． B． C．﹣2 D．2 35．（2026•白云区二模）关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+6＝0的两个实数根都是整数，则正整数m的值为（　　） A．1 B．3 C．1或2 D．2或3 36．（2026•江阳区二模）已知m，n是关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2＝0的两个实数根，且满足等式，则k的值为　 　 ． 37．（2026春•柯桥区期中）关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根m和2m，则8b﹣9ac的最大值是　 　 ． 38．（2026春•拱墅区月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个不相等实数根． （2）若△ABC的一条边AC的长为，另两边AB，CB的长是一元二次方程的两个实数根．当m为何值时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形？ 39．（2026•连州市一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2+3m+5＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）在第（1）问的条件下，若x1，x2是一元二次方程的两个实数根，当时，求m的值． 40．（2026春•柯桥区期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则，． 材料2：已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根． （1）材料理解：一元二次方程3x2﹣6x+1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　2　 ，x1x2＝　　 ． （2）应用探究：已知实数a，b满足：a2﹣5a+1＝0，b2﹣5b+1＝0且a≠b，求a2b+ab2的值． （3）思维拓展：已知实数m，n满足：m2+5m﹣3＝0，4n2+10n﹣3＝0，求的值． 41．（2026春•上城区期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程x2+3x+2＝0是否为“邻根方程”； （2）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0是“邻根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程ax2+bx+2＝0（a＞0）是“邻根方程”，令t＝12a﹣b2，试求t的最大值． 42．（2026春•浙江期中）已知关于x的一元二次方程M：ax2+（a+c）x+c＝2（ac≠0）． （1）判断x＝﹣1是否是方程M的根，并说明理由； （2）现有一个关于x的一元二次方程N：cx2+（a+c）x+a＝2，若方程M，N仅有一个相同的根，求证：a+c＝1； （3）若a﹣c＝1，方程M的两实数根x1，x2满足|x1|＝x2，求a，c的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $