甘肃兰州市某校2025-2026学年九年级下学期中考模拟测试数学试卷

**基本信息** 本试卷以文化传承与科技前沿为情境载体，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，全面考查九年级数学核心知识与抽象能力、推理意识、应用意识等素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/33|实数运算（气温计算）、轴对称（全运会图标）、方程应用（梅文鼎《方程论》问题）|司南长度比（3题）渗透文化，月球车太阳能板旋转（4题）关联科技，体现数学眼光| |填空题|4/12|因式分解（3m³-3m）、一次函数性质、黄金分割（二胡千斤线）|结合生活情境，如14题用黄金分割解决琴弦长度问题，培养应用意识| |解答题|11/75|统计分析（健康知识竞赛）、圆的切线证明（23题）、旋转综合（25题）、新定义（垂等射点26题）|《海岛算经》测量（21题）传承数学文化，25题旋转综合考察推理能力，26题新定义问题发展创新意识|

2025—2026学年度第二学期交大附中总、分校联考九年级数学测试 一、选择题：本大题共11小题，每小题3分，共33分，每小题只有一个正确选项. 1.如果某天中午的气温是5 ℃，傍晚比中午下降了7 ℃，那么傍晚的气温是( ) A.2 ℃ B.－2 ℃ C.－5 ℃ D.－7 ℃ 2. 第十五届全运会于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地共同举办.体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是( ) A B C D 3.司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具.如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为—1，若—1介于两个连续整数n和n＋1之间，则n的值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 4.月球车工作时所需的电能都是由太阳能电池板提供的.当太阳光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多，某一时刻太阳光的照射角度如图所示，如果要使此时接收的太阳光能最多，那么将太阳光板绕支点P顺时针旋转的最小角度为( ) A.40° B.45° C.50° D.60° 5.如图，是一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象，则关于x的方程kx＋b＝0的解是 ( ) A.x＝3 B.x＝－2 C.x＝0 D.x＝－ 第6题图 第5题图 6.如图，已知四边形ABCD是☉O的内接四边形，AC是☉O的直径，BD是∠ABC的平分线.若CD＝3 cm，则AC的长为( ) A.3 cm B.3 cm C.6 cm D.12 cm 7. 如图，香水梨在甘肃白银境内种植历史悠久，明代就有记载.甲、乙、丙、丁四个果篮中香水梨的平均质量与方差s2如下表所示，若要挑选一个单果质量大且大小均匀的果篮，则应选( ) 果篮 甲 乙 丙 丁 平均质量(克) 450 500 450 500 方差s2 1.1 1.1 1.2 1.2 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 8. 清朝数学家梅文鼎的著作《方程论》中记载了这样的一个问题：“山田三亩，场地六亩，共折输粮实田四亩七分；又有山田五亩，场地三亩，共折输粮实田五亩五分.问每亩山田折实田多少，每亩场地折实田多少？”大意是：山田3亩，场地6亩，产粮总量相当于实田4.7亩；又有山田5亩，场地3亩，产粮总量相当于实田5.5亩，问每亩山田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩？设每亩山田产粮相当于实田x亩，每亩场地产粮相当于实田y亩，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 定义一个关于实数a，b的新运算，规定：a*b＝3a－2b，例如，4*5＝3×4－2×5.若实数m满足m*2＜1，则m的取值范围是（ ） A.m ＞ B.m ＞ C.m ＜ D.m ＜ 10.如图《推背图》是唐朝贞观年间唐太宗李世民命天文学家李淳风和相士袁天罡推算大唐气运而作，此著作对后世诸多事件都进行了准确的预测.推背图以天干地支的名称进行排列，共有60象，其中天干分别为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支分别为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.该书第一象为“甲子”，第二象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此类推.2026年是“丙午”年，正值兰州大学建校117周年，据此推算，当兰州大学317周年校庆时，对应的年份是（ ） A.丁卯年 B.丙寅年 C.乙丑年 D.甲午年 11.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，动点P从点A出发，沿着A→B的路径匀速运动，运动到点B时停止，过点P作PQ⊥AB，交边AC(或BC)于点Q.设点P的运动路程为x，△APQ的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则a的值为（ ） 图1 图2 A . 2 B . C . D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分. 12.因式分解：3m3－3m＝　　　　　. 13.若一次函数y＝(1－2m)x＋m的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当x1＜x2时，y1＜y2，且与y轴相交于正半轴，则m的值可以是　　　(写出一个符合的m值即可). 14. 二胡是我国古老的民族拉弦乐器之一.音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳.如图，一把二胡的琴弦AC长为80 cm，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦BC长为　　　　cm. 第15题图 第14题图 15.如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，∠ABE＝30°，将△ABE沿BE折叠得△FBE，连接CF，若CF平分∠BCD，AB＝2，则DE的长为　　　　. 三、解答题：本大题共11小题，共75分解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(5分)化简：m(3＋m)－(m＋3)(m－3). 17.(5分)解方程： ＝ . 18.(5分)解不等式组，并把解集在数轴上表示出来. 19.(7分)如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y ＝ 的图象与反比例函数y ＝ ，(k≠0)的图象交于A ( a，－2)，B两点. (1)求反比例函数y ＝ 的表达式； (2)P是第一象限内直线AB上方反比例函数图象上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点C，连接PO，若△POC的面积为，求CD的长. 20.(7分)“体重管理年”掀起全民健身热潮，健康生活方式成新风尚.某校举办了“食动并行，体质并重”的知识竞赛.现从该校七、八年级的学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩(百分制)进行收集、整理、描述、分析.所有学生的成绩均高于60分(成绩用x表示，共分为三组：A.60＜x≤80；B.80＜x≤90；C.90＜x≤100)，下面给出了部分信息： 信息一：七年级10名学生的竞赛成绩为72，76，81，83，83，85，86，88，92，94. 八年级10名学生的竞赛成绩在B组的数据为84，86，86. 信息二：七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 84 84 a 八年级 84 b 76 八年级所抽学生的竞赛成绩扇形统计图 第20题图 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：a＝　　　　 ，b＝　　　　 ，m＝　　　　 ； (2)该校七年级有500名学生、八年级有400名学生参加了此次知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩优秀(x＞90)的学生共有多少人？ (3)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩较好？请说明理由(写出一条合理的理由即可). 21.(7分)《海岛算经》是中国最早的一部测量数学专著，也是中国古代高度发达的地图学的数学基础.这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁.直至现在，重差测量法仍有借鉴意义.如图，为测量海岛上一座山峰AH的高度，直立两根高1米的标杆BC和DE，两杆间距BD为3米，D，B，H三点共线，从点B处退到点F，观测山顶A，发现A，C，F三点共线时，仰角为45°；从点D处退到点G，观测山顶A，发现A，E，G三点共线时，仰角为37°(点F，G都在直线HB 上)，求山峰AH的高度.(结果保留整数.参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ) 22.(7分)如图，已知矩形ABCD A B C D （1） 尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ①作∠BAD的平分线AM。交直线BC与点E ②过E作EF⊥AD，垂足为F （2） 求证四边形ABEF是正方形 23.(7分)如图，△ABC内接于☉O，AC是☉O的直径，AP与☉O相切于点A，OP⊥AB于点M，射线PD经过点B，连接OB. (1) 求证：PB是☉O的切线； (2) 当BC＝2，tan∠CBD＝ 时，求☉O的半径. 24.（8分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象过点A（2，k），B（﹣1，k）． （1）求的值； （2）已知二次函数y＝ax2+bx+2的最大值为 ． 求该二次函数的表达式； 25.(8分)如图，△ABC和△DMN均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠MDN＝90°，D为BC的中点，△DMN绕点D旋转，连接AM，CN. (1)如图1，在△DMN旋转的过程中，写出AM和CN的数量关系是 ； (2)如图2，当点M，N在△ABC内且C，M，N三点共线时，写出AM，CM，DM的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点M，N在△ABC外且C，M，N三点共线时，直接写出AM，CM，DM的数量关系. 图1 图2 图3 26.（9分）我们给出如下定义：两个图形G1和G2，在G1上的任意一点P引出两条垂直的射线与G2相交于点M、N，如果PM＝PN，我们就称M、N为点P的垂等点，PM、PN为点P的垂等线段，点P为垂等射点． （1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点P（1，0）为x轴上的垂等射点，过A（0，3）作x轴的平行线l，则直线l上的B（﹣2，3），C（﹣1，3），D（3，3），E（4，3）为点P的垂等点的是　 　 ； （2）如果一次函数图象过M（0，3），点M为垂等射点P（1，0）的一个垂等点且另一个垂等点N也在此一次函数图象上，在图2中画出示意图并写出一次函数表达式； （3）如图3，以点O为圆心，1为半径作⊙O，垂等射点P在⊙O上，垂等点在经过（3，0），（0，3）的直线上，如果关于点P的垂等线段始终存在，求垂等线段PM长的取值范围（画出图形直接写出答案即可）． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025一2026学年度第二学期交大附中总、分校联考九年级数学十· 一、选择题：本大题共11小题，每小题3分，共33分，每小题只有一个正确选项. 1.如果某天中午的气温是5℃，傍晚比中午下降了7℃，那么傍晚的气温是() A.2℃ B.-2℃ C.-5℃ D.-7℃ 2.第十五届全运会于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地共同举办.体育精神 就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是() A B C D 3司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具.如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽 度之比为√26一1，若v26一1介于两个连续整数n和1十1之间，则n的值为() A.3 B.4 C.5 D.6 4.月球车工作时所需的电能都是由太阳能电池板提供的.当太阳光线垂直照射在太阳光板上时，接收 的太阳光能最多，某一时刻太阳光的照射角度如图所示，如果要使此时接收的太阳光能最多，那么 将太阳光板绕支点P顺时针旋转的最小角度为() 太阳光 40大阳光板 A.40° B.45° C.50 D.60° 5.如图，是一次函数y=十b(k,b为常数，k≠0)的图象，则关于x的方程十b=0的解是() A.x=3 B.x=-2 C.x=0 DK=- B D 第5题图 第6题图 第1页 6.如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，BD是∠ABC的平分线.若CD =3v2cm,则AC的长为() A.3 cm B.3v2 cm C.6 cm D.12 cm 7.如图，香水梨在甘肃白银境内种植历史悠久，明代就有记载甲、乙、丙、丁四个果篮中香水梨 的平均质量x与方差2如下表所示，若要挑选一个单果质量大且大小均匀的果篮，则应选() 果篮 甲 乙 丙 丁 平均质量（克） 450 500 450 500 方差s2 1.1 1.1 1.2 1.2 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 8.清朝数学家梅文鼎的著作《方程论》中记载了这样的一个问题：“山田三亩，场地六亩，共折 输粮实田四亩七分；又有山田五亩，场地三亩，共折输粮实田五亩五分.问每亩山田折实田多少， 每亩场地折实田多少？”大意是：山田3亩，场地6亩，产粮总量相当于实田4.7亩；又有山田5 亩，场地3亩，产粮总量相当于实田5.5亩，问每亩山田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩？设 每亩山田产粮相当于实田x亩，每亩场地产粮相当于实田y亩，根据题意，可列方程组为() A+y5好+y=6c8y好D+y好 9.定义一个关于实数a,b的新运算，规定：a*b=3a一2b,例如，45=3×4一2×5.若实数m满 足m*2<1,则的取值范围是() Am>号 B. C.m< D.m< 10.如图《推背图》是唐朝贞观年间唐太宗李世民命天文学家李淳风和相士袁天罡推算大唐气运而 作，此著作对后世诸多事件都进行了准确的预测推背图以天干地支的名称进行排列，共有60象， 其中天干分别为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支分别为子、丑、寅、卯、辰、已、 午、未、申、酉、戌、亥该书第一象为“甲子”，第二象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直 排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙 子”，以此类推2026年是“丙午”年，正值兰州大学建校117周年，据此推算，当兰州大学317 周年校庆时，对应的年份是() A.丁卯年 B.丙寅年 C.乙丑年 D甲午年 共4页 11.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，动点P从点A出发，沿着A→B的路径匀 速运动，运动到点B时停止，过点P作PQ⊥AB,交边AC(或BC)于点Q.设点P的运动路程为x, △APQ的面积为y,y与x的函数图象如图2所示，则a的值为() 23 图1 图2 A.23 B.23 3 C.4 3 D.5V3 3 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分 12.因式分解：3-3m= 13.若一次函数y=(1一2)x十m的图象经过点A(x1,y1)和点B(x2,y2),当x1<x2时，y1<y2,且与y 轴相交于正半轴，则的值可以是（写出一个符合的m值即可） 14.二胡是我国古老的民族拉弦乐器之一.音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时， 奏出来的音调最和谐、最悦耳.如图，一把二胡的琴弦AC长为80c,千斤线绑在点B处，则B点 下方的琴弦BC长为 cm. C。 第14题图 第15题图 15.如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，∠ABE=30°，将△ABE沿BE折叠得△FBE,连 接CF,若CF平分∠BCD,AB=2,则DE的长为 三、解答题：本大题共11小题，共75分解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 16.(5分)化简：m(3+)一(+3)-3) 17.6分)解方程：=三 第2页 (2+x>7-4x 18.(5分)解不等式组 tx 并把解集在数轴上表示出来， 19.(7分)如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=号x的图象与反比例函数y=冬k≠)的 图象交于A(a,-2),B两点。 (①)求反比例函数y=的表达式： (2)P是第一象限内直线AB上方反比例函数图象上一点，过点P作PD⊥x轴于点D,交AB于点C, 连接PO,若△POC的面积为，求CD的长. 20.(7分)“体重管理年”掀起全民健身热潮，健康生活方式成新风尚.某校举办了“食动并行，体质 并重”的知识竞赛现从该校七、八年级的学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行收 集、整理、描述、分析.所有学生的成绩均高于60分（成绩用x表示，共分为三组：A.60<x≤80： B.80<x≤90；C.90<x≤100)，下面给出了部分信息： 信息一：七年级10名学生的竞赛成绩为72,76,81,83,83,85,86,88,92,94. 八年级10名学生的竞赛成绩在B组的数据为84,86,86. 信息二：七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 84 84 八年级 84 b 76 八年级所抽学生的竞赛成绩扇形统计图 共4页 23.(7分)如图，△ABC内接于⊙O,AC是⊙O的直径，AP与⊙O相切于点A,OP⊥AB于点M,射 A 40% 线PD经过点B,连接OB. C (1)求证：PB是OO的切线： B m% (2)当BC=2,tan∠CBD=号时，求⊙O的半径. 第20题图 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：a= ,b= B (2)该校七年级有500名学生、八年级有400名学生参加了此次知识竞赛，估计该校七、八年级参加 此次知识竞赛成绩优秀(x>90)的学生共有多少人？ 24.(8分)在平面直角坐标系中，二次函数y=+bx+2的图象过点A(2,k),B(-1,k). (3)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出 一条合理的理由即可 (1)求b的值： a 51.2 21.(7分)《海岛算经》是中国最早的一部测量数学专著，也是中国古代高度发达的地图学的数学基 （2)已知二次函数)=m4+2的最大值为之-4a1 础这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁直至现在，重差测量法仍有借鉴意义.如图，为 求该二次函数的表达式： 测量海岛上一座山峰AH的高度，直立两根高1米的标杆BC和DE,两杆间距BD为3米，D,B, H三点共线，从点B处退到点F,观测山顶A,发现A,C,F三点共线时，仰角为45°；从点D 25.(8分)如图，△ABC和△DMN均为等腰直角三角形，∠BAC=∠MDN=90°，D为BC的中点， 处退到点G,观测山顶A,发现A,E,G三点共线时，仰角为37°（点F,G都在直线HB上），求 △DMN绕点D旋转，连接AM,CN 山峰4H的高度.（结果保留整数.参考数据：sin37°≈}，cos37”≈，tam37°≈） (I)如图1，在△DMN旋转的过程中，写出AM和CN的数量关系是 (2)如图2，当点M,N在△ABC内且C,M,N三点共线时，写出AM,CM,DM的数量关系，并 说明理由： (3)如图3，当点M,N在△ABC外且C,M,N三点共线时，直接写出AM,CM,DM的数量关系. 22.(7分)如图，已知矩形ABCD M (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） B ①作∠BAD的平分线AM。交直线BC与点E ②过E作EF⊥AD,垂足为F (2)求证四边形ABEF是正方形 图1 图2 图3 第3页共4页 26.(9分)我们给出如下定义：两个图形G1和G2,在G1上的任意一点P引出两条垂直的射线与 G相交于点M、N,如果PM=PN,我们就称MN为点P的垂等点，PM、PN为点P的垂等线段， 点P为垂等射点， (1)如图1，在平面直角坐标系xOy中，点P(1,0)为x轴上的垂等射点，过A(0,3)作x轴 的平行线1，则直线1上的B(-2,3),C(-1,3),D(3,3),E(4,3)为点P的垂等点的 是」 (2)如果一次函数图象过M(0,3),点M为垂等射点P(1,0)的一个垂等点且另一个垂等点N 也在此一次函数图象上，在图2中画出示意图并写出一次函数表达式： (3)如图3，以点O为圆心，1为半径作⊙O,垂等射点P在⊙O上，垂等点在经过(3,0)，(0， 3)的直线上，如果关于点P的垂等线段始终存在，求垂等线段PM长的取值范围（画出图形直接 写出答案即可). 4 Y个 3 3 2 2 1 P 1P 321912号4532-9124532245 -2 -2F -2 -3 -3 -3 图1 图2 图3 第4页 共4页 答案 一、选择题： 本大题共11小题，每小题3分，共33分，每小题只有一个正确选项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B B B C A C B B D B D 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分. 12. 3m（m+1）(m-1) 13. (答案不唯一） 14. 4 - 40 15. 1+ 16. 原式=3m+9 17. 解得： x=1 检验： 把 x=1代入x-1=0 所以： x=1是增根，原方程无解 18. 解：由①得 x>1 解：由②得 x<4 ∴原不等式组的解集是1<x<4 19. （1）y＝ （2）设P(m，)，则C(m，)，D(m，0)， △POC的面积为 PC·OD＝ ×(－)×m＝， 解得m1＝3，m2＝－3(舍去)， ∴C(3，1)，D(3，0)，∴CD的长为1 20. （1） 83 85 30 （2） 220人 (3) 八年级成绩较好. 理由：略 21 10米 22. 略 23. （1）略 （2） 24. ( 1) -1 ( 2 ) y=-x2+x+2 25. （1）AM=CN （2）MC = AM + DM证明：略 ( 3 ) AM + MC = DM 26. (1) B E (2) y = - x + 3 或 y = 2 x+3 (3) 3 - ≤ PM ≤ 3 + 学科网（北京）股份有限公司 $