28.1 图形的旋转（讲义，3大知识13大题型）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦初中数学“旋转”核心知识点，系统梳理旋转的定义（三要素：旋转中心、方向、角度）、性质（全等、对应点到中心距离相等、对应点与中心连线夹角等于旋转角）及作图步骤（确定要素、找关键点、旋转关键点、连接对应点），通过即学即练构建从概念到应用的学习支架。 该资料亮点在于题型丰富（13类，含典例与变式），结合生活实例（如钟摆摆动、春晚标识），培养数学眼光（抽象旋转现象）、数学思维（推理性质应用）与数学语言（坐标及图形表达），课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺。

第二十八章 旋转 28.1 图形的旋转 知识点一 旋转的定义 定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫旋转角. 旋转的三要素： 【补充】 1）旋转中心可以在图形的内部，也可以在图形的外部，还可以是图形上的某个点； 2）将某个图形绕着旋转中心按某一方向旋转，则这个图形上的每个点同时绕旋转中心按照此方向旋转相同的角度. 3）对应点之间的运动轨迹是一段圆弧，对应点到旋转中心的线段就是这段圆弧所在圆的半径. 4）旋转与平移一样，都是图形的基本变换，旋转只改变图形在平面中的位置，不会改变图形的形状和大小. 即学即练 1．（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）下列运动形式属于旋转的是（） A．火箭升空 B．钟摆的摆动 C．传送带移动 D．电梯的运行 【答案】B 【分析】本题考查生活中的旋转现象，掌握知识点是解题的关键． 旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动．钟摆的摆动围绕固定点旋转，属于旋转运动；其他选项均为直线运动，不属于旋转． 【详解】解：旋转需绕固定点或轴转动， A．火箭升空为直线运动，不符合题意； B．钟摆的摆动绕支点旋转，符合题意； C．传送带移动为直线运动，不符合题意； D．电梯的运行为直线运动，不符合题意． 故选：B． 2．（25-26九年级上·山东德州·期末）如图在小正方形网格中，将绕某一点旋转变化得到，则旋转中心为（   ） A．点E B．点F C．点G D．点H 【答案】C 【分析】本题考查了旋转中心的定义，在平面内，图形绕某一点旋转时，该点到对应点的距离相等，因此旋转中心是对应点所连线段的垂直平分线的交点，分别连接两组对应点作其垂直平分线，确定两条垂直平分线的交点，该交点即为旋转中心，熟练掌握旋转中心的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图：分别作线段和的垂直平分线， ， 由图可得，旋转中心为点， 故选：C． 3．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质和三角形内角和定理的应用，解题的关键是掌握旋转的性质． 由旋转得，故，可得，从而知旋转角为． 【详解】解：由旋转的性质得：， ． ． ∴旋转角为． 故选：B． 知识点二 旋转的性质 1）旋转前后的两个图形全等； 2）对应点到旋转中心的距离相等； 3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 【技巧总结】 1）旋转的不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置. 2）旋转时，图形上的每一点都绕旋转中心按相同的方向旋转相同的角度. 即学即练 1．（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，在中，，将绕点A旋转得到，连接．若，则的度数为（   ） A．25° B．45° C．35° D．30° 【答案】D 【分析】本题主要考查图形旋转的性质，根据题意可知，，从而可知，进而求得． 【详解】 如图所示，根据题意可知，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 故选：D 2．（25-26九年级上·北京东城·期末）如图，将绕点A逆时针旋转得到，若，连接，则的长为（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转和全等的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据旋转和全等的性质可得，，再根据勾股定理可得． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 3．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，，，点在边上，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的度数为_____________ 【答案】/100度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理，旋转的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得，再由三角形内角和定理，可得，然后根据旋转的性质可得，，可证明，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 4．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图2中的图案是由图1中的基本图形以点为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角度，依次旋转若干次而组成的，则旋转角的度数最小为_____度． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质． 由图可知，将图1无缝旋转5次得到图2，进而用除以即可． 【详解】解：由图可知，将图1无缝旋转5次得到图2， 即旋转角的度数最小为． 故答案为：． 知识点三 图形旋转的作图步骤 1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2）找出原图形的关键点； 3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； 4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 即学即练 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，将该图案绕中心O逆时针旋转后，得到的图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形旋转的概念，特别是绕中心点旋转后图形位置的变化.通过观察原图和选项，判断旋转之后图形的正确位置. 【详解】解：首先分析圆的位置： 原图中圆位于左上角的方格内，绕中心O逆时针旋转后，圆会旋转到右下角的方格内，通过选项可得：C和D符合； 其次，分析阴影三角形的位置变化： 原图中左下角的阴影三角形，绕中心O逆时针旋转后，旋转到右上角且斜边的方向不变.原图中右上角的阴影三角形，绕中心O逆时针旋转后，会旋转到左下角，观察C和D,C选项中阴影三角形的位置和形状符合，而D选项中位置不符合. 故选：C． 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，在平面直角坐标系中，的各顶点坐标分别为． (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕原点顺时针旋转后得到的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形的中心对称与旋转变换，解题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征和绕原点顺时针旋转的点的坐标变换规律． （1）先根据关于原点对称的点的坐标特征，求出A，B，C三点关于原点的对称点的坐标，再顺次连接各点； （2）先根据绕原点顺时针旋转的坐标变换规律，求出A，B，C三点旋转后的对应点的坐标，再顺次连接各点． 【详解】（1）解： 点关于原点对称的点的坐标为， 关于原点对称的点， 关于原点对称的点， 关于原点对称的点． 顺次连接，得到，即为所求（见下图）． （2）解： 点绕原点顺时针旋转后的对应点坐标为， 旋转后的对应点， 旋转后的对应点， 旋转后的对应点． 顺次连接，得到，即为所求（见上图）． 3．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）如图，图（1）、图（2）、图（3）、图（4）、图（5）中的图②是由图①经过轴对称，平移，旋转这三种运动变换而得到，请分别指出它们是由其中哪一种运动变换得到的． 【答案】见解析 【分析】本题考查平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形．观察时要紧扣图形变换特点，进行分析判断． 【详解】解：图（1）中的图②是由图①经过平移变换而得到； 图（2）中的图②是由图①经过旋转变换而得到（绕点C旋转）； 图（3）中的图②是由图①经过旋转变换而得到（绕点A旋转）； 图（4）中的图②是由图①经过轴对称变换而得到（以所在的直线为对称轴）； 图（5）中的图②是由图①经过旋转变换而得到（绕点B旋转）． 题型01 判断生活中的旋转现象 典｜例｜精｜析 例1．（25-26八年级上·山东烟台·期中）下列选项中属于旋转运动的是（    ） A．小华向西走10米再向北走10米 B．传送带传送货物 C．电梯从1楼到11楼再回到1楼 D．小亮正在荡秋千 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转运动；旋转运动是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动．选项A、B、C均为平移运动，只有选项D的荡秋千是围绕固定点旋转． 【详解】解：∵ 旋转运动需围绕固定点转动， A项为平移运动，无旋转中心； B项传送带为平移运动； C项电梯为上下平移运动； D项荡秋千是围绕悬挂点做圆弧运动，属于旋转运动． 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列运动属于旋转的是（    ） A．滚动过程中的篮球 B．一个图形沿某直线对折的过程 C．气球升空的运动 D．钟表钟摆的摆动 【答案】D 【详解】根据旋转的定义，判断各选项是否围绕固定点或轴转动. 【分析】A. 滚动过程中的篮球，接触点不断变化，并非绕固定点转动，属于滚动而非旋转； B. 图形沿直线对折是轴对称，属于翻折，不涉及旋转； C. 气球升空是沿直线方向的平移运动，无旋转； D. 钟摆绕固定悬挂点往复摆动，属于绕定点转动，符合旋转的定义. 故选D. 【点睛】本题考查了生活中的旋转现象，熟练掌握旋转的定义是解题的关键. 2．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）对下列“握手”图片从左向右的顺序依次变换，描述正确的是（　　） A．轴对称→平移→旋转 B．轴对称→旋转→平移 C．旋转→轴对称→平移 D．平移→旋转→轴对称 【答案】A 【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是读懂图象信息． 根据平移变换，旋转变换，轴对称变换的定义判断即可． 【详解】解：“握手”的变换顺序是轴对称→平移→旋转． 故选：A． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）2025年乙巳蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，下图为春晚主标识、将两个“巳”字如图摆放，恰似中国传统的如意纹样．双巳合璧，事事如意，它采用的基本数学变换是（   ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似 【答案】B 【分析】本题考查旋转变换的性质，利用旋转变换的性质解决问题即可． 【详解】解：由图可知：春晚主标识是中心对称图形，可以由一个“巳”绕中心顺时针旋转得到另一个“巳”． 故选：B． 题型02 判断由一个图形旋转而成的图案 典｜例｜精｜析 例2．（2025九年级上·全国·专题练习）北京冬奥会于年2月4日在北京和张家口联合举行．下图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，熟知旋转的概念和性质是解题的关键．根据旋转的性质解答即可． 【详解】解：根据题意得：将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是： 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（2025九年级上·全国·专题练习）同学们，在我们学过的英语字母中，下列哪一组字母是通过旋转得到的（　　） A．bd B．bp C．pq D．bq 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质．利用旋转的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：根据旋转的意义，字母按顺时针方向旋转，即两个字母成中心对称， 从而可确定为D选项， 故选：D． 2．（24-25七年级下·江苏南京·期中）电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（    ） A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移 C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和图形的旋转“把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转”、平移“某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移”，熟记图形的旋转、轴对称图形、平移的定义是解题关键．根据图形的旋转、轴对称图形、平移的定义进行判断即可得． 【详解】解：由图可知，第一次为轴对称，第二次为平移，第三次为旋转， 故选：A． 3．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）观察图，图形②是图形①（　　）得到的 A．先向右平移3个格，再绕C点逆时针旋转 B．先绕C点逆时针旋转，再向右平移2个格 C．先向右平移2个格，再绕B点逆时针旋转 D．先绕A点顺时针旋转，再向右平移3个格 【答案】B 【分析】本题考查了旋转，平移的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据旋转，平移的特点解答即可． 【详解】解：根据题意，得先绕C点逆时针旋转再向右平移2个格，得到题意图， 故选：B． 题型03 找旋转中心，旋转角，对应点 旋转中心的确定方法：确定旋转中心时，要看旋转中心是在图形上还是在图形外. 1）若在图形上，哪一点在旋转过程中位置没有改变，哪一点就是旋转中心； 2）若在图形外，对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心. 典｜例｜精｜析 例3．（24-25七年级下·全国·暑假作业）如图， 与都是等腰直角三角形，，和都是直角，如果经旋转后能与重合，那么旋转中心是点________，绕中心逆时针旋转了________． 【答案】 B 45°/45度 【分析】此题主要考查了旋转的性质及等腰直角三角形的性质．由于与都是等腰直角三角形，由此可以得到与都是，如果经过旋转后能与重合，那么根据旋转的性质即可确定旋转中心及旋转角． 【详解】解：∵与都是等腰直角三角形，和都是直角，点C在上， ∴与都是， 而经过旋转后能与重合， 那么旋转中心为点B，旋转角为， ∴旋转角度为． 故答案为：B，． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖北孝感·阶段检测）如图，将绕O逆时针旋转一定的角度后得到，若，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转角的求解，解题的关键是正确找出旋转角． 先确定旋转角，再由角的和差计算求解即可． 【详解】解：∵将绕点按逆时针方向旋转一定角度后得到，，， ∴旋转角的度数是， 故选：B． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是由按顺时针方向旋转某一角度得到的，若，，则在这旋转过程中，旋转中心和旋转的角度分别为（   ） A．P， B．A， C．P， D．A， 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，明确旋转前后的图形大小和形状不变，正确确定对应角，对应边是解答此题的关键．根据条件得出，，确定旋转中心，根据条件得出，确定旋转角度数． 【详解】解：∵是由按顺时针方向旋转而得， ∴， ∴，，， ∴， ∴是以点A为旋转中心顺时针旋转得到的． 故选：D． 3．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，顶点的横、纵坐标都是整数，若将以某点为旋转中心，顺时针旋转得到，其中分别和对应，则旋转中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形的旋转变化，根据分别与对应，所以和垂直平分线交点即为旋转中心，作出旋转中心，可得结论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵分别与对应， ∴和垂直平分线交点即为旋转中心，即点， ∴点， 故选：． 题型04 利用旋转的性质求角度 1）旋转一定出等腰三角形. 2）若旋转角为60°，得等边三角形. 3）若旋转角为90°，得等腰直角三角形. 典｜例｜精｜析 例4．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，将绕点逆时针旋转（），得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质得出，，，根据等腰三角形的性质得出，根据角的和差关系得出，根据三角形外角性质即可得答案． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转（），得到，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，绕点逆时针旋转得到．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得，，则，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，进而求出，最后利用角的和差即可求解． 【详解】解：如图， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，将边绕点A顺时针旋转得到，边绕点A逆时针旋转得到，连接．若，，且，则①的度数是________；②________． 【答案】 /120度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，勾股定理，旋转的性质，解直角三角形． 过点E作交的延长线于，由三角形的内角和定理可得，，由，可解，从而求出及，最后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点E作交的延长线于， ，， ， ， ， ， ∵， ∴在中，有，， ， ∴， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：，． 3．（25-26九年级上·天津西青·阶段检测）如图，为正方形内一点，，按顺时针方向旋转角度后成为，___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．由正方形的性质得到，由旋转的性质得到，则可得到旋转中心为点B，旋转角度为，可证明是等腰直角三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵按顺时针方向旋转角度后成为， ∴， ∴旋转中心为点B，旋转角度为， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 题型05 利用旋转的性质求线段长 典｜例｜精｜析 例5．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，，．将绕点顺时针旋转得（点，对应），当点，，在同一条直线上时，的长为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含度的直角三角形三边的关系．先利用互余计算出，再根据含度的直角三角形三边的关系得到，接着根据旋转的性质得，，，，，于是可判断为等腰三角形，所以，再利用三角形外角性质计算出，可得，然后利用进行计算． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，，，，， ∴为等腰三角形， ∴， ∵A、、在同一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到点C的对应点落在边上，，则的长为（   ） A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的旋转，勾股定理．根据旋转的性质可得，，，在中，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵将绕点B逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴． 故选B． 2．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到（点A与点对应，点B与对应）．当点A，，在同一直线上时，的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了根据旋转的性质求解，用勾股定理解三角形，解题关键是利用三角形面积有关的高． 作于点，先根据勾股定理求得，由旋转的性质可得知，，，推出，再利用三角形面积求得，最后由勾股定理求得，进而可得答案． 【详解】解：如图，作于点 ∵，，， ∴， 由旋转的性质可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，使点落在边上的处，点落在处，连接．则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理．掌握旋转的性质是解题的关键． 由勾股定理可求，由旋转的性质可得，，由勾股定理可求出，即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转，使点落在边上的处，点落在处， ∴，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 题型06 求旋转后图形对应点的坐标 典｜例｜精｜析 例6．（2023·河南濮阳·二模）如图，点A坐标为，点C坐标为，将线段绕点C逆时针旋转至，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，旋转的性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 分别过作轴的垂线，垂足分别为，证明，得出，求出，即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，分别过作轴的垂线，垂足分别为， 则． ∵点坐标为，点坐标为， ， 根据旋转可知：， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·河北唐山·期中）已知点的坐标为，点的坐标为，则点绕点顺时针旋转后的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点绕非原点旋转后的坐标，解题的关键在于能够熟练掌握关于旋转点对称点的坐标特征．根据A点绕点旋转180度得到点C，即点C与点A关于点中心对称，由此进行求解即可． 【详解】解：∵点绕旋转180度得到点C， ∴点C与点A关于点中心对称， 设点C的坐标为， ∴， 解得：， ∴点C的坐标为， 故选：A． 2．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，菱形的顶点O与原点重合，点C在x轴上，点A的坐标为．将菱形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查菱形的性质、坐标与图形的性质、勾股定理、图形的旋转等知识点，正确添加常用辅助线（一般作x轴或y轴的垂线，这种方法叫铅锤法）是解题的关键． 如图：过点A作轴于H．利用勾股定理求出，可得点B的坐标，再由旋转的角度，可知旋转4次是一个循环，则第2024次旋转结束时与菱形顺时针旋转的位置一样，求出菱形顺时针旋转时B点坐标即可． 【详解】解：如图，过点A作轴于H． ∵四边形是菱形，在x轴上， ∴，， ∵点A的坐标为， ， 在中，， ， ∴点B的坐标为， ∵将菱形绕点O逆时针旋转，每次旋转， ∴每旋转4次图形回到原位置， ， ∴第2024次旋转结束时，与原有菱形的位置一样， ∴点B的坐标为． 故选：B． 3．（25-26九年级上·湖北荆门·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，点，均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．作，求出的值即可得到答案． 【详解】解：作，交轴于点， 由题可得：， ∵是等边三角形，， ∴是的角平分线，， ， ， 在中，， 即， 解得：（负值已舍去）， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型07 与旋转变换有关的规律问题 典｜例｜精｜析 例7．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，点的坐标为，第一次：将点绕原点逆时针旋转得到；第二次：作点关于轴的对称点；第三次：将点绕点逆时针旋转得到；第四次：作点关于轴的对称点，然后按这四次规律重复，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转、点的坐标变化规律及关于轴、轴对称点的坐标，根据所给变换方式，依次求出点，…，的坐标，发现规律即可解决问题．能根据题意得出从点开始，所得点的坐标按循环是解题的关键． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，如图所示： ∵点的坐标为， ∴． 由旋转可知，． 又∵轴，轴， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为． ∵点和点关于轴对称， ∴点的坐标为． 依次类推： 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， …， 则从点开始，所得点的坐标按循环， ， 点的坐标是． 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，一段抛物线记为，它与轴交于两点，，将绕旋转得到，交轴于点，将绕旋转得到，交轴于点，照这样的规律进行下去，则抛物线的顶点坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，中心对称和点的坐标的变换规律，掌握好二次函数顶点坐标和与x轴交点坐标的求法是解题关键． 先根据的解析式求出点的坐标，从而得到线段的长．由中心对称的性质可得，，求得点和点的坐标．抛物线在中心对称的过程中，其形状不变，开口方向发生变化，即二次项系数a的绝对值不变．根据观察，抛物线的开口向下，所以抛物线的二次项系数．结合点和点的坐标可以写出抛物线的交点式，求出其顶点坐标即可． 【详解】解：当时，，解得，， ∴点的坐标为， ∵抛物线由抛物线绕旋转得到，抛物线由抛物线绕旋转得到，， ∴抛物线的二次项系数与抛物线相同，即， 由中心对称的性质可知，， ∴，， ∴抛物线的解析式为， 其对称轴为直线， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． 故选：A． 2．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（   ） A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向 【答案】D 【分析】本题考查规律探索，多边形外角和，旋转的性质，掌握方法是解决问题的关键．根据图形旋转方式，可证明皆为等边三角形，可得，根据多边形外角和结论，图形每转动12次后与重合，依此规律解答即可． 【详解】解：将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和， 则，且， 为等边三角形， 同理，皆为等边三角形， ∵将绕点逆时针旋转， ∴， 为等边三角形，的中点为， ， ， 同理， 则， ∵， ∴每转到12次后与方向重合， ， ∴第30次操作后，第3个循环中的第6个位置，恰与方向相反， 又∵为等边三角形， ， 此时点在点的正北方． 故选：D． 3．（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角的斜边，且在x轴的正半轴上，点落在第一象限内．将绕原点O逆时针旋转，得到，再将绕原点O逆时针旋转，又得到；依此规律继续旋转，得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据所给旋转方式发现点位置变化的规律是解题的关键．根据所给旋转方式，可得出每旋转八次，点为正整数）的位置便循环一次，再结合便可解决问题． 【详解】解：由所给旋转方式可知， ， 每旋转八次，点为正整数）的位置便循环一次． 又， 点的坐标与点的坐标相同． 又点在轴的正半轴上，且， 点的坐标为， 即点的坐标为． 故选：C． 题型08 根据旋转的性质说明线段或角相等 典｜例｜精｜析 例8．（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点在线段的延长线上． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查旋转的性质、三角形的内角和等，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质推出，再根据平角的性质，最后等量代换即可证明； （2）根据旋转的性质推出，再根据三角形的内角和求出，最后通过等量代换即可求解． 【详解】（1）解：证明：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴． （2）∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵的内角和为，， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，在中，，，点D为垂足，将绕点A顺时针旋转，使与重合，点D落在点E处，延长交的延长线于点F，延长交的延长线于点G，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 先根据三线合一定理得到，再由旋转的性质得到，，证明即可证明． 【详解】证明：，， ， 由旋转而得， ，， 在和中， ， ， ． 2．（25-26九年级上·北京朝阳·阶段检测）在中，，，是射线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点：如图，当点在线段延长线上，点在线段延长线上． (1)连接，猜想________（用含的式子表示），并证明你的猜想． (2)探究线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，证明过程见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（1）延长至点，使，连接，证明，可得，，由三角形的内角和定理，结合旋转的性质，可得，，证明，可得，即可得； （2）延长至点，使，连接，由（1）得，，可得，由平行线的性质可得，由三角形外角的性质，可得，由等角对等边，等量代换，可得，即可得线段与的数量关系． 【详解】（1）解：， 证明：延长至点，使，连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由旋转可得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：，理由： 延长至点，使，连接， 由（1）得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，旋转的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，平行线的性质，等角对等边． 3．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，四边形中，，，，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟记相关性质定理是解题的关键．（1）根据等边三角形的判定与性质结合旋转的性质，利用可推出，进而得出结论；（2）由全等得出的长，再根据勾股定理求出的长，再根据旋转的性质得出是等边三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵ 将边绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵ 将边绕点顺时针旋转得到线段， ∴是等边三角形， ∴，， 又 ∵， ∴， ∴． 题型09 画旋转图形 典｜例｜精｜析 例9．（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别是，，． (1)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (2)平移，若的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标为___________． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查作图-旋转变换，平移变换，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质． （1）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可； （2）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可； （3）利用旋转变换的性质求解，连接交于一点，这点即为旋转中心，即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，旋转中心的坐标为， 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)绕点顺时针旋转得到，请在坐标系中画出； (2)求点在旋转过程中的路径长． 【答案】(1)见详解； (2)． 【分析】此题考查作图-旋转变换、弧长公式，解题关键在于掌握作图法则． （1）在平面直角坐标系中画出的对应点，然后顺次连接即可； （2）求出的长，根据弧长公式即可求出点所经过的路径长． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）， ， 点在旋转过程中的路径长为． 2．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上． (1)将绕点O逆时针旋转，得到，画出； (2)求在旋转过程中，线段扫过的面积（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是画旋转图形，勾股定理，扇形面积公式． （1）分别确定绕点O逆时针旋转的对应点，再顺次连接即可； （2）先确定线段扫过的图形为扇形，然后利用勾股定理求解半径，再根据旋转角结合扇形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：，， 由题意可得，线段扫过的图形为扇形， ∴面积为 题型10 求旋转对称图形的旋转角度 典｜例｜精｜析 例10．（25-26九年级上·山东日照·期末）如图，将正五边形绕着它的中心O旋转后，能够与原来的图形完全重合，则n的最小值是______． 【答案】/72度 【分析】本题考查旋转对称图形，正多边形的性质，此图案是正五边形，然后根据正五边形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴此图案绕旋转中心旋转的整数倍时能够与自身重合， ∴n的最小值为． 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）将一个正六边形绕着它的中心旋转，旋转角至少为________度时，旋转后与自身重合． 【答案】60 【分析】本题考查了求旋转对称图形的旋转角度． 正六边形是旋转对称图形，其最小旋转角为除以边数． 【详解】解：正六边形的边数为6， 因此旋转角至少为时，旋转后与自身重合． 故答案为：60． 2．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如果一个平面图形绕着某点旋转角（）后所得到的新图形与原图形重合，那么称此图形是旋转对称图形，其中叫做旋转对称角．中心对称是一种特殊的旋转对称，其对应的旋转角为__________． 【答案】180 【分析】本题主要考查中心对称图形，中心对称图形的定义是绕对称中心旋转后与原图形重合，因此旋转对称角为． 【详解】解：根据旋转对称图形的定义，中心对称图形绕点O旋转后能与自身重合， 故旋转对称角α为． 故答案为：180． 3．（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）摩天轮是孩子们喜欢的一种游玩项目．如图，这个图案绕着它的中心旋转角（）后能够与它本身重合，则___________°（写出一个即可） 【答案】45（答案不唯一） 【分析】本题考查图形的中心旋转，把此图案看作正八边形，然后根据正八边形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴此图案绕旋转中心旋转的整数倍时能够与自身重合， ∴可以为． 故答案为：45（答案不唯一）． 题型11 旋转综合问题-线段问题 典｜例｜精｜析 例11．（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到（点、的对应点分别是点、)，取的中点，连接，则线段的最大值为____________． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理及线段最值问题，解题关键是确定点的运动轨迹，利用“点圆位置关系”求最值． 【详解】解：如图，连接． 在中，，，， 由勾股定理得． 绕点顺时针旋转得到， ， ，． 是的中点， ． 由题意，点在以为圆心、为半径的圆上运动， 根据线段的最值性质，(当且仅当、、三点共线且在延长线上时取等号)， 的最大值为． 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·北京·期中）如图，平面直角坐标系中，点，，，连接，并将线段绕点A顺时针旋转，点B旋转到点，连接．则周长的最小值为______． 【答案】８ 【分析】过点B作轴于点C，过点作轴于点D，证明，得出，根据A、B两点的坐标，得出，说明点在直线上运动，根据为定值，得出当最小时，的周长最小，作点O关于直线的对称点，连接交直线于点E，连接，根据两点之间线段最短，得出当在点E处时，最小，且最小值为的长度，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点B作轴于点C，过点作轴于点D，如图， 则， 由旋转知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， 当最小时，的周长最小， 作点O关于直线的对称点，连接交直线于点E，连接， 则， ∴， 当点与点E重合时，最小，且最小值为的长度， ∵， ∴由勾股定理得， 即的最小值为5， ∴周长的最小值为， 故答案为：８． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，两点之间线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定和性质． 2．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，点E是边长为4的正方形内部一点，，将按逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得到，则点E在以为直径的圆上，取中点G，当过点G时，有最小值，由旋转的性质得到，则此时也取最小值，即可解答． 【详解】解：在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的圆上， 取中点G，连接，当过点G时，有最小值，    又∵按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴此时也取最小值， ∵，为的半径，即， ∴此时， ∴， 即的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了角度的转化与判断点的轨迹，解题的关键是运用数学结合思想处理题给条件，从而得到点的轨迹． 3．（2025·天津·一模）如图，是等边三角形的边的中点，为平面内一点，连接，将线段以点为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点之间的距离为1，则的最小值为_____________，最大值为_____________． 【答案】 / / 【分析】连接,将绕点逆时针旋转得到,连接,由等边三角形的性质和勾股定理求出,证明是等边三角形，得到,再证明,得到,得出点在以点 为圆心、1 为半径的圆上运动，由点圆位置关系即可得解． 【详解】解：如图所示，连接,将绕点逆时针旋转得到，连接， 点是等边三角形边的中点， ， ， 由旋转的性质可得, 是等边三角形， , , , , , 点在以点 为圆心、1 为半径的圆上运动， 如图， 当点在线段上时，的值最小，最小值为，当点在射线上时，有最大值，最大值为， 故答案为：，. 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，点圆位置关系等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 题型12 旋转综合问题-角度问题 典｜例｜精｜析 例12．（23-24九年级上·河南商丘·期中）如图，中，，，平分．过点作交于，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，当时，________． 【答案】或 【分析】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，把绕点A逆时针旋转与过点C与平行的直线相交于M、N，然后分两种情况，根据等腰梯形的性质和等腰三角形的性质分别求解即可．根据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键． 【详解】解：在绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与平行的直线相交于点M、N，如图， ①当点与点M重合时， ∵，， ∴， ∵平分， ∴ ∴ 则， 即 故 四边形是等腰梯形， 所以， 又∵， ∴； ②当点与点N重合时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，当旋转角为或时，． 故答案为：或． 变｜式｜巩｜固 1．（22-23九年级上·河北衡水·期中）如图，中，，，O为中点，将绕着点O逆时针旋转至，（1）当时，__________；（2）当恰为轴对称图形时，的值为_____________． 【答案】 40° 50°或65°或80° 【分析】（1）连接，根据直角三角形斜边中线的性质得到，然后结合旋转的性质得到，然后根据外角的性质得到，进而求解即可； （2）如图1，连接，根据直角三角形的判定和性质得到，当时，得到，推出垂直平分，求得，于是得到，当时，如图2，连接并延长交于H，根据线段垂直平分线的性质得到垂直平分，求得，根据等腰三角形的性质得到，当时，如图3，连接并延长交于G，连接，推出垂直平分，得到，根据三角形的内角和得到． 【详解】（1）连接， ∵中，O为中点 ∴ ∵将绕着点O逆时针旋转至 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）∵恰为轴对称图形， ∴是等腰三角形， 如图1，连接， ∵O为斜边中点，， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴； 当时，如图2，连接并延长交于H， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图3， 连接并延长交于G，连接， ∵，O为斜边中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 综上所述：当恰为轴对称图形时，θ的值为50°或65°或80°， 故答案为：50°或65°或80°． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识的综合运用，熟练的运用旋转的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质是解决问题的关键． 2．（25-26九年级上·广东广州·期末）将一副三角板如图放置（为含的直角三角板，，，为含的直角三角板，）将三角板绕点逆时针旋转，使得三角板的一边所在的直线与垂直，则的度数为（    ）    A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查的是旋转的性质，根据旋转的性质和已知条件进行分类讨论是解题的关键．根据题目要求，需要分两种情况讨论，第一种情况是当时，第二种情况是当时，再根据已知条件求解即可． 【详解】解：当时，如图，   ，， ， ， ， 旋转角为； 当时，如图，   ，， ， 旋转角为； 故选：C． 题型13 旋转综合问题-面积问题 典｜例｜精｜析 例13．（25-26九年级上·重庆綦江·期末）如图，点是正方形的边上一动点(点不与点，重合)，连接，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连接，，若，则面积的最大值为(　　)    A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形判定与性质及二次函数求最值．先过点作，先通过证明与全等，得到对应边相等，再用和表示的面积，最后通过二次函数求面积的最大值． 【详解】解：如图，过点作，则．    设()． ∵四边形是正方形， ∴，． ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，． ∴． 又， ∴． 在和中：， ∴． ∴， ∴， ∴的面积， ∵是关于的二次函数，图象开口向下，， ∴当时，面积取得最大值：， 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在正方形中，O为对角线的中点．正方形在绕点O旋转的过程中，边与交于点E（不与点A，B重合），边与交于点F．若，则四边形的面积为______． 【答案】/6.25/ 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质及等腰三角形三线合一的性质．连接，利用正方形的性质及已知条件得出，，再由得出，从而证明，进而得出，求出面积． 【详解】解：如图，连接， 在正方形中，，， ∴， 又∵O为对角线中点， ∴，， ∴， ∴， 又∵四边形为正方形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·河南开封·期中）如图，P是以正方形的顶点A为圆心，为半径的弧上的点，连接、，将线段绕点P顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是_____． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、旋转的性质以及三角形面积公式，解题的关键在于熟知正方形的性质、旋转的性质． 过点作于点，过点作交其延长线于点，连接交弧于点，利用旋转的性质得到和，进而证得，再结合正方形的性质，求出的底和高，进而求出其面积． 【详解】如图，过点作于点，过点作交其延长线于点，连接交弧于点， 则， 又， ， ， 由旋转得， ， ， ， ， 即当点在时，的值最大为长， 四边形是正方形， ， ， 的值最大为， 的最大面积是， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·天津·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，点B，点E是边的中点，把绕点A顺时针旋转得，点O，B旋转后的对应点分别为D，C． 连接，，，在旋转的过程中，面积的最大值为 ___． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的性质，旋转的性质，利用圆模型求面积的最大值，构造圆，利用直径是圆中最长的弦来解决，是解决本题的关键． 以A为圆心，为半径画，过点作交的延长线于点，当三点共线时，此时高最大，面积最大，求出的值，利用面积公式直接求解即可． 【详解】以A为圆心，为半径画，过点作交的延长线于点， 点A，点B ， 在，, ， 为中点，是直角三角形， ， ， 圆中最长的弦是直径， ∴当点旋转到如图所示的位置时，即三点共线时，此时高最大，面积最大， ∵， ∴在中， ∵， ∴， ∴， 此时，； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十八章 旋转 28.1 图形的旋转 知识点一 旋转的定义 定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫旋转角. 旋转的三要素： 【补充】 1）旋转中心可以在图形的内部，也可以在图形的外部，还可以是图形上的某个点； 2）将某个图形绕着旋转中心按某一方向旋转，则这个图形上的每个点同时绕旋转中心按照此方向旋转相同的角度. 3）对应点之间的运动轨迹是一段圆弧，对应点到旋转中心的线段就是这段圆弧所在圆的半径. 4）旋转与平移一样，都是图形的基本变换，旋转只改变图形在平面中的位置，不会改变图形的形状和大小. 即学即练 1．（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）下列运动形式属于旋转的是（） A．火箭升空 B．钟摆的摆动 C．传送带移动 D．电梯的运行 2．（25-26九年级上·山东德州·期末）如图在小正方形网格中，将绕某一点旋转变化得到，则旋转中心为（   ） A．点E B．点F C．点G D．点H 3．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数（   ） A． B． C． D． 知识点二 旋转的性质 1）旋转前后的两个图形全等； 2）对应点到旋转中心的距离相等； 3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 【技巧总结】 1）旋转的不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置. 2）旋转时，图形上的每一点都绕旋转中心按相同的方向旋转相同的角度. 即学即练 1．（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，在中，，将绕点A旋转得到，连接．若，则的度数为（   ） A．25° B．45° C．35° D．30° 2．（25-26九年级上·北京东城·期末）如图，将绕点A逆时针旋转得到，若，连接，则的长为（   ） A．3 B．6 C． D． 3．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，，，点在边上，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的度数为_____________ 4．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图2中的图案是由图1中的基本图形以点为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角度，依次旋转若干次而组成的，则旋转角的度数最小为_____度． 知识点三 图形旋转的作图步骤 1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2）找出原图形的关键点； 3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； 4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 即学即练 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，将该图案绕中心O逆时针旋转后，得到的图案是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，在平面直角坐标系中，的各顶点坐标分别为． (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕原点顺时针旋转后得到的． 3．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）如图，图（1）、图（2）、图（3）、图（4）、图（5）中的图②是由图①经过轴对称，平移，旋转这三种运动变换而得到，请分别指出它们是由其中哪一种运动变换得到的． 题型01 判断生活中的旋转现象 典｜例｜精｜析 例1．（25-26八年级上·山东烟台·期中）下列选项中属于旋转运动的是（    ） A．小华向西走10米再向北走10米 B．传送带传送货物 C．电梯从1楼到11楼再回到1楼 D．小亮正在荡秋千 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列运动属于旋转的是（    ） A．滚动过程中的篮球 B．一个图形沿某直线对折的过程 C．气球升空的运动 D．钟表钟摆的摆动 2．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）对下列“握手”图片从左向右的顺序依次变换，描述正确的是（　　） A．轴对称→平移→旋转 B．轴对称→旋转→平移 C．旋转→轴对称→平移 D．平移→旋转→轴对称 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）2025年乙巳蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，下图为春晚主标识、将两个“巳”字如图摆放，恰似中国传统的如意纹样．双巳合璧，事事如意，它采用的基本数学变换是（   ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似 题型02 判断由一个图形旋转而成的图案 典｜例｜精｜析 例2．（2025九年级上·全国·专题练习）北京冬奥会于年2月4日在北京和张家口联合举行．下图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2025九年级上·全国·专题练习）同学们，在我们学过的英语字母中，下列哪一组字母是通过旋转得到的（　　） A．bd B．bp C．pq D．bq 2．（24-25七年级下·江苏南京·期中）电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（    ） A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移 C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称 3．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）观察图，图形②是图形①（　　）得到的 A．先向右平移3个格，再绕C点逆时针旋转 B．先绕C点逆时针旋转，再向右平移2个格 C．先向右平移2个格，再绕B点逆时针旋转 D．先绕A点顺时针旋转，再向右平移3个格 题型03 找旋转中心，旋转角，对应点 旋转中心的确定方法：确定旋转中心时，要看旋转中心是在图形上还是在图形外. 1）若在图形上，哪一点在旋转过程中位置没有改变，哪一点就是旋转中心； 2）若在图形外，对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心. 典｜例｜精｜析 例3．（24-25七年级下·全国·暑假作业）如图， 与都是等腰直角三角形，，和都是直角，如果经旋转后能与重合，那么旋转中心是点________，绕中心逆时针旋转了________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖北孝感·阶段检测）如图，将绕O逆时针旋转一定的角度后得到，若，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是由按顺时针方向旋转某一角度得到的，若，，则在这旋转过程中，旋转中心和旋转的角度分别为（   ） A．P， B．A， C．P， D．A， 3．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，顶点的横、纵坐标都是整数，若将以某点为旋转中心，顺时针旋转得到，其中分别和对应，则旋转中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 题型04 利用旋转的性质求角度 1）旋转一定出等腰三角形. 2）若旋转角为60°，得等边三角形. 3）若旋转角为90°，得等腰直角三角形. 典｜例｜精｜析 例4．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，将绕点逆时针旋转（），得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时等于（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，绕点逆时针旋转得到．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，将边绕点A顺时针旋转得到，边绕点A逆时针旋转得到，连接．若，，且，则①的度数是________；②________． 3．（25-26九年级上·天津西青·阶段检测）如图，为正方形内一点，，按顺时针方向旋转角度后成为，___________． 题型05 利用旋转的性质求线段长 典｜例｜精｜析 例5．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，，．将绕点顺时针旋转得（点，对应），当点，，在同一条直线上时，的长为（   ） A． B．3 C． D．4 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到点C的对应点落在边上，，则的长为（   ） A．2 B．1 C．3 D．4 2．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到（点A与点对应，点B与对应）．当点A，，在同一直线上时，的长为________． 3．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，使点落在边上的处，点落在处，连接．则的长为______． 题型06 求旋转后图形对应点的坐标 典｜例｜精｜析 例6．（2023·河南濮阳·二模）如图，点A坐标为，点C坐标为，将线段绕点C逆时针旋转至，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·河北唐山·期中）已知点的坐标为，点的坐标为，则点绕点顺时针旋转后的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，菱形的顶点O与原点重合，点C在x轴上，点A的坐标为．将菱形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·湖北荆门·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，点，均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为_____． 题型07 与旋转变换有关的规律问题 典｜例｜精｜析 例7．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，点的坐标为，第一次：将点绕原点逆时针旋转得到；第二次：作点关于轴的对称点；第三次：将点绕点逆时针旋转得到；第四次：作点关于轴的对称点，然后按这四次规律重复，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，一段抛物线记为，它与轴交于两点，，将绕旋转得到，交轴于点，将绕旋转得到，交轴于点，照这样的规律进行下去，则抛物线的顶点坐标是（    ）． A． B． C． D． 2．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（   ） A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向 3．（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角的斜边，且在x轴的正半轴上，点落在第一象限内．将绕原点O逆时针旋转，得到，再将绕原点O逆时针旋转，又得到；依此规律继续旋转，得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型08 根据旋转的性质说明线段或角相等 典｜例｜精｜析 例8．（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点在线段的延长线上． (1)求证：； (2)若，求的大小． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，在中，，，点D为垂足，将绕点A顺时针旋转，使与重合，点D落在点E处，延长交的延长线于点F，延长交的延长线于点G，求证：． 2．（25-26九年级上·北京朝阳·阶段检测）在中，，，是射线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点：如图，当点在线段延长线上，点在线段延长线上． (1)连接，猜想________（用含的式子表示），并证明你的猜想． (2)探究线段与的数量关系，并说明理由． 3．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，四边形中，，，，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型09 画旋转图形 典｜例｜精｜析 例9．（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别是，，． (1)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (2)平移，若的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标为___________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)绕点顺时针旋转得到，请在坐标系中画出； (2)求点在旋转过程中的路径长． 2．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上． (1)将绕点O逆时针旋转，得到，画出； (2)求在旋转过程中，线段扫过的面积（结果保留）． 题型10 求旋转对称图形的旋转角度 典｜例｜精｜析 例10．（25-26九年级上·山东日照·期末）如图，将正五边形绕着它的中心O旋转后，能够与原来的图形完全重合，则n的最小值是______． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）将一个正六边形绕着它的中心旋转，旋转角至少为________度时，旋转后与自身重合． 2．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如果一个平面图形绕着某点旋转角（）后所得到的新图形与原图形重合，那么称此图形是旋转对称图形，其中叫做旋转对称角．中心对称是一种特殊的旋转对称，其对应的旋转角为__________． 3．（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）摩天轮是孩子们喜欢的一种游玩项目．如图，这个图案绕着它的中心旋转角（）后能够与它本身重合，则___________°（写出一个即可） 题型11 旋转综合问题-线段问题 典｜例｜精｜析 例11．（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到（点、的对应点分别是点、)，取的中点，连接，则线段的最大值为____________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·北京·期中）如图，平面直角坐标系中，点，，，连接，并将线段绕点A顺时针旋转，点B旋转到点，连接．则周长的最小值为______． 2．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，点E是边长为4的正方形内部一点，，将按逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 3．（2025·天津·一模）如图，是等边三角形的边的中点，为平面内一点，连接，将线段以点为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点之间的距离为1，则的最小值为_____________，最大值为_____________． 题型12 旋转综合问题-角度问题 典｜例｜精｜析 例12．（23-24九年级上·河南商丘·期中）如图，中，，，平分．过点作交于，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，当时，________． 变｜式｜巩｜固 1．（22-23九年级上·河北衡水·期中）如图，中，，，O为中点，将绕着点O逆时针旋转至，（1）当时，__________；（2）当恰为轴对称图形时，的值为_____________． 2．（25-26九年级上·广东广州·期末）将一副三角板如图放置（为含的直角三角板，，，为含的直角三角板，）将三角板绕点逆时针旋转，使得三角板的一边所在的直线与垂直，则的度数为（    ）    A． B． C．或 D．或 题型13 旋转综合问题-面积问题 典｜例｜精｜析 例13．（25-26九年级上·重庆綦江·期末）如图，点是正方形的边上一动点(点不与点，重合)，连接，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连接，，若，则面积的最大值为(　　)    A． B． C．3 D．   变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在正方形中，O为对角线的中点．正方形在绕点O旋转的过程中，边与交于点E（不与点A，B重合），边与交于点F．若，则四边形的面积为______． 2．（25-26九年级上·河南开封·期中）如图，P是以正方形的顶点A为圆心，为半径的弧上的点，连接、，将线段绕点P顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是_____． 3．（24-25九年级上·天津·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，点B，点E是边的中点，把绕点A顺时针旋转得，点O，B旋转后的对应点分别为D，C． 连接，，，在旋转的过程中，面积的最大值为 ___． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $