暑假作业05 等腰三角形（预习作业）七年级数学新教材苏科版

**基本信息** 以“性质-判定-应用”为主线，系统整合等腰三角形、等边三角形及特殊直角三角形知识，提炼5类核心解题技巧，通过14类分层题型实现从概念到综合应用的逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点模块|3个核心知识点|“等边对等角”“三线合一”等5类技巧，数学语言规范表达|从一般等腰到特殊等边，再到含30°角直角三角形，构建“性质-判定-应用”链条| |题型模块|14类分层题型|分类讨论（边/角）、等面积法、动态问题转化等|覆盖定义辨析、性质应用、综合证明及动点问题，典例精选各地期中期末真题|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业05 等腰三角形 【知识点1 等腰三角形的性质与判定】 等腰三角形性质定理： 1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 【解题技巧】 1）“等边对等角”是证明两角相等的常用方法. 2）已知等腰三角形的一个角时，可利用“等边对等角”和三角形的内角和定理求其余的角. 3）“三线合一”是证明两角相等、两线段相等及两直线垂直的重要依据. 4）等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高也相等，两底角平分线也相等. 5）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高（等面积法）. 等腰三角形的判定定理： 1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2）判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）. 【解题技巧】判定三角形是等腰三角形的两种常用方法:1）找三角形中两条相等的边.2）找三角形中两个相等的角. 【知识点2 等边三角形的性质与判定】 等边三角形的性质：等边三角形的三条边相等，三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 等边三角形的判定（文字版）： 1）定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形； 数学语言：如图①，∵AB=AC=BC，∴△ABC是等边三角形 2）等角法：三个角都相等的三角形是等边三角形. 数学语言：如图②，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形 （在实际证明过程中，想要证明三角形三个内角相等，只需证明两个角相等且等于60°就可以了） 3）等腰三角形法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 数学语言：如图③，∵AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形 【知识点3 直角三角形的性质】 性质 直角三角形两个锐角互余. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 图示 几何描述 在△ABC，∠C=90° ∴∠A+∠B=90° 在△ABC，∠ACB=90°，CD为AB边的中线，∴ 在△ABC，∠C=90°，∠B=30°， ∴ 【题型1 等腰三角形的定义】 1．（25-26八年级上·江苏·期末）用一根长为的铁丝围成一个等腰三角形，若其中一边长为，则另外两边的长分别为________． 【答案】和或和 【分析】本题考查等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当为腰时，底边为；当为底边时，腰为，均满足三角形三边关系定理，即可． 【详解】解：当为腰时，则底边的长为；，满足题意； 当为底边时，则腰长为；，满足题意； 故答案为：和或和 2．（25-26八年级上·江苏·阶段检测）等腰三角形的一个角是，则它的底角是__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，分两种情况：顶角为和底角为，讨论求解即可． 【详解】解：当顶角为时，则底角为， 当底角为时，则底角为， 综上所述，它的底角是或， 故答案为：或． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知、是一个等腰三角形的两边长，且与互为相反数，则此等腰三角形的周长为_____． 【答案】7或8 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，非负数的性质，解二元一次方程组． 根据相反数的定义得到，根据非负数的性质列二元一次方程组，求出a和b的值，进而根据等腰三角形的性质，三角形三边关系分情况计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得：， 当等腰三角形的腰长是时， ∵，满足三角形三边关系定理， ∴等腰三角形的周长为； 当等腰三角形的腰长是2时， ∵，满足三角形三边关系定理， ∴等腰三角形的周长为； 故答案为：7或8． 4．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角为_____． 【答案】或 【分析】分为当等腰三角形为锐角三角形时和当等腰三角形为钝角三角形时两种情况，分别画图进行讨论． 【详解】解：如图，当等腰三角形为锐角三角形时， ∵，， ∴， 即． 如图，当等腰三角形为钝角三角形时， ∵，， ∴， ∴． 综上，该等腰三角形的顶角为或． 5．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成和两部分，则等腰三角形的底边长为________ 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及中线的定义，设腰长为，底边长为，根据中线分周长的两种情况进行讨论，并检验三角形三边关系． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为，底边长为，则腰上的中线将周长分为和两部分， 当且时，解得，，此时三边长为、、，满足三角形三边关系； 当且时，解得，，此时三边长为、、，但，不满足三角形三边关系，故舍去， 因此，底边长为． 故答案为：． 【题型2 等边对等角】 6．（25-26八年级上·江苏南京·期末）在中，若，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的边角关系，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，在上截取，连接，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】解：在上截取，连接， 则， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 7．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，是的垂直平分线，且，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，理解线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键． 设的度数为，根据垂直平分线性质得，则，根据三角形外角性质得，再根据得，然后根据得，最后由三角形内角和定理得，由此解出即可得出答案． 【详解】解：设的度数为， 是的垂直平分线， ， ． ． ， ． 又， ． 在中，由三角形内角和定理得：， ，解得， 的度数为 故选：C 8．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，，点E恰好落在线段上，若，则的度数为___________．    【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，由全等三角形的性质推出，，，由三角形内角和定理得到，因此，由等腰三角形的性质得到． 【详解】解：如图，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，点D在边上，连接，点E在边上，和关于对称，若是等腰三角形，则_______． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质和内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，设．由于是等腰三角形，得到，再根据三角形外角的性质得到，根据对称的性质得到，最后根据三角形内角和定理列式子得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：设． ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵和关于对称，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型3 三线合一】 10．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，某校实践小组为了让旗杆垂直于地面，采取以下的操作方法：从旗杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到旗杆脚E的距离相等，且B，E，C三点在同一直线上时，旗杆．这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．三角形具有稳定性 D．等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合即可求解，熟练掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键，根据等腰三角形“三线合一”性质得出结论． 【详解】解：∵， ∴，即，（等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合）， 即得出旗杆的依据是等腰三角形“三线合一”． 故选：D． 11．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，为中点，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，由等腰三角形的性质得出，再由三角形内角和定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，为中点，， ∴， ∴． 故选：D． 12．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，中，是的角平分线，，以下结论： ①；②；③为的中点；④是等边三角形． 其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、垂直的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 通过角平分线和垂直的条件，利用全等三角形的判定证明，进而推出、为的中点，再分析是否为等边三角形． 【详解】解：是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ，，即为的中点， 由已知条件，无法得出的三边都相等，故不一定是等边三角形， ①②③正确，④错误，共个正确， 故选：C． 13．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，中，，延长到点，使得，延长到点，使得，则的值为______． 【答案】2 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，，然后根据线段的和差关系可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 故答案为2． 【题型4 等角对等边】 14．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，中，平分交于点 D，，，则的长为_______________________． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的判定． 根据角平分线得到，再由平行线的性质得到，然后等量代换，再由等角对等边即可求解． 【详解】解：∵平分交于点 D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 15．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，平分，，若，则____． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，在上取点，使得，证明，推出，，再根据结合邻补角的定义可得，推出，由即可求解． 【详解】解：如图，在上取点，使得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（25-26八年级上·江苏南通·期中）已知：如图，在中，平分，且点是的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线性质定理，掌握相关知识是解决问题的关键．作，，根据角平分线性质定理，可得，根据定理，易证，即可证得． 【详解】证明：如图，作于点，于点， 平分， ， 是的中点， ， ，， 在和中， ， ∴， ， ． 17．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，平分交于点D．写出图中的等腰三角形，并加以证明． 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定． 根据题目中的已知条件，结合三角形的内角和定理及角平分线的概念，可求出及各内角的度数．若同一个三角形中有两个相等的角，即可判定该三角形是等腰三角形． 【详解】解：图中有 3 个等腰三角形，分别为． ， ， ， （等角对等边）， 是等腰三角形， 平分， ， ， 是等腰三角形， ， ， 是等腰三角形． 【题型5 找出图中的等腰三角形】 18．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，时，都能得到符合题意的等腰三角形．    综上，这样的直线最多可画4条． 故选：C． 19．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，平分，点E在上，且；找出图形中的等腰三角形，并加以证明． 【答案】是等腰三角形，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等知识点，根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，求出，根据等腰三角形的判定得出即可 【详解】解：是等腰三角形， 证明：平分， ， ， ， ， ， 即是等腰三角形 20．（25-26八年级上·贵州黔西南·阶段检测）如图，在中，于点是上一点，． (1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形． (2)找出图中所有的直角三角形和等腰三角形． 【答案】(1)图中有6个三角形，分别是和 (2)直角三角形有和；等腰三角形有 【分析】本题考查三角形的个数，三角形的分类，熟练掌握三角形的基本概念，分类是解题的关键： （1）写出图中三角形，即可得出结果； （2）根据等腰三角形和直角三角形的定义，进行判断即可． 【详解】（1）解：图中有6个三角形，分别是和； （2）∵， ∴， ∴直角三角形有和， ∵， ∴是等腰三角形． 21．（24-25八年级下·全国·暑假作业）有两个三角形，它们的三个角分别为：①；②．怎样把它们分别分成两个等腰三角形？画出图形试试看． 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是依据等腰三角形角的特点，尝试在较大角中分割出与已有角相等的角，从而构造等腰三角形．根据等腰三角形两底角相等的性质，通过在大角中作出合适角度，构造出两个等腰三角形． 【详解】解：①如图， ，， ∴，都是等腰三角形． ②如图， ，， ∴，是等腰三角形． 【题型6 格点中画等腰三角形】 22．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查由等腰三角形定义构造等腰三角形，熟记等腰三角形定义是解决问题的关键． 由等腰三角形定义，在网格中作出图形即可确定答案． 【详解】解：如图所示： 使得为等腰三角形的情况有：、、、、、、、，共8个， 故选：D． 23．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A，B是两格点，使得为等腰三角形的格点C的个数是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．根据等腰三角形的定义及结合题意可进行求解． 【详解】解：如图： 分三种情况： ①当时，以点A为圆心，以长为半径作圆，则点即为所求； ②当时，以点B为圆心，以长为半径作圆，则点即为所求； ③当时，作的垂直平分线，则点，，，即为所求， 综上所述，使得为等腰三角形的格点C的个数是6个． 故选：C． 24．（25-26八年级上·江苏苏州·周测）如图，，为方格纸中格点上的两点，若以为边，在方格中取一点（在格点上），使得为等腰三角形，在图中标出所有符合条件的点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形，垂直平分线的性质，圆的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．分三种情况：当时，当时，当时，即可解答． 【详解】解：如图： 分三种情况： 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，则点，即为所求； 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，则点即为所求； 当时，作线段的垂直平分线，则点，即为所求； 综上所述：使得为等腰三角形，则点的个数为5个． 【题型7 根据等边三角形的性质求长度】 25．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在等边中，是边上的中线，延长至点，使，若，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质. 先由等边三角形的性质得到，再由等边对等角和三角形外角的性质得到，则，即可得到． 【详解】解：∵在等边中，是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 26．（25-26八年级上·重庆·期中）已知等边中，，，若点在线段上运动，当的值最小时，的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质是解题的关键．根据题意易得，则，过点P作于点E，进而可得，当取最小时，即最小，则有当点B、P、E三点共线时最小，进而可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 过点P作于点E，如图所示：则， ∴， ∴当取最小时，即为最小， ∴当点B、P、E三点共线时最小，此时，如图所示： ∴， ∴，， ∵， ∴； 故选：C． 27．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）如图，在等边三角形中，，垂足是，且，点，分别是线段，上的动点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的对称性、“垂线段最短”等知识点．熟记相关结论是解题关键．根据等边三角形的对称性可得，根据垂线段最短即可求的最小值． 【详解】解：由等边三角形的对称性可得 故 过点作，如图所示：    则 故选：A． 28．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，中，，，等边三角形的三个顶点分别落在上，若，，则的长为______． 【答案】14 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，等边三角形的性质，过点D作于点H，证明，得，则，，在中，根据，则，，然后根据得，由此可得的长． 【详解】解：过点D作于点H，如图所示： 则， 在中，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：14． 【题型8 根据等边三角形的性质求角度】 29．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，点在线段上，在的同侧作等边和等边，连接，．若，，则、满足的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握判定方法是解题的关键． 利用等边三角形的性质证得，结合全等的性质求解即可． 【详解】解：∵和为等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 故选：A． 30．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在等边三角形中，在边上取两点，使．若，，，则以，，为边长的三角形的最大角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，作，截取，连接，，由是等边三角形，得，证明，所以，又， ，则有，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作，截取，连接，， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴以，，为边长的三角形的最大角为， 故选：． 31．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，是等边三角形，若，，，则__________． 【答案】110 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据等边三角形的性质得出相等边和角的度数，证明，得出相等的角，再利用三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：110． 32．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，中，，将绕点逆时针旋转得，点刚好落在上，则的大小为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的旋转，等边三角形的判定与性质，由绕点逆时针旋转得，得，为等边三角形，得，由三角形内角和定理得，即可得． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型9 证明是等边三角形】 33．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在中，①若，则为等边三角形；②若，则为等边三角形；③有两个角都是的三角形是等边三角形；④一个角为的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定．根据等边三角形的定义和判定定理，逐一分析各结论的正确性． 【详解】解：①，由等边三角形定义可知为等边三角形，正确； ② ，只能推出为等腰三角形，但无法保证三边相等或三角均为，错误； ③ 有两个角都是，则第三个角为，三角均为，为等边三角形，正确； ④ 一个角为的等腰三角形，则其余两角也均为，为等边三角形，正确； 综上分析可知：正确的结论有①、③、④，共3个． 故选：C． 34．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）已知、、 为的三边长，、 满足，且a为方程的解，则的形状为_______三角形． 【答案】等边 【分析】本题主要考查了根据三角形三边判断三角形的性质，准确求解题中的式子是解题的关键． 根据绝对值和平方的非负性可得到b、c的值，再根据式子解出a的值，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 又∵， ∴，， ∵a，b，c为的三边长， ∴，即 ∵a是方程的解 ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 35．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，，点、在边上（点在点的左侧），． (1)证明：≌； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定． （1）利用“等角对等边”得到，结合已知条件用证明全等； （2）由全等得，再证，从而判定为等边三角形． 【详解】（1）证明：∵在中，， ∴． 在和中，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形． ∵是的外角，， ∴， ∴是等边三角形． 36．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在锐角中，点是边上一点，于点，与交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）由得是直角三角形，结合，利用直角三角形两锐角互余，求出，依据是等腰三角形，由等腰三角形中若有一个内角为，则该三角形为等边三角形，即可解答． 【详解】（1）证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）∵于点D， ∴， 在中，， ∴， 由（1）得为等腰三角形； ∴为等边三角形 【题型10 等边三角形中的多结论问题】 37．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，和都是等边三角形且点在一条直线上，相交于点，与相交于点，与相交于点，连接，则：①，②；③平分；④平分，正确的是（  ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识，由等边三角形的性质得，，，因为点在一条直线上，所以，则，可根据“”证明，得，，所以，可判断①正确；再根据“”证明，得，可判断②正确；作于点，于点，由推导出，可证明平分，可判断④正确；假设平分成立，则，而，所以，可证明，得，而题中并没有这一条件，可判断③不正确，于是得到问题的答案，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：和都是等边三角形且点在一条直线上， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ，，即， ，故①正确； 在和中， ， ， ，故②正确； 作于点，于点， ，，且，， ， ， ∴点在的平分线上， 平分，故④正确； 假设平分成立，则， ， ， ， 在和中， ， ， ，即等边和等边的边长相等，显然题中并没有这一条件， 平分不成立，故③不正确； 综上，正确的是①②④， 故选：． 38．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，是的中点，，与交于点，且．下列说法：①的垂直平分线一定与相交于点；②；③当为中点时，是等边三角形；④当为中点时，．其中，正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，连接，由直角三角形的性质得到，则可证明，据此可判断①；设，由等边对等角和三角形外角的性质可推出，则可得到，据此可判断②；可证明，是线段的垂直平分线，则可证明，据此可判断③；连接并延长交于F，则点F为的中点，由等边三角形的性质得到，，，则可证明，进而得到，据此可判断④． 【详解】解：如图1，连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴点E在的垂直平分线上， ∴的垂直平分线一定与相交于点E，故①正确，符合题意； 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ∵E为的中点，， ∴，是线段的垂直平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故③正确，符合题意； 如图2，连接并延长交于F， ∵E为的中点，D为的中点， ∴根据三角形三条中线交于一点得：点F为的中点， ∵当E为中点时，是等边三角形， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， ∵E为的中点， ∴， ∴，故④不正确，不符合题意． 故选：A． 39．（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，分别以的边，向外作两个等边三角形与，连接、交点F，连接．以下四个结论：①；②；③平分；④，其中正确结论的是（   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的判定等知识，证明，即可判断①；由①中，得出，然后结合三角形外角的性质即可判断②；过A作于M，于N，根据等面积法证明，然后根据角平分线的判定即可判断③；由②得，延长至点K，使，连接，可得是等边三角形，得到，，证明得到，根据线段的和差即可判断④． 【详解】解：、都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 设和相交于O， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 过A作于M，于N， ∵， ∴，即， 又， ∴， ∴平分，故③正确； 由②知，， 延长至点K，使，连接， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．故④正确． 综上所述，正确的结论是①②③④． 故选：A． 40．（25-26八年级上·安徽·期末）如图等边三角形中，点，是线段，上的动点且，连接，交于点，连接，下面结论：①；②；③若，则；④若，则，其中结论正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和与外角性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 利用等边三角形的性质，结合已知条件，通过可得，可证明①；由全等得到，根据等边三角形性质和三角形内角和公式，推导出，可证明②；当时，和是等边三角形两边的垂直平分线，则，可证③；作辅助线构造等边三角形，然后通过证明三角形全等得出，再结合等边三角形性质和得出，可知进而得出，可判断④错误． 【详解】解：在和中， ， ，①正确， ， 是等边三角形， ， ， ，②正确， 如图，当，为中点，则为中点， 是等边三角形， ，， 垂直平分，垂直平分， ，， ，③正确， 如图，延长至点，使，连接， 据②可知，则， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，④错误， 综上，正确的结论有①②③． 故选：． 【题型11 等边三角形判定与性质综合】 41．（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图，在中，，，是的平分线，E为上一点，以为一边，且在下方作等边，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2)的度数为 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、角平分线的性质和证明全等三角形，证明全等三角形是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质得到对应边相等，再进行等角代换得到相等的角，即可证明； （2）根据角平分线并结合全等三角形得到，即可求得的度数． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ∴； （2）解：∵在等边中，是的平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 42．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，于点D，于点E，F为的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，．求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题． （2）证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵于点D，于点E， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， 故． （2）解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴的周长为9． 43．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，等边中，、分别在边、上，且，连，点、关于对称，、交于点． (1)求证：； (2)若，求（用表示）； (3)若，，求的长（用，表示）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）得到是等边三角形，则，由、关于对称，得到，即可等量代换； （2）可得，则，由对称可得，则，然后由定等腰三角形的性质可得，则再由求解； （3）连接并延长交延长线于点，导角证明为等边三角形，则，然后再证明，那么，故． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵、关于对称， ∴， ∴； （2）解：∵是等边三角形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵、关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：连接并延长交延长线于点， ∴， ∵等边中，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点、关于对称， ∴，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，为等边三角形， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角定理，轴对称的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． 44．（25-26八年级上·河南焦作·期中）如图，，，． (1)求证：． (2)若，求证是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形和等边三角形的判定以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法．解题时注意第②问中三角形内角和定理及平角定义的综合运用． (1)先根据，，，判定，得出，进而得到为等腰三角形； (2)根据，得出，再根据平角的定义，得到，最后判定等腰为等边三角形． 【详解】（1）解：在和中， ，    ． （2）解：在中， ， 又 ，， ，     ， 是等边三角形． 【题型12 等边三角形中的动点问题】 45．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t等于多少时，是等腰三角形？（） A．3 B．3或6 C．6 D．6或12 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质,等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复． 根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：①点P在上，②点P在上，然后根据等腰三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】解：①如图，当点P在上，时，是等腰三角形， ∵，， ∴当时，，解得； ②如图，当P在上时，由，是等腰三角形，得 是等边三角形，则， ∵，， ∴当时，，解得； 综上可得：当或6秒时，是等腰三角形， 故选B． 46．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）如图，在等边中，，点P从点A出发沿AB边向点B以每秒2个单位的速度移动，点Q从点C出发沿边向点A以每秒4个单位的速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示：______，______； (2)当点Q到达中点时，判断与的位置关系，并请说明理由； (3)在点P、Q的运动过程中，是否存在t，使得与全等？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由； 【答案】(1)，； (2)，见解析； (3)能， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，30度的直角三角形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合等边三角形的性质得，再根据动点的运动方向以及速度，即可作答； （2）分别算出点Q是中点，，运动时间是秒，，再根据30度所对的直角边是斜边的一半，得，即可作答． （3）因为与全等，故分类讨论，即或，再根据对应边相等列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵在等边中，，点P从点A出发沿AB边向点B以每秒2个单位的速度移动，点Q从点C出发沿边向点A以每秒4个单位的速度移动． ∴， ∴，， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵点Q是中点， ∴， ∴此时， ∴， 过点作，如图所示： ∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， 即点P与点H重合， ∴； （3）解：存在，理由如下： ∵，且与全等， ∴当时，则， ∴， 即（舍去）； ∴当时，则， ∴， 即， 综上：在点P、Q的运动过程中，当时，． 【题型13 含30°角的直角三角形】 47．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，平分，，交于点D，，垂足为点C，若，则的长度为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形的性质，平行线的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．过点作于点，根据角平分线的性质可得，再根据平行线的性质可得的度数，再根据含角的直角三角形的性质可得的长度，再证明，即可求出的长． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 平分， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选： A． 48．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图所示，是等边三角形，D为AB的中点，，垂足为E．若，则的边长为（   ） A．40 B．30 C．20 D．10 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质、直角三角形的性质，解决本题的核心是直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半． 根据为等边三角形和，可得，利用直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，即可求解． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， ， ， D为AB的中点， ， 等边三角形的边长为． 故选：． 49．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，，，作的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长度是__． 【答案】 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键．连接，由线段垂直平分线的性质可知，，结合已知的，根据等边对等角可得，可证，利用直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半进行计算即可求解． 【详解】解：连接， ，， ， ， 垂直平分， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ． 故答案为：． 50．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期末）将一副三角尺按图所示方式叠放在一起，若，则的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形及等腰直角三角形的知识，发现是等腰直角三角形，并能根据直角三角形的性质求出直角边的长，是解答此题的关键．根据含角的直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：，，， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 【题型14 利用直角三角形中线的性质求解】 51．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在中，，点D为的中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线性质，三角形内角和定理，等边对等角，解题关键是理清题中所给条件之间的关系． 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，再由等边对等角得，最后由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，点D为的中点， ∴, ∴， ∴， 故选：D． 52．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得，，则、两点间的距离为（   ） A． B． C． D．距离不确定 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，解题的关键是要计算出斜边的长度．先根据勾股定理计算出斜边的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：， ， ， 是中点， ． 故选：C． 53．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，是边上一点，是的中点．若的垂直平分线经过点，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的垂直平分线性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握这些知识是解题的关键． 由的垂直平分线经过点得，由，是的中点得． 【详解】解：∵的垂直平分线经过点， ∴， ∵，是的中点， ∴， 故选：C． 54．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，，是的中点，，则___． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，证明可得，，再结合三角形的外角的性质进一步求解即可. 【详解】解：∵，是的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 1．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转（）得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心” 【特例感知】 （1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为_________； ②如图3，当，时，则长为_________． 【猜想论证】 （2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明； 【答案】（1）①；②；（2），证明见解析 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键． （1）①根据直角三角形中，角所对的直角边为斜边的一半即可完成求解． ②证明，根据全等三角形的性质得到，然后根据直角三角形斜边上的中线为斜边的一半即可完成求解． （2）延长至点使得，连接，证明，得到，，进而得到，根据全等三角形的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：（1）①∵旋转得到，旋转得到， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵是的“旋补中线”， ∴平分，， ∴． 故答案为：； ②与①同理可得，，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵是的“旋补中线”， ， ∴． 故答案为：5； （2）猜想． 证明：如图，延长至点使得，连接, ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的“准黄金线”，这个三角形称为“准黄金三角形”． (1)如图1，三角形内角分别为，这个三角形_____（填“存在”或“不存在”）“准黄金线”； (2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条“准黄金线”； (3)若一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，请直接写出符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数． 【答案】(1)存在 (2)见解析 (3)或或或 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定即可解答； （2）设，则，分别证明和都是等腰三角形，即可解答； （3）当是一个等腰三角形，且它是“准黄金三角形”时，有四种情形，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，作的垂直平分线交于点，连接， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， 是等腰三角形， 这个三角形存在“准黄金线”； 故答案为：存在； （2）证明：如图2，设，则， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 和都是等腰三角形， 是的一条“准黄金线”； （3）解：一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，有以下四种情况： ①如图3，，， ， 是一个“准黄金三角形”， 和都是等腰三角形， ， 此时等腰三角形的顶角为； ②如图4，设， ， ， 则， 解得， 此时等腰三角形的顶角为； ③如图5，，， ， ， ， ， ， ； 此时等腰三角形的顶角为； ④如图6，， ， ， ， ， ， ， 此时等腰三角形的顶角为； 综上，符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数是或或或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了新定义—“准黄金线”，“准黄金三角形”的理解和运用，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，正确地理解题意是解题的关键． 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点的速度为，点的速度为．点第一次到达点时，同时停止运动． (1)点运动几秒时，两点重合？ (2)点、运动几秒时，可得到等边？ (3)当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰？如存在，请求出此时点、点运动的时间． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键． （1）根据题意设点M、N运动t秒时，M、N两点重合，列方程即可求解； （2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边，然后表示出，的长，由于等于，所以只要，就是等边三角形； （3）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出、、的长，列出方程，可解出未知数的值． 【详解】（1）解：设点M、N运动t秒时，M、N两点重合， 得方程， 解得, 答：点M、N运动10秒时，M、N两点重合； （2）解：设点M、N运动t秒时，可得到等边，如图①， ，， 是等边三角形， ， 解得， ∴点M、N运动秒时，可得到等边． （3）解：当点M、N在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 情况一： 设点M、N运动x秒时，M、N两点重合， ， 解得：； 即10秒时M、N两点重合，恰好在C处，，但不是等腰三角形； 情况二： 如图②，假设是等腰三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， 设当点M、N在边上运动时M、N运动的时间y秒时，是等腰三角形， ，，， 即， 解得：． 综上所述，故假设成立． ∴当点M、N在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形， 此时M、N运动的时间为秒． 4．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，和都是等腰三角形，，，且，连接，． 【初步探索】（1）如图1，若，当时，___________； 【简单应用】（2）如图2，当点在的内部时，求证：； 【深入探究】（3）如图3，，，且点落在边上．若为上的一点，且，求的周长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）10 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由即可得到； （2）先证明，证明即可得出结论； （3）先证明，得出，再证明垂直平分，即可求出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵， ∴． 即． ∵，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴． 即． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∵， ∴垂直平分． ∴． ∴的周长为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业05 等腰三角形 【知识点1 等腰三角形的性质与判定】 等腰三角形性质定理： 1）等腰三角形的两个底角____________（简称“等边对等角”）. 2）等腰三角形的____________、____________、____________相互重合.（简称“三线合一”）. 【解题技巧】 1）“等边对等角”是证明两角相等的常用方法. 2）已知等腰三角形的一个角时，可利用“等边对等角”和三角形的内角和定理求其余的角. 3）“三线合一”是证明两角相等、两线段相等及两直线垂直的重要依据. 4）等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高也相等，两底角平分线也相等. 5）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高（等面积法）. 等腰三角形的判定定理： 1）定义法：有____________的三角形是等腰三角形； 2）判定定理：如果一个三角形____________相等，那么这两个三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）. 【解题技巧】判定三角形是等腰三角形的两种常用方法:1）找三角形中两条相等的边.2）找三角形中两个相等的角. 【知识点2 等边三角形的性质与判定】 等边三角形的性质：等边三角形的三条边____________，三个内角都相等，并且每个内角都是____________. 等边三角形的判定（文字版）： 1）定义法：三条边都____________的三角形是等边三角形； 数学语言：如图①，∵AB=AC=BC，∴△ABC是等边三角形 2）等角法：____________都相等的三角形是等边三角形. 数学语言：如图②，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形 （在实际证明过程中，想要证明三角形三个内角相等，只需证明两个角相等且等于60°就可以了） 3）等腰三角形法：有一个角是60°的____________是等边三角形. 数学语言：如图③，∵AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形 【知识点3 直角三角形的性质】 性质 直角三角形两个锐角____________. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的____________. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的____________. 图示 几何描述 在△ABC，∠C=90° ∴∠A+∠B=90° 在△ABC，∠ACB=90°，CD为AB边的中线，∴ 在△ABC，∠C=90°，∠B=30°， ∴ 【题型1 等腰三角形的定义】 1．（25-26八年级上·江苏·期末）用一根长为的铁丝围成一个等腰三角形，若其中一边长为，则另外两边的长分别为________． 2．（25-26八年级上·江苏·阶段检测）等腰三角形的一个角是，则它的底角是__________． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知、是一个等腰三角形的两边长，且与互为相反数，则此等腰三角形的周长为_____． 4．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角为_____． 5．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成和两部分，则等腰三角形的底边长为________ 【题型2 等边对等角】 6．（25-26八年级上·江苏南京·期末）在中，若，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法判断 7．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，是的垂直平分线，且，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，，点E恰好落在线段上，若，则的度数为___________．    9．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，点D在边上，连接，点E在边上，和关于对称，若是等腰三角形，则_______． 【题型3 三线合一】 10．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，某校实践小组为了让旗杆垂直于地面，采取以下的操作方法：从旗杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到旗杆脚E的距离相等，且B，E，C三点在同一直线上时，旗杆．这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．三角形具有稳定性 D．等腰三角形“三线合一” 11．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，为中点，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 12．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，中，是的角平分线，，以下结论： ①；②；③为的中点；④是等边三角形． 其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 13．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，中，，延长到点，使得，延长到点，使得，则的值为______． 【题型4 等角对等边】 14．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，中，平分交于点 D，，，则的长为_______________________． 15．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，平分，，若，则____． 16．（25-26八年级上·江苏南通·期中）已知：如图，在中，平分，且点是的中点．求证：． 17．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，平分交于点D．写出图中的等腰三角形，并加以证明． 【题型5 找出图中的等腰三角形】 18．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 19．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，平分，点E在上，且；找出图形中的等腰三角形，并加以证明． 20．（25-26八年级上·贵州黔西南·阶段检测）如图，在中，于点是上一点，． (1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形． (2)找出图中所有的直角三角形和等腰三角形． 21．（24-25八年级下·全国·暑假作业）有两个三角形，它们的三个角分别为：①；②．怎样把它们分别分成两个等腰三角形？画出图形试试看． 【题型6 格点中画等腰三角形】 22．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 23．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A，B是两格点，使得为等腰三角形的格点C的个数是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 24．（25-26八年级上·江苏苏州·周测）如图，，为方格纸中格点上的两点，若以为边，在方格中取一点（在格点上），使得为等腰三角形，在图中标出所有符合条件的点． 【题型7 根据等边三角形的性质求长度】 25．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在等边中，是边上的中线，延长至点，使，若，则 （   ） A． B． C． D． 26．（25-26八年级上·重庆·期中）已知等边中，，，若点在线段上运动，当的值最小时，的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 27．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）如图，在等边三角形中，，垂足是，且，点，分别是线段，上的动点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 28．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，中，，，等边三角形的三个顶点分别落在上，若，，则的长为______． 【题型8 根据等边三角形的性质求角度】 29．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，点在线段上，在的同侧作等边和等边，连接，．若，，则、满足的数量关系是（   ） A． B． C． D． 30．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在等边三角形中，在边上取两点，使．若，，，则以，，为边长的三角形的最大角为（   ） A． B． C． D． 31．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，是等边三角形，若，，，则__________． 32．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，中，，将绕点逆时针旋转得，点刚好落在上，则的大小为___________． 【题型9 证明是等边三角形】 33．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在中，①若，则为等边三角形；②若，则为等边三角形；③有两个角都是的三角形是等边三角形；④一个角为的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 34．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）已知、、 为的三边长，、 满足，且a为方程的解，则的形状为_______三角形． 35．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，，点、在边上（点在点的左侧），． (1)证明：≌； (2)求证：是等边三角形． 36．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在锐角中，点是边上一点，于点，与交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，请判断的形状，并说明理由． 【题型10 等边三角形中的多结论问题】 37．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，和都是等边三角形且点在一条直线上，相交于点，与相交于点，与相交于点，连接，则：①，②；③平分；④平分，正确的是（  ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 38．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，是的中点，，与交于点，且．下列说法：①的垂直平分线一定与相交于点；②；③当为中点时，是等边三角形；④当为中点时，．其中，正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 39．（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，分别以的边，向外作两个等边三角形与，连接、交点F，连接．以下四个结论：①；②；③平分；④，其中正确结论的是（   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 40．（25-26八年级上·安徽·期末）如图等边三角形中，点，是线段，上的动点且，连接，交于点，连接，下面结论：①；②；③若，则；④若，则，其中结论正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【题型11 等边三角形判定与性质综合】 41．（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图，在中，，，是的平分线，E为上一点，以为一边，且在下方作等边，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 42．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，于点D，于点E，F为的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，．求的周长． 43．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，等边中，、分别在边、上，且，连，点、关于对称，、交于点． (1)求证：； (2)若，求（用表示）； (3)若，，求的长（用，表示）． 44．（25-26八年级上·河南焦作·期中）如图，，，． (1)求证：． (2)若，求证是等边三角形． 【题型12 等边三角形中的动点问题】 45．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t等于多少时，是等腰三角形？（） A．3 B．3或6 C．6 D．6或12 46．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）如图，在等边中，，点P从点A出发沿AB边向点B以每秒2个单位的速度移动，点Q从点C出发沿边向点A以每秒4个单位的速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示：______，______； (2)当点Q到达中点时，判断与的位置关系，并请说明理由； (3)在点P、Q的运动过程中，是否存在t，使得与全等？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由； 【题型13 含30°角的直角三角形】 47．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，平分，，交于点D，，垂足为点C，若，则的长度为（    ） A．6 B． C． D． 48．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图所示，是等边三角形，D为AB的中点，，垂足为E．若，则的边长为（   ） A．40 B．30 C．20 D．10 49．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，，，作的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长度是__． 50．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期末）将一副三角尺按图所示方式叠放在一起，若，则的面积为__________． 【题型14 利用直角三角形中线的性质求解】 51．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在中，，点D为的中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 52．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得，，则、两点间的距离为（   ） A． B． C． D．距离不确定 53．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，是边上一点，是的中点．若的垂直平分线经过点，，则为（   ） A． B． C． D． 54．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，，是的中点，，则___． 1．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转（）得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心” 【特例感知】 （1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为_________； ②如图3，当，时，则长为_________． 【猜想论证】 （2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明； 2．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的“准黄金线”，这个三角形称为“准黄金三角形”． (1)如图1，三角形内角分别为，这个三角形_____（填“存在”或“不存在”）“准黄金线”； (2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条“准黄金线”； (3)若一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，请直接写出符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数． 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点的速度为，点的速度为．点第一次到达点时，同时停止运动． (1)点运动几秒时，两点重合？ (2)点、运动几秒时，可得到等边？ (3)当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰？如存在，请求出此时点、点运动的时间． 4．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，和都是等腰三角形，，，且，连接，． 【初步探索】（1）如图1，若，当时，___________； 【简单应用】（2）如图2，当点在的内部时，求证：； 【深入探究】（3）如图3，，，且点落在边上．若为上的一点，且，求的周长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $