2026年上海市中考数学试卷 （新考纲押题C卷）

**基本信息** 2026年上海中考数学押题卷，以新能源汽车标志、围棋棋子等真实情境为载体，通过几何折叠、圆的切线证明等综合题设计，考查抽象能力、推理能力与数据意识，难度适配中考选拔。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/24|整式化简、中心对称图形（新能源汽车标志）、一元二次方程整数根|结合科技热点，基础概念辨析与逻辑推理并重| |填空题|12/48|因式分解、函数定义域、概率（围棋棋子）、统计估计|融入传统文化与统计应用，考查数据意识与空间观念| |解答题|7/78|一次函数应用（销售利润）、几何折叠、圆的切线证明|综合题层层递进，如圆的证明题考查推理能力，函数应用题体现模型意识|

绝密★启用前 2026年上海市中考数学试卷 （新考纲押题C卷） 难度系数：0.46；考试时间：100分钟；满分：150分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）化简（﹣3x2y）3的结果为（　　） A．﹣3x5y3 B．﹣27x6y3 C．﹣3x6y3 D．﹣27x5y3 2．（4分）近年来，我国新能源汽车发展迅猛，截至2025年6月，中国市场活跃的新能源汽车品牌约120个．下列新能源汽车标志不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）若一元二次方程a（x﹣2）（x+4）＝P（a＜0，P为常数，且P＞0）有两个不相等的整数根，这样的P有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（4分）在2026年春季社会实践活动中，某校九（1）班共分成5个活动小组，小组人数分别为6，6，7，5，6，那么对上述小组人数数据，下列说法中错误的是（　　） A．平均数是6 B．中位数是6 C．众数是6 D．方差是6 5．（4分）已知⊙O1的半径是5，⊙O2的半径是6．圆心O2在⊙O1上．那么两圆的公共弦长是（　　） A． B． C．10 D．12 6．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC，连接BD，若∠BDC＝55°，则∠ABC的度数为（　　） A．55° B．60° C．70° D．80° 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分） 7．（4分）若m+n＝7，m﹣n＝3，则m2﹣n2的值为　 　 ． 8．（4分）对多项式9a﹣12a2b用提公因式法分解因式，应提取的公因式是　 　 ． 9．（4分）已知关于x的方程的解为正整数，且当y＝a时，恰好使|y﹣2|+|y﹣5|取得最小值，则满足条件的整数a的值为　 　 ． 10．（4分）函数的定义域为　 　 ． 11．（4分）将直线y＝﹣2x+3沿y轴向下平移5个单位长度后，所得直线的截距是　 　 ． 12．（4分）围棋起源于中国，棋子分黑白两色，一个不透明的盒子中装有6个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒中棋子的总个数是 　 　 个． 13．（4分）某校九年级共有300名女生．为了解她们800米成绩分布情况，从中随机抽取了30名女生的800米成绩，并根据《国家学生体质健康标准》整理如下： 等级 优秀 良好 及格 不及格 人数 8 15 4 3 根据以上信息，估计该校九年级300名女生中成绩达到良好及以上的人数是　 　 ． 14．（4分）如图，是三角形玻璃ABC损坏后剩余的部分，依据图中数据，则AC的长为　 　 ． 15．（4分）如图，已知△ABC中，中线AM、BN相交于点G，设，，那么用向量、表示向量　 　 ． 16．（4分）记任意正六边形的面积为S1，其内切圆的内接正方形的面积为S2，则　 　 ． 17．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是　 　 ． 18．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，将△BCM沿直线BM翻折，使得点C落在同一平面内的点C′处，联结DC′并延长交正方形ABCD一边于点N．当BN＝DM时，CM的长为　 　 ． 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分78分） 19．（10分）计算：． 20．（10分）解分式方程：． 21．（10分）某种新产品进价120元．试销阶段发现产品日销售量y（件）与每件的销售价x（元）之间的关系满足如下表所示的一次函数关系： 每件售价（元） 130 150 165 … 日销售量y（件） 70 50 35 … （1）求日销售量y（件）与该日销售价x（元）的函数关系式； （2）不改变上述关系的情况下，请帮助经理策划每件的销售价应定为多少元时，每日销售的利润可达到1500元？ 22．（10分）如图①，在长方形ABCD中，将长方形折叠，使点B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于点F，然后展开铺平，则以B，E，F为顶点的三角形称为长方形ABCD的“折痕三角形”． （1）长方形ABCD的任意一个“折痕三角形BEF”的形状是 　 　 三角形； （2）当“折痕三角形BEF”的顶点E的位置如图②所示时，作出这个“折痕三角形BEF”；（请尺规作图，保留作图痕迹，并写出作法） （3）如图③，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝5，当“折痕三角形BEF”的顶点F和点C重合时，设折痕与AB交于点N，求AN的长． 23．（12分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，N是中线CM的中点，CD∥AB，交线段BN的延长线于点D． （1）求证：四边形ADCM是菱形； （2）如果线段BD与边AC相交于点P，联结PM，当∠BPM＝∠BAC时，求证：线段PM是线段BM与CP的比例中项． 24．（12分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝6，对称轴是直线x＝﹣2，点F在对称轴上运动． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在一点F，使得∠BFC为直角？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将线段BC绕着点F逆时针方向旋转90°后得到线段B1C1，当点B1与C1恰有一点落在抛物线上时，求点F的坐标． 25．（14分）如图，⊙O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB的延长线上，且FC＝FE． （1）若∠A＝40°，求∠ACD的度数； （2）求证：CF是⊙O的切线； （3）若，设DE＝kCE，求k的值． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：________班级： ________ 考号： ________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年上海市中考数学试卷（新考纲押题C卷）答题卡 试卷类型：A 条码粘贴处 10 姓名： 班级： (正面朝上贴在此虚线框内) 11 准考证号 12. 缺考标记 注意项 ▣ 1、答题前考生先将自己的滩名、准考证号码填写清楚， 13. 考生禁止填涂 2,请将准考证亮码粘站在右食的[条码粘站处]的方框内 缺考标记只能 3、迭择题必须使用2B铅笔填涂：非选挥避必须月0.5毫米黑色字的盗习笔填写，字体工整 由监考老师 4,请按题号髓序在各题的答区内作答，趣出范的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 14 责用限色学 我曹得线勿 15 16 17 一 选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）（请用2B铅笔填涂） 18. LAIBICID] 3.[AJ[B][C][D] 5.(A][B][C][D] 2[AJ[B]C]D] 4[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 二.填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）（请在各试题的答题区内作答》 三. 解答题（共7小题，满分78分）（请在各试题的答题区内作答） 19.答： 第1页共2页 第2页共2页 20答： 2答 1出 图3 21.答： 第1页共2页 第2页共2页 23答： B 第1页共2页 第2页共2页 24答： 25答： C A D 备用图 第1页共2页 第2页共2页 第1页共2页 第2页共2页2026年上海市中考数学试卷 (新考纲押题C卷)答题卡 试卷类型：A 条码粘贴处 姓名： 班级： (正面朝上贴在此虚线框内) 准考证号 缺考标记 注意事项 ▣ 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚， 考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只能 3、选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 由监考老师负 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 贵用黑色字迹 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 的签字笔填 6、填涂样例正确[■错误【-][√][×] 一.选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）（请用2B铅笔 填涂) 1.[AB][C]D] 3.[A]B][C][D] 5.[A]B][C]D] 2.[A]B][CD] 4.[A]B][C][D] 6.[A]B][C]D] 二.填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）（请在各试题 的答题区内作答) 第1页共7页 7 8. 9 10. 12 13. 14. 15. 1 1 三.解答题（共7小题，满分78分）（请在各试题的答题区内作答） 19.答： 第2页共7页 20.答： 21.答： 第3页共7页 22.答： E N CF 图① 图② 图3 第4页共7页 23.答： M C B 第5页共7页 24.答： 个y C F A B A B 备用图 第6页共7页 25.答： E D 第7页共7页 绝密★启用前 2026年上海市中考数学试卷 （新考纲押题C卷） 难度系数：0.46；考试时间：100分钟；满分：150分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）化简（﹣3x2y）3的结果为（　　） A．﹣3x5y3 B．﹣27x6y3 C．﹣3x6y3 D．﹣27x5y3 2．（4分）近年来，我国新能源汽车发展迅猛，截至2025年6月，中国市场活跃的新能源汽车品牌约120个．下列新能源汽车标志不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）若一元二次方程a（x﹣2）（x+4）＝P（a＜0，P为常数，且P＞0）有两个不相等的整数根，这样的P有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（4分）在2026年春季社会实践活动中，某校九（1）班共分成5个活动小组，小组人数分别为6，6，7，5，6，那么对上述小组人数数据，下列说法中错误的是（　　） A．平均数是6 B．中位数是6 C．众数是6 D．方差是6 5．（4分）已知⊙O1的半径是5，⊙O2的半径是6．圆心O2在⊙O1上．那么两圆的公共弦长是（　　） A． B． C．10 D．12 6．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC，连接BD，若∠BDC＝55°，则∠ABC的度数为（　　） A．55° B．60° C．70° D．80° 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分） 7．（4分）若m+n＝7，m﹣n＝3，则m2﹣n2的值为　 　 ． 8．（4分）对多项式9a﹣12a2b用提公因式法分解因式，应提取的公因式是　 　 ． 9．（4分）已知关于x的方程的解为正整数，且当y＝a时，恰好使|y﹣2|+|y﹣5|取得最小值，则满足条件的整数a的值为　 　 ． 10．（4分）函数的定义域为　 　 ． 11．（4分）将直线y＝﹣2x+3沿y轴向下平移5个单位长度后，所得直线的截距是　 　 ． 12．（4分）围棋起源于中国，棋子分黑白两色，一个不透明的盒子中装有6个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒中棋子的总个数是 　 　 个． 13．（4分）某校九年级共有300名女生．为了解她们800米成绩分布情况，从中随机抽取了30名女生的800米成绩，并根据《国家学生体质健康标准》整理如下： 等级 优秀 良好 及格 不及格 人数 8 15 4 3 根据以上信息，估计该校九年级300名女生中成绩达到良好及以上的人数是　 　 ． 14．（4分）如图，是三角形玻璃ABC损坏后剩余的部分，依据图中数据，则AC的长为　 　 ． 15．（4分）如图，已知△ABC中，中线AM、BN相交于点G，设，，那么用向量、表示向量　 　 ． 16．（4分）记任意正六边形的面积为S1，其内切圆的内接正方形的面积为S2，则　 　 ． 17．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是　 　 ． 18．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，将△BCM沿直线BM翻折，使得点C落在同一平面内的点C′处，联结DC′并延长交正方形ABCD一边于点N．当BN＝DM时，CM的长为　 　 ． 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分78分） 19．（10分）计算：． 20．（10分）解分式方程：． 21．（10分）某种新产品进价120元．试销阶段发现产品日销售量y（件）与每件的销售价x（元）之间的关系满足如下表所示的一次函数关系： 每件售价（元） 130 150 165 … 日销售量y（件） 70 50 35 … （1）求日销售量y（件）与该日销售价x（元）的函数关系式； （2）不改变上述关系的情况下，请帮助经理策划每件的销售价应定为多少元时，每日销售的利润可达到1500元？ 22．（10分）如图①，在长方形ABCD中，将长方形折叠，使点B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于点F，然后展开铺平，则以B，E，F为顶点的三角形称为长方形ABCD的“折痕三角形”． （1）长方形ABCD的任意一个“折痕三角形BEF”的形状是 　 　 三角形； （2）当“折痕三角形BEF”的顶点E的位置如图②所示时，作出这个“折痕三角形BEF”；（请尺规作图，保留作图痕迹，并写出作法） （3）如图③，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝5，当“折痕三角形BEF”的顶点F和点C重合时，设折痕与AB交于点N，求AN的长． 23．（12分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，N是中线CM的中点，CD∥AB，交线段BN的延长线于点D． （1）求证：四边形ADCM是菱形； （2）如果线段BD与边AC相交于点P，联结PM，当∠BPM＝∠BAC时，求证：线段PM是线段BM与CP的比例中项． 24．（12分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝6，对称轴是直线x＝﹣2，点F在对称轴上运动． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在一点F，使得∠BFC为直角？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将线段BC绕着点F逆时针方向旋转90°后得到线段B1C1，当点B1与C1恰有一点落在抛物线上时，求点F的坐标． 25．（14分）如图，⊙O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB的延长线上，且FC＝FE． （1）若∠A＝40°，求∠ACD的度数； （2）求证：CF是⊙O的切线； （3）若，设DE＝kCE，求k的值． ( 第 2 页 共 5 页 ) ( 第 1 页 共 5 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海市中考数学试卷 （新考纲押题C卷） 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B B D B C 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）化简（﹣3x2y）3的结果为（　　） A．﹣3x5y3 B．﹣27x6y3 C．﹣3x6y3 D．﹣27x5y3 【答案】B 【分析】利用积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，进而得出答案． 【解答】解：原式＝﹣27x6y3． 故选：B． 【点评】此题主要考查了幂的乘方与积的乘方，掌握相应的运算法则是关键． 2．（4分）近年来，我国新能源汽车发展迅猛，截至2025年6月，中国市场活跃的新能源汽车品牌约120个．下列新能源汽车标志不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的概念求解． 【解答】解：选项A、C、D的标志是中心对称图形；选项B的标志不是中心对称图形． 故选：B． 【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3．（4分）若一元二次方程a（x﹣2）（x+4）＝P（a＜0，P为常数，且P＞0）有两个不相等的整数根，这样的P有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先把方程转化为一般式，再根据方程两个不相等的整数根，由判别式Δ＞0得出P的取值范围，再根据根与系数的关系得出满足条件的P的个数． 【解答】解：方程a（x﹣2）（x+4）＝P可转化为ax2+2ax﹣8a﹣P＝0， 则Δ＝（2a）2﹣4a（﹣8a﹣P）＝36a2+4aP， ∵一元二次方程a（x﹣2）（x+4）＝P（a＜0，P为常数，且P＞0）有两个不相等的整数根， ∴Δ＞0， 即36a2+4aP＞0， ∵a＜0， ∴9a+P＜0， ∴P＜﹣9a， ∵P＞0， ∴0＜P＜﹣9a， 设方程ax2+2ax﹣8a﹣P＝0的两个根为m和n， ∴m+n＝﹣2，m•n＝﹣8， 令k，则P＝ka，且k＜0， ∴0＜ka＜﹣9a， ∵a＜0， ∴﹣9＜k＜0， ∴k的取值为﹣8，﹣7．﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1， ∴对于每个k，都需要存在整数m，n满足m+n＝﹣2，m•n＝﹣8﹣k， 当k＝﹣8时，m•n＝0，方程的解为0，﹣2，满足条件， 当k＝﹣5时，mn＝﹣3，方程的解为1，﹣3，满足条件， 其余k的值均无法满足整数解的条件， 综上所述，符合条件的k的值为﹣8，﹣5，对应两个不同的P， 故答案为：B． 【点评】本题考查根的判别式和根与系数的关系，关键是掌握根的判别式与方程根的关系． 4．（4分）在2026年春季社会实践活动中，某校九（1）班共分成5个活动小组，小组人数分别为6，6，7，5，6，那么对上述小组人数数据，下列说法中错误的是（　　） A．平均数是6 B．中位数是6 C．众数是6 D．方差是6 【答案】D 【分析】分别根据中位数、众数、算术平均数以及极差的定义解答即可． 【解答】解：该组数据的平均数是6，故选项A说法正确，不符合题意； 该组数据的中位数是6，故选项B说法正确，不符合题意； 该组数据的众数是6，故选项C说法正确，不符合题意； 该组数据的方差为0.4，故选项D说法错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了极差，算术平均数，中位数以及众数，掌握相关统计量的定义是解答本题的关键． 5．（4分）已知⊙O1的半径是5，⊙O2的半径是6．圆心O2在⊙O1上．那么两圆的公共弦长是（　　） A． B． C．10 D．12 【答案】B 【分析】先根据题意画出图形，设⊙O1和⊙O2相交于点A，B，连接AB，O1O2，O1A，O2B，O1O2，设AB与O1O2相交于点C，设O1C＝a，则O1A＝O1O2＝5，O2A＝6，AC＝BC，AB⊥O1O2，O2C＝5﹣a，AB＝2AC，在Rt△O1AC和Rt△O2AC中，由勾股定理得AC2＝ O1A2﹣O1C2＝O2A2﹣O2C2，则52﹣a2＝62﹣（5﹣a）2，由此解出，则AC，进而即可得出公共弦AB的长． 【解答】解：设⊙O1和⊙O2相交于点A，B，连接AB，O1O2，O1A，O2B，O1O2，设AB与O1O2相交于点C，如图所示： 设O1C＝a， ∵⊙O1的半径是5，⊙O2的半径是6．圆心O2在⊙O1上， ∴O1A＝O1O2＝5，O2A＝6，AC＝BC，AB⊥O1O2， ∴O2C＝O1O2﹣O1C＝5﹣a，AB＝2AC， 在Rt△O1AC和Rt△O2AC中，由勾股定理得：AC2＝O1A2﹣O1C2＝O2A2﹣O2C2， ∴52﹣a2＝62﹣（5﹣a）2， 解得：， ∴O1C， ∴AC， AB＝2AC． 故选：B． 【点评】此题主要考查了相交两圆的性质，理解两圆相交时，连心线垂直平分公共弦是解决问题的关键． 6．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC，连接BD，若∠BDC＝55°，则∠ABC的度数为（　　） A．55° B．60° C．70° D．80° 【答案】C 【分析】连接AC，由圆周角定理得∠BAC＝∠BDC＝55°，由AB＝BC，得∠BCA＝∠BAC＝55°，则∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠BCA＝70°，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接AC，则∠BAC＝∠BDC＝55°， ∵AB＝BC， ∴∠BCA＝∠BAC＝55°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠BCA＝70°， 故选：C． 【点评】此题重点考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分） 7．（4分）若m+n＝7，m﹣n＝3，则m2﹣n2的值为　21　 ． 【答案】21． 【分析】根据m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）代入计算即可． 【解答】解：∵m+n＝7，m﹣n＝3， ∴m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝7×3＝21， 故答案为：21． 【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 8．（4分）对多项式9a﹣12a2b用提公因式法分解因式，应提取的公因式是　3a ． 【答案】3a． 【分析】根据公因式的确定方法解答即可． 【解答】解：9a﹣12a2b＝3a（3﹣4ab）， 故答案为：3a． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 9．（4分）已知关于x的方程的解为正整数，且当y＝a时，恰好使|y﹣2|+|y﹣5|取得最小值，则满足条件的整数a的值为　4　 ． 【答案】4． 【分析】先绝对值的定义以及数轴上两点距离的计算方法求出a的取值范围，再根据一元一次方程的正整数解即可得出答案． 【解答】解：关于x的方程的解为x， ∵当y＝a时，恰好使|y﹣2|+|y﹣5|取得最小值， ∴2≤y≤5， 即2≤a≤5， 又∵a为整数， ∴a＝2或a＝3或a＝4或a＝5， 当a＝2时，x不是整数，不符合题意， 当a＝3时，x不是整数，不符合题意， 当a＝4时，x2是整数，符合题意， 当a＝5时，x不是整数，不符合题意， 故答案为：4． 【点评】本题考查绝对值，解一元一次方程以及数轴上两点距离，掌握绝对值的定义，解一元一次方程以及数轴上两点距离的计算方法是正确解答的关键． 10．（4分）函数的定义域为x≠﹣2　 ． 【答案】x≠﹣2． 【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：x+2≠0， 解得：x≠﹣2， 故答案为：x≠﹣2． 【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围，熟记分式的分母不为零是解题的关键． 11．（4分）将直线y＝﹣2x+3沿y轴向下平移5个单位长度后，所得直线的截距是　﹣2　 ． 【答案】﹣2． 【分析】一次函数图像上下平移遵循“上加下减”的规则，沿 y轴向下平移 5 个单位，就是在整个函数表达式后减去 5．得到新直线的解析式后，常数项就是新的截距． 【解答】解：原直线为 y＝﹣2x+3，沿 y轴向下平移 5 个单位：y＝﹣2x+3﹣5， 化简得：y＝﹣2x﹣2， ∵一次函数 y＝kx+b 中，b 就是直线在 y轴上的截距， ∴新直线的截距为﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了一次函数图像的平移变换．熟练掌握“上加下减”的平移规律，并能准确识别一次函数的截距，是解题的关键． 12．（4分）围棋起源于中国，棋子分黑白两色，一个不透明的盒子中装有6个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒中棋子的总个数是 　24　 个． 【答案】24 【分析】根据黑色棋子除以相应概率可以算出棋子的总数． 【解答】解：由题意，盒中棋子的总个数是624（个）． 故答案为：24． 【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 13．（4分）某校九年级共有300名女生．为了解她们800米成绩分布情况，从中随机抽取了30名女生的800米成绩，并根据《国家学生体质健康标准》整理如下： 等级 优秀 良好 及格 不及格 人数 8 15 4 3 根据以上信息，估计该校九年级300名女生中成绩达到良好及以上的人数是　230　 ． 【答案】230． 【分析】根据样本估计总体解答即可． 【解答】解：估计该校九年级300名女生中成绩达到良好及以上的人数是300230． 故答案为：230． 【点评】本题考查的是用样本估计总体，掌握用样本估计总体是解题的关键． 14．（4分）如图，是三角形玻璃ABC损坏后剩余的部分，依据图中数据，则AC的长为　　 ． 【答案】． 【分析】延长三角形玻璃破损的两条边，交于点C，过点A作AD⊥BC于点D，先在直角△ADB中，求出AD的长度，再在直角△ADC中，求出AC的长度即可． 【解答】解：如图，延长三角形玻璃破损的两条边，交于点C，过点A作AD⊥BC于点D， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， 在直角△ADB中， ∵，∠ADB＝90°，∠B＝45°， ∴， ∴∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠B＝180°﹣90°﹣45°＝45°， ∵∠BAC＝110°， ∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝110°﹣45°＝65°， ∴∠ADC＝90°， 在直角△ADC中， ∵AD＝2，∠ADC＝90°，∠DAC＝65°， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 15．（4分）如图，已知△ABC中，中线AM、BN相交于点G，设，，那么用向量、表示向量　　 ． 【答案】． 【分析】根据三角形重心的性质结合平面向量的基本运算法则进行计算即可． 【解答】解：由题知， ∵AM和BN是△ABC的中线， ∴点G为△ABC的重心， ∴GN． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了三角形的重心及平面向量，熟知三角形重心的性质及平面向量的基本运算法则是解题的关键． 16．（4分）记任意正六边形的面积为S1，其内切圆的内接正方形的面积为S2，则　　 ． 【答案】． 【分析】根据正六边形、正方形的性质以及直角三角形的边角关系以及正六边形、正方形面积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：如图，设正六边形ABCDEF的内切圆半径为r，即OR＝OM＝r， 在Rt△AOR中，∠AOR＝30°，OR＝r， ∴ARORr， ∴AB＝2ARr， 在Rt△MOS中，OM＝r，∠MOS＝45°， ∴MSOMr， ∴MQ＝2MSr， 即正六边形ABCDEF的边长为r，正方形MNPQ的边长为r， ∴S1AB•OR×6r×r×6＝2r2，S2rr＝2r2， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形、正方形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 17．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是k＜2026　 ． 【答案】k＜2026． 【分析】由反比例函数的图象位于第二、四象限得到k﹣2026＜0，然后求解即可． 【解答】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴k﹣2026＜0， 解得k＜2026． 故答案为：k＜2026． 【点评】本题考查了反比例函数图象与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 18．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，将△BCM沿直线BM翻折，使得点C落在同一平面内的点C′处，联结DC′并延长交正方形ABCD一边于点N．当BN＝DM时，CM的长为　2或8﹣4　 ． 【答案】2或8﹣4 【分析】分两种情形：如图1中，当BN＝DM时，连接CC′交BM于J．如图2中，当BN＝DM时，过点C′作C′T⊥CD于T．分别求解即可． 【解答】解：如图1中，当BN＝DM时，连接CC′交BM于J． ∵BN＝DM，BN∥DM， ∴四边形BNDM是平行四边形， ∴BM∥DN， ∴∠BMC＝∠NDM，∠BMC′＝∠DC′M，由折叠知，MC′＝MC，∠BMC＝∠BMC′， ∴∠NDM＝∠DC′M， ∴MC′＝MD， ∴CM＝DMCD＝2． 如图2中，当BN＝DM时，过点C′作C′T⊥CD于T． ∵CB＝CD，BN＝DM， ∴CN＝CM＝MC′， 在△BCM和△DCN中， ， ∴△BCM≌△DCN（SAS）， ∴∠CDN＝∠CBM， ∵∠CBM+∠BCC′＝90°，∠BCC′+∠C′CD＝90°， ∴∠CBM＝∠C′CD， ∴∠C′CD＝∠DCC′， ∴C′D＝C′C， ∵C′T⊥CD， ∴DT＝TC＝2， ∵C′T∥CN， ∴DC′＝C′N， ∴C′TCN， 设C′T＝x，则CN＝CM＝MC′＝2x，TMx， ∴2xx＝2， ∴x＝4﹣2， ∴CM＝8﹣4， 综上所述，CM的值为2或8﹣4． 【点评】本题考查翻折变换，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 三．解答题（共7小题，满分78分） 19．（10分）计算：． 【答案】． 【分析】根据实数的运算法则进行计算即可． 【解答】解：由题知， 原式 ． 【点评】本题主要考查了分数指数幂、实数的运算、零指数幂及特殊角的三角函数值，熟知实数的运算法则是解题的关键． 20．（10分）解分式方程：． 【答案】原方程无解． 【分析】根据分式方程的解法进行解答即可． 【解答】解：， 两边都乘以（x+2）（x﹣2）得， （x﹣2）2﹣16＝x2﹣4， 去括号得， x2﹣4x+4﹣16＝x2﹣4， 移项得， x2﹣4x﹣x2＝﹣4﹣4+16， 合并同类项得， ﹣4x＝8， 两边都除以﹣4得， x＝﹣2， 经检验，x＝﹣2是原方程的增根， ∴原方程无解． 【点评】本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的关键． 21．（10分）某种新产品进价120元．试销阶段发现产品日销售量y（件）与每件的销售价x（元）之间的关系满足如下表所示的一次函数关系： 每件售价（元） 130 150 165 … 日销售量y（件） 70 50 35 … （1）求日销售量y（件）与该日销售价x（元）的函数关系式； （2）不改变上述关系的情况下，请帮助经理策划每件的销售价应定为多少元时，每日销售的利润可达到1500元？ 【答案】（1）y＝﹣x+200； （2）170元或150元． 【分析】（1）从表格中选取两组变量的值，利用待定系数法，即可求出日销售量y（件）与该日销售价x（元）的函数关系式； （2）利用每日销售的利润＝每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设日销售量y（件）与该日销售价x（元）的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 将（130，70），（150，50）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴日销售量y（件）与该日销售价x（元）的函数关系式y＝﹣x+200； （2）根据题意得：（x﹣120）（﹣x+200）＝1500， 整理得：x2﹣320x+25500＝0， 解得：x1＝170，x2＝150， ∴每件的销售价应定为170元或150元时，每日销售的利润可达到1500元． 【点评】本题考查了一次函数的应用和一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法，求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 22．（10分）如图①，在长方形ABCD中，将长方形折叠，使点B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于点F，然后展开铺平，则以B，E，F为顶点的三角形称为长方形ABCD的“折痕三角形”． （1）长方形ABCD的任意一个“折痕三角形BEF”的形状是 　等腰　 三角形； （2）当“折痕三角形BEF”的顶点E的位置如图②所示时，作出这个“折痕三角形BEF”；（请尺规作图，保留作图痕迹，并写出作法） （3）如图③，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝5，当“折痕三角形BEF”的顶点F和点C重合时，设折痕与AB交于点N，求AN的长． 【答案】． 【分析】（1）由折叠的性质得EF＝BF，即可得出△BEF是等腰三角形； （2）根据折痕三角形的定义可得折痕是BE的垂直平分线，连接BE，作BE的垂直平分线MN，MN与BC的交点就是F，再连接EF即可； （3）由折叠的性质得BC＝EC＝5，BN＝EN，再由勾股定理求出ED＝4，则AE＝1，然后设AN＝x，则BN＝EN＝3﹣x，由勾股定理求出x即可． 【解答】解：（1）由折叠的性质得：EF＝BF， ∴△BEF是等腰三角形， 故答案为：等腰； （2）如图②， ∵折叠点B落在点E上， ∴折痕是BE的垂直平分线， ∴连接BE作BE的垂直平分线MN，交BC于F，再连接EF即可得到折痕△BEF； （3）如图③，由折叠的性质得：BC＝EC＝5，BN＝EN， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，AD＝BC＝5，CD＝AB＝3， 在Rt△EDC中，由勾股定理得：ED4， ∴AE＝AD﹣ED＝5﹣4＝1， 设AN＝x，则BN＝EN＝AB﹣AN＝3﹣x， 在Rt△EAN中，由勾股定理得：AN2+AE2＝EN2，即x2+12＝（3﹣x）2， 解得：x， ∴AN的长为． 【点评】本题是四边形综合题，考查了“折痕三角形”的概念、矩形的性质、折叠的性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，关键是正确理解题意，熟练掌握折痕是BE的垂直平分线和勾股定理是解题的关键． 23．（12分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，N是中线CM的中点，CD∥AB，交线段BN的延长线于点D． （1）求证：四边形ADCM是菱形； （2）如果线段BD与边AC相交于点P，联结PM，当∠BPM＝∠BAC时，求证：线段PM是线段BM与CP的比例中项． 【答案】见解析． 【分析】（1）证明△DNC≌△BNM（AAS），推出CD＝BM＝AM，可得结论； （2）证明△PMN∽△CMP，推出PM2＝MN•MC，又因为CN＝MN，MC＝BM，推出PM2＝CN•BM，再证明CP＝CN可得结论． 【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AM＝BM， ∴CM＝AM＝BM， ∵N是CM的中点， ∴CN＝MN， ∵CD∥AB， ∴∠CDN＝∠MBN， ∵∠DNC＝∠BNM， 在△DNC和△BNM中， ， ∴△DNC≌△BNM（AAS）， ∴CD＝BM＝AM， ∵CD∥AM， ∴四边形ADCM是平行四边形，∵CD＝BM，CM＝BM， ∴CD＝CM， ∴四边形ADCM是菱形； （2）∵CM＝AM， ∴∠ACM＝∠BAC， ∵∠BPM＝∠BAC， ∴∠MPN＝∠PCM， ∵∠PMN＝∠CMP， ∴△PMN∽△CMP， ∴PM2＝MN•MC， ∵CN＝MN，MC＝BM， ∴PM2＝CN•BM， ∵四边形ADCM是菱形， ∴D，M关于AC对称， ∴∠CPN＝∠APM＝∠APD， ∵∠APM+∠MPN+∠CPN＝180°，∠CPN+∠PCM+∠CNP＝180°，∠MPN＝∠PCN， ∴∠CPN＝∠CNP， ∴CP＝CN， ∴PM2＝PC•BM， ∴线段PM是线段BM与CP的比例中项． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形，相似三角形解决问题． 24．（12分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝6，对称轴是直线x＝﹣2，点F在对称轴上运动． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在一点F，使得∠BFC为直角？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将线段BC绕着点F逆时针方向旋转90°后得到线段B1C1，当点B1与C1恰有一点落在抛物线上时，求点F的坐标． 【答案】（1）； （2）存在，F（﹣2，2）或（﹣2，4）； （3）（﹣2，2），（﹣2，﹣4），（﹣2，4），（﹣2，6）． 【分析】（1）由题意得出A（﹣6，0），C（0，6）．结合轴对称的性质得出B（2，0），再利用待定系数法求解即可； （2）由勾股定理得出．设BC中点为D，则D（1，3），连接DF．设点F（﹣2，t），则．当DF＝DC＝BD时，点B，C，F三点在以D为圆心，BC为直径的圆上，由圆周角定理得出此时∠BFC为直角，由直角三角形的性质得出，即，解方程即可得解； （3）设点F（﹣2，t）．则点B逆时针方向旋转90°后的坐标为B1（t﹣2，t+4），点C逆时针方向旋转90°后的坐标为C1（t﹣8，t+2），再分两种情况：当B1（t﹣2，t+4）在抛物线上时，当C1（t﹣8，t+2）在抛物线上时，分别求解即可． 【解答】解：（1）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝6，对称轴是直线x＝﹣2， ∴A（﹣6，0），C（0，6），B（2，0）． 设抛物线解析式为y＝ax2+bx+6（a≠0），将A，B点的坐标代入得： 题意得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）存在一点F，使得∠BFC为直角；理由如下： ∵B（2，0），C（0，6）， ∴． 设BC中点为D，则D（1，3），连接DF．如图1， 设点F（﹣2，t），则． 当DF＝DC＝BD时，点B，C，F三点在以D为圆心，BC为直径的圆上， 此时，∠BFC为直角，，则， ∴t2﹣6t+18＝10， 化简得t2﹣6t+8＝0， 解得t1＝2，t2＝4． ∴F的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，4）时，∠BFC为直角． （3）设点F（﹣2，t）． 则点B逆时针方向旋转90°后的坐标为B1（t﹣2，t+4），点C逆时针方向旋转90°后的坐标为C1（t﹣8，t+2）， 当B1（t﹣2，t+4）在抛物线上时，， 化简得t2+2t﹣8＝0， 解得t1＝2，t2＝﹣4． ∴t1＝2时，F（﹣2，2），t2＝﹣4时，F（﹣2，﹣4）． 经检验，此时点C1不在抛物线上． 当C1（t﹣8，t+2）在抛物线上时，， 化简得t2﹣10t+24＝0， 解得t1＝4，t2＝6． ∴当t1＝4时，F（﹣2，4），当t2＝6时，F（﹣2，6）． 经检验，此时点B1不在抛物线上． 综上，满足题意的点F的坐标为（﹣2，2），（﹣2，﹣4），（﹣2，4），（﹣2，6）． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、圆周角定理、直角三角形的性质、坐标与图形—旋转变换、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 25．（14分）如图，⊙O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB的延长线上，且FC＝FE． （1）若∠A＝40°，求∠ACD的度数； （2）求证：CF是⊙O的切线； （3）若，设DE＝kCE，求k的值． 【答案】（1）25°； （2）证明见解答； （3）． 【分析】（1）根据圆周角定理得∠ABC＝90°，求出∠ACB＝50°，根据点D是的中点，即可解答； （2）证明∠ACF＝90°，由切线的判定即可得证； （3）设BC＝4x，CF＝5x，则BF＝3x，根据勾股定理求出CE，AE，连接BD，证明△ACE∽△DBE，列出比例式，求解即可． 【解答】（1）解：∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∵∠A＝40°， ∴∠ACB＝50°， ∵点D是的中点， ∴； （2）证明：∵∠ABC＝90°， ∴∠BCD+∠CEF＝90°， ∵点D是的中点， ∴∠DCB＝∠DCA， ∵FC＝FE， ∴∠FCE＝∠FEC， ∴∠DCA+∠FCE＝90°， 即∠ACF＝90°， ∴AC⊥CF， ∵AC是⊙O的直径， ∴CF是⊙O的切线； （3）解：在Rt△FBC中，， 设BC＝4x，CF＝5x，则BF＝3x， ∵EF＝CF， ∴BE+BF＝CF， 即3x+BE＝5x， ∴BE＝2x， ∴，∠ACF＝90°， ∴∠ACB+∠BCF＝90°， ∵∠F+∠BCF＝90°， ∴∠ACB＝∠F， ∴， ∴， ∴； 如图，连接BD， ∵∠ACD＝∠ABD，∠CAB＝∠CDB， ∴△ACE∽△DBE， ∴， 即， 解得， ∴， ∴k的值为． 【点评】本题考查圆的综合应用，主要考查圆周角定理，切线的判定定理，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握圆周角定理，切线的判定定理是解题的关键． ( 第 2 页 共 22 页 ) ( 第 1 页 共 22 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $