精品解析：黑龙江省绥化市绥棱县克音河乡学校2025-2026学年九年级下学期第四次学情自测数学试卷

九年级第四次模拟测试数学试卷 考生注意： 1．考试时间90分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、填空题（每小题3分，共12道小题，满分36分） 1. 传统建筑中的窗格不仅具有实用功能，更承载着深厚的文化寓意与审美价值，下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】轴对称图形的定义：将图形沿某直线对折，直线两边的部分能够重合，则该图形称为轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形与原来的图形重合，这个图形称为中心对称图形；据此求解即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 2. 某中学的学生在校园内的生物实践基地种植植物，以研究光合作用，植物靠吸收光量子来进行光合作用，每个光量子的波长约为米，则每个光量子的波长可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用科学记数法的表示方法表示即可. 【详解】解：. 3. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围、二次根式有意义的条件、零次幂有意义的条件等知识点，掌握二次根式以及零次幂有题意的条件是解题的关键． 根据被开方数大于或等于0且分母不等于0，列出不等式组求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得：且． 故选C． 4. 某区要从甲、乙两名射击运动员中挑选一人参加全市比赛，在选拔赛中，每人进行了次射击，甲的成绩（环）为：，乙的成绩的平均数为环，方差为．据估计，如果成绩的平均数达到环就可能夺得金牌，下列说法中错误的是（ ） A. 甲的成绩的平均数为环 B. 甲的成绩的中位数是环 C. 甲的成绩的方差为 D. 应选派成绩较稳定的乙运动员参赛 【答案】D 【解析】 【分析】由平均数、中位数、方差的求法及稳定性判断各个选项即可． 【详解】解：甲的成绩（环）为：，则甲的成绩的平均数为，故A选项的说法正确； 按从小到大排列甲的成绩（环）为：，则甲的成绩的中位数是环，故B选项的说法正确； 由前面计算可知，甲的成绩的平均数是环，则甲的成绩的方差为，故C选项的说法正确； 由于甲、乙的平均成绩相等，，即甲的方差小于乙的方差，则甲的成绩更稳定，应选派甲运动员参赛，故D选项的说法错误． 5. 2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．图①是机器人练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过作，过作，得到，根据两直线平行，内错角相等得到，，代入计算即可． 【详解】过作，过作， 由题意可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6. 下列关于图形判定的命题中，正确的是（ ） A. 有一组对边平行，有一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 有一个内角被对角线平分的平行四边形是菱形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形 D. 有三条边相等，对角线也相等的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】根据各类特殊四边形的判定定理逐一判断命题正误. 【详解】解：对于选项A，∵等腰梯形满足“一组对边平行，一组对边相等”，但不是平行四边形，∴A错误； 对于选项B，∵四边形是平行四边形，对边平行，若一个内角被对角线平分，由平行线内错角相等可推出该平行四边形一组邻边相等， ∴邻边相等的平行四边形是菱形，B正确； 对于选项C，∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，对角线相等且互相平分的四边形才是矩形，∴C错误； 对于选项D，满足“三条边相等，对角线也相等”的四边形不一定是正方形，例如一个等腰梯形，若它的一个底边和两条腰相等，则满足三条边相等且对角线相等，但它不是正方形，故D错误. 7. 已知m，n是关于x的方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 175 B. 210 C. 245 D. 365 【答案】A 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根的定义，化简所求代数式，再利用根与系数的关系得到两根之积，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， 是方程的两个实数根， ∴ 由一元二次方程根的定义得：， ， 整理得： ， ， 由根与系数的关系得： ， ∴． 8. 如图，在一条笔直的海岸线（东西方向）的北边有一座灯塔．小华在海岸线上的点测得灯塔在北偏东的方向上；小华继续沿着正东方向走了海里到达点处，此时测得灯塔在北偏东的方向上．那么灯塔到海岸线的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形——方位角问题、等腰三角形的性质、三角形内角和定理．正确作出辅助线构造直角三角形，并灵活应用等腰三角形的性质及方位角的定义是解答本题的关键．根据三角形内角和定理证出，由此得到，进而构造，并运用的正弦值即可求得灯塔到海岸线的距离． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点． 由题意，易知，，． 由三角形的内角和等于，得． ∴． ∴是等腰三角形． ∴海里． ∵， ∴． 在中，，海里，， ∴(海里)． ∴灯塔到海岸线的距离为海里． 故选：C． 9. 如图，菱形的边长为6，，过点D作，交的延长线于点E，连接分别交于点G，F，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可得，由菱形的性质可得，，即得，进而得到，得到，，，即得到，再根据和，分别求出和，最后根据计算即可求解． 【详解】解：∵，交的延长线于点， ∴， ∵四边形是边长为的菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 掀起了“人工智能+”的热潮，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据，已知单独处理数据的时间比少2小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．若单独处理需要（ ）小时完成． A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，分式方程在工程问题中的应用，解题思路是设单独完成的时间为x，根据时间关系得到单独完成的时间，利用“合作效率和=总工作量÷合作时间”列方程求解，舍去不符合实际的负根得到结果． 【详解】解：设单独处理需要小时， 单独处理需要小时， 将总工作量看作，则的工作效率为，的工作效率为， 两模型合作处理需要小时完成， ∴ 整理为一元二次方程得： 因式分解得： 解得或， 时间为正数，舍去负根，得， 经检验：当时， ∴是 原分式方程的解， 因此单独处理需要小时完成， 11. 如图①，菱形中，点为轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于，两点（点在点下方），直线从轴出发，沿以每秒个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，与的大致图象如图②，若，则的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】过点作的垂线，交于点，过点作的垂线，交于点，当运动时间为秒时，直线与直线重合，当运动时间为秒时，直线与直线重合，当运动时间为秒时，直线经过点，即，，结合当运动时间为秒时，，即可求得答案． 【详解】解：如图所示，过点作的垂线，交于点，过点作的垂线，交于点． 根据图象可知，当运动时间为秒时，直线与直线重合，当运动时间为秒时，直线与直线重合，当运动时间为秒时，直线经过点，即，． ∵四边形为菱形， ∴，． 又． ∴． ∴． ∴． ∵当运动时间为秒时， ， ∴． ∴． 12. 抛物线 的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④；⑤若和是抛物线上两点，则当时，其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是根据图象信息，恰当字母系数的符号，再根据二次函数的性质逐项推理即可． 【详解】解：根据抛物线开口向下，可知， 因为抛物线对称轴是直线，所以，即， 抛物线与y轴的交点在正半轴，所以， 故，①正确； 因为抛物线对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标为， 所以与x轴的一个交点坐标为，代入得， ，②正确； 由图象可知，当时，对应的自变量值有两个，即方程有两个不相等的实数根，③正确； 把代入得，，则，④正确； 当时，说明点离对称轴远，因为抛物线开口向下，离对称轴越近，函数值越大，所以，⑤错误； 综上分析可知，正确的有4个． 故选：C． 二、选择题（每小题3分，共10道小题，满30分） 13. 计算 _____ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【详解】解：原式， 故答案为：． 14. 若干个相同的小立方块搭成的几何体从上面和从左面看到的形状图如图所示，求满足条件的几何体中小立方块的个数：____ ． 【答案】5或6或7 【解析】 【分析】根据题意，可得这个几何体有2层，上面看可得第一层小正方块的个数，由左面看可得第二层小正方块的个数，画出图形求解即可． 【详解】解：根据题意，这个几何体小正方块的分布情况如下： ∴满足条件的几何体中小立方块的个数为5或6或7． 15. 分解因式：2ax2－4axy＋2ay2的结果是________． 【答案】2a(x－y)2 【解析】 【分析】先提公因式2a，然后利用完全平方公式分解因式． 【详解】解：2ax2－4axy＋2ay2 =2a（x2-2xy+y2） =2a（x-y）2． 故答案为2a（x-y）2． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后还能运用完全平方公式继续分解因式． 16. 如图，已知弦、在圆心的同侧，且是内接正三角形的一条边，是内接正六边形的一条边，．如果也是的内接正边形的一条边，那么的值为_____ ． 【答案】12 【解析】 【分析】连接，利用正多边形与圆，分别计算的内接正六边形与内接正三角形的中心角得到，，则，然后计算即可得到的值． 【详解】解：连接，如图， ∵，分别为的内接正六边形与内接正三角形的一边， ∴，， ∴， ∴． 17. 如图，矩形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则点的坐标为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似图形的性质得出，根据点的坐标为即可得出点坐标． 【详解】解：∵矩形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知， ∴， ∵点的坐标为， ∴． 18. 化简：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点均在反比例函数的图象上，经过原点，延长交轴于点，且．若的面积为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设点，根据反比例函数的图象和性质以及经过原点，得到点的坐标，根据为线段中点，得到点的坐标，以及，根据建立关于的等式，得到的值． 【详解】解：如图，连接， 设点， ∵均在反比例函数的图象上，且经过原点， ∴关于原点对称，且， ∴， ∵， ∴为线段中点， 设，则，且，即， 又∵均在上， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，点到线段和线段的距离相等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴解得：，即． 20. 如图，在平行四边形中，，，，在线段上取一点E，使，连接，点M，N分别是线段上的动点，连接，则的最小值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，作于，于，于，则四边形是矩形，，由题意可求，，，则，，由，可知当三点共线且时，最小，为，求的长，进而可求最小值， 【详解】解：如图，作于，于，于，则四边形是矩形， ∴， ∵平行四边形中，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线且时，最小，为， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，含的直角三角形，等边对等角，勾股定理等知识．明确线段和最小的情况是解题的关键． 21. 如图， 在平面直角坐标系中，直线与直线分别交y轴于点A，B．以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点C作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足照此规律进行下去，则的面积为_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分别算出的值得到，，，由此即可求解． 【详解】解：在直线中，当时，，则， 在直线中，当时，，则， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴点的横坐标为， 在直线中，当时，，则， 在直线中，当时，，则， ∴，则，， ∴， 同理，，，， ∴，则， ∴， ， ∴ ． 22. 在矩形中，，P为平面内一点，且，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，当点B，D，E在一条直线上时，的长为____ ． 【答案】或##或 【解析】 【分析】分点E在的延长线上和点E在线段上两种情况，通过作辅助线构造相似三角形，求得相关线段长度后，利用勾股定理计算的长．正确分类讨论是解题关键． 【详解】解：∵在矩形中，， ，，， ， 分两种情况讨论： ①当点E在的延长线上时，过点P作于点F，如下图， 线段绕点逆时针旋转得到线段，点，，共线， ，， ， ∴， ， 又， ∴， ∴，即， 解得，， 此时， 在中，由勾股定理得； ②当点E在线段上时，过点P作于点F，如下图， 同理可得， ∴，即， 解得，， 此时， 在中，由勾股定理得． 综上所述，的长为或． 三、解答题（满分54分） 23. 如图，在中，． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）： ①在上取一点，使点到的距离等于线段的长； ②在上取一点，使． （2）在（1）的条件下，若，，则长为_________． 【答案】（1）①见解析 ②见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①作的角平分线，交于点，则点即为所求作，理由如下：由角平分线的性质定理可知，点到的距离等于线段的长；②作线段的垂直平分线，交于点，以为圆心、或为半径画圆，交于点，连接，交于点，则点即为所求作，理由如下：由直径所对的圆周角是直角可得，由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，即； （2）过点作于点，则，由（1）得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，由勾股定理可得，于是可得，由（1）得是的角平分线，再结合，可得，由含度角的直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，则，由含度角的直角三角形的性质可得，由此即可求出的长． 【小问1详解】 解：①如图，作的角平分线，交于点，则点即为所求作， 理由如下： 由角平分线的性质定理可知，点到的距离等于线段的长； ②如图，作线段的垂直平分线，交于点，以为圆心、或为半径画圆，交于点，连接，交于点，则点即为所求作， 理由如下： 为的直径， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 则， 由（1）得：， ， ， ， ， ， 由（1）得：是的角平分线， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了作角平分线（尺规作图），作垂线（尺规作图），画圆（尺规作图），作线段（尺规作图），勾股定理，直径所对的圆周角是直角，角平分线的性质定理，线段垂直平分线的性质，等边对等角，等角对等边，三角形的内角和定理，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，角平分线的有关计算等知识点，熟练掌握尺规作图的基本方法和技巧及相关知识点是解题的关键． 24. 某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成，五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： 学生成绩扇形统计 等级 成绩 A 60x<70 90x≤100 （1）学生成绩频数分布直方图中A等级的频数___________，扇形统计图中D等级的圆心角度数为___________，补全学生成绩频数分布直方图； （2）若成绩在60分及以上为及格，全校共有3200名学生，估计成绩及格的学生有多少人？ （3）本次成绩前四名有2名女生和2名男生，若从这四人中随机抽取2名同学代表学校参加比赛，请用画树状图或列表法求出恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）16，；频数分布直方见解析 （2）2944人 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据等级的人数和所占百分比求出本次调查的人数，进而求出和的人数，求出扇形统计图中D等级的圆心角度数，然后补全频数分布直方图即可； （2）根据用样本评估总体的性质计算，即可得到答案； （3）根据题意画出正确的树状图，据此根据树状图进一步分析求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得等级的学生人数为：50人，等级的学生人数占比为：， 本次调查随机抽取的学生总数为：（人， 等级的学生人数占比为：， 等级的学生人数为：（人， 即， 等级的学生人数为：（人，即， 等级的学生人数为70人， 扇形统计图中D等级的圆心角度数为， 等级的学生人数为：（人， 频数分布直方图如下： ； 故答案为：16，； 【小问2详解】 解：成绩在60分及以上的学生人数占比为：， 全校估计成绩及格的学生有2944人； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能得结果，其中恰好是一名男生和一名女生的结果有8种， 所以恰好是一名男生和一名女生的概率． 【点睛】本题考查了调查统计的知识，列表法或树状图法求概率，解题的关键是熟练掌握频率分布直方图、扇形统计图、用样本评估总体的性质，从而完成求解． 25. 综合应用 （1）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元；新建2个地上充电桩和3个地下充电桩需要万元． ①该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ ②若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案． （2）现有新能源甲、乙两辆新能源汽车，甲新能源车从A地去B地，乙新能源车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙新能源车离A点的距离分别为、（）与行驶的时间为t（h）之间的关系如图所示． ①A、B两地之间的路程为 ； ②经 小时，甲、乙两新能源车相遇，此时距B地的距离为 ； ③甲出发 小时后，甲、乙两新能源车相距． 【答案】（1）①一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元； ②共有3种建造方案，方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩；方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩；方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩 （2）①240；②160；③或 【解析】 【分析】（1）设新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）设新建个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个，由题意列出关于的一元一次不等式组并求解，结合，为整数即可确定建造方案，并分别计算各建造方案所需费用，比较即可获得答案； （3）①根据图象即可解答； ②根据“速度路程时间”，即可计算甲车和乙车的速度，结合相遇时两人路程和为列方程求解即可； ③设甲出发后甲、乙两人相距，分三种情况列方程求解即可． 【小问1详解】 解：①设该小区新建一个地上充电桩需x万元，一个地下充电桩需y万元， 根据题意列二元一次方程组得：， 解得， 答：该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元； ②设新建m个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个， 根据题意列一元一次不等式组得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为18，19，20， ∴共有3种建造方案， 方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩 【小问2详解】 解：①根据图象可知，甲从A到B总距离为， 因此A、B两地之间的路程为； ②甲速度：，乙速度：， 设t小时相遇，两人路程和为总路程：， 解得：， 相遇时甲走了，距B地距离为， 故经2小时，甲、乙两新能源车相遇，此时距B地的距离为； ③设甲出发后甲、乙两人相距． 分三种情况： 相遇前，， 解得：； 相遇后且乙到达终点前，， 解得：，，不合题意，舍去； 乙到达终点后，， 解得：； 综上可知，甲出发或后甲、乙两人相距． 26. 如图，中，，以为直径的交于点D，连接．于点，交于．和的延长线交于点． （1）求证：是切线； （2）若，半径为4，求的长度． 【答案】（1） 证明：连接，则 于点E， 在和中 ， ∵为半径， 是切线； （2） 【解析】 【分析】（）连接，有切点即为半径，证明即可； （）根据切线的性质得到，再利用锐角相等其正切值相等得到，即可得到，再利用勾股定理计算相关线段的长度即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点C在上，， 是切线 是切线 ， ， 是直径， ，，即 ，， 设，则 由题意， 在中，由勾股定理得，，即 解得，， 由得， ，， ， ∴， ， ， ， ． 27. 如图1，在中，，过点A作于点K，，，四边形为矩形，点D，E分别在线段，上，点G，F在线段上． （1）当点D为中点时，直接写出的长度； （2）当时，求的长度； （3）如图2，过点G作，垂足为点H，连接，，当时，求的长度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质证明，结合点D是中点从而求得的长度； （2）设，证明，利用相似三角形对应边成比例列出方程即可求得结果； （3）通过构造辅助线，设未知数利用解直角三角形的性质求得相关线段的长度． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵，点D是中点， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图1，设与相交于点P， 当时，四边形为正方形，设， ，， ， ，即， 解得， ，即， ∴． 【小问3详解】 解：， ， ， 设， 如图2，过点E作于点M，则， 过点E作于点N，则可证得四边形为矩形， ，， ，， 点N为的中点，即， 由（1）可知，， ， ， 在中，， ∴， ， ， ∴， 在中，， ， ， ， 解得， ． 28. 综合探究 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、两点，与轴交于点，且顶点为，点，为该二次函数的图象上两点，点横坐标为． （1）求二次函数解析式； （2）如图1，若点P在y轴左侧，且，求点P的坐标； （3）如图2，若平行于x轴，过点N作交于点H，设，，求y与x的函数关系式； （4）若点Q位于点P左侧，P、Q两点间的水平距离为1，以为对角线作矩形使其各边分别与x轴或y轴平行，若矩形的周长与抛物线上P、Q两点间纵坐标的最大值相等，直接写出t的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求解； （2）先求得直线的解析式为，过点作轴交延长线于点，过，两点分别作，分别交于，两点，则点坐标为，点坐标为，进而根据，解方程，即可求解； （3）依题意得出，根据点坐标为，进而得出，，计算可得，即可求解； （4）依题意，点坐标为，，分别表示出的长，再分情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：将，代入二次函数， 则， 解得， ∴二次函数解析式为． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作轴交延长线于点，过，两点分别作，分别交于，两点， ∴点的坐标为，点坐标为， ∴ ， ∵， ∴， 解得，， ∵点在轴左侧， ∴， ∴点P的坐标为． 【小问3详解】 解：∵， ∴顶点，对称轴为直线， ∵点坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【小问4详解】 解：依题意，点坐标为，， ∵以为对角线作矩形使其各边分别与x轴或y轴平行， ∴，， 当时，矩形的周长， 当时，矩形的周长， 当时，两点间抛物线上点纵坐标的最大值为， 当时，两点间抛物线上点纵坐标的最大值为， 当时，两点间抛物线上点纵坐标的最大值为， ①当时，， 解得，（舍）； ②当时，，解得（舍）； ③当时，，解得（舍）； ④当时，，解得，（舍）； 综上所述：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第四次模拟测试数学试卷 考生注意： 1．考试时间90分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、填空题（每小题3分，共12道小题，满分36分） 1. 传统建筑中的窗格不仅具有实用功能，更承载着深厚的文化寓意与审美价值，下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 某中学的学生在校园内的生物实践基地种植植物，以研究光合作用，植物靠吸收光量子来进行光合作用，每个光量子的波长约为米，则每个光量子的波长可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 某区要从甲、乙两名射击运动员中挑选一人参加全市比赛，在选拔赛中，每人进行了次射击，甲的成绩（环）为：，乙的成绩的平均数为环，方差为．据估计，如果成绩的平均数达到环就可能夺得金牌，下列说法中错误的是（ ） A. 甲的成绩的平均数为环 B. 甲的成绩的中位数是环 C. 甲的成绩的方差为 D. 应选派成绩较稳定的乙运动员参赛 5. 2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．图①是机器人练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列关于图形判定的命题中，正确的是（ ） A. 有一组对边平行，有一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 有一个内角被对角线平分的平行四边形是菱形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形 D. 有三条边相等，对角线也相等的四边形是正方形 7. 已知m，n是关于x的方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 175 B. 210 C. 245 D. 365 8. 如图，在一条笔直的海岸线（东西方向）的北边有一座灯塔．小华在海岸线上的点测得灯塔在北偏东的方向上；小华继续沿着正东方向走了海里到达点处，此时测得灯塔在北偏东的方向上．那么灯塔到海岸线的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 9. 如图，菱形的边长为6，，过点D作，交的延长线于点E，连接分别交于点G，F，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 掀起了“人工智能+”的热潮，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据，已知单独处理数据的时间比少2小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．若单独处理需要（ ）小时完成． A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 11. 如图①，菱形中，点为轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于，两点（点在点下方），直线从轴出发，沿以每秒个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，与的大致图象如图②，若，则的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 12 12. 抛物线 的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④；⑤若和是抛物线上两点，则当时，其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、选择题（每小题3分，共10道小题，满30分） 13. 计算 _____ ． 14. 若干个相同的小立方块搭成的几何体从上面和从左面看到的形状图如图所示，求满足条件的几何体中小立方块的个数：____ ． 15. 分解因式：2ax2－4axy＋2ay2的结果是________． 16. 如图，已知弦、在圆心的同侧，且是内接正三角形的一条边，是内接正六边形的一条边，．如果也是的内接正边形的一条边，那么的值为_____ ． 17. 如图，矩形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则点的坐标为______________． 18. 化简：_____． 19. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点均在反比例函数的图象上，经过原点，延长交轴于点，且．若的面积为，则________． 20. 如图，在平行四边形中，，，，在线段上取一点E，使，连接，点M，N分别是线段上的动点，连接，则的最小值为___________． 21. 如图， 在平面直角坐标系中，直线与直线分别交y轴于点A，B．以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点C作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足照此规律进行下去，则的面积为_____ ． 22. 在矩形中，，P为平面内一点，且，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，当点B，D，E在一条直线上时，的长为____ ． 三、解答题（满分54分） 23. 如图，在中，． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）： ①在上取一点，使点到的距离等于线段的长； ②在上取一点，使． （2）在（1）的条件下，若，，则长为_________． 24. 某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成，五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： 学生成绩扇形统计 等级 成绩 A 60x<70 90x≤100 （1）学生成绩频数分布直方图中A等级的频数___________，扇形统计图中D等级的圆心角度数为___________，补全学生成绩频数分布直方图； （2）若成绩在60分及以上为及格，全校共有3200名学生，估计成绩及格的学生有多少人？ （3）本次成绩前四名有2名女生和2名男生，若从这四人中随机抽取2名同学代表学校参加比赛，请用画树状图或列表法求出恰好是一名男生和一名女生的概率． 25. 综合应用 （1）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元；新建2个地上充电桩和3个地下充电桩需要万元． ①该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ ②若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案． （2）现有新能源甲、乙两辆新能源汽车，甲新能源车从A地去B地，乙新能源车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙新能源车离A点的距离分别为、（）与行驶的时间为t（h）之间的关系如图所示． ①A、B两地之间的路程为 ； ②经 小时，甲、乙两新能源车相遇，此时距B地的距离为 ； ③甲出发 小时后，甲、乙两新能源车相距． 26. 如图，中，，以为直径的交于点D，连接．于点，交于．和的延长线交于点． （1）求证：是切线； （2）若，半径为4，求的长度． 27. 如图1，在中，，过点A作于点K，，，四边形为矩形，点D，E分别在线段，上，点G，F在线段上． （1）当点D为中点时，直接写出的长度； （2）当时，求的长度； （3）如图2，过点G作，垂足为点H，连接，，当时，求的长度． 28. 综合探究 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、两点，与轴交于点，且顶点为，点，为该二次函数的图象上两点，点横坐标为． （1）求二次函数解析式； （2）如图1，若点P在y轴左侧，且，求点P的坐标； （3）如图2，若平行于x轴，过点N作交于点H，设，，求y与x的函数关系式； （4）若点Q位于点P左侧，P、Q两点间的水平距离为1，以为对角线作矩形使其各边分别与x轴或y轴平行，若矩形的周长与抛物线上P、Q两点间纵坐标的最大值相等，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $