第18练 抛物线的几何性质《数学》拓展模块一上册（高教版第三版）《一课一练》（原卷版+解析版）

**基本信息** 中职数学高教版第三版《一课一练》第18练（抛物线的几何性质），以三阶分层设计（选择/填空/解答）构建从基础概念到综合应用的巩固路径，注重数学思维与应用意识培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|单一概念（焦点、标准方程、对称性等）|选择题8题夯实基础，如焦点坐标求解、标准方程判断| |技能应用|公式应用与计算（焦点弦中点、距离等）|填空题4题强化技能，如标准方程确定、焦点弦长计算| |综合拓展|综合问题解决（焦点弦长、实际情境）|解答题2题提升能力，如太阳灶抛物面应用，培养数学眼光与建模意识|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 18 练 抛物线的几何性质 一、选择题 1．已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点， 若， 则 (为坐标原点)的面积是（    ） A． B．1 C．2 D．4 2．若抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且焦点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程是（   ） A． B． C．或 D．或 3．已知抛物线与抛物线关于轴对称，则的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 4．已知抛物线顶点为坐标原点，对称轴为轴，且经过点，则该抛物线方程是（   ） A． B． C． D． 5．下列关于抛物线，说法正确的是（   ） A．焦点在轴的正半轴上 B．焦点在轴的负半轴上 C．关于轴对称 D．离心率是2 6．已知过抛物线的焦点且垂直于轴的直线交抛物线于、两点，且，则（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 7．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴上，该抛物线上一点到焦点的距离为4，抛物线C的方程为（    ）. A． B． C． D． 8．为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示．集光板由抛物面（抛物线绕对称轴旋转得到）形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为，镜深，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点（   ）    A．0.5米 B．1米 C．1.5米 D．2米 二、填空题 9．顶点在原点，关于x轴对称，顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为______________. 10．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的纵坐标为3，则___________. 11．已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点．若点到该抛物线焦点的距离为，则__________. 12．已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，则________. 三、解答题 13．已知直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点. (1)若，求点A的坐标； (2)若直线l的倾斜角为，求线段AB的长. 14．已知抛物线顶点在原点，焦点为.求： (1)求抛物线的标准方程； (2)若抛物线上点到焦点的距离为4，求点的坐标. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 18 练 抛物线的几何性质 一、选择题 1．已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点， 若， 则 (为坐标原点)的面积是（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】由题可得，利用抛物线的定义可得，利用三角形的面积公式结合条件即得， 【详解】由题可得，因为， 所以，， 所以为坐标原点)的面积是. 故选：A. 2．若抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且焦点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据题意，结合抛物线焦点到准线的距离，可求出的值，继而求得抛物线的标准方程. 【详解】因为抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且焦点到准线的距离为6， 所以，且焦点可能在轴正半轴、负半轴，轴正半轴、负半轴， 故抛物线的标准方程为或. 故选：D. 3．已知抛物线与抛物线关于轴对称，则的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出抛物线的焦点坐标，结合关于轴对称的点的坐标特点即可得解. 【详解】抛物线，所以焦点在轴正半轴上， 且，所以焦点坐标为， 因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以的焦点与抛物线的焦点也关于轴对称， 所以抛物线C的焦点坐标为， 故选：D. 4．已知抛物线顶点为坐标原点，对称轴为轴，且经过点，则该抛物线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设出抛物线的标准方程，将已知点代入方程可求解. 【详解】由题可知，抛物线的焦点在轴，开口向右，设其标准方程为， 因为抛物线经过点， 所以，解得，即为所求. 故选：C. 5．下列关于抛物线，说法正确的是（   ） A．焦点在轴的正半轴上 B．焦点在轴的负半轴上 C．关于轴对称 D．离心率是2 【答案】B 【分析】根据抛物线的性质即可求解. 【详解】对A：由抛物线，可知，所以， 则抛物线的焦点为，所以焦点在轴的负半轴上，故A项错误，B项正确； 对C：抛物线的对称轴为轴，故C项错误； 对D：抛物线的离心率为1，故D项错误. 故选：B. 6．已知过抛物线的焦点且垂直于轴的直线交抛物线于、两点，且，则（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】求出抛物线的焦点，再求解、两点坐标，进而表示出，再求解即可. 【详解】抛物线的焦点为，则过焦点且垂直于轴的直线方程为， 将代入抛物线方程，得直线与抛物线的交点、， ，所以. 故选：D. 7．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴上，该抛物线上一点到焦点的距离为4，抛物线C的方程为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意假设抛物线的方程，再利用抛物线的焦半径公式求得，从而得解. 【详解】因为抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上， 所以可设抛物线的方程为，其准线方程为， 又抛物线上一点到焦点的距离为4， 则点到准线的距离也为4，即，解得， 所以抛物线的方程为. 故选：A. 8．为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示．集光板由抛物面（抛物线绕对称轴旋转得到）形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为，镜深，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点（   ）    A．0.5米 B．1米 C．1.5米 D．2米 【答案】B 【分析】根据抛物线上一点求抛物线方程，再由抛物线的光学性质几何得解. 【详解】若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，如图，画出抛物线的轴截面，并建立平面直角坐标系， 设抛物线方程，集光板端点， 代入抛物线方程可得,解得：， 所以抛物线方程为， 故焦点坐标是， 所以容器灶圈应距离集光板顶点． 故选：B.    二、填空题 9．顶点在原点，关于x轴对称，顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为______________. 【答案】或 【分析】由抛物线的几何性质分析即可. 【详解】由已知可得设抛物线的标准方程为或， 由题意可知，则， 故可得抛物线的标准方程为或， 综上所述，答案是或. 故答案为:或. 10．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的纵坐标为3，则___________. 【答案】8 【分析】根据题意结合焦点弦公式即可得解. 【详解】抛物线的准线方程为， 设两点的纵坐标分别为， 由题意得， 因此． 故答案为：. 11．已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点．若点到该抛物线焦点的距离为，则__________. 【答案】 【分析】利用已知设出抛物线方程，根据距离求出，进而可求. 【详解】因为抛物线关于轴对称，且经过点， 可设抛物线方程为，则抛物线焦点为， 将点代入方程，得，则， 因为点到该抛物线焦点的距离为，由抛物线定义知， ，则，，则点， 所以； 故答案为：. 12．已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，则________. 【答案】/ 【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，再根据已知条件求解直线的方程，联立方程，利用焦半径公式即可求解. 【详解】因为抛物线方程为，即，所以， 所以点，又直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 联立方程，整理为， 设，，则， 所以． 故答案为：. 三、解答题 13．已知直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点. (1)若，求点A的坐标； (2)若直线l的倾斜角为，求线段AB的长. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义和几何性质即可求解. （2）根据倾斜角与斜率的关系，设出直线l的方程，再与抛物线方程联立，根据抛物线的几何性质即可求解. 【详解】（1）因为抛物线方程为， 所以，其准线方程为，焦点. 设，， 由抛物线的定义可知，， 因为， 所以， 将其代入，解得， 所以点A的坐标为或. （2）因为直线l的倾斜角为， 所以直线l的斜率为1. 因为直线l经过抛物线的焦点， 所以直线l的方程为. 将其与抛物线方程联立，得， 整理得， 由韦达定理可知，， 由抛物线的定义可知，. 所以线段AB的长是8. 14．已知抛物线顶点在原点，焦点为.求： (1)求抛物线的标准方程； (2)若抛物线上点到焦点的距离为4，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据焦点坐标，可得，再根据开口方向即可写出抛物线的标准方程. （2）根据抛物线的定义和焦半径公式列式求解即可. 【详解】（1）已知抛物线顶点在原点，焦点为， 则抛物线焦点在轴上，开口向左， 且，解得，则， 所以抛物线的标准方程为. （2）若抛物线上点到焦点的距离为4，则抛物线上点到准线的距离也为4， 设点的坐标为，则，由可得，， 因为抛物线开口向左，所以， 将其代入中，， 解得， 所以点的坐标为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $