第8练 向量的内积《数学》拓展模块一上册（高教版第三版）《一课一练》（原卷版+解析版）

**基本信息** 依托三阶支架体系，以选择、填空、解答题分层设计，覆盖向量内积定义、夹角计算、综合应用，通过基础巩固到综合拓展的路径，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|向量内积定义、夹角公式|选择题1-5直接考查概念辨析，填空题9-12强化基础运算，体现抽象能力| |技能应用层|模长计算、几何情境应用|选择题6-8结合菱形等几何背景，考查符号意识与几何直观| |综合拓展层|参数求解、多知识点融合|解答题13-14需联立夹角、模长公式推理计算，发展推理能力与模型意识|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一上册（高教版第三版） 第二章 平面向量 第 8 练 向量的内积 一、选择题 1．已知，则，设所成的角为，则（ ） A．1 B．2 C． D．3 2．已知平面向量满足，且，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 3．若向量满足，与的夹角为，则等于（    ） A．2 B． C． D． 4．已知菱形的边长为1，，则（   ） A． B． C． D． 5．对于任意非零向量，，“”是“为锐角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知向量，若，则角（   ） A． B． C． D． 7．已知向量，的夹角为，，，则（   ） A．3 B． C．4 D． 8．已知单位向量，，且，则（   ） A． B．1 C． D． 二、填空题 9．已知向量满足，则__________. 10．若向量满足，则______. 11．已知，，，则与的夹角为_____. 12．已知，为单位向量，其夹角为，则__________. 三、解答题 13．已知向量与的夹角为，，. (1)求； (2)若，求实数的值. 14．已知单位向量满足. (1)求的值； (2)设与的夹角为，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一上册（高教版第三版） 第二章 平面向量 第 8 练 向量的内积 一、选择题 1．已知，则，设所成的角为，则（ ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】由，计算，结合数量积定义，即可解出. 因为，所以，即. 又因为，所成的角为，所以，解得. 故选：B. 2．已知平面向量满足，且，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，两边同时平方得， 整理得：，， 所以与的夹角为. 故选：C. 3．若向量满足，与的夹角为，则等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据内积的定义可得结果. 【详解】由已知可得，. 故选：D. 4．已知菱形的边长为1，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量内积的定义求值即可. 【详解】已知菱形的边长为1，， 则， 且， 所以. 故选：B. 5．对于任意非零向量，，“”是“为锐角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量的内积与夹角的关系即可求解. 【详解】对于任意非零向量，，，则为锐角或， 故“”是“为锐角”的不充分条件， 若为锐角，则“”恒成立， 故“”是“为锐角”的必要条件， 所以“”是“为锐角”的必要不充分条件. 故选：B. 6．已知向量，若，则角（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的内积的坐标表示列式，再由特殊角的三角函数值即可解答. 【详解】已知向量， 则， 所以，因为， 所以， 故选：B. 7．已知向量，的夹角为，，，则（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据向量模的计算公式，向量的内积即可求解. 【详解】 . 故选：D. 8．已知单位向量，，且，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量内积的定义即可得解. 【详解】单位向量，，且， 则， 故选：D. 二、填空题 9．已知向量满足，则__________. 【答案】 【分析】根据数量积运算律计算得，再由向量的模的公式计算即得. 因为，，， 则，解得， 又由，可得. 10．若向量满足，则______. 【答案】9 【分析】将左右同时平方，展开整理，即可得答案. 由题意， 解得. 11．已知，，，则与的夹角为_____. 【答案】 【详解】因，，， 则， 又因，故. 即与的夹角为. 12．已知，为单位向量，其夹角为，则__________. 【答案】0 【分析】根据题意结合平面向量的运算律即可得解. 【详解】已知，为单位向量，其夹角为， 则， 故答案为：. 三、解答题 13．已知向量与的夹角为，，. (1)求； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的模长公式和向量数量积公式，即可求解. （2）根据向量内积公式和两向量垂直数量积为，易得答案. 【详解】（1）向量与的夹角为，即，   ，            ，，        即，         故. （2）由（1）得 又，， 即，        代入数据得， 可化为，解得. 14．已知单位向量满足. (1)求的值； (2)设与的夹角为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先由条件求得，然后由结合向量内积的运算性质求解； （2）利用向量内积的运算性质求出，，然后利用向量的夹角公式求解. 【详解】（1）因为为单位向量，所以， 所以，即，得到， 则， 则. （2）因为，所以， 而， 所以， 即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $