练习7 正方形中的“十字架”&练习8 利用等腰直角三角形中边的关系解决线段之间的关系-【课时提优计划作业本】2025-2026学年八年级数学下册同步训练（苏科版·新教材）

八年级下册 《 练习7正方形中的“十字架” 【方法提示】正方形中出现两条互相垂直的线段时，平移这两条线段，使其端点落在正方形的顶 点上，从而构造出全等三角形， 1.已知正方形ABCD的边长为4. (1)如图1，DF⊥CE,垂足为O,求证：BE=CF. (2)如图2，FG垂直平分CE,且BE=BF,求DG的长. GD 图1 图2 2.【问题情境】 (1)如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条 直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N.判断线段DN、MB、EC之间的数量关系， 并说明理由. 【问题探究】 (2)在“问题情境”的基础上，如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD,交MN于点 Q,连接EQ并延长，交边AD于点F.求∠AEF的度数. 图1 图2 《7 提分练习 练习8利用等腰直角三角形中边的关系解决线段之间的√2倍的关系 【模型总结】 条件：如图，∠ACB=90°，AC=BC 结论：AB=√2AC=√2BC. 1.如图1，在正方形ABCD中，点E在边BC上，延长CD至点H,使DH= BE.连接AH、AE.求证：AH=AE. G 图1 图2 图3 (1)小明写出了如下证明过程： ,四边形ABCD是正方形，∴.AB=BC=AD=CD,∠B=∠ADC=90°，.∠ADH= 90°=∠B..BE=DH,∴.△ABE≌△ADH(依据)，∴.AE=AH. 证明过程中的依据是 (2)如图2，连接图1中的EH,将线段EC绕着点E旋转，使点C的对应点F落在AE上， 过点F作FG⊥AE交EH于点G.求证：GH=√2AF. (3)如图3，将图2中的△EFG绕着点E逆时针旋转，使点F落在CB的延长线上，连接 HG.若AB=4,BE=1,则GH的长为 2.如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上不与端点重合的一动点，连接DE.过点E作 EF⊥ED,交BC于点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接CG. (1)求证：矩形DEFG是正方形， (2)试用等式表示线段CE、CG、AD的数量关系，并说明理由 (3)若正方形ABCD的面积为9，且CE=2AE,求正方形DEFG的面积. 8》》提分练习 .P1(0,一23)；当平行四边形以AB为对角线时，即 AB的中点和PE的中点重合，根据中点坐标公式可 x+2_0+2 2 2 x=0, 得， 解得 .P2(0,2√3)；当 0+y_0+2W3 y=23, 2 2 平行四边形以AE为对角线时，即AE的中点和BP的 0+x2+2 2 29 中点重合，根据中点坐标公式可得，了 0+y-0+23 (2 2 x=4, 解得 ∴.P3(4,23).综上所述，当以A、B、 y=25, E、P为顶点的四边形为平行四边形时，点P的坐标 为(0，一2√3)，(0,2√3)或(4,23). 练习7正方形中的“十字架” 1.(1)证明：.：四边形ABCD是正方形， ∴.BC=CD,∠EBC=∠FCD=90°，.∠BCE+ ∠OCD=90°.，DF⊥CE,∴.∠CDF+∠OCD= 90°，.∠BCE=∠CDF.在△CBE和△DCF中， ∠BCE=∠CDF, BC=CD, .△CBE≌△DCF(ASA), ∠EBC=∠FCD, ∴.BE=CF.(2)如图，连接EG.:四边形ABCD 是正方形，.AB=BC=CD=AD=4,∠EBC= ∠FCD=∠A=∠D=90°.FG垂直平分CE,且 BE=BF,∴.GE=GC,FE=FC,EA=FC.设BE= BF=x,EA FC EF =4-x..EF= √BE2+BF2=√2x,∴.4-x=√2x,解得x=4V2- 4,.EA=FC=EF=4-x=8-4W2.设DG=y,则 AG=4-y,..AE2+AG2=DG2+CD2,..(8- 4√2)2+(4-y)2=y2+4,解得y=12-8√2， .DG=12-8√2」 B 30》 2.(1)DN十MB=EC.理由如下：，四边形 ABCD是正方形，.∠ABE=∠BCD=90°，AB= BC=CD,AB∥CD.如图1，过点B作BF∥MN分 别交AE、CD于点G、F,则四边形MBFN为平行四 边形，.NF=MB,∴.BF⊥AE,.∠BGE=90°， ∴.∠CBF+∠AEB=90°.，∠BAE+∠AEB=90°， .∠CBF=∠BAE.在△ABE和△BCF中， ∠BAE=∠CBF, AB=BC, ∴.△ABE≌△BCF(ASA), ∠ABE=∠BCF=90°， ..BE=CF..DN+NF+CF=BE+EC,.DN+ MB=EC.(2)如图2，连接AQ,过点Q作HI∥ AB,分别交AD、BC于点H、I.四边形ABCD是 正方形，四边形ABIH为矩形，∴HI⊥AD,HI⊥ BC,HI=AB=AD.'BD是正方形ABCD的对角 线，.∠BDA=45°，.△DHQ是等腰直角三角形， .HD=HQ,AH=BI=QI.,'MN是AE的垂直 平分线，∴.AQ=QE.在Rt△AHQ和Rt△QIE中， (AQ=QE, .Rt△AHQ≌Rt△QIE(HL), AH=QI, ∠AQH=∠QEI,.∠AQH+∠EQI=90°， ∴.∠AQE=90°，∴.△AQE是等腰直角三角形， .∠EAQ=∠AEQ=45°，即∠AEF=45°. 图 图2 练习8利用等腰直角三角形中边的关系 解决线段之间的√2倍的关系 1.(1)SAS(2)证明：如图1，过点G作GM⊥ AH于点M.由(1)知，△ABE≌△ADH, .∠BAE=∠DAH,.∠EAH=∠DAE+ ∠DAH=∠DAE+∠BAE=∠BAD=90°， ∴.∠AEH=45°.，∠EAH=∠AFG=∠AMG= 90°，.四边形AFGM为矩形，∴.AF=MG..AE⊥ AH,GM⊥AH,∴.AE∥GM,.∠MGH= ∠AEH=45°，∴.△MGH为等腰直角三角形， .GM=MH,∴.GH=√2MG=√2AF.(3)2√10 解析：如图2，过点F作FRGH.由题意知，GF= EF=CE=3,DH=BE=1,CD=AB=4,..FC= FE+EC=6..GFCD,GH∥FR,∴.四边形GFRH 是平行四边形，.HR=GF=3,.RC=HD十DC RH=1+4-3=2,∴.FR=√FC2+CR2=2√I0, ..GH=FR=210. M 图1 图2 2.(1)证明：如图，过点E分别作EM⊥BC于 点M,EN⊥CD于点N.,四边形ABCD为正方形， ∴.∠BCD=90°.，EM⊥BC,EN⊥CD,.∠EMF= ∠ENC=∠END=90°，∴.∠MEN=90°.：四边形 DEFG为矩形，∴.∠FED=90°，∴.∠MEN ∠FEN=∠FED-∠FEN,即∠MEF=∠NED. E是正方形ABCD对角线上的点，∴.EN=EM, 在△DEN和△FEM中，，'∠EMF=∠END, EM=EN,∠MEF=∠NED,∴.△FEM≌△DEN (ASA),.EF=ED,矩形DEFG为正方形. (2)CE+CG=√2AD.理由如下：四边形DEFG 为正方形，DE=DG,∠EDG=90°.四边形 ABCD是正方形，∴.AD=DC,∠ADC=90°， ∴.∠EDG-∠EDC=∠ADC-∠EDC,即∠CDG= ∠ADE.在△ADE和△CDG中，.AD=CD, ∠ADE=∠CDG,DE=DG,∴.△ADE≌△CDG (SAS),∴.AE=CG,∴.CE+CG=CE+AE=AC= √2AD.(3)若正方形ABCD的面积为9，则正方形 ABCD的边长为3，.AC=3W2,∴.CE=2AE= AC=22,由勾股定理易得EM=CN 八年级下册《 DN=BM=1=MF,则EF2=MF2十ME2=12+ 22=5,即正方形DEFG的面积为5. 练习9正方形的轴对称性 1.(1),四边形ABCD是正方形，∴.∠ABD= 45.BE=BA∠BEA=7(180-45)=67.5. (2)①证明：如图，连接CE.,四边形ABCD是正方 形，.AB=BC,∠ABD=∠CBD=45°.，BE= BE,∴.△ABE≌△CBE(SAS),.AE=CE, ∠BAE=∠BCE.点E恰好在AP的垂直平分线 上，AE=PE,.CE=PE,.∠EPC=∠ECP, .∠EPC=∠BAE.,∠EPC+∠BPE=180°， ∠BAE+∠BPE=180°，.∠AEP+∠ABP= 180°.∠ABP=90°，∠AEP=90°，.△AEP是 等腰直角三角形.②BF2十DE2=EF2.证明如下： 如图，将△ABF绕点A逆时针旋转90°得△ADM, .AF=AM,BF=DM,∠FAM=∠BAD=90°， ∠ABF=∠ADM=45°.由①可知，∠PAE=45°， ∴.∠MAE=45°，∴.∠FAE=∠MAE=45°.，AE AE,∴.△AEF≌△AEM(SAS),∴.EF=EM. .∠ADB=45°，∴.∠EDM=∠ADM+∠ADB= 45°+45°=90°.在Rt△EDM中，由勾股定理得 DM2+DE2=EM2,..BF2+DE2=EF2. 2.(1)PB=PE解析：在正方形ABCD中， AB=AD,∠BAP=∠DAP=45°.在△ABP和 《31