练习5 矩形中的折叠&练习6 有一个角是60°的菱形-【课时提优计划作业本】2025-2026学年八年级数学下册同步训练（苏科版·新教材）

八年级下册《 练习5矩形中的折叠 【模型总结】 条件：如图，将矩形ABCD沿BD翻折. 结论：BE=DE,△ABE≌△C'DE, 1.如图，在长方形纸片ABCD中，E为BC的中点，连接AE,将△ABE沿AE折叠得到 △AFE,连接CF.若AB=4,BC=6,则CF的长为 () A.3 B.3.4 C.3.5 D.3.6 E P (第1题) (第2题) 2.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2, △AEQ沿EQ翻折得到△FEQ,连接PF、PD,则PF十PD的最小值是 3.在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过 程如下：对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片展平；在AD上选 一点P,沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM、BM. (1)如图1，当点M落在EF上时，∠EMB=° (2)如图2，当点M落在边BC上时，并且折痕交边BC于点T,交边AD于点S,把纸片展 开，连接AM交ST于点O,连接AT.求证：四边形ATMS是菱形 (3)如图3，在矩形纸片ABCD中，AB=10,AD=26,折叠纸片，使点M落在边BC上，并 且折痕交边AB于点T,交直线AD于点S,把纸片展平，请求出线段AT的取值范围. D 图1 图2 图3 《5 提分练习 练习6有一个角是60的菱形 【模型总结】 60 条件：如图，在菱形ABCD中，∠EAF=∠D=60°. 方法：连接AC. 结论：①△ABE≌△ACF;②△AEF为等边三角形；③S四边形AECr=S△ABc· 1.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是线段AB、BC上的动点，连接DE、DF,若 ∠EDF=60°，AB=2,则图中阴影部分的面积是 0 D (第1题) (第2题) 2.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，F、E分别是AD、CD上的动点，满足AF十CE= AB.若AB=6,则△BEF周长的最小值为 3.已知四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、 F,且∠EAF=60° (1)如图1，当E是线段CB的中点时，请写出线段CE、CF、CB之间的数量关系，并证明. (2)如图2，当E是线段CB上任意一点时（点E不与点B、C重合），求证：BE=CF (3)如图3，当点E在线段CB的延长线上时，请写出线段CE、CF、CB之间的数量关系，并 证明 (4)如图4，将图1放在平面直角坐标系中，点B与原点重合，若菱形的边长为4，在平面内 有一点P,使以A、B、E、P为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点P的坐标 B(O 图 图2 图3 图4 6》》提分练习 SAABC-SAAEO=15-4=11. 图1 图2 练习5矩形中的折叠 1.D解析：如图，连接BF交AE于点G.由题 意可知，AE垂直平分BF,即AE⊥BF,BG=FG AB=4,BC=6,E为BC的中点，∴BE=CE= BC=3,∴在Rt△ABE中，AE=√AB+BE= y V个+3F=5.:AELBF,SAE=2AB·BE= 2AE·BG,即号×4X3=号×5×BG,解得BG 2.4,.BF=2BG=4.8.AE垂直平分BF, BE=FE,.BE=CE=FE,∴∠EBF=∠EFB, ∠EFC=∠ECF,∴.∠BFC=∠EFB+∠EFC= 80=90,在Rt△BFC √BC2-BF2=√62-4.82=3.6. B 2.8解析：如图，作点D关于BC的对称点 D',连接PD',ED'.在Rt△EDD'中，DE=6, DD'=8,.ED'=√62+82=10.DP=PD', PD十PF=PD'十PF.EF=EA=2是定值， 当E、F、P、D'四点共线时，PF十PD的值最小， 最小值=10-2=8，.PF+PD的最小值为8. D 28》 3.(1)30解析：如图，连接AM.对折矩形纸 片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF,.EF 是AB的垂直平分线，∴.AM=BM,∠MEB=90°. ,以BP为折痕再一次折叠纸片，使点A落在折痕 EF上的点M处，AB=BM,.AM=BM=AB, ∴.△ABM是等边三角形，∴.∠ABM=60°， .∠EMB=90°-∠ABM=90°-60°=30°.(2)证 明：，折叠矩形纸片ABCD,点M落在边BC上， .ST垂直平分AM,∴.AO=MO,AM⊥ST.又 .'AD∥BC,∴.∠SAO=∠TMO,∠ASO=∠MTO, ∴.△ASO≌△MTO(AAS),∴.SO=TO,∴.四边形 ATMS是平行四边形.又，AM⊥ST,∴.四边形 ATMS是菱形.(3)，折叠纸片，点M落在边BC 上，∴.AT=MT.在Rt△MTB中，MT>BT,.AT> 10-AT,.AT>5.又点T在边AB上，.当点T 与点B重合时，AT有最大值为10，∴.线段AT的取 值范围为5<AT≤10. 练习6有一个角是60的菱形 1.√3解析：如图，连接DB.在菱形ABCD中， ∠A=60°，AB=2,∴.DA=AB,∠ADC=∠ABC= 120°，边AB上的高为√3，∴.△ADB是等边三角形， .AD=DB,∠ADB=∠ABD=60°，∴.∠DBC=60°. ,'∠EDF=6O°，∴.∠ADB-∠EDB=∠EDF-∠EDB, 即∠ADE=∠BDF.在△ADE与△BDF中， ∠DAB=∠DBF=60°， AD=DB, ∴.△ADE≌△BDF(ASA), ∠ADE=∠BDF, 同理可得，△EDB≌△FDC(ASA),∴.图中阴影部 分的面积=S△ADE十SADPC=S△ADE十S△EDB= 25w号×2X5=3. 2.9√3解析：如图，连接BD.,四边形 ABCD是菱形，∴.AD=AB=CD,AB∥CD, 1 ∠ADB=∠ABD=2(180°-60)=60， .△ABD是等边三角形，∠CDB=∠DBA=60°= ∠A,∴.AB=BD.AF+CE=AB=CD=CE+ DE,∴.AF=DE.在△AFB和△DEB中， (AF=DE, ∠A=∠BDC,∴.△AFB≌△DEB(SAS),.FB= AB=BD, EB,∠ABF=∠DBE,.∠EBF=∠DBF+ ∠DBE=∠DBF+∠ABF=∠ABD=6O°， △EFB是等边三角形，△BEF的周长为3BF ,当BF⊥AD时，BF最短，此时∠A=60°， AFB-90 ZABF=30,AF-7AB-3. ∴.BF=√JAB一AF2=3√3，∴.△BEF周长的最小 值为3×3√3=9√3 3.(1)CB=CF+CE.证明如下：如图1，连接 AC.四边形ABCD为菱形，.AB=BC,AB∥ CD.,∠ABC=60°，∴.△ABC为等边三角形， ∴.AB=AC,∠BAC=∠B=60°，.∠ACF= ∠BAC=60°.，∠EAF=60°，∴.∠BAE+∠EAC= ∠CAF+∠EAC=60°，∴.∠BAE=∠CAF.在 ∠ABE=∠ACF, △ABE和△ACF中，AB=AC, ∠BAE=∠CAF, .△ABE≌△ACF(ASA),.BE=CF,.CB= BE+CE=CF+CE. 八年级下册 《 D 图 图2 (2)证明：如图2，连接AC.四边形ABCD为 菱形，∴.AB=BC,AB∥CD.∠ABC=60°， ∴△ABC为等边三角形，.AB=AC,∠BAC= ∠B=60°，.∠ACF=∠BAC=60°.，∠EAF= 60°，∴.∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°， .∠BAE=∠CAF.在△ABE和△ACF中， [∠ABE=∠ACF, AB=AC, .△ABE≌△ACF(ASA), ∠BAE=∠CAF, ∴BE=CF.(3)CE=CF十CB.证明如下：如图3，连 接AC.由(1)可得，△ABC为等边三角形，∴.AB= AC,∠BAC=∠ACD=60°，∴.∠ABE=∠ACF= 120°..∠EAF=60°，∴.∠EAB+∠BAF=∠FAC+ ∠BAF,∴.∠EAB=∠FAC.在△AEB和△AFC中， ∠ABE=∠ACF, AB=AC, ∴.△AEB≌△AFC(ASA), ∠EAB=∠FAC, ..BE=CF,..CE=BE+CB=CF+CB 图3 (4),菱形的边长为4，E是BC的中点，.BE= =2在R△ABE中，由勾股定理得 √JAB2-BE2=4-2=25,.B(0,0),A(2, 2√3)，E(2,0).设P(x,y),当平行四边形以BE为对 角线时，即BE的中点和AP的中点重合，根据中点 x+20+2 2 2 x=0, 坐标公式可得， 解得 y+2W30+01 y=-2√3， 2 21 《29 》提分练习 .P1(0,一23)；当平行四边形以AB为对角线时，即 AB的中点和PE的中点重合，根据中点坐标公式可 x+2_0+2 2 2 x=0, 得， 解得 .P2(0,2√3)；当 0+y_0+2W3 y=23, 2 2 平行四边形以AE为对角线时，即AE的中点和BP的 0+x2+2 2 29 中点重合，根据中点坐标公式可得，了 0+y-0+23 (2 2 x=4, 解得 ∴.P3(4,23).综上所述，当以A、B、 y=25, E、P为顶点的四边形为平行四边形时，点P的坐标 为(0，一2√3)，(0,2√3)或(4,23). 练习7正方形中的“十字架” 1.(1)证明：.：四边形ABCD是正方形， ∴.BC=CD,∠EBC=∠FCD=90°，.∠BCE+ ∠OCD=90°.，DF⊥CE,∴.∠CDF+∠OCD= 90°，.∠BCE=∠CDF.在△CBE和△DCF中， ∠BCE=∠CDF, BC=CD, .△CBE≌△DCF(ASA), ∠EBC=∠FCD, ∴.BE=CF.(2)如图，连接EG.:四边形ABCD 是正方形，.AB=BC=CD=AD=4,∠EBC= ∠FCD=∠A=∠D=90°.FG垂直平分CE,且 BE=BF,∴.GE=GC,FE=FC,EA=FC.设BE= BF=x,EA FC EF =4-x..EF= √BE2+BF2=√2x,∴.4-x=√2x,解得x=4V2- 4,.EA=FC=EF=4-x=8-4W2.设DG=y,则 AG=4-y,..AE2+AG2=DG2+CD2,..(8- 4√2)2+(4-y)2=y2+4,解得y=12-8√2， .DG=12-8√2」 B 30》 2.(1)DN十MB=EC.理由如下：，四边形 ABCD是正方形，.∠ABE=∠BCD=90°，AB= BC=CD,AB∥CD.如图1，过点B作BF∥MN分 别交AE、CD于点G、F,则四边形MBFN为平行四 边形，.NF=MB,∴.BF⊥AE,.∠BGE=90°， ∴.∠CBF+∠AEB=90°.，∠BAE+∠AEB=90°， .∠CBF=∠BAE.在△ABE和△BCF中， ∠BAE=∠CBF, AB=BC, ∴.△ABE≌△BCF(ASA), ∠ABE=∠BCF=90°， ..BE=CF..DN+NF+CF=BE+EC,.DN+ MB=EC.(2)如图2，连接AQ,过点Q作HI∥ AB,分别交AD、BC于点H、I.四边形ABCD是 正方形，四边形ABIH为矩形，∴HI⊥AD,HI⊥ BC,HI=AB=AD.'BD是正方形ABCD的对角 线，.∠BDA=45°，.△DHQ是等腰直角三角形， .HD=HQ,AH=BI=QI.,'MN是AE的垂直 平分线，∴.AQ=QE.在Rt△AHQ和Rt△QIE中， (AQ=QE, .Rt△AHQ≌Rt△QIE(HL), AH=QI, ∠AQH=∠QEI,.∠AQH+∠EQI=90°， ∴.∠AQE=90°，∴.△AQE是等腰直角三角形， .∠EAQ=∠AEQ=45°，即∠AEF=45°. 图 图2 练习8利用等腰直角三角形中边的关系 解决线段之间的√2倍的关系 1.(1)SAS(2)证明：如图1，过点G作GM⊥ AH于点M.由(1)知，△ABE≌△ADH, .∠BAE=∠DAH,.∠EAH=∠DAE+ ∠DAH=∠DAE+∠BAE=∠BAD=90°， ∴.∠AEH=45°.，∠EAH=∠AFG=∠AMG=