综合测试卷（一）-《数学 拓展模块一》（人教版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 本专项以教材章节为基准，通过AB卷分层训练（A卷基础巩固、B卷能力提升）及综合测试卷整合跨章节知识，培养运算能力、空间观念与数据意识，构建系统性知识网络。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |AB卷|章节核心考点|基础题侧重概念理解，提升题强调知识整合|遵循“概念生成-原理应用-网络构建”逻辑，强化章节内知识关联| |综合测试卷|15选择+5填空+4解答|涵盖复数、概率、立体几何等跨章节内容，解答题突出实际应用|以“问题解决”为导向，串联代数、几何与统计知识，体现知识迁移与综合应用|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一》（人教版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（一） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若复数， 则复数的虚部为（   ） A． B． C．5 D． 2．山前有3条路，山后有2条路，一个人由山前上山，山后下山，他的路线共有（    ） A．5种 B．6种 C．10种 D．15种 3．若随机变量服从二项分布，则等于（    ） A． B． C． D． 4．展开式中的常数项为（    ） A．160 B．120 C．90 D．60 5．设为不同的平面，为不同的直线，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．在正方体中，与所成角为（　） A． B． C． D． 7．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 8．若数列的前项和，则等于（    ） A． B． C． D． 9．已知等比数列的各项均为负数，且，则公比q为（    ） A． B．2 C．或2 D．3 10．已知向量，，，则的值为（    ） A．46 B． C．21 D． 11．设向量，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 12．函数的最大值和最小正周期是（   ） A． B． C． D． 13．甲乙两名歌手参加选拔赛，5位评委评分情况如下： 甲：77，76，88，90，94；乙：75，88，86，88，93， 记甲、乙两人的平均得分分别为，，则下列判断正确的是（    ） A．，甲比乙成绩稳定 B．，乙比甲成绩稳定 C．，甲比乙成绩稳定 D．，乙比甲成绩稳定 14．抛物线上一点到抛物线的焦点的距离为5，且点在第一象限，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 15．已知双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C．2 D．3 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．将函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，可得到函数__________的图象． 17．已知向量和的夹角为，且，，则______. 18．点到两定点，的距离之和为6，则点的轨迹方程是 . 19．在10件产品中有7件一等品，3件二等品，从中随机取出4件产品，其中至少含一件二等品的概率是_______（结果用数值表示）． 20．已知是等差数列，，其前项和，则其公差为_______. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 22．7名师生站成一排照相，其中老师1人，男同学4人，女同学2人. (1)2名女同学必须相邻，共有多少种不同的排法? (2)4名男同学互不相邻，共有多少种不同的排法? (3)女同学不站两端的概率是多少? 23．如图所示，为矩形所在平面外一点，且平面．若，，，求：    (1)与平面所成的角； (2)二面角的正切值． 24．已知椭圆，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，求弦的长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一》（人教版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（一） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若复数， 则复数的虚部为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】由复数虚部的定义求解即可. 【详解】复数，则复数的虚部为. 故选：B. 2．山前有3条路，山后有2条路，一个人由山前上山，山后下山，他的路线共有（    ） A．5种 B．6种 C．10种 D．15种 【答案】B 【分析】根据分步乘法计数原理计算即可. 【详解】第一步上山的路线有3条，第二步下山的路线有2条，则总路线有条. 故选：B. 3．若随机变量服从二项分布，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项分布的性质求值即可. 【详解】由题可知：随机变量服从二项分布， 所以. 故选：B 4．展开式中的常数项为（    ） A．160 B．120 C．90 D．60 【答案】A 【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项. 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得， 所以展开式中的常数项为. 故选：A. 5．设为不同的平面，为不同的直线，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】选项A：若，则或，故A错误； 选项B：只有当相交时，，故B错误； 选项C：只有当相交时，，故C错误； 选项D：若，则，又，所以，故D正确． 故选：D 6．在正方体中，与所成角为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体的性质，构造异面直线的夹角，即可求解. 【详解】正方体如图所示， 在正方体中，， 则与所成角即为与所成角，而， 所以与所成角为. 故选：C． 7．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量共线的坐标表示，列式计算即可得解. 【详解】因为，，， 所以，解得. 故选：A. 8．若数列的前项和，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列的前项和概念求值即可. 【详解】已知数列的前项和， 则， . 故选：B. 9．已知等比数列的各项均为负数，且，则公比q为（    ） A． B．2 C．或2 D．3 【答案】B 【分析】由等比数列的通项公式可求解公比，再结合等比数列各项均为负数确定公比即可. 【详解】∵为等比数列，各项均为负数，且， 设等比数列的公比为q，且， ∴得，又， ∴，解得或， ∵各项均为负数，则为负数， 若，则为正数， 若，则为负数， ∴公比. 故选：B． 10．已知向量，，，则的值为（    ） A．46 B． C．21 D． 【答案】B 【分析】由两边平方后求得，进而求得，即可得解. 【详解】由两边平方得，即， 得，即，解得， ∴，即. 故选：B. 11．设向量，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量直角坐标运算逐个计算即可判定选项. 【详解】对于选项A，，，所以，故A选项不正确； 对于选项B，，故B选项不正确； 对于选项C，因为，所以不平行，故C选不正确； 对于选项D，因， 所以，即. 故选：D. 12．函数的最大值和最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的最值和周期公式求解. 【详解】因为， 所以，当时，函数取得最大值，此时， 函数的最小正周期. 故选：C. 13．甲乙两名歌手参加选拔赛，5位评委评分情况如下： 甲：77，76，88，90，94；乙：75，88，86，88，93， 记甲、乙两人的平均得分分别为，，则下列判断正确的是（    ） A．，甲比乙成绩稳定 B．，乙比甲成绩稳定 C．，甲比乙成绩稳定 D．，乙比甲成绩稳定 【答案】B 【分析】根据平均值计算公式，方差计算公式求出甲、乙各自成绩的平均值及方差，方差较小者较稳定. 【详解】非高教版教材 ； ； ， 所以， 因为， 所以乙比甲成绩稳定. 故选：B. 高教版教材 ； ； ， ， 所以， 因为， 所以乙比甲成绩稳定. 故选：B. 14．抛物线上一点到抛物线的焦点的距离为5，且点在第一象限，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线方程得出焦点坐标与准线方程，设出，结合题意列出，即可得解. 【详解】抛物线，则焦点在轴正半轴上，且， 所以焦点坐标为，准线方程为， 设，， 点到抛物线的焦点的距离为5，所以点到抛物线的准线的距离为5， 则，解得， 所以，解得或（舍）， 所以点， 故选：. 15．已知双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据双曲线的渐近线公式和离心率公式，代数求解即可. 【详解】因为双曲线方程为， 所以双曲线的焦点在轴，渐近线方程为， 又因为渐近线方程是，所以， 所以，即， 所以双曲线的离心率， 故选：C. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．将函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，可得到函数__________的图象． 【答案】 【分析】利用三角函数图象变换规律可得结果. 【详解】将函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，可得到函数的图象. 故答案为：. 【点睛】本题考查三角函数图象的伸缩变换，属于基础题. 17．已知向量和的夹角为，且，，则______. 【答案】 【分析】利用诱导公式及向量的内积公式可求. 【详解】， ； 故答案为：. 18．点到两定点，的距离之和为6，则点的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】由椭圆的定义求解即可 【详解】因为， 由椭圆的定义可知， 动点点的轨迹是以，为焦点，长轴长为6的椭圆， 所以，， 所以点的轨迹方程是， 故答案为： 19．在10件产品中有7件一等品，3件二等品，从中随机取出4件产品，其中至少含一件二等品的概率是_______（结果用数值表示）． 【答案】 【分析】应用组合数求出任取4件、其中不含二等品的取法数，再由对立事件的概率求法求至少含一件二等品的概率. 【详解】随机取出4件产品的取法有种，其中不含二等品的取法有种， 所以其中至少含一件二等品的概率是. 故答案为： 20．已知是等差数列，，其前项和，则其公差为_______. 【答案】/ 【分析】根据求得的值，再根据等差数列前项和公式及求得，进而求出公差. 【详解】因为，所以，即， 因为，所以，即， 因为，所以，即， 因此公差为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系及正弦的二倍角公式即可求解； （2）根据同角三角函数的基本关系及两角和的余弦公式即可求解． 【详解】（1）由，， 则， 所以． （2）由（1）知， 又，，则， 又，则， 所以． 22．7名师生站成一排照相，其中老师1人，男同学4人，女同学2人. (1)2名女同学必须相邻，共有多少种不同的排法? (2)4名男同学互不相邻，共有多少种不同的排法? (3)女同学不站两端的概率是多少? 【答案】(1)1440 (2)144 (3) 【分析】（1）2名女生站在一起有种站法，视为一个元素与其余5人全排，有种排法，由分步计数原理计算可得答案； （2）先排其他3人，共有种排法，再让男生插空站，有种排法，由分步计数原理计算可得答案； （3）先求出所有的排法共有种，再求出女生不站两端的排法共有种，然后利用概率公式即可求得答案. 【详解】（1）解：因为两个女生必须相邻而站； 所以把两个女生看成一个元素， 则共有5个元素进行全排列，还有2名女同学必须相邻， 不同的排法共有=1440（种）. （2）因为4名男同学互不相邻， 所以应用插空法， 则4名男同学互不相邻，不同的排法共有=144（种） （3）所有的排法共有种， 女生不站两端的排法共有种， 则女同学不站两端的概率为. 23．如图所示，为矩形所在平面外一点，且平面．若，，，求：    (1)与平面所成的角； (2)二面角的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据题意结合线面垂直的性质及勾股定理求出所需线段的值，利用线面角的定义即可得解. （）根据线面垂直的判定及性质，找出二面角的平面角即可得解. 【详解】（1）    如图所示，连接，因为平面， 所以与平面所成的角为， 因为平面，所以， 在中，，，， 因为平面，所以， 在中，，，， 所以， 因为平面，所以， 则，又， 所以， 即与平面所成的角为. （2）因为在矩形中，， 又因为平面，平面，所以， ，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为， 因为平面，平面，平面平面， 所以是二面角的平面角， 则， 所以二面角的正切值为. 24．已知椭圆，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，求弦的长. 【答案】 【分析】根据题意求出直线方程，进而联立直线与椭圆方程，利用韦达定理与弦长公式求解即可. 【详解】椭圆中，，，解得， 则椭圆左焦点为，而直线的斜率， 所以方程为， 联立消去，整理得：， 设，，则，， ， 由弦长公式得：， 所以弦的长为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $