综合测试卷（三）-《数学 拓展模块一》（人教版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣教材章节，AB卷分层巩固与整合，综合卷模拟实战，系统覆盖代数、几何、统计与概率核心考点，培养数学思维与应用能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数|6题（2,8,9,11,12,13）|侧重运算推理，含数列、函数、复数|从通项公式到求和，从函数性质到最值，形成概念-运算-应用链条| |几何|7题（1,3,4,5,7,19,20,23）|强调空间想象与几何直观，含三角、向量、解析几何、立体几何|从平面向量到立体几何，从椭圆到双曲线抛物线，构建空间形式认知体系| |统计与概率|4题（6,14,15,21）|注重数据分析与模型应用，含排列组合、分布列|从排列组合到独立重复试验，从分布列到期望方差，培养数据意识与模型观念|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一》（人教版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在△ABC中，，则为（    ） A．60° B．120° C．60°或120° D．150° 【答案】C 【分析】根据正弦定理得出的正弦值，然后根据角的范围确定角的大小. 【详解】由正弦定理可知， ，得，为△ABC的内角，或. 故选：. 2．等差数列中，已知，则数列的前20项的和是（    ） A．10 B．120 C．140 D．150 【答案】D 【分析】由等差数列的性质可得，代入可求解. 【详解】由等差数列的性质可知， 由已知得， 故数列的前20项的和. 故选：D 3．函数的最小正周期是（　） A． B． C． D．π 【答案】B 【分析】根据正弦型函数的性质直接求解. 【详解】函数的最小正周期是. 故选：B. 4．设双曲线 的离心率为 则a的值为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】利用双曲线的离心率公式来求解即可. 由双曲线方程的离心率为可得： ，平方解得：， 又因为，所以， 故选：C. 5．如图，△ABC中，点是线段的中点，是线段的靠近A的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将用、表示，然后利用平面向量的减法可得出关于、的表达式. 因为为线段的中点，则， 因为点是线段上靠近的三等分点， 则, 因此，. 6．若人站成两排，每排站人，则不同的站法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】名学生站成两排，每排人，相当于个元素全排列，可得答案. 【详解】名学生站成两排，每排人，不同的排法有（种）. 故选：D. 7．设抛物线的焦点为，若点在抛物线上，则（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先求出，得到抛物线焦点坐标，再求两点距离. 【详解】∵点在抛物线上. ∴直接代入，得到，抛物线方程为. 故焦点的坐标为 所以， 故选：C. 8．设是等比数列，且，则公比（ ） A．8 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据等比数列的通项公式即可计算出结果. 【详解】由是等比数列，又， 则，即， 可得，解得. 故选：D. 9．函数 的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据辅助角公式将函数化为正弦型函数，再由正弦型函数的性质求解即可. 【详解】函数， ∴函数的最大值为2. 故选：C. 10．在△ABC中，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逆用余弦定理求出，进而求出. 【详解】在△ABC中，由得， ∴， ∴. 故选：A. 11．已知，若，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解. 【详解】∵，且， ∴，解得， 故选：A． 12．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式化简求解即可； 【详解】 . 故选：B 13．已知复数，，则的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的运算法则及共轭复数的定义即可得解. 【详解】因为，， 所以， 所以的共轭复数为. 故选：. 14．某一批种子的发芽率为．从中随机选择4颗种子进行播种，那么恰有2颗种子发芽的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据独立事件的概率乘法公式求解即可. 【详解】由题意可知，恰有2颗种子发芽的概率为：. 故选：B. 15．4名学生到3个小区参加志愿服务活动，每名学生只去1个小区，每个小区至少安排1名学生，则不同的安排方法种数是（    ） A．36 B．64 C．72 D．81 【答案】A 【分析】根据题意，采用捆绑法，先取2名同学看作一组，现在可看成是3组同学分配到3个小区，即可求得答案. 【详解】根据题意：先取2名同学看作一组，选法有， 现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有， 根据分步计数原理可得，不同的安排方法有种. 故选： 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．二项式的展开式中，常数项是________，各项二项式系数之和是________.（本题用数字作答） 【答案】 【分析】由展开式的通项，令即可找到常数项，利用即可算出二项式系数之和. 【详解】展开式的通项公式为， 令，得， 所以常数项为； 所有二项式系数之和为 . 故答案为：  ； 64 17．已知随机变量服从正态分布，且，则_________. 【答案】 【分析】利用正态分布曲线的性质可得结果. 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以， 所以. 故答案为： 18．已知平面向量，满足，，，则 . 【答案】6 【分析】根据题意，先求出，结合向量内积的概念，即可代入求解. 【详解】因为，则， 又因为，， 所以， 所以，即. 故答案为：. 19．已知椭圆是椭圆的两个焦点，直线与椭圆交于两点，则四边形的周长是__________. 【答案】20 【分析】根据椭圆的定义，结合四边形的周长与椭圆上点的焦点距离的关系求解即可； 【详解】因为椭圆，所以，即， 因为点在椭圆上，所以， 所以四边形的周长.    故答案为：20 20．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为 . 【答案】 【分析】根据正方体结构特征，利用线面垂直的性质、判定定理判断异面直线与的位置关系. 【详解】连接，由正方体结构特征，有， 又面，面，则， 由且都在平面内，则面， 面，故， 即异面直线与所成的角为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．袋中有2个白球，3个红球，5个黄球，这10个小球除颜色外完全相同． (1)从袋中任取3个球，求恰好取到2个黄球的概率； (2)从袋中任取2个球，记取到红球的个数为，求的分布列、期望和方差． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望，方差 【分析】（1）由古典概型概率公式求解即可． （2）的可能取值为，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望与方差． 【详解】（1）袋中有2个白球，3个红球，5个黄球，这10个小球除颜色外完全相同． 从袋中任取3个球，恰好取到2个黄球的为事件A； 则， 所以从袋中任取3个球，恰好取到2个黄球的概率为：． （2）从袋中任取2个球，记取到红球的个数为，的可能取值为， 得，， 的分布列为： 0 1 2 P ， 方差． 22．已知等差数列的前项和为，已知，，求 (1)求等差数列的通项公式和前项和公式； (2)当前项和时，求的最小值. 【答案】(1)， (2)6 【分析】（1）根据等差数列的性质建立方程组求得数列得首项和公差，再由等差数列通项公式和求和公式即可解得. （2）根据第（1）问中得到的前项和公式列出不等式，解一元二次不等式即可解得. 【详解】（1）设该数列的首项为，公差为， ，， ，， ， 故. （2），， ，或， 又，故的最小值为6. 23．如图所示，在三棱柱中，底面，，，D为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明过程见解析. (2). 【分析】（1）由直线与平面垂直的定义与判定方法即可得解. （2）由直线与平面所成的角的定义及解直角三角形即可得解. 【详解】（1）在三棱柱中,底面. 所以. ,,为中点. 所以. ，且两直线在平面内， 所以. （2） 连接,因为,所以是直线与平面形成的角. 在直角中. 所以. 综上所述:直线与平面所成角为 24．已知双曲线的左、右焦点分别是，，抛物线的焦点与点重合，点是抛物线与双曲线的一个交点，求双曲线及抛物线的标准方程． 【答案】,. 【分析】由抛物线的性质及双曲线的性质即可得解. 【详解】因为点是抛物线与双曲线的一个交点. 所以将代入得. 即. 解得. 所以抛物线的标准方程为. 所以. 所以. 由双曲线的性质可得. 由题意可知双曲线的焦点在轴上,将代入双曲线标准方程可得. . 化简得. 令. 即. 解得或. 即或. 又因为当不成立. 所以. 所以. 所以双曲线的标准方程为. 综上所述:抛物线的标准方程为,双曲线的标准方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一》（人教版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在△ABC中，，则为（    ） A．60° B．120° C．60°或120° D．150° 2．等差数列中，已知，则数列的前20项的和是（    ） A．10 B．120 C．140 D．150 3．函数的最小正周期是（　） A． B． C． D．π 4．设双曲线 的离心率为 则a的值为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．如图，△ABC中，点是线段的中点，是线段的靠近A的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 6．若人站成两排，每排站人，则不同的站法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 7．设抛物线的焦点为，若点在抛物线上，则（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 8．设是等比数列，且，则公比（ ） A．8 B．2 C． D． 9．函数 的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 10．在△ABC中，若，则等于（    ） A． B． C． D． 11．已知，若，则（    ） A．0 B． C． D． 12．（   ） A． B． C． D． 13．已知复数，，则的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 14．某一批种子的发芽率为．从中随机选择4颗种子进行播种，那么恰有2颗种子发芽的概率为（    ） A． B． C． D． 15．4名学生到3个小区参加志愿服务活动，每名学生只去1个小区，每个小区至少安排1名学生，则不同的安排方法种数是（    ） A．36 B．64 C．72 D．81 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．二项式的展开式中，常数项是________，各项二项式系数之和是________.（本题用数字作答） 17．已知随机变量服从正态分布，且，则_________. 18．已知平面向量，满足，，，则 . 19．已知椭圆是椭圆的两个焦点，直线与椭圆交于两点，则四边形的周长是_________. 20．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为 . 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．袋中有2个白球，3个红球，5个黄球，这10个小球除颜色外完全相同． (1)从袋中任取3个球，求恰好取到2个黄球的概率； (2)从袋中任取2个球，记取到红球的个数为，求的分布列、期望和方差． 22．已知等差数列的前项和为，已知，，求 (1)求等差数列的通项公式和前项和公式； (2)当前项和时，求的最小值. 23．如图所示，在三棱柱中，底面，，，D为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 24．已知双曲线的左、右焦点分别是，，抛物线的焦点与点重合，点是抛物线与双曲线的一个交点，求双曲线及抛物线的标准方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $