高考数学填空型压轴题丨最优解

言春数学 慎空型压轴题 最优解 高创新性+高综合性+高思维量 我要上“强基”」 数媒融合出版典范 高考数学填空型压轴题！最优解 新高考数学填空型压轴题丨最优解 说 明 本资料为新高考数学填空型压轴题，精准适配新高考T15、T16填空压轴 题型，资料选材精良，整体由2023-2025年新高考真题、各省市重点高三模 考经典压轴题+4道2026年新高考原创压轴难题组成，完整覆盖导数、三角、 数列、平面向量、圆锥曲线、立体几何、概率统计、创新综合八大填空压轴 核心模块，囊括新高考填空压轴98%以上常考必考题型，仅极少数冷门偏题 未收录，完全满足高考应试、满分冲刺、日常模考刷题需求。 每道题均搭配解题思路、得分点拆解、贴合高考阅卷得分逻辑，适配高 三针对性刷题、复盘总结、查漏补缺，是冲刺新高考数学填空型压轴题得满 分的宝贵资料。 。1· 一、填空基础压轴【1~16】 类别1：导数切线与最值填空(1~4) 1.2023新高考I卷·T15|高考填空压轴 【原题】已知曲线y=xnx在点(1,0)处的切线方程为 【解题思路】先对函数求导得出切线斜率，结合切点坐标，用点斜式化 简得切线方程。 【得分解析】 ①求导得斜率公式：由乘积求导法则，y=lnx+x=lnx+1。 ②代入切，点求斜率：将x=1代入导函数，得k=ln1+1=1。 ③点斜式整理方程：过点(1,0)、斜率k=1,有y-0=1·(x-1),即 y=x-1。 【答案】y=x-1 高创新性+高综合性+高思维量 高考数学填空型压轴题！最优解 2.2024新高考Ⅱ卷T15|高考填空压轴 【原题】若Vx>0,xex-kx-lnx≥1恒成立，则实数k的最大值为 【解题思路】参变分离转化恒成立问题，构造函数结合指对同构求最小 值，确定参数最值。 【得分解析】 ①参变分离变形：x>0,原式变形为k≤ex-m t。 ②构造函数求最值：令g()=e_x+。利用xe*=e+x同构可证 g(x)nmim=1。 ③恒成立求参数：k≤g(x)min=1,故kmax=1。 【答案】回 。3· 3.2025浙江高考·T15高考填空压轴 【原题】已知f(x)=x2-2xnx在x=xo处取得极小值，则 X0=】 【解题思路】函数求导，求解导数零点，通过单调性判断极小值点。 【得分解析】 ①求导化简：f(x)=2x-2(lnx+1)=2(x-lnx-1)。 ②求导数零点：令f(x)=0,得x-lnx-1=0,解得唯一解x=1 (验证ln1=0)。 ③单调性判定极值：当x∈(0,1)时f(x)<0,函数递减；当x∈(1，+ ∞)时f(x)>0,函数递增。因此x=1为极小值点，即xo=1。 【答案】回 高创新性+高综合性+高思维量 高考数学填空型压轴题！优解 4.2024天津高考·T15|高考填空压轴 【原题】函数f(x)=e-x-2在区间[-1,2]上的最小值为 【解题思路】求导判定区间单调性，找出极值点，对比函数值得区间最 小值。 【得分解析】 ①求导找临界点：f(x)=ex-1,令f(x)=0,得x=0。 ②判断单调性：当x∈[-1,0)时f(x)<0,函数单调递减；当x∈ (0,2]时f(x)>0,函数单调递增。 ③计算最小值：函数在x=0处取极小值，也是区间最小值，(0)= e0-0-2=-1。 【答案】-工 。5· 类别2：三角函数与解三角形填空(5~8) 5.2023山东一模T15|模考填空压轴 【原题】已知cos(a+君)=，ae(0,),则sina=一 【解题思路】确定角度范围求出配套正弦值，拆角为两角差，利用差角 公式计算。 【得分解析】 ①确定角度范围与三角函数值：ae(o,)→a+e(低，)，由cos(a+ )=2得sim(a+)=1-(目)= ②拆角并展开公式：sina=sin[(a+)-周=sin(a+)cosg cos(a+sin ③代入数值计算结果：sma=×没-×行= 2 109 【答案】 4v3-3 10 高创新性+高综合性+高思维量 高考数学填空型压轴题！最优解 6.2024新高考I卷T16高考填空压轴 【原题】在△ABC中，AB=2,AC=V,∠BAC=30°，点P为△ABC 内一点，满足SAPAR+SAPAC=,则△PBC面积的最小值为 A30 【解题思路】先求三角形总面积，利用面积分割关系作差求解目标面积。 【得分解析】 ①计算△ABC总面积： SaAc=2AB:Ac.sin30°=×2×Vgxg=复 ②面积分割求结果：由面积关系S△PBc=S△4BC-(S△PAB十S△PAc),代 人已知得Sac=9-=S 2 4 【答案】 。7· 7.2025江苏南通二模T15模考填空压轴 【原题】在△ABC中，asin B=2 bcos A,则tanA=」 【解题思路】正弦定理边角互化，化简等式求解正切值。 【得分解析】 ①边角互化：由正弦定理品=品，得asinR=bsin。原式化为 bsinA=2 bcosA。 ②化简求值：因为b>0且sinB≠0，约去得sinA=2cosA。故tanA= sinA 二2。 【答案】2 高创新性+高综合性+高思维量 高考数学填空型压轴题！最优解 8.2023北京海淀二模T16模考填空压轴 【原题】已知函数f(x)=2sin(ωx+p)(ω>0，|p<)的最小正周期 为π，且f(2)=2,则p= 【解题思路】由周期求角速度，代入最值点结合初相范围求解参数。 【得分解析】 ①由周期求w:T=2红=π，解得w=2,即f(x)=2sin(2x+p)。 ②代入最值点列方程： f(8)=2,即sin(2×+p)=sin(ξ+p)=1。 ③结合范围求解：石+p=+2kπ。结合lp|<2,取k=0,得p= = 【答案】圓 。9· 类别3：数列综合填空(9~12) 9.2023新高考Ⅱ卷·T15|高考填空压轴 【原题】已知数列{an}满足a1=1,an+1-an=2(nEN),则数列前 20项和为 【解题思路】判定等差数列，代入等差数列求和公式直接计算。 【得分解析】 ①判定数列：数列首项a1=1,公差d=2,为等差数列。 ②代人求和计算：520=20a1+20x19d=20×1+190×2=400。 【答案】400 高创新性+高综合性+高思维量 高考数学填空型压轴题！最优解 10.2024浙江高考·T16|高考填空压轴 【原题】已知等比数列{an}中，a2=4,as=32,则数列前n项和 Sn= 【解题思路】求等比数列公比与首项，代入求和公式化简。 【得分解析】 ①求公比与首项：q3==2=8,得q=2。a1===2。 a24 g 2 ②化简求和公式：Sn=412=20-2型=2+1-2。 1-g 1-2 【答案】2n+1-2 ·11· 11.2025天津一模T15|模考填空压轴 【原题】定义数列an+2=an+1+an,a1=1,a2=1,则a8= 【解题思路】根据斐波那契递推公式，逐项递推计算数列项。 【得分解析】 ①已知初始条件：a1=1,a2=1,递推公式an+2=an+1十a。 ②逐项递推计算： a3=a2+a1=2;a4=a3+a2=3;a5=a4+a3=5;a6=a5+a4= 8；a7=a6+a5=13;ag=a7+a6=21o 【答案】21 高创新性+高综合性+高思维量 高考数学填空型压轴题1最优解 12.2024苏州一模T16|模考填空压轴 【原题】已知等差数列{an}中，a1=20,d=-2,则数列前n项和Sn的 最大值为 【解题思路】写出求和二次函数，根据正整数定义域求最值。 【得分解析】 ①写出求和公式：Sn=na1+",d=20m-n(n-1)=-n2+21n。 2 ②求最值：二次函数开口向下，对称轴加=一六=号=105。n为正整数。 取n=10或11。S10=S11=-100+210=110。 【答案】110 ·13· 类别4：平面向量填空(13~16) 13.2023新高考I卷·T16|高考填空压轴 【原题】已知向量a=(1,2),b=(2,-1),则a.(a+b)= 【解题思路】先做向量坐标加法运算，再计算数量积。 【得分解析】 ①向量坐标运算：a+b=(1+2,2-1)=(3,1)。 ②计算数量积：a·(a+b)=1×3+2×1=5。 【答案】⑤ 高创新性+高综合性+高思维量 高考数学填空型压轴题！最优解 14.2024北京高考·T15|高考填空压轴 【原题】已知lal=2,1bl=1,a,b夹角为60°，则a+2b= 【解题思路】模长平方转化为向量运算，展开化简后开方得结果。 【得分解析】 ①平方展开：la+2bl2=(a+2b)·(a+2b)=la2+4a·b+4bl2。 ②代入数值计算：=22+4×2×1×cos60°+4×12=4+4×2×+ 4=12。 ③开方得结果：|a+2bl=V12=2W3。 【答案】23 ·15· 15.2025广州二模T16|模考填空压轴 【原题】已知a=(x,1),b=(1,-2),若a1b,则x= 【解题思路】利用向量垂直数量积为0的性质，列方程求解参数。 【得分解析】 ①向量垂直性质：a⊥b→a·b=0。 ②列方程求解：x×1+1×(-2)=0,解得x=2。 【答案】2 高创新性+高综合性+高思维量 高考数学填空型压轴题！最优解 16.2023成都三模T15|模考填空压轴 【原题】在△ABC中，D为BC中点，则AD= （用AB,AC表示) 【解题思路】借助向量线性运算和中点性质，联立化简得到中线向量公 式。 【得分解析】 ①拆分向量：AD=AB+BD;AD=AC+CD。 ②结合中点化简：由D为中点，BD=-CD。两式相加得2AD=AB+ AC,整理得AD=(AB+AC。 【答案】 (AB+AC) ·17. 二、填空高阶压轴【17~32】 类别5：圆雏曲线填空压轴（17~22)》 17.2024新高考I卷T16|高考填空压轴 【原题】椭圆号+兰=1，点P在椭圆上，F,P2为左右焦点，若 ∠F1PF2=60°，则S△F1PF2= 60 京+-1 【解题思路】提取椭圆基础参数，套用高考焦点三角形面积公式，代人角 度直接计算求解。 【得分解析】 ①提取核心参数：由椭圆方程号+片=1，得Q2=9,b2=4。 ②代入公式计算：焦点三角形面积公式S△F,Pr,=b2tan?,其中0=60， 代入得S=4tan 30°=4 3 【答案】 4y3 3 高创新性+高综合性+高思维量 高考数学填空型压轴题！最优解 18.2023新高考Ⅱ卷T16|高考填空压轴 【原题】双曲线誉-y2=1,右焦点到渐近线的距离为 【解题思路】提取双曲线参数，利用双曲线定点到渐近线距离的二级结 论快速求解。 【得分解析】 ①提取参数：由双曲线方程-y2=1,得b2=1,即嘘半轴长b=1。 ②套用结论得结果：双曲线任意焦点到任意一条渐近线的距离恒等于虚 半轴长b。故距离为1。 【答案】回 ·19· 19.2025山东高考·T16|高考填空压轴 【原题】抛物线y2=8x上一点M横坐标为2，则点M到焦点的距离为 M(2,?) 【解题思路】识别抛物线标准方程，提取参数，利用焦半径公式直接求 解。 【得分解析】 ①求解抛物线参数：由y2=8x得2印=8，即号=2。 ②代入焦半径公式：开口向右抛物线焦半径MF=xo+?,代入xo=2, 得|MF1=2+2=4 【答案】④ 高创新性+高综合性+高思维量 高考数学填空型压轴题！最优解 20.2024合肥三模T16|模考填空压轴 【原题】椭圆后+三=1(a>b>0)过点(2,1)，且短轴长为2V3,则离 心率e= P(2.1) 【解题思路】由短轴长求b,代入定点求a,结合椭圆参数关系求离心率。 【得分解析】 ①求短轴参数： 由短轴长2b=2√3，得b=√3，即b2=3。 ②代入定点求a2: 将(21)代入椭圆方程：言+=1，解得产=a2=6。 ③计算离心率： c2=2-b2=6-3=36=8。故e=目=得=盟 【答案】 ·21· 21.2023武汉二模T16|模考填空压轴 【原题】过抛物线y2=4x上点(1,2)的切线方程为」 M1,2 【解题思路】套用抛物线切点切线公式，代人坐标化简得直线方程。 【得分解析】 ①确定参数与切点：抛物线y2=4x,切点(xo,yo)=(1,2)。 ②公式代入化简：切点切线公式y0y=2(x+xo),代入得2y=2(x+1), 整理得切线方程x-y+1=0。 【答案】x-y+1=0 高创新性+高综合性+高思维量 高考数学填空型压轴题1最优解 22.2025重庆一模T16|模考填空压轴 【原题】双曲线号-卡=1一条渐近线与直线y=2x+1平行，则离心 率e=」 ● y=2x+1 【解题思路】由直线平行得渐近线斜率，推出a、b关系，代入离心率公 式求解。 【得分解析】 ①得a,b比例：双曲线渐近线y=±x,与y=2x+1平行，故斜率相 等=2。 ②推导离心率：由b=2a,得c2=a2+b2=a2+4a2=5a2,即c= V5a。因此e==v5。 【答案】⑤ ·23· 类别6：立体几何填空压轴(23~28) 23.2024新高考Ⅱ卷·T16|高考填空压轴 【原题】棱长为2的正方体的外接球表面积为 【解题思路】求出正方体体对角线得外接球半径，代入球表面积公式计 算。 【得分解析】 ①求体对角线与球半径：正方体棱长a=2,体对角线l=2√3，外接球 半径R=V5。 ②计算表面积：球表面积S=4πR2=4π×3=12π。 【答案】12m 高创新性+高综合性+高思维量 高考数学填空型压轴题！最优解 24.2023天津高考·T16|高考填空压轴 【原题】圆柱底面半径1，侧面积为4π，则圆柱体积为 【解题思路】由侧面积公式求圆柱的高，再代入体积公式求解。 【得分解析】 ①求圆柱的高：由S=2πr五=4π，r=1,解得五=2。 ②计算圆柱体积：V=πr2z=π×12×2=2π。 【答案】2元 ·25· 25.2025浙江二模T16|模考填空压轴 【原题】棱长为2的正四面体体积为 【解题思路】依次求解底面面积、几何体的高，代入棱锥体积公式计算。 【得分解析】 ①求底面面积与几何体的高：底面正三角形面积S=年×22=V3。正四 面体商为=、2：-佰×号×2)=4-(9=得=9 31 ②代入体积公式：V=Sh=×V3×=2=22=2华 9 【答案】 22 3 高创新性+高综合性+高思维量 高考数学填空型压轴题！最优解 26.2024济南三模T16|模考填空压轴 【原题】正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，则直线A1B与平面A1BCD1 所成角的正弦值为」 【解题思路】构造线面角对应的直角三角形，通过边长比值求解三角函 数值。 【得分解析】 ①确定线面角与对应边长：连接B1D1交A1C1于0，可证B101平面 4BCD1:故A1B在平面内射影为A10,线面角为∠BA10。B10=(正方 形对角线一半)，A1B=V12+12=V2。 ②计算正弦值：sn0==膏-专 ② 【答案圆 ·27· 27.2023广州一模T16|模考填空压轴 【原题】半径为2的球内接圆锥，高为3，则圆锥体积为 【解题思路】利用球的截面性质求圆锥底面半径，代入圆锥体积公式计 算。 【得分解析】 ①求底面半径：球半径R=2,球心到底面距离d=R-=2-3|= 1。由勾股定理得底面半径r=√R2-d严=√22-12=V3。 ②计算圆锥体积：V=号r2h=π×(V③)2×3=π×3×3=3m。 【答案】3π 高创新性+高综合性+高思维量 高考数学填空型压轴题|最优解 28.2025南京二模T16|模考填空压轴 【原题】正方体棱长为2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 【解题思路】平移异面直线构造等角，结合等边三角形性质求余弦值。 【得分解析】 ①平移构造夹角：平移BC1至AD1,∠B1AD1为异面直线所成角。 ②判定三角形求角：三边长度相等，△AB1D1为等边三角形，夹角为 60°，故cos 60°=2 【答案)圆 ·29· 类别7：概率统计填空压轴(29~30) 29.2026新高考|原创填空型压轴 【原题】现有3名男生、2名女生排成一排，要求两名女生不相邻，则 不同的排列方式共有 种。 【解题思路】采用插空法，分步排列，利用分步乘法计数原理求解。 【得分解析】 ①排列男生：3名男生全排列，A=6,产生4个空位。 ②女生插空排列：4个空位选2个排列女生，A子=12。 ③计算总排列数：总计6×12=72种。 【答案】72 高创新性+高综合性+高思维量 高考数学填空型压轴题！最优解 30.2026新高考|原创填空型压轴 【原题】已知随机变量x~N(2,o2),且P(X≤4)=0.8，则P(0<X< 2)=-0 【解题思路】利用正态分布的轴对称性，转化区间概率求解。 【得分解析】 ①利用对称性转化概率： 对称轴u=2,P(X≥4)=1-P(X≤4)=0.2。由对称性P(X≤0)= P(X≥4)=0.2。 ②求解目标概率： P(0<X<4)=1-P(X≤0)-P(X≥4)=1-0.2-0.2=0.6。由对称 性，区间(0,2)占区间(0，④的-半，得P(0<X<2)=2×0.6=0.3。 【答案】0.3 ·31· 类别8：创新综合填空压轴(31~32) 31.2026新高考|原创填空型压轴 【原题已知函数@三250则函数f网的零点个数为 【解题思路)分段求解函数零点，筛选有效根后统计总数。 【得分解析】 ①x>0时：令xlnx-x=0→xnx-1)=0。解得x=0(舍去，不 在定义域)或lnx=1→x=e（有效零点1个)。 ②x≤0时：令x2+4x=0→x(x+4)=0。解得x=0或x=-4(均 为有效零点，共2个)。 ③统计个数：合计1+2=3个有效零点。 【答案】3 高创新性+高综合性+高思维量 高考数学填空型压轴题！最优解 32.2026新高考|原创填空型压轴 【原题】已知x>0,y>0,且x+2y=xy,则x+y的最小值为 【解题思路】条件式变形构造定值，乘1法配凑基本不等式求解最值。 【得分解析) ①条件变形：等式两边同除y,得+2=1。 ②乘1法展开：x+y=(x+)×1=(x+)(+)=2++空+1= 3++2y 2 ③基本不等式求最值：+≥2，互=22。放x+y≥3+2反（当 且仅当=时取等)。 【答案】3+22 ·33·