精品解析：江苏省南京市玄武区科利华中学2025-2026学年八年级下学期阶段测试数学试卷

2025-2026学年江苏省南京市玄武区科利华中学八年级（下）第二次月考数学试卷 一．选择题（共6小题，每小题2分） 1. 下列各式：，其中分式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的定义逐一判断式子，统计分式的个数即可得到结果，分式定义为：若A，B是整式，且B中含有字母（），则是分式． 【详解】解：，，的分母都是常数，属于整式，不是分式； 的分母含字母，是分式； 综上，分式共有4个． 2. 如图，已知点A在反比例函数图象上，垂足为点B，轴，若矩形的面积为2，则k的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据值的几何意义，即可得出结果. 【详解】解：由题意，矩形的面积为， ∵反比例函数过二，四象限， ∴， ∴. 3. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式以及分式有意义的条件列出不等式，根据不等式的解集判断即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义 解得 解集表示在数轴上，如图， 故选D 【点睛】本题考查了二次根式以及分式有意义的条件，解不等式，在数轴上表示不等式的解集，求得不等式的解集是解题的关键．不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示． 4. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 先确定图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小再根据性质判定大小即可． 【详解】解：反比例函数， 反比例函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小． ，， 点在第三象限， ， 又， ， ， 故选：C． 5. 已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为（ ） x的取值 4 a 6 分式的值 无意义 0 b A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式无意义的条件和分式值为0的条件，求出m，n后得到分式，再代入条件求解计算即可. 【详解】解：∵当时分式无意义，分式无意义时分母为0， ∴，解得； ∵当时分式值为，分式值为0时分子为0且分母不为0， ∴，解得，验证分母，符合条件； ∴分式为， ∵当时分式值为， ∴， ∴， 当时，， ∴. 6. 已知 (x，y，z均不为零)，则=（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，再代入计算即可得． 【详解】解：由题意，设，则， 所以， 故选：A． 【点睛】本题考查了代数式求值，将x,y,z用一个共同的字母k表示出来是解题关键． 二．填空题（共10小题，每小题2分） 7. 的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 8. 比较大小：_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的大小比较，利用二次根式的性质将根号外的系数转入根号内是解题的关键． 利用二次根式的性质将和变形，再比较大小． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9. 分式与的最简公分母是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据最简公分母的定义进行求解即可． 【详解】解：∵与的最小公倍数为， ∴分式与的最简公分母是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求最简公分母，掌握最简公分母的求解方法是解题的关键，求最简公分母实际上就是求各分母的最小公倍数． 10. 若反比例函数图象的一支在第三象限，则k的取值范围是________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可知，当反比例函数比例系数大于时，图象位于第一、三象限，据此列不等式求解即可． 【详解】解：反比例函数图象的一支在第三象限， ， 解得． 11. 已知反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点的横坐标是，则反比例函数的表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】先将交点的横坐标代入已知一次函数，求出交点的纵坐标，得到交点坐标，再将交点坐标代入反比例函数求出的值，即可得到反比例函数的表达式． 【详解】解：把代入中得，则交点坐标为， 将代入反比例函数中，得， 则反比例函数表达式为． 12. 若是最简二次根式，则m的最小整数值为_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，先确定被开方数为非负数，再结合为整数，验证被开方数不含能开得尽方的因数，即可得到满足条件的最小整数. 【详解】解：由题意，， 解得， 因为是整数，因此的最小取值从开始， 当时，，不含能开得尽方的因数， 因此是最简二次根式，满足条件； 故的最小整数值为． 13. 已知反比例函数的图象上两点，，若，则m的取值范围为________ ． 【答案】 【解析】 【分析】先根据反比例函数比例系数的符号判断函数在第一象限的增减性，再根据的条件列出关于的不等式组，求解不等式组得到的取值范围． 【详解】反比例函数中，比例系数， 反比例函数图象在第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， ， ，即 解不等式，得 解不等式 移项得 解得 综上，的取值范围为． 14. 不等式的解集是________． 【答案】## 【解析】 【分析】不等式移项、合并同类项，把x系数化为1，即可求出解集． 【详解】解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，变号，得：， 分母有理化，得：， 即不等式的解集是． 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式、二次根式分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键，不等式两边同时除以一个负数时，不等式要变号． 15. 已知关于的代数式有意义，满足条件的所有整数的和是10，则的取值范围为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，体现了分类讨论的思想，根据二次根式的被开方数是非负数求出的取值范围是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数求出的取值范围，根据满足条件的所有整数的和是10，得到，3，2，1或4，3，2，1，0，从而，从而得出答案． 【详解】解：，， ， 满足条件的所有整数的和是10， ，3，2，1或4，3，2，1，0， ， ． 故答案为：． 16. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点A作x轴的平行线l，将直线向上平移个单位长度后、分别与x轴，反比例函数，直线l交于点B，C，D．当时，b的取值范围为________ ． 【答案】 【解析】 【分析】先将点A代入一次函数和反比例函数中求得a和k的值，从而得到一次函数和反比例函数的解析式，由平移的性质可得新直线的解析式为，由轴和点A的坐标可得点D的纵坐标，可设点D的坐标为，点B的坐标为，当D为的中点时，点C的坐标为，由于点C在反比例函数上，从而可求出b的值，结合函数图象可得到b的取值范围． 【详解】解：将点分别代入一次函数与反比例函数中， 得，， 解得，， ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为， ∴将直线向上平移b个单位长度后得到的新直线的解析式为． ∵轴，， ∴点D的纵坐标为4， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， 令，解得， ∴点B的坐标为， ∵当时，即D为的中点， ∴，， ∴点C的坐标为， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴，解得， 结合函数图象可得，当时，b的取值范围为． 三．解答题（共11小题） 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 18. 化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】（）根据解分式方程的步骤解答即可求解； （）根据解分式方程的步骤解答即可求解； 【小问1详解】 解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解：方程两边乘以，得， 整理得，， 解得， 检验：当时，， ∴不是原方程的解， ∴原方程无解． 20. 代数式：． （1）化简代数式A； （2）若，求代数式A的值； （3）若代数式A的值为整数，求整数a的值 ． 【答案】（1） （2） （3）2，4，8 【解析】 【分析】（1）先算括号内，再把除法转化为乘法约分化简； （2）把代入（1）化简的结果计算即可； （3）将（1）化简结果化成，由代数式A的值为整数，即或者，结合分式有意义的限制条件，求出符合要求的整数即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：把代入得：； 【小问3详解】 解：． 因为是整数，是整数， 所以是整数，即是5的整数因数， 所以或或或， 解得， 由题意知，， 即， 因此整数的值为2，4，8． 21. 已知关于x的分式方程． （1）若该方程的增根为，求m的值 ； （2）若该方程有增根，求m的值 ； （3）若该方程无解，求m的值 ． 【答案】（1） （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）先对原方程去分母得到整式方程，再把代入计算即可； （2）根据增根的定义得到，解得或，然后代入（1）化简后的方程求解； （3）根据方程无解的两种情况（整式方程无解、整式方程的根都是原方程的增根），分别代入计算得到的值． 【小问1详解】 解：原方程可写为， 方程两边同乘去分母，得， 整理得．  该方程的增根为，  把代入，得， 解得． 【小问2详解】 解： 原方程有增根，  ， 解得增根为或， 当时，代入得，解得， 当时，代入得，解得，  的值为或． 【小问3详解】 解：原方程无解分两种情况：当，即时，整式方程变为，等式不成立，整式方程无解，因此原方程无解； 当整式方程有解，但解为原方程的增根时，原方程无解，由（2）得此时或； 综上所述，的值为或或． 22. 某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天． （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合作来完成．则该工程施工费用是多少？ 【答案】（1）30天 （2）180000元 【解析】 【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，根据甲、乙队先合作15天，余下的工程由甲队单独需要5天完成，可得出方程，解出即可． （2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可． 【小问1详解】 解：设这项工程的规定时间是x天， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解且符号题意． 答：这项工程的规定时间是30天． 【小问2详解】 解：该工程由甲、乙队合作完成，所需时间为：（天）， 则该工程施工费用是：（元）． 答：该工程的费用为180000元． 23. 已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集． 【答案】（1）反比例函数解析式为y=﹣，一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；（2）6；（3）x＜﹣4或0＜x＜2． 【解析】 【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n=2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）先求出直线y=﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算； （3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集． 【详解】（1）把A（﹣4，2）代入，得m=2×（﹣4）=﹣8， 所以反比例函数解析式为， 把B（n，﹣4）代入， 得﹣4n=﹣8 解得n=2， 把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y=kx+b，得： ，解得：， 所以一次函数的解析式为y=﹣x﹣2； （2）y=﹣x﹣2中，令y=0，则x=﹣2， 即直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0）， ∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6； （3）由图可得，不等式kx＋b−＞0的解集为：x＜−4或0＜x＜2． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式． 24. 如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．小颖发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度v（单位：）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系（如图2）． （1）求v与t的函数表达式； （2）已知在限速区间上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过，最低车速不得低于，求小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）分别将，代入函数解析式，求出对应的t值，即可确定段的时间范围． 【小问1详解】 解：由题意可设， 将代入得，， ； 答：与的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， 小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围为． 25. 已知分式，，其中． （1）先化简分式Q，再判断P与Q是否相同，并证明． （2）当时，设，，比较M和N的大小，并证明． 【答案】（1） 解：，与不相同，证明如下： ， ∵， ∴与不相同； （2） 解：，证明如下： ∵，，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴，  ∴. 【解析】 【分析】（1）利用分式的加法法则化简后，进行判断即可； （2）作差法比较大小即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 观察下列各式及其验证过程： ，验证：； ，验证：； ，验证：； （1）根据上述三个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证． （2）针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数，且）表示的等式，不需要证明． 【答案】（1），验证见解析 （2）（为自然数，且） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简． （1）仿照题干计算即可； （2）根据已知等式找出规律即可． 【小问1详解】 解：，验证如下： ； 【小问2详解】 解：由题干和（1）可知，（为自然数，且）． 证明：． 27. 数学来源于生活，生活中处处有数学．用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论． 【实验发现】 糖水实验一： （1）①现有克糖水，其中含有克糖，则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为．加入克水，则糖水的浓度为________； ②生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，即糖水浓度变低，由此可以写出一个不等式________，我们趣称为“糖水不等式”； 糖水实验二： （2）将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖并完全溶解”，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”________； 【应用拓展】 某饮料公司生产混合果汁，使用两种基础果汁原料： 果汁：糖的浓度为（糖的浓度）； 果汁：糖的浓度为； （3）若取相同质量的果汁和果汁进行混合，混合果汁的糖的浓度可以表示为________； （4）饮料公司需要生产一批的混合果汁，生产果汁A和果汁B的利润分别为7元和13元，要求混合果汁的糖的浓度不高于，如何生产能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）①；② （2） （3）200， （4）该饮料公司生产果汁A的质量为175千克，则生产果汁B的质量为千克，利润最大，最大利润为2590千克． 【解析】 【分析】（1）根据题意写出新的分式和不等式即可； （2）加入n克糖后，分子分母都变化，此时需要证明不等式的正确性，利用做差法即可； （3）先求出取出果汁A和果汁B的质量都为100，然后根据糖的浓度列式并化简即可； （4）设生产果汁A的质量为x千克，则生产果汁B的质量为千克，再根据混合果汁的糖的浓度不高于列不等式求得x的取值范围，再列出一次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：①由题意得，加入m克水，糖水为克， ∴糖水的浓度为； ②∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小， ∴． 【小问2详解】 解：由题意得，加入n克糖，糖水为克，糖为克， ∴糖水的浓度为， ∵， ∵， ∴， ∴，即． 【小问3详解】 解：由题意可知：取果汁A和果汁B中的糖的质量为8和24，假设取果汁A和果汁B的质量都为100 ∴混合果汁的糖的浓度可以表示为． 【小问4详解】 解：设生产果汁A的质量为x千克，则生产果汁B的质量为千克， 由题意可得：，解得：， 饮料公司获得利润， ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，利润最大，最大利润为元． 答：该饮料公司生产果汁A的质量为175千克，则生产果汁B的质量为千克，利润最大，最大利润为2590千克． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省南京市玄武区科利华中学八年级（下）第二次月考数学试卷 一．选择题（共6小题，每小题2分） 1. 下列各式：，其中分式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 如图，已知点A在反比例函数图象上，垂足为点B，轴，若矩形的面积为2，则k的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为（ ） x的取值 4 a 6 分式的值 无意义 0 b A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 6. 已知 (x，y，z均不零)，则=（ ） A. 3 B. C. D. 4 二．填空题（共10小题，每小题2分） 7. 平方根是_______． 8. 比较大小：_________ 9. 分式与的最简公分母是__________． 10. 若反比例函数图象的一支在第三象限，则k的取值范围是________ ． 11. 已知反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点的横坐标是，则反比例函数的表达式为________． 12. 若是最简二次根式，则m的最小整数值为_____ ． 13. 已知反比例函数的图象上两点，，若，则m的取值范围为________ ． 14. 不等式的解集是________． 15. 已知关于的代数式有意义，满足条件的所有整数的和是10，则的取值范围为 ___________． 16. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点A作x轴的平行线l，将直线向上平移个单位长度后、分别与x轴，反比例函数，直线l交于点B，C，D．当时，b的取值范围为________ ． 三．解答题（共11小题） 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 化简： （1）； （2）． 19. 解方程： （1） （2） 20. 代数式：． （1）化简代数式A； （2）若，求代数式A的值； （3）若代数式A的值为整数，求整数a的值 ． 21. 已知关于x的分式方程． （1）若该方程增根为，求m的值 ； （2）若该方程有增根，求m的值 ； （3）若该方程无解，求m值 ． 22. 某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天． （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合作来完成．则该工程施工费用是多少？ 23. 已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集． 24. 如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．小颖发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度v（单位：）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系（如图2）． （1）求v与t的函数表达式； （2）已知在限速区间上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过，最低车速不得低于，求小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围． 25. 已知分式，，其中． （1）先化简分式Q，再判断P与Q是否相同，并证明． （2）当时，设，，比较M和N的大小，并证明． 26. 观察下列各式及其验证过程： ，验证：； ，验证：； ，验证：； （1）根据上述三个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证． （2）针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数，且）表示的等式，不需要证明． 27. 数学来源于生活，生活中处处有数学．用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论． 【实验发现】 糖水实验一： （1）①现有克糖水，其中含有克糖，则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为．加入克水，则糖水的浓度为________； ②生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，即糖水浓度变低，由此可以写出一个不等式________，我们趣称为“糖水不等式”； 糖水实验二： （2）将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖并完全溶解”，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”________； 【应用拓展】 某饮料公司生产混合果汁，使用两种基础果汁原料： 果汁：糖浓度为（糖的浓度）； 果汁：糖的浓度为； （3）若取相同质量的果汁和果汁进行混合，混合果汁的糖的浓度可以表示为________； （4）饮料公司需要生产一批的混合果汁，生产果汁A和果汁B的利润分别为7元和13元，要求混合果汁的糖的浓度不高于，如何生产能获得最大利润？最大利润是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $