精品解析：重庆市南坪中学2025-2026学年高二下期5月月考数学试题

重庆市南坪中学校2025-2026学年度高二数学5月月考卷 一、单选题 1. 下列求导数运算正确的是 A. B. C. D. 2. 对变量、有观测数据，得散点图1；对变量、有观测数据，得散点图2.分别用、表示变量与、与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ）. A. 变量与呈现正相关，且 B. 变量与呈现负相关，且 C. 变量与呈现正相关，且 D. 变量与呈现负相关，且 3. 用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 A. 24 B. 30 C. 40 D. 60 4. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若，，，则事件与事件独立 C. 若随机变量的方差，则 D. 若随机变量服从正态分布，若，则 5. 在南山上有三个奶茶店：店､店､店.根据平台数据，顾客选择店的概率分别为､.已知各店高峰期制作时间超过分钟的概率分别为：店店店.若小明随机选择一个奶茶店下单，他等待超过分钟的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 在某项芯片测试试验中，有5个不同的芯片欲组装到一个云计算的主机中，先将它们串联在一起统一测试，在串联电路中甲，乙两个芯片不相邻的前提下，丙，丁两个芯片相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中每次与小木块碰撞后，向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知离散型随机变量分布列如下表所示（ ） 0 1 2 0.2 A. B. C. D. 10. 已知的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，则（ ） A. B. 展开式的各项系数和为243 C. 展开式中奇数项的二项式系数和为16 D. 展开式中有理项一共有3项 11. 2026年3月“伊以冲突”到达“白热化巅峰期”，伊朗平均每天进行2－3波反击，单波发射数十架无人机做诱饵压制防空，再利用发射若干导弹对目标进行摧毁，策略是打赢和打瘫．据统计，伊朗主要采用了两种导弹作战：加德尔常规导弹和海巴尔高精导弹．不妨将两种导弹分别记为，已知两种导弹命中目标的概率分别为，假设在某波反击中两种导弹各发射10枚，每次发射的结果相互独立，击中目标的个数分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 且且 C. 若，则 D. 若当且仅当时，取得最大值，则 三、填空题 12. 五名志愿者全部去三个不同的镇参加志愿活动，每个镇至少去一名志愿者，则不同的方案有___________种. 13. 某校高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布，现调查统计三个年级共1000名男生，按照该校学生处的统一规定：校国旗班男生身高不低于190cm．估计可以备选的男生人数约为_____人．（四舍五入取整数） 参考数据：若，则， 14. 已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是_____. 四、解答题 15. 已知函数. （1）求在点处的切线方程. （2）求的单调区间. 16. 已知． （1）求的值． （2）求的值． （3）求的值． 17. DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织A，B两个部门全体员工共60人参加培训． （1）此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； （2）若每位员工经过培训后合格的概率为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）． 18. 2025年5月25日，多哈世界乒乓球锦标赛男单决赛，王楚钦战胜巴西选手雨果夺得冠军，夺得三大赛单打首冠；现有甲、乙两名乒乓球运动员进行日常训练. （1）假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； （2）若第一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为，若第一局甲失败，则下一局甲获胜的概率为，已知第一局甲获胜的概率为，在前两局比赛中，用X表示甲获胜的次数，求X的方差； （3）如果每局比赛甲获胜的概率为P，且，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，对于甲选手来说，选择哪种赛制获胜概率更大？请说明理由. 19. 已知函数， （1）若在定义域内单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值； （3）若存在两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市南坪中学校2025-2026学年度高二数学5月月考卷 一、单选题 1. 下列求导数运算正确的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据初等函数的导数公式，结合导数的运算法则，对四个选项逐一判断即可. 【详解】因为,错;,错；，错； 因为,故选C. 【点睛】本题主要考查初等函数的导数公式以及导数的运算法则，意在考查对基础知识的掌握与灵活应用，属于中档题. 2. 对变量、有观测数据，得散点图1；对变量、有观测数据，得散点图2.分别用、表示变量与、与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ）. A. 变量与呈现正相关，且 B. 变量与呈现负相关，且 C. 变量与呈现正相关，且 D. 变量与呈现负相关，且 【答案】D 【解析】 【分析】根据散点图的分布的趋势和集中程度可得正确的选项. 【详解】对于图1，散点总体斜向上分布，故变量与呈现正相关，故排除B； 对于图2，散点总体斜向上分布，故变量与呈现负相关，故排除C； 图1中散点图分布较为集中，图2中的散点图分布较为分散，故， 故选：D. 3. 用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 A. 24 B. 30 C. 40 D. 60 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：按偶数字在个位分类：个位只能是2或者4，十位在余下4个中选择，百位在余下3个中选择．所以答案是2×4×3=24，故选A． 考点：主要考查分步计数原理的应用． 点评：特别注意偶数其个位必定是偶数字． 4. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若，，，则事件与事件独立 C. 若随机变量的方差，则 D. 若随机变量服从正态分布，若，则 【答案】C 【解析】 【详解】对A：随机变量，则，故A正确； 对B：，所以，即事件与事件独立，故B正确； 对C：随机变量的方差，则，故C错误； 对D：随机变量服从正态分布，， 则，故D正确． 5. 在南山上有三个奶茶店：店､店､店.根据平台数据，顾客选择店的概率分别为､.已知各店高峰期制作时间超过分钟的概率分别为：店店店.若小明随机选择一个奶茶店下单，他等待超过分钟的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由全概率公式即可求解； 【详解】设事件为“小明选择店”，事件为“小明选择店”， 事件为“小明选择店”，事件为“小明等待超过分钟”， 则根据题意，有， ， 则， 代入数据得，故C正确. 6. 在某项芯片测试试验中，有5个不同的芯片欲组装到一个云计算的主机中，先将它们串联在一起统一测试，在串联电路中甲，乙两个芯片不相邻的前提下，丙，丁两个芯片相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先用总排列数减去甲乙相邻的求出甲乙不相邻的总数，再由相邻法和插空法求出符合要求的，然后由古典概率计算可得. 【详解】五个芯片的排列数为种，其中甲乙相邻的有种，所以甲乙不相邻的有72种， 绑定丙丁，再将甲乙插空有种， 所以在串联电路中甲，乙两个芯片不相邻的前提下，丙，丁两个芯片相邻的概率为. 故选：A. 7. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得在内有两个不等实根，求解即可. 【详解】由题意，由，可得 函数有两个极值点，即方程在内有两个不等实根， 即函数与在上有两个交点， 因，，， 所以，解得. 故选：A. 8. 如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中每次与小木块碰撞后，向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析下落过程碰撞的次数和向左向右落下的概率，分别分析落入③号球槽和⑥号球槽的情况，分析求解，即可得答案. 【详解】下落过程中，需要经过6次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为， 落入③号球槽需向左4次，向右2次，则, 落入⑥号球槽需向左1次，向右5次，则， 则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为. 故选：B 二、多选题 9. 已知离散型随机变量分布列如下表所示（ ） 0 1 2 0.2 A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先根据分布列的性质求，再求期望和方差. 【详解】由分布列的性质可知，，所以， ，，故ABC正确； ，故D错误. 故选：ABC 10. 已知的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，则（ ） A. B. 展开式的各项系数和为243 C. 展开式中奇数项的二项式系数和为16 D. 展开式中有理项一共有3项 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，根据二项式系数最大得到方程，求出；B选项，赋值法得到各项系数和；C选项，先求出二项式系数和，结合二项式系数的性质得到答案；D选项，写出展开式的通项公式，从而得到有理项的项数. 【详解】A选项，二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，即为奇数， 且与最大，所以，解得，A错误； B选项，中，令得，， 故展开式的各项系数和为243，B正确； C选项，展开式中的二项式系数和为，其中奇数项和偶数项的二项式系数和相等， 所以展开式中奇数项的二项式系数和为16，C正确； D选项，展开式通项公式为，，且为整数， 当时，满足要求，当时，满足要求，当时，满足要求， 综上，展开式中有理项一共有3项，D正确. 故选：BCD 11. 2026年3月“伊以冲突”到达“白热化巅峰期”，伊朗平均每天进行2－3波反击，单波发射数十架无人机做诱饵压制防空，再利用发射若干导弹对目标进行摧毁，策略是打赢和打瘫．据统计，伊朗主要采用了两种导弹作战：加德尔常规导弹和海巴尔高精导弹．不妨将两种导弹分别记为，已知两种导弹命中目标的概率分别为，假设在某波反击中两种导弹各发射10枚，每次发射的结果相互独立，击中目标的个数分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 且且 C. 若，则 D. 若当且仅当时，取得最大值，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由二项分布的期望公式和方差公式判断AC；利用二项分布的分布列判断BD. 【详解】由题意可知，，，则， 因为，所以，故A正确； 且， 且， 则， 当时，，故B错误； 因为， 且函数在上单调递减，， 所以，故C正确； ， 则当时， 若，则；若，则， 因为当且仅当时，取得最大值，所以， 则，故D正确. 三、填空题 12. 五名志愿者全部去三个不同的镇参加志愿活动，每个镇至少去一名志愿者，则不同的方案有___________种. 【答案】150 【解析】 【分析】根据题意，按照和两种方案进行分组分配，利用排列组合公式计算即可. 【详解】依题意，可以按照和两种方案进行分组分配. 当按照分组时，有种方案； 当按照分组时，有种方案. 故不同的方案有种. 13. 某校高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布，现调查统计三个年级共1000名男生，按照该校学生处的统一规定：校国旗班男生身高不低于190cm．估计可以备选的男生人数约为_____人．（四舍五入取整数） 参考数据：若，则， 【答案】23 【解析】 【分析】根据正态分布特殊区间的概率求解即可. 【详解】因为高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布, 所以男生身高不低于190cm的概率为, 所以估计可以备选的男生人数约为人. 14. 已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】将所求不等式变形为，构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，由已知等式结合函数的单调性可得出，可得，利用导数求出函数的最小值，即可求得实数的取值范围. 【详解】对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为 ， 由， 可得，即， 可得， 令，其中，，所以，函数为上的增函数， 由，可得， 所以，，所以，， 令，其中，则，列表如下： 减 极小值 增 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，，故， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 四、解答题 15. 已知函数. （1）求在点处的切线方程. （2）求的单调区间. 【答案】（1） （2）单调递增区间为：，单调递减区间为： 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求解； （2）求导，求解不等式进行求解． 【小问1详解】 ，得切点为， ，得， 得切线方程为：，即． 【小问2详解】 函数的定义域为， ， 由，得； 由，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为。 16. 已知． （1）求的值． （2）求的值． （3）求的值． 【答案】（1） （2）0 （3）12 【解析】 【分析】（1）根据二项展开式的结构即求的系数； （2）分别对二项式赋值，联立两式，计算即得； （3）对二项展开式两边求导，再代值计算即得. 【小问1详解】 由题意，可知为展开式中的系数，即， 故； 【小问2详解】 在中， 令，得；再令，可得， 两式相减，得； 【小问3详解】 由两边求导， 可得， 令，得. 17. DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织A，B两个部门全体员工共60人参加培训． （1）此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； （2）若每位员工经过培训后合格的概率为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）． 【答案】（1）分布列见解析，期望为 （2）万元 【解析】 【分析】（1）首先确定，根据超几何分布求概率，写出分布列和数学期望； （2）首先设为经过培训合格的人数，且，根据题意求所有员工每年创造的利润，再代入公式年利润公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，， ，，， 所以随机变量的分布列如下， 0 1 2 ； 【小问2详解】 设为经过培训合格的人数，，，不合格人数为， 员工为公司创造的利润为万元， 则万元， 公司的年利润为万元. 所以估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润为万元. 18. 2025年5月25日，多哈世界乒乓球锦标赛男单决赛，王楚钦战胜巴西选手雨果夺得冠军，夺得三大赛单打首冠；现有甲、乙两名乒乓球运动员进行日常训练. （1）假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； （2）若第一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为，若第一局甲失败，则下一局甲获胜的概率为，已知第一局甲获胜的概率为，在前两局比赛中，用X表示甲获胜的次数，求X的方差； （3）如果每局比赛甲获胜的概率为P，且，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，对于甲选手来说，选择哪种赛制获胜概率更大？请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）五局三胜对甲有利，理由见解析 【解析】 【分析】(1)三局两胜制甲胜有两种情况：前两局甲连胜、前两局甲胜一局且第三局甲胜； （2）三局两胜X的所有可能取值为0、1、2，分析每种取值所包含的事件并求出概率，代入期望公式求出期望，最后代入方差公式求方差. （3）首先分别求出两种赛制甲获胜的概率，然后作差比较大小，最后得出结论. 【小问1详解】 设事件“比赛采用三局两胜制甲胜”， 则. 【小问2详解】 X的所有可能取值为0，1，2， ，，. 所以期望为； 方差为； 【小问3详解】 采用三局二胜制进行比赛甲获胜的概率， 采用五局三胜制进行比赛甲获胜的概率： . 令， 因为时，，所以，选择五局三胜对甲有利. 19. 已知函数， （1）若在定义域内单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值； （3）若存在两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）在定义域内单调递增等价于恒成立，分离参数转化为最值问题求解； （2）由，构造同构函数，利用的单调性求解； （3）由极值点得双变量之间关系，将通过变量代换转化为关于的函数，利用导数判断单调性求其最值情况即可求解. 【小问1详解】 由题的定义域为，在恒成立，且的解不连续， 则， 所以的取值范围是； 【小问2详解】 当时，不等式可化为，变形为， 令，求导得，所以在上是增函数， 故，即，即， 所以对任意，不等式恒成立，即对任意恒成立， 令，则， 所以当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 所以，即满足不等式的实数的取值范围为， 所以的最小值为1； 【小问3详解】 因为存在两个不同的极值点， 所以由可得是方程的两根， 所以，且，， 所以，故， 又由可得， 而， 令， 则， ∵，∴，即， 则，所以在区间上单调递减， 所以有，即， 所以实数取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $