精品解析：河南省南阳市邓州市2025-2026学年中招第二次模拟考试数学试卷

邓州市2025~2026学年中招第二次模拟考试数学试卷 注意事项：1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，答题时间100分钟； 2．请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上． 1. 的相反数是( ) A. B. C. D. 3 2. 去年国庆黄金周，某区以“文化惠民生，旅游促消费”为主线，整合优质资源，优化文旅服务．据统计，假日期间，全区共接待游客96.7万人次，将96.7万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下图为年米兰冬奥会颁奖现场领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 在物理光学实验中，小明将一束激光从空气射入上、下表面平行的玻璃砖（如图）．光线从空气射到玻璃砖上表面点B并发生了折射，折射光线射到玻璃砖下表面C处，点D在的延长线上，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，D，E分别是的中点，点F在上，且，若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 为迎接2026年校园体育节，学校设置了篮球、羽毛球、乒乓球三个运动项目，每名学生从这三个项目中随机选一个参加，求小明和小亮两名同学都选择篮球项目的概率是多少？（ ） A. B. C. D. 9. 如图是的小正方形网格，小正方形的边长为，点和是格点，连接，在网格中画出以为直径的半圆，圆心为点，点是格点且在半圆上，连接，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 光合作用和呼吸作用是植物生命活动中至关重要的两个过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．某农科院为了更好地指导果农种植草莓，在至的气温，水资源及光照充分的条件下，得出光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率均随温度的变化而变化（如图），下列说法（仅考虑温度影响）不正确的是（ ） 小贴士 当呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率时，呼吸作用成为植物的主要活动，植物无法生长． A. 光合作用产氧速率是温度的函数 B. 随着温度升高，草莓的呼吸作用耗氧速率先增大后减小 C. 为了避免植物无法生长，可以将温度设定在之间 D. 最适合草莓的生长温度约为 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知，且是整数，则的一个值为________． 12. 某校开设了四个课外兴趣小组，如图是该校七年级学生参加课外兴趣小组人数的扇形统计图（每人参加且只参加一项）．若参加书法兴趣小组的人数是50人，则参加体育兴趣小组的人数是_____人． 13. 一组按规律排列的代数式为：，，，，，，第个代数式为____． 14. 如图，点在反比例函数的图象上，点在轴负半轴上，，平行四边形的面积为6，点的纵坐标为1，则＝____． 15. 如图，在矩形中，，，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在和上运动，将矩形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在矩形的对角线上时（不与长方形顶点重合），则的长为___． 三、解答题（共8小题75分） 16. 计算和化简 （1）； （2）． 17. 某校以“安全伴我行”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了安全知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于分（满分分）． 【收集数据】随机从七、八年级各抽取名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）． 【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用表示成绩，分成五组：A．，B．，C．，D．，E．）． 八年级学生成绩在组的具体数据是：，，，，，，，． 将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）： 【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92 92 100 57.4 八年级 92.6 100 49.2 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取的八年级学生测试成绩组的频率是________（用小数表示），抽取的八年级学生成绩的中位数________； （2）若参加安全知识竞赛，应选哪个年级？说明理由． （3）若八年级有名学生参加了此次测试，请估计此次参加测试的学生中，成绩不低于分的学生有多少人？ 18. 某数学学习小组在自主探究筝形(两组邻边分别相等的四边形叫筝形)的性质中，发现：过筝形较长对角线的中点作这条对角线的垂线，与筝形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用垂直平分线的性质以及证明三角形全等得到此结论．请根据以上信息完成以下作图与证明： （1）如图，筝形中，，，点是的中点．请用尺规作图过点作的垂线，与，分别交于点，点，连接，(不写作法，保留作图痕迹)． （2）根据筝形的定义，易证，请在此基础上，结合（1）中作图，求证：四边形是菱形． 19. 阅读理解，解决问题： 背景：随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生产生活，为人们的工作生活带来了便利．某农业公司欲购进甲、乙两种型号的农用无人机用来喷洒农药，甲型机比乙型机平均每小时少喷洒公顷农田，甲型机喷洒公顷农田所用时间与乙型机喷洒公顷农田所用时间相等．该农业公司共购进甲、乙两种型号的无人机架，其中甲型无人机万元／架，乙型无人机万元／架． 问题解决： （1）甲、乙两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ （2）若公司要求这批无人机每小时至少喷洒公顷农田，那么该公司如何购买甲型和乙型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本． 20. 周末，小明，小亮和小红去游乐园玩，他们分别排队去坐摩天轮，如图，地面PQ切摩天轮于点A，小明在摩天轮上M处时发现，小亮在A处正准备登上摩天轮，而小红在小明正下方的地面B处排队，若为摩天轮的直径，请解决以下问题． （1）求证：平分； （2）若摩天轮的直径为，且小明到地面的高度为，求小亮与小明之间的距离是多少？ 21. 某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于青草间，小华站在雕像前，自处测得雕像顶的仰角为，小刚站在教学楼门前的台阶上，自处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） （1）请计算台阶的高度； （2）求出孔子雕像的高度． 22. 根据年杭州体育中考实心球项目的评分标准，男生的投掷成绩是大于或等于米时获得满分分．如图，实心球投掷的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．男生小刚利用录像设备记录了自己某次投掷练习中实心球从出手到着陆的过程，通过测量得到实心球在空中运动时的水平距离（单位：米）与竖直高度（单位：米）的数据如表： 水平距离 竖直高度 （1）求实心球运动轨迹的抛物线解析式； （2）小刚在此次训练中是否得到满分，请说明理由； （3）体育老师根据视频给小刚提出了“出手高度和力度已经达到极限，要调整出手角度”的建议，体现在抛物线的解析式上可以理解为保持，值不变，调整值．求能使得小刚得到满分的的取值范围． 23. 综合与实践 旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将已知条件集中或转化，以达到解决问题的目的． （1）【初步探究】如图1，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，则的度数为________，的形状是________． （2）【类比探究】如图2，在正方形中，点在边上，点在边上，且满足角，，，求正方形的边长． （3）【拓展延伸】如图3，在四边形中，，与互余，，为对角线，且满足． ①将绕点逆时针旋转到，连接，在图3中补全图形； ②若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邓州市2025~2026学年中招第二次模拟考试数学试卷 注意事项：1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，答题时间100分钟； 2．请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上． 1. 的相反数是( ) A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解∶的相反数是3； 故选D． 2. 去年国庆黄金周，某区以“文化惠民生，旅游促消费”为主线，整合优质资源，优化文旅服务．据统计，假日期间，全区共接待游客96.7万人次，将96.7万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：万． 3. 下图为年米兰冬奥会颁奖现场领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：从正面看，该几何体是由三个矩形组成的图形，中间的矩形最高，左边的矩形高度次之，右边的矩形最矮， 故此领奖台的主视图是． 4. 在物理光学实验中，小明将一束激光从空气射入上、下表面平行的玻璃砖（如图）．光线从空气射到玻璃砖上表面点B并发生了折射，折射光线射到玻璃砖下表面C处，点D在的延长线上，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由两直线平行，内错角相等得到，根据对顶角相等得到，即可求出． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用合并同类项法则、同底数幂的除法法则、完全平方公式、单项式乘多项式法则逐一计算，即可判断正确选项． 【详解】解：选项A．，A错误． 选项B．，B错误． 选项C．，C错误． 选项D．，D正确． 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式，据此列出关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：由于方程有两个不相等的实数根， 则判别式 解得：． 7. 如图，在中，D，E分别是的中点，点F在上，且，若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出的长，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出的长，由此即可求出的长． 【详解】解：∵D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，D是的中点， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟知三角形中位线等于第三边的一半，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 8. 为迎接2026年校园体育节，学校设置了篮球、羽毛球、乒乓球三个运动项目，每名学生从这三个项目中随机选一个参加，求小明和小亮两名同学都选择篮球项目的概率是多少？（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出所有等可能的结果总数，再找出满足条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】∵每名学生从3个运动项目中选一个，各有3种等可能的选择，小明和小亮的选择相互独立， ∴两人选择项目的所有等可能结果总数为， ∵两名同学都选择篮球项目的结果只有1种， ∴所求概率为． 9. 如图是的小正方形网格，小正方形的边长为，点和是格点，连接，在网格中画出以为直径的半圆，圆心为点，点是格点且在半圆上，连接，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理求出扇形的半径和圆心角度数，再根据扇形面积、三角形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， 由网格可知，，， ，即， 是直角三角形， ， ． 10. 光合作用和呼吸作用是植物生命活动中至关重要的两个过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．某农科院为了更好地指导果农种植草莓，在至的气温，水资源及光照充分的条件下，得出光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率均随温度的变化而变化（如图），下列说法（仅考虑温度影响）不正确的是（ ） 小贴士 当呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率时，呼吸作用成为植物的主要活动，植物无法生长． A. 光合作用产氧速率是温度的函数 B. 随着温度升高，草莓的呼吸作用耗氧速率先增大后减小 C. 为了避免植物无法生长，可以将温度设定在之间 D. 最适合草莓的生长温度约为 【答案】C 【解析】 【分析】观察光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率的曲线，逐项判断即可． 【详解】解：选项A、在至范围内，每个温度值对应唯一的光合作用产氧速率，符合函数定义，故A正确； 选项B、观察图象中代表呼吸作用耗氧速率的曲线，其走势是先上升后下降，因此，草莓的呼吸作用耗氧速率先增大后减小，故B正确； 选项C、观察图象发现，在大约和时，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相等，在和时，草莓呼吸作用耗氧速率曲线在光合作用产氧速率曲线上方，此时植物不生长，因此为了避免植物无法生长，可以将温度设定在之间，故C错误； 选项D、最适合草莓的生长温度是光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差值最大时对应的温度，观察图象，两条曲线之间的垂直距离在温度大约为时达到最大，故D正确， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知，且是整数，则的一个值为________． 【答案】2（或3或4，答案不唯一） 【解析】 【分析】先估算无理数的取值范围，再结合已知条件确定整数的所有可能值，写出任意一个即可． 【详解】解：， ， 即． 又 ，且是整数， 满足条件的整数可以为（或3或4）． 12. 某校开设了四个课外兴趣小组，如图是该校七年级学生参加课外兴趣小组人数的扇形统计图（每人参加且只参加一项）．若参加书法兴趣小组的人数是50人，则参加体育兴趣小组的人数是_____人． 【答案】80 【解析】 【分析】用参加书法小组的人数除以其人数占比求出参加课外兴趣小组的总人数，再用参加课外兴趣小组的总人数乘以参加体育小组的人数占比即可得到答案． 【详解】解：∵人， ∴参加课外兴趣小组的总人数为200人， ∴参加体育兴趣小组的人数是人． 13. 一组按规律排列的代数式为：，，，，，，第个代数式为____． 【答案】 【解析】 【分析】分别观察已知代数式中分母和字母次数的变化规律，归纳得到一般结论 【详解】解：观察已知代数式可得： 第个代数式为， 第个代数式为， 第个代数式为， ... 由此归纳可得，第个代数式中，的次数为，分母为， 因此第个代数式为 14. 如图，点在反比例函数的图象上，点在轴负半轴上，，平行四边形的面积为6，点的纵坐标为1，则＝____． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行四边形对边平行且相等的坐标平移规律，结合平行四边形面积公式求出点坐标，再代入反比例函数解析式求． 【详解】解：点在轴负半轴，， ， 点纵坐标为，四边形是平行四边形， ，， 竖直方向：纵坐标、纵坐标，竖直距离； 设，由平行四边形坐标平移：向右平移个单位、向下平移3个单位到点，则纵坐标：， 平行四边形面积底水平宽： 以为竖直参考，，得， 由图象得，在第二象限， ， 即， 把代入： ． 15. 如图，在矩形中，，，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在和上运动，将矩形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在矩形的对角线上时（不与长方形顶点重合），则的长为___． 【答案】或 【解析】 【分析】矩形对角线有两条：、，分落在对角线上，在边上以及落在对角线上，在上两种情况讨论算出长度． 【详解】解：矩形， ，，， ， ①落在对角线上，在边上， 由折叠性质：，，，，， 由是中点，得， ， ， ， ， ， ； ②落在对角线上，在上， 设交于点，连接， 由折叠性质：，， 又， ， ， 又， ， ， ， 的长为或． 三、解答题（共8小题75分） 16. 计算和化简 （1）； （2）． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算绝对值、算术平方根、负整数指数幂，再进行加减运算； （2）先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分得到最简分式． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解： ． 17. 某校以“安全伴我行”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了安全知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于分（满分分）． 【收集数据】随机从七、八年级各抽取名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）． 【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用表示成绩，分成五组：A．，B．，C．，D．，E．）． 八年级学生成绩在组的具体数据是：，，，，，，，． 将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）： 【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92 92 100 57.4 八年级 92.6 100 49.2 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取的八年级学生测试成绩组的频率是________（用小数表示），抽取的八年级学生成绩的中位数________； （2）若参加安全知识竞赛，应选哪个年级？说明理由． （3）若八年级有名学生参加了此次测试，请估计此次参加测试的学生中，成绩不低于分的学生有多少人？ 【答案】（1）； （2）八年级； 理由：由表可知，七年级学生的平均数、中位数都小于八年级，七年级学生成绩方差为，八年级学生成绩方差为， ， 八年级学生成绩更整齐，参加安全知识竞赛最适合 （3） 【解析】 【分析】（1）根据组的频数除以八年级抽取的总人数即可得到组的频率；根据中位数的定义和计算方法即可得到的值； （2）由七、八年级学生成绩的方差的大小即可得出结论； （3）用总人数乘样本中八年级学生成绩不低于分的学生的频率即可． 【小问1详解】 解：八年级抽取了名学生的成绩，组（）对应的频数是， 组的频率为， 八年级抽取了名学生的成绩， 中位数为第名学生和第名学生成绩的平均数， 由频数分布直方图可知，第名学生和第名学生成绩均在组， 第名学生和第名学生成绩分别为、， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：成绩不低于分的学生有：（人）． 18. 某数学学习小组在自主探究筝形(两组邻边分别相等的四边形叫筝形)的性质中，发现：过筝形较长对角线的中点作这条对角线的垂线，与筝形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用垂直平分线的性质以及证明三角形全等得到此结论．请根据以上信息完成以下作图与证明： （1）如图，筝形中，，，点是的中点．请用尺规作图过点作的垂线，与，分别交于点，点，连接，(不写作法，保留作图痕迹)． （2）根据筝形的定义，易证，请在此基础上，结合（1）中作图，求证：四边形是菱形． 【答案】（1） （2）证明：经过的中点，且， ，． ，，， ． ． 于点， ． ． ． ． ． 四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据题意过点作的垂线，与，分别交于点，点，连接，； （2）根据垂直平分线的性质可得，，证明，，进而得出，即可证明四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 阅读理解，解决问题： 背景：随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生产生活，为人们的工作生活带来了便利．某农业公司欲购进甲、乙两种型号的农用无人机用来喷洒农药，甲型机比乙型机平均每小时少喷洒公顷农田，甲型机喷洒公顷农田所用时间与乙型机喷洒公顷农田所用时间相等．该农业公司共购进甲、乙两种型号的无人机架，其中甲型无人机万元／架，乙型无人机万元／架． 问题解决： （1）甲、乙两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ （2）若公司要求这批无人机每小时至少喷洒公顷农田，那么该公司如何购买甲型和乙型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本． 【答案】（1）甲型无人机每小时喷洒公顷，乙型无人机每小时喷洒公顷 （2）采购甲型无人机台，乙型机台时总费用最少，最少费用为万元 【解析】 【分析】（）设甲型无人机每小时喷洒公顷，则乙型每小时喷洒公顷，根据题意列出方程解答即可求解； （）设甲型无人机台，则乙型无人机台，总费用为万元，根据题意求出的取值范围和与的函数解析式，再根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：设甲型无人机每小时喷洒公顷，则乙型每小时喷洒公顷， 由题意得， 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲型无人机每小时喷洒公顷，乙型无人机每小时喷洒公顷； 【小问2详解】 解：设甲型无人机台，则乙型无人机台，总费用为万元， 由题意得，， 解得， 又由题意得，， ∵， 的值随的增大而减小， 当时，（万元）， 此时乙型无人机（台）， 答：采购甲型无人机台，乙型机台时总费用最少，最少费用为万元． 20. 周末，小明，小亮和小红去游乐园玩，他们分别排队去坐摩天轮，如图，地面PQ切摩天轮于点A，小明在摩天轮上M处时发现，小亮在A处正准备登上摩天轮，而小红在小明正下方的地面B处排队，若为摩天轮的直径，请解决以下问题． （1）求证：平分； （2）若摩天轮的直径为，且小明到地面的高度为，求小亮与小明之间的距离是多少？ 【答案】（1）见解析 （2）60米 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质： （1）连接，结合切线的性质可得，从而得到，再由，可得，即可求证； （2）证明，即可解答． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∵切于， ∴． 由题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴平分； 【小问2详解】 解：∵直径， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 答：小亮与小明之间的距离是60米． 21. 某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于青草间，小华站在雕像前，自处测得雕像顶的仰角为，小刚站在教学楼门前的台阶上，自处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） （1）请计算台阶的高度； （2）求出孔子雕像的高度． 【答案】（1）台阶的高度为 （2）孔子雕像的高度为 【解析】 【小问1详解】 解：作， 由题意，得，，，，， ∵教学楼门前台阶斜坡的坡比为， ∴， ∴． 答：台阶DE的高度为． 【小问2详解】 解：设，则， 在中，，∴， 在中，，∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 答：孔子雕像的高度为． 22. 根据年杭州体育中考实心球项目的评分标准，男生的投掷成绩是大于或等于米时获得满分分．如图，实心球投掷的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．男生小刚利用录像设备记录了自己某次投掷练习中实心球从出手到着陆的过程，通过测量得到实心球在空中运动时的水平距离（单位：米）与竖直高度（单位：米）的数据如表： 水平距离 竖直高度 （1）求实心球运动轨迹的抛物线解析式； （2）小刚在此次训练中是否得到满分，请说明理由； （3）体育老师根据视频给小刚提出了“出手高度和力度已经达到极限，要调整出手角度”的建议，体现在抛物线的解析式上可以理解为保持，值不变，调整值．求能使得小刚得到满分的的取值范围． 【答案】（1）； （2）小刚不能得到满分， 理由：当时，解得舍去，， ， 小刚在此次训练中不能得到满分； （3）． 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）令代入解析式求出值与比较即可得到结论； （3）设调整后抛物线解析式为，当时，，令，求出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为，由表中数据可得： ， 解得， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设调整后抛物线解析式为， 当时，， 令， 解得， 的取值范围为：． 23. 综合与实践 旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将已知条件集中或转化，以达到解决问题的目的． （1）【初步探究】如图1，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，则的度数为________，的形状是________． （2）【类比探究】如图2，在正方形中，点在边上，点在边上，且满足角，，，求正方形的边长． （3）【拓展延伸】如图3，在四边形中，，与互余，，为对角线，且满足． ①将绕点逆时针旋转到，连接，在图3中补全图形； ②若，，请直接写出的长． 【答案】（1）；等腰直角三角形 （2）6 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可知和都是等腰直角三角形，即可求解； （2）将绕点逆时针旋转得到，证明，设正方形边长为，则，，结合勾股定理即可解题； （3）①根据题意补全图形即可；②证明，得到，再根据勾股定理求出的长，即可解答． 【小问1详解】 解：由旋转的性质得：，， ∴是等腰直角三角形， ∴； 由旋转的性质得：，， ∴的形状是等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：如图，将绕点逆时针旋转得到， ∵正方形， ∴， 由旋转的性质可得，，，， ∵， ∴，，三点共线． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． 设正方形的边长为，则，， 在中，，即， 解得，（负值舍去）． ∴正方形的边长为6． 【小问3详解】 解：①略 ②由旋转的性质可得，，，， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵与互余，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $