精品解析：山东青岛二中2025-2026学年下学期高二数学月考阶段性复习一

青岛二中高二数学月考阶段性复习（一） 姓名：__________班级：__________考号：__________ 一、单选题 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的运算法则和复合函数的导数公式求解. 【详解】A. ，故错误； B. ，故错误； C. ，故错误； D. ，故正确； 故选：D 2. 已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则＝（ ） X －1 0 a 2 P b A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率之和等于建立等式求解出，再利用期望的性质及算法建立等式求解，即可求解． 【详解】由题意知， 解得， 因为，所以，即， 则， 解得，所以， 故选：C． 3. 根据生物实验中的一组数据作出如图所示的散点图，并对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点，增加点后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比（ ） A. 决定系数变小 B. 残差平方和变小 C. 相关系数变大 D. 不变 【答案】A 【解析】 【详解】增加点，从散点图中可以看出拟合效果变差； 决定系数越接近1，拟合效果越好，所以拟合效果变差后决定系数变小，故A正确； 残差平方和越小，拟合效果越好，所以残差平方和变大，故B错误； 越接近1，相关程度越强，拟合效果越好，由于两个变量成正相关，所以相关系数变小，故C错误； 增加点前的的平均数为，增加点后的的平均数为， 所以变大，故D错误. 4. 若的展开式中的各项系数的和为1，则该展开式中的常数项为（ ） A. 672 B. -672 C. 5376 D. -5376 【答案】A 【解析】 【分析】先根据的展开式中的各项系数的和为1，求解，然后利用通项公式可得常数项. 【详解】因为的展开式中的各项系数的和为1， 所以，即； 的通项公式为， 令得，所以展开式中的常数项为. 【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的常数项，利用通项公式是求解特定项的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 5. 一个盒子中有个白球个红球，从中任意取个球，则在所取的球中有一个是红球的情况下，另一个也是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】记事件所选的个球中至少有个红球，记事件所选的个球都是红球，利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件所选的个球中有个是红球，记事件所选的个球都是红球， 则，， 因此，所求概率为. 故选：A. 6. 大约公元前300年，欧几里得在他所著《几何原本》中证明了算术基本定理：每一个比1大的数每个比1大的正整数要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的，即任何一个大于1的自然数不为素数能唯一地写成其中是素数，是正整数，，，将上式称为自然数N的标准分解式，且N的标准分解式中有个素数．从120的标准分解式中任取3个素数，则一共可以组成不同的三位数的个数为（    ） A. 6 B. 13 C. 19 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得出从2，2，2，3，5这5个素数中任取3个组成三位数，分三种情况，结合排列数和组合数的公式，即可求解. 【详解】根据自然数的标准分解式可得， 故从2，2，2，3，5这5个素数中任取3个组成三位数，有下列三种情况： ①选取3个2，可以组成1个三位数； ②选取2个2后，再从3或5中选一个，可以组成个不同的三位数； ③选取2，3，5，可以组成个不同的三位数， 所以从120的标准分解式中任取3个素数，一共可以组成个不同的三位数． 故选：B. 7. 已知函数是上的奇函数，当时，不等式恒成立，则整数的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意有，即可得，进而可知其为增函数，由不等式恒成立结合的单调性有，令利用导数研究的最值，即可求的取值范围，可得最小值. 【详解】由题意知：，即，所以， ∴函数为上的增函数，不等式恒成立，又， ∴，得，即， 令，，当时，，单调递增；当时，，单调递减， ∴当时，取极大值也是最大值，最大值为， 即，又，有. 故选：A 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性及不等式恒成立求参数的最值，综合应用了单调性解不等式、导数研究不等式恒成立等知识点，属于中档题. 8. 近期浙江大学、复旦大学、南京大学三所学校发布了2024年冬令营招生简章，现有甲、乙、丙、丁四位同学报名，每位同学只能选一所大学，每所大学至少有一名同学报名，且甲同学不报南京大学，则不同的报名方法共有（ ） A. 16种 B. 20种 C. 24种 D. 28种 【答案】C 【解析】 【分析】根据甲不报考南京大学，分为两类：第1类：甲单独报名一个学校，第2类，甲和其中一名同学报名一个学校，结合分类计数原理，即可求解. 【详解】由甲不报考南京大学，可分为两类： 第1类：甲单独报名一个学校，则有种不同的报考方法； 第2类，甲和其中一名同学报名一个学校，则有种不同的报考方法，由分类计数原理，可得共有12+12=24种不同的报考方法. 故选：C 二、多选题 9. 袋中有8个大小相同的球，其中3个黑球、5个白球.现从中任取4个球，记这4个球中黑球的个数为，则（ ） A. 随机变量服从超几何分布 B. C. D. 记这4个球中白球的个数为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据超几何分布的定义即可求解；对于B，求出和即可求解；对于C，根据即可求解；对于D，根据即可求解. 【详解】对于A，超几何分布的定义为从含个成功元素中无放回抽取个，成功次数服从超几何分布，符合定义，故A正确； 对于B，， ，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，所以，故C错误； 对于D，因为，故D正确. 故选：ABD. 10. 设D是含数1的有限实数集，是定义在D上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则下列选项中的取值可能为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】BD 【解析】 【分析】先阅读理解题意，则问题可转化为圆上有6个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合，再结合函数的定义逐一检验即可． 【详解】由题意可得，问题相当于圆上由6个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合； 设处的点为， ∵的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合， ∴旋转后的对应点也在的图象上， 同理旋转后的对应点也在图象上， 以此类推，对应的图象可以为一个圆周上6等分的6个点； 对于A，当时，与正半轴夹角为， 所以，此时，，此时，不满足函数定义，故A错误； 对于B， 当时，与正半轴夹角的正切值为，此时每个只对应一个，满足函数定义，故B正确； 对于C，当时，与正半轴夹角为， 即，此时，，此时，不满足函数定义，故C错误； 对于D， 当时，与正半轴夹角为，此时每个只对应一个，满足函数定义，故D正确； 故选：BD． 11. 已知随机变量，，，，记，其中，，则（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用随机变量概率的性质证明选项A判断正确；利用二项分布数学期望的性质证明选项B判断正确；举反例否定选项C；利用单调性证明选项D判断正确. 【详解】对于A，，所以A正确； 对于B，因为，所以B正确； 对于C，当时，，所以C错误； 对于D，因为，所以当时，最大，所以D正确； 证明如下：若，则， 若，则，解得， 故当时，单调递增，当时，单调递减， 即当为整数时，或时，取得最大值， 当不为整数，k为的整数部分时，取得最大值． 故选：ABD． 三、填空题 12. 曲线在点处的切线方程为______________． 【答案】； 【解析】 【分析】根据导数的几何意义结合直线的点斜式方程运算求解. 【详解】解：由可得， 所以切线的斜率为 则切线方程为，即， 故答案为： 13. 某校数学兴趣小组，在研究随机变量的概率分布时，发现离散型随机变量的取值与其概率的函数关系为（为参数），则这个随机变量的数学期望___________. 【答案】 【解析】 【分析】由离散型随机变量分布列性质概率和为1得到，利用期望计算公式得 ，再利用倒序相加可得答案. 【详解】由离散型随机变量分布列性质： ，得， 所以，① ，② 由① +②得： ， 所以. 故答案为：5. 14. 乒乓球被称为我国的“国球”.甲､乙两名运动员进行乒乓球比赛，其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的. ①若比赛为五局三胜制，则需比赛五局才结束的概率为__________. ②若两人约定其中一人比另一人多赢两局时比赛结束，则需要进行的比赛局数的数学期望为__________. 附：当时，，. 【答案】 ①. ##0.2109375 ②. 【解析】 【分析】由已知可得前四局双方为，即可求出答案①；由已知可推得，需要比赛局数为偶数，且.进而可设，，根据错位相加法求出的前项和为，进而求出的极限即可得出答案. 【详解】①需比赛五局才结束，则说明前四局双方为，概率为. ②假设比赛局数为随机变量， 由已知，需比赛局数为偶数，则可取. 则， 当时，双方前局战为平局，且任意前（，且）局双方均战为平局， 则，显然，满足该式. 设，则有， 所以，是以为首项，为公比的等比数列. 设，则. 设的前项和为，则， ， 作差可得， ， 整理可得，. 由题意可得，，. 则. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：当时，由题意可知，双方前局战为平局，且任意前（，且）局双方均战为平局， 则. 四、解答题 15. 已知函数 （1）求函数的单调区间和极值； （2）若方程恰有一个实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为，的极大值为，的极小值为 （2）. 【解析】 【分析】（1）对进行求导，然后利用导数去求的单调区间和极值. （2）根据（1）大致作出的图象，由图象确定的取值范围. 【小问1详解】 ，. 令，解得或. 递增 极大值 递减 极小值 递增 的单调递增区间为和，单调递减区间为， 的极大值为，的极小值为. 【小问2详解】 由（1）可知的极大值为，的极小值为. 当，，作出的大致图象如下： 要使恰有一个实数解，则的图象与的图象有且仅有一个交点， 由图象可得的取值范围为. 16. 某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高y（单位：）与父亲身高x（单位：）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表： 父亲身高 160 170 175 185 190 儿子身高 170 174 175 180 186 （1）根据表中数据，求出关于的线性回归方程，并利用回归直线方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？ （2）记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差.求（1）中儿子身高的残差的和､并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立加以证明；若不成立说明理由. 参考数据及公式： . 【答案】（1），时，儿子比父亲高；时，儿子比父亲矮， 儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高度的趋势. （2）0；任意具有线性相关关系的变量，证明如下： 由可得， 所以， 又，所以， 结论：对任意具有线性相关关系的变量， 证明：. 【解析】 【分析】（1）根据已知求得回归方程的系数，即可得回归方程，解不等式可得到结论； （2）结合题中数据进行计算，可求得儿子身高的残差的和，从而可得结论，结合回归方程系数的计算公式即可证明. 【小问1详解】 由题意得，，，所以回归直线方程为， 令得，即时，儿子比父亲高； 令得，即时，儿子比父亲矮， 可得当父亲身高较高时，儿子平均身高要矮于父亲，即儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高度的趋势. 【小问2详解】 略 17. 已知函数. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）若，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导根据单调性得到，根据函数的单调性计算最值得到答案. （2）确定函数定义域，构造，分别求导得到函数得到单调区间，计算最大最小值得到证明. 【小问1详解】 ，， 在上单调递增，故在上恒成立， 即， 设，函数在上单调递增，故，即， 故. 【小问2详解】 ，，， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 故. 设，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； ， 故，即，即恒成立，得证. 【点睛】关键点睛：本题考查了根据函数的单调区间求参数，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将不等式的证明转化为求两个函数的最值是解题的关键. 18. 在某项体育比赛中，从第2局开始，选手每次对局获胜的概率受到前一局的影响．现甲、乙两位运动员对局，第一局甲胜的概率为；若前一局甲负，则下一局甲胜的概率是；若前一局甲胜，则下一局甲胜的概率为．比赛没有平局． （1）求甲在第3局中获胜的概率； （2）现设置300万元奖金，若甲在前3局中已经胜了2局，如果停止比赛，那么甲拿走奖金的，如果再继续比赛一局，第4局甲获胜，甲拿走奖金的，第4局甲失败，甲拿走奖金的，请问甲将如何决策，以期拿走更多的奖金． 【答案】（1） （2）选择停止比赛，拿到奖金的期望更高 【解析】 【分析】（1）由相互独立事件、互斥事件的概率计算可得答案； （2）计算出停止比赛甲拿到奖金的期望、再继续比赛一局甲拿到奖金的期望可得答案. 【小问1详解】 站在甲的角度，甲在第3局中获胜包含4种情况：胜胜胜，胜负胜，负胜胜，负负胜， 所以甲在第3局中获胜的概率； 【小问2详解】 方案一：停止比赛，甲拿到奖金的期望为（万元）． 方案二；设甲在前3局中已经胜了2局的情况下第4局获胜的事件为， 前三局的情况有： 胜胜负，概率； 胜负胜，概率； 负胜胜，概率． 再继续比赛，第4局甲获胜的概率 ， 第4局甲失败的概率， 所以甲拿到奖金的期望（万元）． 因为，所以选择停止比赛，拿到奖金的期望更高． 【点睛】思路点睛：解决决策性问题的关键是比较衡量指标的大小关系，所以根据题意准确求出衡量指标是根本，其基本的解题步骤如下：（1）准确定位，即确定事件的性质，这是准确建立模型、求解概率的基础；（2）建立目标，根据概率知识求出衡量指标的目标式，如果没有特殊要求，则需要求出数学期望与方差两个方面的指标值；（3）比较大小，比较衡量指标的大小，一般采用作差法或作商法比较大小，如果没有特殊要求，则需要先比较变量取值的平均水平——数学期望，若两者相同，则进一步比较变量取值的离散集中程度——方差；（4）做出决策，根据衡量指标值的大小，做出相应的决策． 19. 已知函数． （1）若函数，求函数的单调区间； （2）若函数有两个不同的零点，记两个零点分别为，且． ①求a的取值范围； ②已知，若不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）先化简，求导得，按与分类，根据导数的正负判断单调区间； （2）①有两个零点等价于，求的单调性与最大值，结合图象得； ②由零点条件将不等式转化为，代入，换元，构造函数，求导分析单调性得． 【小问1详解】 由题意得的定义域为，， 当时，，则在区间内单调递增； 当时，由，得，（舍去）， 当时，，单调递增，当时，，单调递减． 所以当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 ①依题意，函数的定义域为， 所以函数有两个不同的零点， 可得方程在有两个不同根， 得到函数与函数的图象在上有两个不同交点， 又，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 又有且只有一个零点是1，且在时，，在时，， 如图，的图象如下： 可见，要想函数与函数在图象上有两个不同交点，只需． ②由①可知分别为方程的两个根，即，， 所以原式等价于． 因为，，所以原式等价于． 又由，作差得，，即， 所以原式等价于． 因为，原式恒成立，即恒成立， 令，，则不等式在上恒成立． 令，则． 当时，可见时，，所以在上单调递增， 又，在恒成立，符合题意； 当时，可见当时，；当时，， 所以在时单调递增，在时单调递减． 又，所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去． 综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛二中高二数学月考阶段性复习（一） 姓名：__________班级：__________考号：__________ 一、单选题 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则＝（ ） X －1 0 a 2 P b A. B. 1 C. D. 3. 根据生物实验中的一组数据作出如图所示的散点图，并对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点，增加点后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比（ ） A. 决定系数变小 B. 残差平方和变小 C. 相关系数变大 D. 不变 4. 若的展开式中的各项系数的和为1，则该展开式中的常数项为（ ） A. 672 B. -672 C. 5376 D. -5376 5. 一个盒子中有个白球个红球，从中任意取个球，则在所取的球中有一个是红球的情况下，另一个也是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 大约公元前300年，欧几里得在他所著《几何原本》中证明了算术基本定理：每一个比1大的数每个比1大的正整数要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的，即任何一个大于1的自然数不为素数能唯一地写成其中是素数，是正整数，，，将上式称为自然数N的标准分解式，且N的标准分解式中有个素数．从120的标准分解式中任取3个素数，则一共可以组成不同的三位数的个数为（    ） A. 6 B. 13 C. 19 D. 60 7. 已知函数是上的奇函数，当时，不等式恒成立，则整数的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 近期浙江大学、复旦大学、南京大学三所学校发布了2024年冬令营招生简章，现有甲、乙、丙、丁四位同学报名，每位同学只能选一所大学，每所大学至少有一名同学报名，且甲同学不报南京大学，则不同的报名方法共有（ ） A. 16种 B. 20种 C. 24种 D. 28种 二、多选题 9. 袋中有8个大小相同的球，其中3个黑球、5个白球.现从中任取4个球，记这4个球中黑球的个数为，则（ ） A. 随机变量服从超几何分布 B. C. D. 记这4个球中白球的个数为，则 10. 设D是含数1的有限实数集，是定义在D上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则下列选项中的取值可能为（ ） A. B. 1 C. D. 2 11. 已知随机变量，，，，记，其中，，则（ ） A. B. C. D. 若，则 三、填空题 12. 曲线在点处的切线方程为______________． 13. 某校数学兴趣小组，在研究随机变量的概率分布时，发现离散型随机变量的取值与其概率的函数关系为（为参数），则这个随机变量的数学期望___________. 14. 乒乓球被称为我国的“国球”.甲､乙两名运动员进行乒乓球比赛，其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的. ①若比赛为五局三胜制，则需比赛五局才结束的概率为__________. ②若两人约定其中一人比另一人多赢两局时比赛结束，则需要进行的比赛局数的数学期望为__________. 附：当时，，. 四、解答题 15. 已知函数 （1）求函数的单调区间和极值； （2）若方程恰有一个实数解，求实数的取值范围. 16. 某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高y（单位：）与父亲身高x（单位：）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表： 父亲身高 160 170 175 185 190 儿子身高 170 174 175 180 186 （1）根据表中数据，求出关于的线性回归方程，并利用回归直线方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？ （2）记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差.求（1）中儿子身高的残差的和､并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立加以证明；若不成立说明理由. 参考数据及公式： . 17. 已知函数. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）若，证明：. 18. 在某项体育比赛中，从第2局开始，选手每次对局获胜的概率受到前一局的影响．现甲、乙两位运动员对局，第一局甲胜的概率为；若前一局甲负，则下一局甲胜的概率是；若前一局甲胜，则下一局甲胜的概率为．比赛没有平局． （1）求甲在第3局中获胜的概率； （2）现设置300万元奖金，若甲在前3局中已经胜了2局，如果停止比赛，那么甲拿走奖金的，如果再继续比赛一局，第4局甲获胜，甲拿走奖金的，第4局甲失败，甲拿走奖金的，请问甲将如何决策，以期拿走更多的奖金． 19. 已知函数． （1）若函数，求函数的单调区间； （2）若函数有两个不同的零点，记两个零点分别为，且． ①求a的取值范围； ②已知，若不等式恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $