期末复习：与斜面结合的平抛运动、与曲面结合的平抛运动 专项训练-2025-2026学年高一下学期物理粤教版必修第二册

**基本信息** 以模型化方法系统整合平抛运动与斜面、曲面的约束问题，通过分类提炼与典例迁移，深化运动和相互作用观念及科学推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |与斜面结合的平抛运动|4题（2例+2变式）|按位移/速度约束建立偏角关系，推导时间、速度、位移公式|平抛运动规律→斜面几何约束→模型化公式推导| |与曲面结合的平抛运动|6题（3例+3变式）|平抛参数方程与曲面方程联立，求解时间及临界条件|平抛运动规律→曲面解析方程→坐标关系联立求解|

期末复习：与斜面结合的平抛运动、与曲面结合的平抛运动专项训练 期末复习：与斜面结合的平抛运动、与曲面结合的平抛运动专项训练 考点目录 与斜面结合的平抛运动 与曲面结合的平抛运动 考点一 与斜面结合的平抛运动 模型1：平抛后落到斜面上（位移约束） 斜面倾角，位移偏角等于斜面倾角： 1. 运动时间： 2. 速度偏角： 3. 斜面落点距离抛出点斜面长度： 模型2：速度垂直打在斜面上（速度约束） 速度矢量垂直斜面，速度偏角满足 模型3：速度平行斜面 速度偏角等于， 例1．（25-26高一下·广东佛山·期中）如图所示，在水平地面上固定一倾角θ=37°的斜面体ABC，AC长为l=8m，A正上方一小物体距离地面高h=8m，将物体以水平速度v0向右抛出，不计空气阻力，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8。 (1)若物体恰好击中C点，求v0大小； (2)若物体以v0=4m/s水平抛出，求物体击中斜面体AC某点D的飞行时间t； (3)若物体击中斜面体AC中点，则初速度v0大约是多少？（） 例2．（25-26高一下·广东惠州·阶段检测）一名乘雪橇的滑雪运动员进行训练，从高为跳台边缘处以不同的初速度水平滑出。已知斜面有倾角为45°，重力加速度取。 (1)由于水平初速度过大，滑雪运动员沿虚线运动落到水平面。落点到斜面底端的距离与台高相等，求滑雪运动员着地时速度方向与水平方向间的夹角； (2)当水平初速度为时，求滑雪运动员着地时速度大小。 变式1．（24-25高一下·广东广州·阶段检测）第24届冬季奥林匹克运动会2022年2月4日-2022年2月20日在北京举办，如图所示，中国选手跳台滑雪运动员谷爱凌在一次比赛时，经过一段时间的加速滑行后从点水平飞出，经过3s落到斜坡上的点。已知点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角，不计空气阻力（取）。求： (1)点与点的距离； (2)谷爱凌离开点时的速度大小； (3)谷爱凌从点飞出开始到离斜坡距离最远所用的时间和距离 变式2．（25-26高一下·云南红河·期中）跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后在斜坡上着陆。如图所示为跳台滑雪的雪道简化示意图，现有一运动员从跳台处以初速度沿水平方向飞出，在斜坡处着陆，测得运动员在落点处时速度与水平方向间的夹角为，运动员可看成质点。不考虑空气阻力对运动的影响，重力加速度。求：（以下计算结果可以保留根号） (1)该运动员在空中飞行的时间； (2)点到点间的距离。 考点二 与曲面结合的平抛运动 一、解题步骤 1. 分清约束是位移还是速度； 1. 水平：，竖直：； 1. 用倾角正切建立方程求时间，再求位移、速度。 二、圆形曲面（高频） 设圆方程 物体平抛坐标： 代入圆方程得到关于的一元方程，求解落地时间。 特殊结论：从圆弧顶端水平抛出、撞击圆弧边界，常用几何半径构建直角三角形找坐标关系。 三、抛物形曲面 曲面本身是二次曲线，把平抛代入联立，解交点时刻。 通用解法 1. 写出平抛参数方程； 1. 带入曲面解析式，得到含的方程； 1. 解方程得运动时间；相切临界用判别式； 1. 回代求落点、速度、最小/最大初速度。 例1．（25-26高一下·广东江门·阶段检测）如图为一游戏活动中某个环节场景的示意图。参与活动的选手会遇到一个人造山谷，是高的竖直墙壁，是以点为圆心、为半径的圆弧形坡，，点右侧是一段水平跑道。选手可以自点借助绳索下降到点后再爬上水平跑道，但身体素质好的选手会选择自点直接跃上水平跑道。选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度。 (1)若选手从点水平跳出后能落到水平跑道上，求该选手跳出时速度的最小值； (2)若选手以速度从点水平跳出，求该选手从跳出到落地的时间。 例2．（25-26高一下·广东佛山·阶段检测）如图所示，半径为的四分之一圆弧体固定在光滑水平面上，质量为2m、长为的长木板静止在光滑水平面上，长木板的左端与图弧体接触，长木板的上表面与圆弧面的最低点水平相切，上表面光滑的木板固定在水平面上，木板的上表面与长木板的上表面在同一水平面上，半径为的固定圆弧面DE的圆心在木板的上表面右端，将质量为的物块在圆弧体的圆弧面上某一位置由静止释放，运动到圆弧体最低点时对圆弧体的压力大小等于2mg，重力加速度为，物块滑上长木板后，与碰撞前，物块与已共速，与共速时，刚好不滑离长木板B，B与碰撞后立即与粘在一起且处于静止，不计物块的大小，求： (1)物块刚滑到圆弧体圆弧面最低点时的速度大小； (2)物块与长木板间的动摩擦因数和开始时长木板右端到木板左端距离的最小值； (3)物块从抛出到落到圆弧面DE上所用的时间。 例3．（25-26高一下·河北衡水·期中）如图所示，质量为m的滑块（可视为质点）从光滑平台的端点A以一定初速度水平飞出后，恰好从B点无碰撞滑入竖直平面内的光滑圆弧轨道BC。A、B两点的高度差为h，光滑圆弧半径OB与竖直方向夹角为53°，重力加速度为g，不计空气阻力，sin53°=0.8，cos53°=0.6。求： (1)滑块从A到B的时间t； (2)滑块从A点飞出的速度v0和在B点时的速度v1的大小。 变式1．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点。水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP，其形状为半径的圆环剪去了左上角135°的圆弧，MN为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离也是R。用质量的物块将弹簧缓慢压缩到C点释放，物块过B点后其位移与时间的关系为，物块飞离桌面后由P点沿切线落入圆轨道。，求： (1)物块在水平桌面上受到的摩擦力； (2)B、P间的水平距离。 变式2．（25-26高一下·广东汕头·月考）如图，在粗糙水平台阶上Q点放置一质量可视为质点的小物块，在台阶右侧固定了一个圆弧挡板，圆弧半径，圆弧的圆心在台阶边缘O点。小物块在与水平方向成、大小的拉力作用下，从静止开始沿粗糙水平面做加速度为的匀加速直线运动，到O点时撤去拉力，小物块水平抛出并击中挡板。不计空气阻力，重力加速度取，，，求： (1)小物块与台阶平面间的动摩擦因数； (2)若小物块击中挡板上的P点，OP与水平方向夹角为，求小物块由Q运动到O的时间； (3)以O点为原点、水平向右为、竖直向下为建立平面直角坐标系。改变小物块出发点的位置，可使其击中挡板上的不同点，欲使其击中挡板时的速度最小，求击中挡板的点的纵坐标（结果可保留根式）。 变式3．（25-26高一下·广东湛江·月考）“冲关”类节目中有这样一个环节，选手遇到一个人造山谷AOB，BC段是长为的水平跑道，选手需要自A点水平跃出冲上水平跑道，其中AO是高的竖直峭壁，OB是以A点为圆心的弧形坡，，选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度。 （1）选手从A点水平跃出后经多少时间落到水平跑道上？ （2）若要落在BC段上，选手的速度应该满足什么范围？ （3）如果选手不幸掉落在OB弧面上，速度会不会与OB弧面垂直？如果会，推出选手落在OB弧面上初速度应具备的规律（用、R、g表示）？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：与斜面结合的平抛运动、与曲面结合的平抛运动专项训练 期末复习：与斜面结合的平抛运动、与曲面结合的平抛运动专项训练 考点目录 与斜面结合的平抛运动 与曲面结合的平抛运动 考点一 与斜面结合的平抛运动 模型1：平抛后落到斜面上（位移约束） 斜面倾角，位移偏角等于斜面倾角： 1. 运动时间： 2. 速度偏角： 3. 斜面落点距离抛出点斜面长度： 模型2：速度垂直打在斜面上（速度约束） 速度矢量垂直斜面，速度偏角满足 模型3：速度平行斜面 速度偏角等于， 例1．（25-26高一下·广东佛山·期中）如图所示，在水平地面上固定一倾角θ=37°的斜面体ABC，AC长为l=8m，A正上方一小物体距离地面高h=8m，将物体以水平速度v0向右抛出，不计空气阻力，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8。 (1)若物体恰好击中C点，求v0大小； (2)若物体以v0=4m/s水平抛出，求物体击中斜面体AC某点D的飞行时间t； (3)若物体击中斜面体AC中点，则初速度v0大约是多少？（） 【答案】(1)8m/s (2)1s (3)2.9m/s 【详解】（1）从抛出到C点，根据平抛运动规律可得， 代入数据解得 （2）若以v0=4m/s水平抛出，击中斜面上D点，设AD长为l′，有， 联立解得 （3）若物体击中斜面体AC中点，则， 联立解得 例2．（25-26高一下·广东惠州·阶段检测）一名乘雪橇的滑雪运动员进行训练，从高为跳台边缘处以不同的初速度水平滑出。已知斜面有倾角为45°，重力加速度取。 (1)由于水平初速度过大，滑雪运动员沿虚线运动落到水平面。落点到斜面底端的距离与台高相等，求滑雪运动员着地时速度方向与水平方向间的夹角； (2)当水平初速度为时，求滑雪运动员着地时速度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设水平初速度为，竖直方向有 根据速度-位移公式，有 已知落点到斜面底端的距离与台高相等，则水平方向有 联立解得    则有 可得滑雪运动员着地时速度方向与水平方向间的夹角为。 （2）设滑雪运动员恰好落在斜面底端，则有 水平方向，有 联立解得滑雪运动员水平初速度为 当水平初速度为时，可知滑雪运动员落在斜面上，则有 解得 滑雪运动员着地时竖直分速度大小为 则滑雪运动员着地时速度大小为 变式1．（24-25高一下·广东广州·阶段检测）第24届冬季奥林匹克运动会2022年2月4日-2022年2月20日在北京举办，如图所示，中国选手跳台滑雪运动员谷爱凌在一次比赛时，经过一段时间的加速滑行后从点水平飞出，经过3s落到斜坡上的点。已知点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角，不计空气阻力（取）。求： (1)点与点的距离； (2)谷爱凌离开点时的速度大小； (3)谷爱凌从点飞出开始到离斜坡距离最远所用的时间和距离 【答案】(1)75m (2)20m/s (3)1.5s，9m 【详解】（1）OA之间的竖直高度 则OA间距离 （2）谷爱凌离开点时的速度大小 （3）谷爱凌从点飞出开始到离斜坡距离最远所用的时间 最远距离 变式2．（25-26高一下·云南红河·期中）跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后在斜坡上着陆。如图所示为跳台滑雪的雪道简化示意图，现有一运动员从跳台处以初速度沿水平方向飞出，在斜坡处着陆，测得运动员在落点处时速度与水平方向间的夹角为，运动员可看成质点。不考虑空气阻力对运动的影响，重力加速度。求：（以下计算结果可以保留根号） (1)该运动员在空中飞行的时间； (2)点到点间的距离。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题条件可知，由几何关系 则有    解得    又    解得 （2）、间竖直高度差为    、间水平距离为    、两点间距离为 考点二 与曲面结合的平抛运动 一、解题步骤 1. 分清约束是位移还是速度； 1. 水平：，竖直：； 1. 用倾角正切建立方程求时间，再求位移、速度。 二、圆形曲面（高频） 设圆方程 物体平抛坐标： 代入圆方程得到关于的一元方程，求解落地时间。 特殊结论：从圆弧顶端水平抛出、撞击圆弧边界，常用几何半径构建直角三角形找坐标关系。 三、抛物形曲面 曲面本身是二次曲线，把平抛代入联立，解交点时刻。 通用解法 1. 写出平抛参数方程； 1. 带入曲面解析式，得到含的方程； 1. 解方程得运动时间；相切临界用判别式； 1. 回代求落点、速度、最小/最大初速度。 例1．（25-26高一下·广东江门·阶段检测）如图为一游戏活动中某个环节场景的示意图。参与活动的选手会遇到一个人造山谷，是高的竖直墙壁，是以点为圆心、为半径的圆弧形坡，，点右侧是一段水平跑道。选手可以自点借助绳索下降到点后再爬上水平跑道，但身体素质好的选手会选择自点直接跃上水平跑道。选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度。 (1)若选手从点水平跳出后能落到水平跑道上，求该选手跳出时速度的最小值； (2)若选手以速度从点水平跳出，求该选手从跳出到落地的时间。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若选手水平跳出后恰能落在水平跑道的点上，初速度最小，则水平方向     竖直方向 解得 （2）若选手以速度水平跳出，因，选手将落在圆弧形坡上， 下落高度    水平前进距离 又 解得 例2．（25-26高一下·广东佛山·阶段检测）如图所示，半径为的四分之一圆弧体固定在光滑水平面上，质量为2m、长为的长木板静止在光滑水平面上，长木板的左端与图弧体接触，长木板的上表面与圆弧面的最低点水平相切，上表面光滑的木板固定在水平面上，木板的上表面与长木板的上表面在同一水平面上，半径为的固定圆弧面DE的圆心在木板的上表面右端，将质量为的物块在圆弧体的圆弧面上某一位置由静止释放，运动到圆弧体最低点时对圆弧体的压力大小等于2mg，重力加速度为，物块滑上长木板后，与碰撞前，物块与已共速，与共速时，刚好不滑离长木板B，B与碰撞后立即与粘在一起且处于静止，不计物块的大小，求： (1)物块刚滑到圆弧体圆弧面最低点时的速度大小； (2)物块与长木板间的动摩擦因数和开始时长木板右端到木板左端距离的最小值； (3)物块从抛出到落到圆弧面DE上所用的时间。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）设物块滑到圆弧体最低点时速度大小为，根据题意及牛顿第二定律     解得 （2）设物块与长木板间的动摩擦因数为，物块滑上长木板后，相对运动的加速度大小     长木板运动的加速度大小     设从滑上到与共速所用的时间为，则          解得 开始时长木板的右端到木板左端的最小距离为     （3）设、共速时的速度大小为，则     物块从点做平抛运动，设平抛运动的时间为，则          由几何关系 解得 例3．（25-26高一下·河北衡水·期中）如图所示，质量为m的滑块（可视为质点）从光滑平台的端点A以一定初速度水平飞出后，恰好从B点无碰撞滑入竖直平面内的光滑圆弧轨道BC。A、B两点的高度差为h，光滑圆弧半径OB与竖直方向夹角为53°，重力加速度为g，不计空气阻力，sin53°=0.8，cos53°=0.6。求： (1)滑块从A到B的时间t； (2)滑块从A点飞出的速度v0和在B点时的速度v1的大小。 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）根据平抛运动竖直方向的运动规律有 解得 （2）滑块在B点，竖直方向的速度为 滑块恰好从B点无碰撞滑入竖直平面内的光滑圆弧轨道，则有， 解得， 变式1．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点。水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP，其形状为半径的圆环剪去了左上角135°的圆弧，MN为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离也是R。用质量的物块将弹簧缓慢压缩到C点释放，物块过B点后其位移与时间的关系为，物块飞离桌面后由P点沿切线落入圆轨道。，求： (1)物块在水平桌面上受到的摩擦力； (2)B、P间的水平距离。 【答案】(1)大小为2N，方向向左 (2)7.6m 【详解】（1）对比与，可知， 由牛顿第二定律得 即摩擦力大小为2N，方向向左。 （2）物块在DP段做平抛运动，有， 与v夹角为45°，则， 在BD段 所以 变式2．（25-26高一下·广东汕头·月考）如图，在粗糙水平台阶上Q点放置一质量可视为质点的小物块，在台阶右侧固定了一个圆弧挡板，圆弧半径，圆弧的圆心在台阶边缘O点。小物块在与水平方向成、大小的拉力作用下，从静止开始沿粗糙水平面做加速度为的匀加速直线运动，到O点时撤去拉力，小物块水平抛出并击中挡板。不计空气阻力，重力加速度取，，，求： (1)小物块与台阶平面间的动摩擦因数； (2)若小物块击中挡板上的P点，OP与水平方向夹角为，求小物块由Q运动到O的时间； (3)以O点为原点、水平向右为、竖直向下为建立平面直角坐标系。改变小物块出发点的位置，可使其击中挡板上的不同点，欲使其击中挡板时的速度最小，求击中挡板的点的纵坐标（结果可保留根式）。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）分析小物块受力如图 由， 解得 （2）小物块从O点飞出后做平抛运动，设经过时间t击中P点，则有， 解得 由小物块Q到O做匀加速直线运动 可知小物块由Q到O的时间 （3）假设从O点飞出时的速度为时击中挡板时的速度最小，此过程中的水平位移 竖直位移 击中时有 联立，解得 落到P点时的速度 可得 当时最小，该点的纵坐标为 变式3．（25-26高一下·广东湛江·月考）“冲关”类节目中有这样一个环节，选手遇到一个人造山谷AOB，BC段是长为的水平跑道，选手需要自A点水平跃出冲上水平跑道，其中AO是高的竖直峭壁，OB是以A点为圆心的弧形坡，，选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度。 （1）选手从A点水平跃出后经多少时间落到水平跑道上？ （2）若要落在BC段上，选手的速度应该满足什么范围？ （3）如果选手不幸掉落在OB弧面上，速度会不会与OB弧面垂直？如果会，推出选手落在OB弧面上初速度应具备的规律（用、R、g表示）？ 【答案】（1）；（2）；（3）不会 【详解】（1）由图可知，A、B两点之间的高度差为 由可得选手从A点水平跃出后落到水平跑道上需要的时间为 （2）由图可知，A、B两点之间的水平距离为 要落在BC段上，选手的速度最小应为 最大不超过 即速度应该满足 （3）平抛运动任一时刻速度方向的反向延长线，应该过此时刻水平位移的中点。若选手落在OB，并且与OB弧垂直的话，那么速度方向的反向延长线应该会过圆心A点。不符合平抛运动的规律，所以不可能与OB弧面垂直。 2 学科网（北京）股份有限公司 $