命卷大赛 广西玉林市第十中学2026届高三数学下学期阶段测试(人教A版)

**基本信息** 高三数学测试卷以2026年考古新发现“最初中国”四表坐标为情境，融合集合、函数、立体几何等知识，通过分层设计考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、函数性质、排列组合|第3题结合考古组队情境，考查分组分配问题| |多选题|3/15|统计、椭圆、回归分析|第11题关联两个回归模型，深化数据分析能力| |填空题|3/15|函数单调性、抛物线|第14题综合抛物线定义与最值，体现应用意识| |解答题|5/80|解三角形、数列、立体几何、概率统计、椭圆|17题折叠问题考查空间想象，19题椭圆综合题探究定点与面积最值，梯度分明|

细目表 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 集合概念、真子集定义与判定 0.7 2 单选题 5 三角恒等变换、同角三角函数基本关系 0.7 3 单选题 5 排列问题、分步计数原理（排列数应用） 0.68 4 单选题 5 正弦定理、余弦定理、解三角形综合应用 0.62 5 单选题 5 基本不等式（乘 1 法）、代数式最值求解 0.6 6 单选题 5 导数的几何意义、两条曲线公切线问题 0.48 7 单选题 5 三角函数周期、函数对称中心、三角恒等变换 0.52 8 单选题 5 正三棱柱结构特征、棱切球、外接球、球半径比值计算 0.42 9 多选题 5 统计样本数字特征：平均数、极差、百分位数、众数 0.58 10 多选题 5 椭圆定义与性质、圆的方程、圆锥曲线中动点距离最值 0.46 11 多选题 5 线性回归方程、相关系数、样本中心点、方差与标准差、残差平方和 0.38 12 填空题 5 二项式定理 0.72 13 填空题 5 利用导数判断函数单调性、导数恒成立问题、函数最值 0.53 14 填空题 5 抛物线定义与方程、直线与抛物线位置关系、距离最值综合 0.45 15 解答题 12 三角恒等变换、正弦定理、余弦定理、三角形面积计算 0.63 16 解答题 12 等差数列通项与前 n 项和、递推数列求通项、数列求和、数列最值 0.51 17 解答题 12 立体几何翻折问题、线线垂直证明、二面角、点到平面的距离 0.4 18 解答题 12 独立事件概率、对立事件概率、超几何分布、分布列与数学期望 0.56 19 解答题 12 椭圆标准方程求解、直线与椭圆综合、定点问题、三角形面积最值 0.35 $ 玉林市第十中学2026年春季期高三数学测试4 一、单选题 1. 集合的一个真子集可以为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3.2026年5月17日考古新发现：中华文明探源工程研究成果呈现，阳西县沙扒镇，是4000多年前“最初中国”的南方立表所在地。官方考古与文献双重印证，四表坐标精准落地：南表：广东阳江市阳西县沙扒镇（南海之滨）;✅东表：山东青岛黄岛（东海之滨）;西表：地中海之滨（叙利亚拉塔基亚一带）;北表：北冰洋之滨（俄罗斯北极圈附近）。小明等10名同学想暑假时组队去这四个地方看看，每人去一个地方，每组不少于2个人，有（ ）种组队方法. A.151200 B. C.226800 D.796200 4. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的（ ） A. 最小值为4 B. 最小值为6 C. 最大值为4 D. 最大值为6 6. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 7．若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 8. 在正三棱柱中，，若该正三棱柱存在棱切球（与所有棱都相切的球），则其棱切球的半径与外接球的半径之比为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9．已知两组样本数据，第一组，第二组，若，则（   ） A．这两组数据的平均数一定相等 B．这两组数据的极差一定相等 C．这两组数据的第90百分位数一定相等 D．这两组数据的众数一定相等 10. 已知P为椭圆上的一个动点，Q为圆上的一个动点，点，则（ ） A. 的最小值为6 B. 的最小值为7 C. 的最大值为8 D. 的最大值为9 11. 已知相关系数，y关于x的经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，残差平方和为.已知变量x与变量y的部分数据，建立由最小二乘法得到的两个回归模型：以x为自变量，y为因变量，得出的经验回归方程为；以y为自变量，x为因变量，得出的经验回归方程为.若两个模型的计算均无误，则下列判断正确的是（ ） A. 若已知变量x的方差，则可知变量y的标准差 B. 若不给定其他信息，则也可得知变量x与变量y各自的平均值 C. 若不给定其他信息，则也可得知变量x与变量y的相关系数 D. 若已知变量x的标准差，则可知以y为自变量的回归模型的残差平方和 三、填空题 12．，，则实数的值为______． 13．已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围是_______. 14. 已知直线与抛物线（）交于A，B两点，且，若C上的动点P到C的准线的距离为d，点，则的最大值为______. 四、解答题 15．在中，. (1)求； (2)若，求的面积. 16．已知等差数列的前项和为，且，数列满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和，并求的最小值. 17．在图甲五边形ABCDE中，是边长为2的等边三角形，，，，将沿AD折起到的位置，得到如图乙所示的四棱锥，点为SC的中点，若二面角所成角的平面角的余弦值为.    (1)求证：； (2)求点到平面SAD的距离. 18. 一场体育赛事招募赛会志愿者，赛会志愿者须参加通用培训和专业培训，两项培训考核都合格才能通过培训考核，考核通过后才能参加赛事志愿服务．已知赛会志愿者参加通用培训后，考核合格的概率为，参加专业培训后，考核合格的概率为． （1）若志愿者，都参加了培训，求志愿者，中至少有1人通过培训考核的概率； （2）现从12名通过培训考核的志愿者（包含3名女志愿者）中随机抽取4名志愿者参加某体育赛事的志愿服务，记X为被抽取到的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望． 19．已知椭圆的两个焦点分别为，，点P是C上的一个动点，当面积取得最大值时，． (1)求C的方程； (2)过点的直线l与C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为（与B不重合）． （ⅰ）求证：直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 玉林市第十中学2026年春季期高三数学测试4参考答案 1. C【详解】根据真子集的概念可知为的一个真子集． 2. A【详解】由，得. 3.C【详解】若分组为2,2,3,3方法数为 .若分组为2,2,2,4方法数为 . 组队方法为151200+756200 .=226800. 4.D【详解】由正弦定理得，则. 因为，所以，由余弦定理得，则. 5.B【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号成立，所以的最小值为6，无最大值. 6.C【详解】设直线与曲线、曲线分别相切于点，，设，则，，， 则，所以，即. 因为， 所以. 7．C【详解】对函数，令，解得， 所以函数的对称中心为.因为函数与的相邻对称中心的距离都是半个最小正周期，且与图象的对称中心完全一致， 所以函数与的最小正周期相等， 又的最小正周期，所以，得， 故，令，则，即的对称中心为，所以，得， 又，所以. 8. A【详解】设正三棱柱的下底面中心为，上底面中心为，连接. 若该正三棱柱存在棱切球，则棱切球的球心O为线段的中点. 设，的中点分别为D，E，连接，，，， 则. 因为，所以， 所以正三棱柱外接球的半径为， 故该正三棱柱棱切球的半径与外接球的半径之比为. 9．BC【详解】由，得，第一组数据由小到大排列为， ，第二组数据由小到大排列为或， 对于A，由 ，当且仅当取等号， 因此这两组数据的平均数不一定相等，A错误； 对于B，这两组数据的极差都为，B正确； 对于C，由，得这两组数据的第90百分位数都为，C正确； 对于D，取，第一组数据为，5个数据出现次数相同， 第二组数据为，其众数为2，因此这两组数据的众数不同，D错误.故选：BC 10. BD【详解】圆的圆心为，则，为C的两个焦点，由椭圆定义知，，如图， 由Q为圆M上的动点，得，即， 则， 即，故的最小值为7，最大值为9. 11. ABC【详解】对于C，由所给公式得，且回归系数为负数，故相关系数，C正确.对于A，设变量x与变量y的标准差分别为，，，， 标准差， 变形可得， 将其代入到得， 整理得，将其代入到， 整理得，代入已知数据得， 即，若已知变量x的方差，即可求得，进而代入上式求得，A正确. 对于B，经验回归直线经过样本中心点， 代入两个回归方程得与，解得，， 故不给定其他信息也可得知变量x与变量y各自的平均值，B正确. 对于D，设以y为自变量的经验回归方程为（其中）， 则变量x的残差平方和为 ， 12．或0【详解】因为 所以，所以或0 13．【详解】的定义域为， 所以在上恒成立，所以在上恒成立， 因为函数，所以当时取得最大值9， 所以，即的取值范围是. 14. 详解】将代入，得， 因为，所以.设，， 则，， 则， 因为，所以.故抛物线C的焦点为，点在C的上方， 由抛物线的定义知，，则， 当P，F，M三点共线且F位于P，M之间时，取得最大值. 15．(1) (2) 【详解】（1）由，......................................................1分 得，解得.......................................................2分 此时，所以.......................................................4分 于是.......................................................6分 （2） 由， 得......................................................9分 由正弦定理得，.....................................................10分 可得......................................................11分 所以的面积..............................................................................13分 16．(1)， (2)，的最小值为 【详解】（1）设等差数列的公差为，，......................................................1分 ，，.......................................................2分 解得：......................................................3分 .......................................................4分 数列满足. .......................................................6分 当时，满足上式 .......................................................7分 （2）.......................................................8分 设数列的前项和为. 则， ......................................................9分 ......................................................10分 .......................................................11分 记数列的前项和为，则.......................................................12分 .......................................................13分 因为恒成立， 所以当时，； 当时，，即； 当时，；......................................................14分 所以：. 的最小值为.......................................................15分 17．(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：取SD中点，连接AG，FG，......................................................1分 因为是等边三角形，所以.......................................................2分 因为为SC的中点，所以.......................................................3分 又，所以.所以四边形ABFG为平行四边形，......................................................4分 所以，......................................................5分 从而有.......................................................6分 （2）解：法一：以AD中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.......................................................7分   连接则，故为二面角所成角的平面角， 即，......................................................8分 结合,所以，.....................................................9分 由，......................................................10分 可得：.......................................................11分 设是平面SAD的一个法向量， 则......................................................12分 即，令，则， 所以平面SAD的一个法向量.......................................................13分 设点到平面SAD的距离为，则.......................................................15分 所以点到平面SAD的距离为. 18. （1） （2）的分布列为： 数学期望为1 【小问1详解】 单个志愿者需要两项培训考核都合格才通过，且两次培训考核独立， 因此单个志愿者通过培训考核的概率为，......................................................1分 则单个志愿者没有通过培训考核的概率为.......................................................2分 因为“至少有1人通过”的对立事件为“两人都没有通过”， 因此所求概率.......................................................4分 【小问2详解】由题意，服从超几何分布，的所有可能取值为，......................................................5分 概率公式为，（后面计算不对这条式子给2分） 分别计算概率得，.......................................7分 ，..........................................9分 ，..........................................11分 ，.............................................13分 因此的分布列为： ......................................................15分 所以数学期望为.......................................................17分 19．(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【详解】（1）因为，又，所以，..........................................1分 又面积取得最大值，所以， 在中，，所以，所以，..........................................2分 又，所以，所以，解得， 所以，..........................................3分 所以椭圆C的方程为；..........................................4分 （2）（ⅰ）当过点的直线l不与x轴重合时， 设直线l的方程为，，..........................................5分 由，得，..........................................6分 整理得， 由韦达定理得，..........................................7分 因为为点A关于x轴的对称点，所以，所以， 所以直线的方程为，..........................................8分 由对称性，直线所过定点一定在轴上， 令，可得..........................................9分 ，..........................................10分 所以直线过定点； 当过点的直线与x轴重合时，显然过点；..........................................11分 综上所述：直线过定点； （ⅱ）记直线过定点为， 则..........................................13分 ，..........................................15分 当且仅当，即时，等号成立，..........................................16分 所以面积的最大值为．..........................................17分 高三数学测试2 答案第1页，共2页 高三数学测试2 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $