15.3.1.2等腰三角形的判定（培优课件）-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦人教版八年级上册“等腰三角形的判定”，核心知识点为“等角对等边”定理。课堂导入通过海上救生船（∠B=∠C）的现实情境引发猜想，衔接上节“等边对等角”性质，构建“性质-判定”互逆知识链作为学习支架。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，通过作角平分线、高、中线三种证明方法及性质判定对比发展数学思维，用规范几何语言（如“∵∠B=∠C，∴AB=AC”）强化数学语言表达。如航海问题应用定理，尺规作图巩固“三线合一”，帮助学生提升推理与应用能力，教师可借助系统习题与易错总结高效教学。

人教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月8日 15.3.1.2等腰三角形的判定 第十五章 轴对称 15.3.1.2 等腰三角形的判定 练习题 本套练习题针对人教版八年级上册15.3.1.2等腰三角形的判定编写，聚焦本节核心定理：等角对等边，即在一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形。本节与上一节等腰三角形的性质（等边对等角）互为互逆定理，是几何证明的重点。习题重点训练判定定理的应用、性质与判定的辨析、角度推边相等的规范证明，解决学生“分不清性质和判定”的高频易错问题，适配课后巩固与单元复习。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 等腰三角形的判定定理是（） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 三边相等 D. 有一个角是60° 2. 在△ABC中，∠A=∠B，则下列结论正确的是（） A. AB=AC B. BC=AC C. AB=BC D. ∠C=60° 3. 下列条件能判定△ABC为等腰三角形的是（） A. ∠A=30°，∠B=60° B. ∠A=40°，∠B=70° C. ∠A=50°，∠B=90° D. ∠A=60°，∠B=80° 4. 关于等腰三角形性质与判定，说法正确的是（） A. 性质和判定是互逆定理 B. 都是由边相等推角相等 C. 都是由角相等推边相等 D. 没有任何联系 5. 在△ABC中，AD平分∠BAC，AD∥BC，则△ABC是（） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 无法判定 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 等腰三角形的判定：在一个三角形中，如果________相等，那么它们所对的________相等，简称________。 2. 性质：边相等→________；判定：角相等→________。 3. 在△ABC中，∠A=70°，∠B=70°，则相等的边是________。 4. 三角形的两个内角相等，则这个三角形一定是________三角形。 5. “等角对等边”的前提是________（填“同一个三角形”或“两个三角形”）。 三、解答题（共60分） 1.（20分）已知：在△ABC中，∠B=∠C。求证：AB=AC。 2.（20分）已知：AD∥BC，BD平分∠ABC。求证：△ABD是等腰三角形。 3.（20分）已知：在△ABC中，AD⊥BC，∠BAD=∠CAD。求证：AB=AC。 参考答案与解析 一、选择题 1. B 解析：等腰三角形判定为等角对等边，性质为等边对等角，二者不可混淆。 2. B 解析：∠A、∠B相等，所对的边分别是BC、AC，故BC=AC。 3. B 解析：B选项中∠C=180°-40°-70°=70°，∠B=∠C，可判定为等腰三角形。 4. A 解析：性质由边等推角等，判定由角等推边等，互为互逆定理。 5. B 解析：由平行线性质和角平分线可推出两角相等，进而判定等腰三角形。 二、填空题 1. 两个角、边、等角对等边 2. 角相等、边相等 3. BC、AC 4. 等腰 5. 同一个三角形 三、解答题 1. 证明：过点A作AD⊥BC于D。∴∠ADB=∠ADC=90°。在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠ADB=∠ADC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（AAS），∴AB=AC。 2. 证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD。∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD。∴∠ABD=∠ADB，根据等角对等边，得AB=AD，∴△ABD是等腰三角形。 3. 证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°。在△ABD和△ACD中，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∠ADB=∠ADC，∴△ABD≌△ACD（ASA），∴AB=AC。 本节核心易错总结 1. 分清逻辑：性质：已知等腰→得角相等；判定：已知角相等→证等腰。 2. 等角对等边、等边对等角只在同一个三角形内成立。 3. 做题先找等角：平行线、角平分线、垂直、三角形内角和都是常见造等角条件。 掌握等腰三角形的判定方法，并运用其进行证明和计算. 通过学习等腰三角形的判定方法，使学生能从正反两个方面认识等腰三角形，养成科学的思维习惯. 通过对等腰三角形的判定定理的证明,加强学生的推理能力,以及分析,解决问题的能力. B C 如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？ 探究新知 A 思 考 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等. 反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ A B C 猜想：它们所对的边相等. 你能证明你的猜想吗？ 探究新知 等腰三角形的判定 等腰三角形的判定 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C. 求证：AB = AC. 分析： ∠B =∠C AB = AC 全等 ①作∠BAC的平分线 A B C D ②作 BC边上的高 A B C D ③作 BC边上的中线 A B C D A B C A B C 证明：如图，作△ABC 的角平分线 AD. 在△ABD 和△ACD中， ∠1 =∠2， ∠B =∠C， AD = AD， ∴△ABD ≌△ACD（AAS）． ∴AB = AC． D 等腰三角形的判定 2 1 方法① A B C 在△ABD 和△ACD中， ∠B =∠C， ∠ADB =∠ADC， AD = AD， ∴△ABD ≌△ACD（AAS）． ∴AB = AC． D 等腰三角形的判定 证明：如图，过点 A 作△ABC 的高 AD. 方法② 等腰三角形的判定方法： 有两个角相等的三角形是等腰三角形 (简写成“等角对等边”). 在△ABC 中，∵∠B =∠C， ∴ AB = AC. 几何语言： 等腰三角形的判定 A B C 条件 结果 等腰三角形的性质 等腰三角形的判定 比较等腰三角形的性质和等腰三角形的判定 两边相等 两边所对的角相等 两角相等 两角所对的边相等 教材P80例题 例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形. 已知：如图， AD 是△ABC 的外角∠CAE 的平分线，AD // BC. 求证：AB = AC. A B C D E 1 2 分析：可以设法找出∠B，∠C 与∠1，∠2 的关系. ∠B =∠C 教材P80例题 A B C D E 1 2 证明：∵AD // BC ， ∴∠1 =∠B，∠2 =∠C. 又 AD 平分∠CAE， ∴∠1 =∠2. ∴∠B =∠C. ∴ AB = AC. 教材P81例题 例3 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为 a，底边上高的长为 h（如图），求作这个等腰三角形. 分析：等腰三角形“三线合一” a h 底边所对的顶点在底边的垂直平分线上. 作出底边的垂直平分线，利用高的长度确定底边所对的顶点的位置. 教材P81例题 a h 作法： (1) 作线段 AB = a； (2) 作线段 AB 的垂直平分线 MN，与 AB 相交于点 D； (3) 在 MN上取一点 C，使 DC = h； (4) 连接 AC，BC，则△ABC 就是所求作的等腰三角形. A B 教材P81例题 D C M N 1.如图，上午10 时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°.求从B处到灯塔C的距离. 解：∵∠NBC=∠A+∠C， ∴∠C=80°– 40°= 40°. ∴ ∠C = ∠A.∴ AB=BC(等角对等边). ∵AB=20×(12–10)=40(海里), ∴BC=40海里. 答：B处距离灯塔C为40海里. 80° 40° N B A C 北 能力提升题 课堂检测 随堂练习 2.（A类）已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，AD=CD，求证：∠A=∠C． （B类）已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C， 求证：AD=CD． 课堂检测 随堂练习 证明：（A类）连接AC， ∵AB=BC，AD=CD， ∴∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA. ∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，即∠ BAD=∠BCD. （B类）连接AC， ∵AB=BC， ∴∠BAC=∠BCA. 又∵∠BAD=∠BCD，即∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA， ∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD． 课堂检测 随堂练习 在△ABC中，AB=AC，小红一不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？ A B C 3种“补出”方法： 方法1：量出∠C度数，画出∠B＝∠C， ∠B与∠C的边相交得到顶点A． 方法2：作BC边上的垂直平分线，与∠C的一边相交得到顶点A． 方法3：对折． 拓广探索题 课堂检测 随堂练习 1. 将一平板保护套展开放置在水平桌面 上，其侧面示意图如图所示，若 ， ，则 的长为( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 18 返回 3.如图，已知平分，，若 ， 则 的长为( ) A A.4 B.5 C.3 D.2 考试考法 19 返回 3.如图，在中，的垂直平分线交于点 ， 交于点，连接,，若 ，则 的长是( ) C A.2 B.3 C.4 D.不能确定 考试考法 20 返回 4.［教材习题变式］如图， ， ，下列式子不一定正确的是( ) D A. B. C. D. 考试考法 21 5.如图，在中，，过上一点作的垂线，交 的 延长线于点，交于点，试判断 的形状，并证明你的结论. 考试考法 22 解： 是等腰三角形.证明如下： ， . ， . , . ， . 又 , . , 为等腰三角形. 返回 考试考法 23 课堂小结 等腰三角形 性质 判定 定义 “等角对等边” A B C D $