2.4.1圆的标准方程-2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“圆的标准方程”核心内容，涵盖定义、几何要素、方程形式及点与圆位置关系，课堂导入从回顾确定圆的几何要素切入，通过推导标准方程衔接直线方程知识，以学习指导和知识点梳理搭建阶梯式学习支架。 其亮点在于结合直观想象与逻辑推理，通过圆的定义推导方程培养学生数学思维，借助例题与分层训练提升数学运算能力。采用“必备知识-关键能力-巩固检测”递进设计，助力学生逐步掌握求方程方法，教师可利用系统资源高效开展教学。

2．4　圆的方程 2．4.1　圆的标准方程 第二章　直线和圆的方程 1 学习指导 核心素养 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程． 1.直观想象、逻辑推理：利用圆的定义推导圆的标准方程． 2.数学运算：求圆的标准方程． 返回导航 CONTENTS 目录 必备知识 落实 关键能力 提升 课堂巩固 自测 课后达标 检测 01 必备知识 落实 4 知识点一　圆的标准方程 定长 圆心 半径 圆心 半径 返回导航 圆的标准方程中含有三个参数a，b，r，只要求出a，b，r，圆的方程就确定了，因此，确定圆的标准方程需要三个独立条件，其中圆心是定位条件，半径是定形条件． 返回导航 1．给定圆：(x－2)2＋(y＋8)2＝(－3)2，下列说法正确的是(　　) A．圆心坐标为(2，－8)，半径为－3 B．圆心坐标为(－2，8)，半径为3 C．圆心坐标为(2，－8)，半径为3 D．圆心坐标为(－2，8)，半径为－3 解析：对照圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，知圆心坐标是(2，－8)，半径不可能是负数，所以为3.故选C. √ 返回导航 2．写出下列各圆的标准方程． (1)圆心为(－2，3)，半径为2； 解：因为圆心为(－2，3)，半径为2，故圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝4. (2)圆心为点(1，0)，经过点(－1，0)； 返回导航 (3)以点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆． 返回导航 用直接法求圆的标准方程的策略 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程． 返回导航 ＞ ＞ ＝ ＝ ＜ ＜ 返回导航 已知圆心是点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(－1，0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系． 返回导航 返回导航 判断点与圆的位置关系的方法 (1)只需计算该点与圆心的距离，与半径作比较即可． (2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断． 返回导航 　已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围． 返回导航 02 关键能力 提升 16 考点　求圆的标准方程 　 求经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程． 返回导航 返回导航 返回导航 待定系数法求圆的标准方程的步骤 返回导航 1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为(　　) A．x2＋(y＋2)2＝1 B．x2＋(y－2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 √ 返回导航 解析：方法一：设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点(1，2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，故选B. 方法二：因为圆心在y轴上，选项C圆心为(1，3)不符合题意，所以排除选项C.又圆过点(1，2)，所以可排除选项A，D，因此只有B符合题意．故选B. 返回导航 2．△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，求△ABC的外接圆的方程． 返回导航 返回导航 03 课堂巩固 自测 25 √ 2 3 4 1 返回导航 2 3 4 1 返回导航 2．点A(1，2)与圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝1的位置关系是(　　) A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．不能确定 解析：将点(1，2)的坐标代入圆的方程，有(1＋1)2＋(2－2)2＝4＞1，所以点A在圆外．故选B. √ 2 3 4 1 返回导航 3．若圆C的半径为1，圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________． 解析：因为点(1，0)关于直线y＝x的对称点的坐标为(0，1)，所以圆C的圆心为C(0，1).又半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1. 答案：x2＋(y－1)2＝1 2 3 4 1 返回导航 4．求下列圆的标准方程． (1)圆心是(4，－1)，且过点(5，2)； 2 3 4 1 返回导航 (2)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4). 2 3 4 1 返回导航 04 课后达标 检测 [A　基础达标] 1．方程(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)表示的圆(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于直线x－y＝0对称 D．关于直线x＋y＝0对称 解析：易得圆心C(－a，a)，即圆心在直线y＝－x上，所以该圆关于直线x＋y＝0对称，故选D. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 返回导航 33 2．已知圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝4，则与圆C有相同的圆心，且经过点(－2，2)的圆的方程为(　　) A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝25 C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5 D．(x＋1)2＋(y－2)2＝25 解析：根据题意设所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝r2，代入点(－2，2)，得r2＝25，所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25.故选B. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 返回导航 34 3．(2022·重庆高二检测)圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点O(0，0)对称的圆的方程为(　　) A．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5 C．(x－2)2＋y2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5 解析：根据已知条件，圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2，0)，那么点(－2，0)关于原点的对称点(2，0)即为所求的圆的圆心．因为半径不变，所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 返回导航 35 4．(多选)已知圆C过点A(1，4)，B(3，2)，且圆心C在直线y＝0上，则(　　) A．点M1(2，3)在圆内 B．点M1(2，3)在圆外 C．点M2(2，4)在圆内 D．点M2(2，4)在圆外 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 返回导航 36 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 返回导航 37 5．(2022·江西高三月考)已知两点A(－2，2)，B(0，4)，则以线段AB为直径的圆的标准方程是________． 答案：(x＋1)2＋(y－3)2＝2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 返回导航 38 6．与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________． 解析：因为圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，所以该圆的半径为5，所以该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25. 答案：(x＋5)2＋(y＋3)2＝25 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 返回导航 39 7．已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程． 解：由题意设所求圆的方程为 (x－a)2＋y2＝25. 因为圆截y轴线段长为8，所以圆过点A(0，4). 代入方程得a2＋16＝25，所以a＝±3. 所以所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 返回导航 40 [B　能力提升] 8．圆(x－3)2＋(y－4)2＝1关于直线x＋y＝0对称的圆的方程是(　　) A．(x＋3)2＋(y－4)2＝1 B．(x＋4)2＋(y＋3)2＝1 C．(x＋4)2＋(y－3)2＝1 D．(x－3)2＋(y－4)2＝1 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 返回导航 41 解析：圆(x－3)2＋(y－4)2＝1的圆心为(3，4)， 圆心关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为(－4，－3)， 圆(x－3)2＋(y－4)2＝1关于直线x＋y＝0对称的圆的半径不变， 所以圆(x－3)2＋(y－4)2＝1关于直线x＋y＝0对称的圆的方程是(x＋4)2＋(y＋3)2＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 返回导航 42 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 返回导航 43 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 返回导航 44 由于△ABC是以∠ABC为直角的直角三角形， 则该三角形的外接圆圆心为线段AC的中点，则M(1，0)， 所以圆M的半径为|MA|＝3， 因此圆M的标准方程为(x－1)2＋y2＝9. 答案：(x－1)2＋y2＝9 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 返回导航 45 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 返回导航 46 12．已知圆C经过点A(－1，0)和B(3，4)，且圆心C在直线x＋3y－15＝0上． (1)求圆C的标准方程； 解：依题意知所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线x＋3y－15＝0的交点． 因为AB的中点为(1，2)，直线AB的斜率为1， 所以AB的垂直平分线的方程为y－2＝－(x－1)，即y＝－x＋3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 返回导航 47 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 返回导航 48 (2)设点Q(－1，m)(m＞0)在圆C上，求△QAB的面积． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 返回导航 49 $