山东省淄博第五中学2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题（3）

**基本信息** 以数列、导数、概率统计为核心，融入杨辉垛积公式等文化素材及宠物经济产业数据，考查数学抽象、运算推理与数据建模能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|等差数列、函数导数、二项式定理|基础概念辨析，如第3题等比数列公比计算| |多选题|3|随机变量、二阶等差数列|第11题结合杨辉垛积公式考查高阶数列性质| |填空题|3|二项式系数、分布列、全概率公式|第14题以股票价格预测考查全概率应用| |解答题|5|导数单调性、数列求和、概率统计|16题结合宠物经济数据考查卡方检验与回归分析，19题分层讨论函数极值与零点|

山东省淄博第五中学2025-2026学年高二下学期6月阶段数学检测期末模拟3 试题+答案 一、单选题 1．设等差数列，则（    ） A．-5 B．18 C．23 D．28 2．若函数满足则（    ） A． B． C． D． 3．设是等比数列，且，则公比（    ） A． B．2 C． D．8 4．在的展开式中，含的项的系数为（    ） A． B．280 C．560 D． 5．某志愿者小组有5人，从中选3人到A、B两个社区开展活动，其中1人到社区，则不同的选法有（    ） A．12种 B．24种 C．30种 D．60种 6．直线与曲线相切，则实数k的值为（    ） A．1 B． C． D． 7．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知随机变量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 10．若函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则（    ） A．有两个极大值点 B．有一个极小值点 C． D． 11．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.  如数列，它的前后两项之差组成新数列，新数列为等差数列， 则数被称为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其前6项分别为，设其通项公式则下列结论中正确的是（    ） A．数列的公差为2 B． C．数列的前7项和最大 D． 三、填空题 12．若二项展开式，则______. 13．已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则________． 14．人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化. 现假设人们经分析估计利率下调的概率为，利率不变的概率为. 根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为，则该支股票将上涨的概率为_____． 四、解答题 15．已知. (1)求并写出的表达式； (2)证明：. 16．近年来，养宠物的人越来越多，在供需端及资本的共同推动下中国宠物经济产业迅速增长，数据显示，目前中国养宠户数在全国户数中占比为. (1)随机抽取200名成年人，并调查这200名成年人养宠物的情况，统计后得到如下列联表： 成年男性 成年女性 合计 养宠物 38 60 98 不养宠物 62 40 102 合计 100 100 200 依据小概率值的独立性检验，判断能否认为养宠物与性别有关? (2)记2018-2023年的年份代码x依次为中国宠物经济产业年规模为y（单位：亿元），由这6年中国宠物经济产业年规模数据求得y，关于x的回归方程为，且. 求相关系数r并判断该回归方程是否有价值. 参考公式及数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 回归方程其中，相关系数；若， 则认为y与x有较强的相关性. 其中 . 17．在一个不透明的密闭纸箱中装有 10个大小、形状完全相同的小球，其中8个白球，2个黑球.小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，记随机变量为小张摸出白球的个数. (1)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，求和； (2)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，求的分布列和； 18．已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)数列的通项，求的前项和； (3)在任意相邻两项与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前项和，求的值． 19．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个极值点， （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：函数有且只有一个零点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省淄博第五中学2025-2026学年高二下学期6月阶段数学检测期末模拟3 试题+答案》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A B C C B D AC AB 题号 11 答案 BD 1．B 【分析】利用等差数列的公式即可求解. 【详解】. 故选：B. 2．A 【分析】根据导数的极限定义可解. 【详解】根据导数的定义知，，则. 故选：A. 3．A 【分析】根据等比数列性质可计算出结果. 【详解】由是等比数列，又， 则； 则； 可得，即； 故选：A 4．B 【分析】利用二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】的二项式展开式的通项公式为，, 令，可得， 所以， 故含的项的系数为. 故选：B. 5．C 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理及组合数计算即得. 【详解】求不同选法种数需2步，先从5人中选1人去社区，再从余下4人中选2人去社区， 所以不同的选法有（种）. 故选：C 6．C 【分析】根据导数的几何意义即可求出切点，从而得到值． 【详解】设直线与曲线的切点为 由，所以，解得 所以 故选：C 7．B 【分析】结合不等式特点，构造函数，研究其单调性，从而求出解集. 【详解】设，则，当时，；当时，，所以在上是增函数，在上是减函数．原不等式可化为，即，结合，可得，所以原不等式的解集为． 故选：B 8．D 【分析】利用条件概率的公式即可求解. 【详解】因为，所以，所以. 故选：D. 9．AC 【分析】利用期望值性质和方差性质可判断A正确，B错误；由正态分布密度曲线和其对称性可判断C正确，D错误. 【详解】由随机变量可得； 若，利用期望值性质可得，即A正确； 若，由方差性质可得，即B错误； 由正态分布密度曲线可知其关于对称，利用对称性可得，即C正确； 利用对称性可得， 显然，即， 所以，而，所以；即D错误； 故选：AC 10．AB 【分析】根据题意可知的单调性，结合单调性逐项分析判断. 【详解】由题意可知：当时，；当时，； 可知在内单调递增，在单调递减， 可知：，，且的极大值点为，极小值点为， 故AB正确；CD错误. 故选：AB. 11．BD 【分析】利用二阶等差数列定义可知数列的公差为，可得，计算可知B正确，再由累加法可得，利用数列的函数性质可得数列的前6项和最大，将代入计算可得D正确. 【详解】因为二阶等差数列，其前6项分别为4，8，10，10，8，4， 从第二项开始，每一项与前一项的差组成新数列的前5项为， 易知新数列的公差为，即数列的公差为，即A错误. 易知是以首项为4，公差为的等差数列， 利用等差数列前项和公式可得,即B正确. 由等差数列通项公式可得， 所以，，……，， 累加可得； ， 利用二次函数性质可知当时，数列单调递减，且前6项均为正数， 易知，所以，因此数列的前6项和最大，即C错误； 由可得，即D正确. 故选：BD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据二阶等差数列定义求出数列的通项公式，再由数列的函数性质可得结论. 12．2 【分析】利用赋值法求出所有项系数和以及常数项即可得解. 【详解】令，于是得，而， 所以. 故答案为：2 13．/ 【分析】根据给定条件，利用分布列的性质，期望方差计算公式可求解. 【详解】由，得，解得， 依题意. 故答案为： 14． 【分析】根据全概率公式直接计算可得结果. 【详解】记“利率下调”为事件，则“利率不变”为事件，“价格上涨”为事件， 由题意知：，，，， . 故答案为：. 15．(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）直接求导并令可得，再代入原表达式即可； （2）构造函数并用导数证明，然后利用即可. 【详解】（1）由有，取得到，解得. 将代入可得. （2）设，则，故当时，当时. 所以在上递减，在上递增，故. 从而. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用导数判断单调性，属于常规题. 16．(1)依据小概率值的独立性检验，可以认为养宠物与性别有关. (2),所以与有较强的相关性，该回归方程有价值. 【分析】（1）利用卡方检验公式即可求出，与临界值比较，即即可求解. （2）先利用给的数据求出和再利用回归方程的求出，代入到相关系数的公式中即可求解. 【详解】（1）零假设为：认为养宠物与性别无关； ， 依据小概率值的独立性检验，可以认为养宠物与性别有关. （2）由的取值依次为得， 回归方程为， ， ， ， ,与有较强的相关性，该回归方程有价值. 17．(1). (2)分布列见解析 【分析】（1）根据题意，得到变量，结合二项分布的期望与方差的公式，即可求解； （2）根据题意，得到变量服从超几何分布，结合，求得相应的概率，列出分布列. 【详解】（1）由小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次， 且每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，所以随机变量， 所以，. （2）由小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次， 且每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，随机变量X服从超几何分布， 则， 可得， 所以的分布列为 2 3 4 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）依题意可得，根据作差计算可得； （2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得； （3）根据已知确定前36项的元素构成，应用分组求和、等比数列前项和公式求. 【详解】（1）因为，所以，则， 当时，， 当时，， 当时也成立， 所以的通项公式为. （2）由（1）可知， 所以， 所以， 则 ， 所以； （3）由题意，数列元素依次为， 在到之间的个数为，故到处共有个元素， 所以前项中含及个， 故. 19．(1)答案见解析； (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，再分、、三种情况，分别求出函数的单调区间； （2）（ⅰ）由（1）直接解得；（ⅱ）结合函数的最值与零点存在性定理证明即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 且， 当时，恒成立，所以在单调递减； 当时，令，即，解得，， 因为，所以，则， 所以当时， 当时， 当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减； 当时，此时， 所以时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上可得：当时在单调递减； 当时在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减； 当时在上单调递增，在上单调递减． （2）（ⅰ）由（1）可知． （ⅱ）由（1）在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 又，所以，则， 又， 又， 所以在上没有零点， 又，则，则，， 则， 所以，所以在上存在一个零点， 综上可得函数有且只有一个零点． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $