精品解析：陕西咸阳市永寿县上邑中学2025-2026学年度第二学期第二阶段性训练中学八年级数学（北师大版）

陕西咸阳市永寿县上邑中学2025-2026学年度第二学期第二阶段性训练中学八年级数学（北师大版） 注意事项：满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列式子中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四种物理仪器的示意图中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点落在的延长线上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列分式与一定相等的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，是边的垂直平分线，连接，平分交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 某施工队每天挖掘米隧道，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘米隧道，比原来少用的天数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，以为边向外分别作等边和等边，若，则的长为（ ） A. B. 5 C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：___________． 10. 若分式有意义，则的取值范围是__________． 11. 如图，正六边形和等腰Rt的一边重合，，则的度数为__________． 12. 如图，在四边形中，，若平分，则的面积为__________． 13. 如图，直线与直线为常数，且相交于点，则不等式的解集是__________． 14. 如图，在中，，，，点是边上两动点，连接，CE．若，则周长的最小值为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解不等式组：． 16. 化简：． 17. 解方程：． 18. 如图，在中，，请用尺规作图法在上求作一点D，使得点D到的距离等于（保留作图痕迹，不写作法）． 19. 如图，在与中，于点．若，求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，将平移后得到，且点的对应点是，点的对应点分别为． （1）点之间的距离是__________； （2）请在图中画出． 21. 皮影戏（又称影子戏、灯影戏）是中国古老的民间戏剧与光影艺术．某体验馆计划在总费用不超过5100元的前提下，定制传统人物皮影和动物皮影共70个，已知定制1个传统人物皮影的价格为80元，定制1个动物皮影的价格为40元．求最多可定制多少个传统人物皮影？ 22. 如图，人民公园有一块半径为的圆形空地，在该空地上修建4个半径均为的圆形花坛，其余部分（阴影部分）种植草坪．（取3） （1）种植草坪（阴影部分）的面积为__________；（用含R，r的代数式表示） （2）当时，利用因式分解计算种植草坪（阴影部分）的面积． 23. 某大型景区为积极响应创建文明城市的号召，营造更加干净的卫生环境，计划购买至台扫地机，现从甲、乙两厂了解到同一型号扫地机每台报价均为元，并且多买都有一定的优惠，各厂家的优惠方案如下：甲厂：第一台按原价收费，其余每台折；乙厂：每台折 （1）设该景区购买台扫地机，购买的费用为元，则在甲厂购买的费用______，在乙厂购买的费用______． （2）通过计算说明该景区选择哪个厂家购买更优惠？ 24. 如图，在中，是外一点，且，过点作，分别交，于点E，F． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 25. 某水果店积极参与助农惠农活动，从果农处采购优质苹果助力乡村振兴．该水果店第一次花费500元购进一批苹果，由于销售状况良好，又花费1000元以相同的价格购进该品种苹果，所购质量比第一次购进质量多100千克． （1）求这种苹果的进价是多少元每千克？ （2）已知该水果店内苹果和香蕉的单价分别为元每千克和元每千克，甲共购买了千克水果，其中苹果千克，香蕉千克；乙共花费了元，其中买苹果元，买香蕉元．若甲和乙的花费相同，通过计算说明甲、乙两人谁购买水果的总质量更大． 26. 【初步感知】 （1）如图①，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的阴影部分再剪拼成一个如图②所示的长方形，根据阴影部分的面积关系，可以得到______；（结果写成因式分解的形式） （2）如图③，在棱长为的正方体上挖去一个棱长为的小正方体，把余下的部分再切割拼成一个如图④所示的几何体，根据它们的体积关系，可以得到_______；（结果写成因式分解的形式） 【类比推理】 （3）因式分解：； 【拓展提升】 （4）如图⑤，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形ABCD，令，，且，若该直角三角形的两条直角边长分别为和，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西咸阳市永寿县上邑中学2025-2026学年度第二学期第二阶段性训练中学八年级数学（北师大版） 注意事项：满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列式子中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的定义；根据分式定义判断选项即可． 【详解】解： ∵符合分式定义，是分式， ∴A符合题意， ∵属于整式，不符合分式定义， ∴B不符合题意， ∵是常数，分母不含有字母，不符合分式定义 ∴C不符合题意， ∵属于整式，不符合分式定义， ∴D不符合题意． 故选：A． 2. 下列四种物理仪器的示意图中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此可得答案． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 3. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义，解题关键是掌握因式分解的概念，即把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，这种变形就是因式分解，据此逐一判断选项即可. 【详解】解：∵因式分解要求左边是多项式，右边变形后是几个整式的乘积的形式， ∴A选项左边是单项式，不是多项式，不符合要求； B选项左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义； C选项从左到右是整式乘法，将乘积化为多项式，不是因式分解； D选项右边是和的形式，不是乘积形式，不符合要求 4. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点落在的延长线上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用旋转的性质得出，，再利用平行线的性质得出，据此求解即可． 【详解】解：旋转角度， ，， ， ， ， ， ． 5. 下列分式与一定相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘以或除以一个不等于的整式，分式的值不变，根据该性质判断各选项即可． 【详解】解：A、，该选项符合题意； B、取，得，该选项不符合题意； C、取，，得，该选项不符合题意； D、取，，得，该选项不符合题意． 6. 如图，在中，是边的垂直平分线，连接，平分交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，由三角形外角性质得，由角平分线定义得，由三角形外角性质得． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分交于点F， ， ∴， ∴． 7. 某施工队每天挖掘米隧道，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘米隧道，比原来少用的天数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算原施工和改进技术后挖掘米隧道所需的天数，再计算天数差即可得到结果． 【详解】解：∵原来每天挖掘米，挖掘米隧道需要的天数为， 改进施工技术后，每天挖掘的长度为米， ∴改进技术后，挖掘米隧道需要的天数为， 因此比原来少用的天数为：． 8. 如图，在中，，以为边向外分别作等边和等边，若，则的长为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等边三角形性质和证明 ，将求转化为求，再证，利用勾股定理求即可 【详解】解：连接，  ∵，，， ∴， ∴ ． ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法、完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键． 先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 若分式有意义，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义时分母不为零，列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 11. 如图，正六边形和等腰Rt的一边重合，，则的度数为__________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】先根据正多边形的内角和公式，可得正六边形的内角，再根据角的和差即可得答案． 【详解】解：正六边形的内角为：， ， 为等腰直角三角形，， ， ∴， ∴． 12. 如图，在四边形中，，若平分，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过作于，利用角平分线的性质证明，进一步利用三角形的面积公式计算即可. 【详解】解：如图，过作于， ∵，平分， ∴， ∵， ∴的面积为. 13. 如图，直线与直线为常数，且相交于点，则不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先把点的坐标代入直线求出的值，确定交点坐标，再根据函数图象，找出直线在直线上方部分对应的的取值范围即可． 【详解】解：点在直线上， ， 解得， 点的坐标为， 由图象可知，当时，直线的图象在直线的图象上方， 不等式的解集是． 14. 如图，在中，，，，点是边上两动点，连接，CE．若，则周长的最小值为______． 【答案】##7.2 【解析】 【分析】作点C关于线段AB的对称点交于点H，连接和，过点作，且，连接，则，根据轴对称得和，那么，周长为，当点C、点E和点F三点共线时，周长最小为，利用勾股定理求得，等面积法求得，则有，在中求得即可． 【详解】解：作点C关于线段AB的对称点交于点H，连接和，过点作，且，连接，如图， 则四边形为平行四边形， ∴， ∵点C关于线段AB的对称点， ∴，， ∴， 则周长为， 当点C、点E和点F三点共线时，周长最小为， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 在中，， 则，周长最小为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理、轴对称的性质、平行四边形的判定和性质和三角形三边关系的应用，解题的关键是熟悉轴对称的性质和平行四边形的性质． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为． 16. 化简：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】去分母把方程化为整式方程，再检验即可. 【详解】解：， ， 等式两边同时乘以得：， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时，最简公分母， 是原分式方程的根． 18. 如图，在中，，请用尺规作图法在上求作一点D，使得点D到的距离等于（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】图见解析 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，要使点到的距离等于，作出的角平分线，与的交点即为所求．按照角平分线的作图方法作出图形即可． 【详解】解：如图所示，点即为所求， 19. 如图，在与中，于点．若，求证：． 【答案】证明：， ∴ ∵， ， 在和中， ， ； ∴． 【解析】 【分析】由，结合，推出，得，确定两个三角形均为直角三角形．利用定理证明．最后根据全等三角形对应边相等，即可解答． 【详解】略 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，将平移后得到，且点的对应点是，点的对应点分别为． （1）点之间的距离是__________； （2）请在图中画出． 【答案】（1） （2）如图所示，即所求 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理进行求解即可． （2）由题意可知，，依次连接即可． 【小问1详解】 解：由，点的对应点，可知向左平移了6个单位长度，向上平移了2个单位长度， ； 【小问2详解】 略 21. 皮影戏（又称影子戏、灯影戏）是中国古老的民间戏剧与光影艺术．某体验馆计划在总费用不超过5100元的前提下，定制传统人物皮影和动物皮影共70个，已知定制1个传统人物皮影的价格为80元，定制1个动物皮影的价格为40元．求最多可定制多少个传统人物皮影？ 【答案】最多可定制57个传统人物皮影． 【解析】 【分析】设可定制x个传统人物皮影，则可定制个动物皮影，根据总费用不超过5100元，列不等式求解即可． 【详解】解；设可定制x个传统人物皮影，则可定制个动物皮影， 根据题意得， 解得， 因为x是皮影的个数，必须为非负整数，所以x的最大值为57． 答：最多可定制57个传统人物皮影． 22. 如图，人民公园有一块半径为的圆形空地，在该空地上修建4个半径均为的圆形花坛，其余部分（阴影部分）种植草坪．（取3） （1）种植草坪（阴影部分）的面积为__________；（用含R，r的代数式表示） （2）当时，利用因式分解计算种植草坪（阴影部分）的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用大圆面积减去4个小圆的面积，列出阴影部分面积的表达式； （2）对面积表达式先提取公因式，再用平方差公式因式分解，代入数值简化计算． 【小问1详解】 解：=大圆面积−4×小圆面积， ． 【小问2详解】 解：． 当，时， ． 23. 某大型景区为积极响应创建文明城市的号召，营造更加干净的卫生环境，计划购买至台扫地机，现从甲、乙两厂了解到同一型号扫地机每台报价均为元，并且多买都有一定的优惠，各厂家的优惠方案如下：甲厂：第一台按原价收费，其余每台折；乙厂：每台折 （1）设该景区购买台扫地机，购买的费用为元，则在甲厂购买的费用______，在乙厂购买的费用______． （2）通过计算说明该景区选择哪个厂家购买更优惠？ 【答案】（1）元，元； （2）当时，选择乙厂购买更优惠；当时，选择甲、乙两厂购买所需费用相同；当时，选择甲厂购买更优惠 【解析】 【分析】（1）利用总价单价数量，结合甲、乙两厂给出的优惠方案，可用含的代数式表示出、的值； （2）分，及三种情况，求出的取值范围或的值，进而可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意得：在甲厂购买的费用元； 在乙厂购买的费用元； 【小问2详解】 解：∵计划购买至台扫地机， ∴， 若，则， 当时，选择乙厂购买更优惠； 若，则， 当时，选择甲、乙两厂购买所需费用相同； 若，则， 当时，选择甲厂购买更优惠． 答：当时，选择乙厂购买更优惠；当时，选择甲、乙两厂购买所需费用相同；当时，选择甲厂购买更优惠． 24. 如图，在中，是外一点，且，过点作，分别交，于点E，F． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：，， 是等边三角形． ． ， ，． ． 是等边三角形． （2）5 【解析】 【分析】（1）由，，得是等边三角形，根据平行线的性质及等边三角形的性质可得，即可得出结论； （2）连接，交于点，由，，得是线段的垂直平分线，根据等边三角形三线合一得，再根据平行线的性质得，根据等角对等边得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接，交于点， ，， 是线段的垂直平分线． ． 又， ． ， ． ． ． ． 由（1）知是等边三角形， ． ． 25. 某水果店积极参与助农惠农活动，从果农处采购优质苹果助力乡村振兴．该水果店第一次花费500元购进一批苹果，由于销售状况良好，又花费1000元以相同的价格购进该品种苹果，所购质量比第一次购进质量多100千克． （1）求这种苹果的进价是多少元每千克？ （2）已知该水果店内苹果和香蕉的单价分别为元每千克和元每千克，甲共购买了千克水果，其中苹果千克，香蕉千克；乙共花费了元，其中买苹果元，买香蕉元．若甲和乙的花费相同，通过计算说明甲、乙两人谁购买水果的总质量更大． 【答案】（1）这种苹果的进价是元每千克 （2）乙购买水果的总质量更大 【解析】 【分析】（1）通过设单价是x元每千克，列出分式方程，解分式方程即可； （2）通过作差法计算两个代数式的差，化简后根据已知条件判断正负，从而比较大小． 【小问1详解】 解：设这种苹果的进价是x元每千克，根据题意可得： ， ， ， ， 经检验，是原分式方程的根， 所以，这种苹果的进价为5元每千克； 【小问2详解】 由题意可知，甲共购买了千克水果，花费元， 甲和乙的花费相同，所以乙花费元，则，所以， 乙共购买了千克水果， ， 因为， 所以乙购买水果的总质量更大． 【点睛】解分式方程一定要进行检验，且分式方程的分母不为0，异分母分式进行相加减，先通分，化为同分母的分式进行计算． 26. 【初步感知】 （1）如图①，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的阴影部分再剪拼成一个如图②所示的长方形，根据阴影部分的面积关系，可以得到______；（结果写成因式分解的形式） （2）如图③，在棱长为的正方体上挖去一个棱长为的小正方体，把余下的部分再切割拼成一个如图④所示的几何体，根据它们的体积关系，可以得到_______；（结果写成因式分解的形式） 【类比推理】 （3）因式分解：； 【拓展提升】 （4）如图⑤，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形ABCD，令，，且，若该直角三角形的两条直角边长分别为和，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 【答案】（1）； （2） （3） （4）， 【解析】 【分析】（1）根据阴影部分面积的不同计算方法即可写出； （2）图③的几何体的体积为一个大正方体挖去一个小的正方体，故剩下的体积为；图④的几何体由 3 个几何体拼接而成，故可得出体积为；再根据体积相等，故可写出等式． （3）利用分组法以及完全平方公式进行分解即可； （4）根据直角三角形短直角边为a，长直角边为b，一个直角三角形的面积为，个三角形的面积，大正方形边长，小正方形边长．由，求出．将分组为，提取公因式得．结合已知条件，代入得值即可． 【小问1详解】 解：图①阴影部分的面积为、图②阴影部分的面积为， ∴可以得到一个关于的等式； 【小问2详解】 解：如图③中的几何体的体积为； 图④的几何体体积为； 根据它们的体积关系得到关于的等式为：． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解：∵直角三角形的短直角边为a，长直角边为b， ∴大正方形的边长为，面积；小正方形的边长为，面积，三角形的面积为，， ∵， ∴， 整理得：， ∴． ， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴原式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $