第10～11章（ 二元一次方程组、一元一次不等式）综合练习 2025--2026学年苏科版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组与不等式跨模块整合，通过实际问题与新定义题型，培养抽象能力、运算能力及模型意识，实现知识应用与创新思维的综合训练。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|选择1-3、填空9-10|基础性质辨析、解集判断|从不等式性质到二元一次方程组定义，构建概念关联| |实际应用|选择4、解答24-25|古代数学问题、行程问题|通过等量与不等关系建立模型，体现数学语言表达现实世界| |综合拓展|选择8、解答27-28|非负数综合、新定义运算|结合参数讨论与逻辑推理，发展运算能力与创新意识|

七年级下册数学苏科版二元一次方程组+不等式综合练习B 一、选择题（16分） 1． 已知，那么下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2． 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 3． 下列说法中①是不等式的解；②的解集是；③是不等式的解；④是不等式的解集。正确的有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 4． 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三。问人数、琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出 4 钱；每人出钱，又差了 3 钱。问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 5． 如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫作 “同解不等式”。下列不等式中，属于 “同解不等式” 的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 6． 不等式的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7． 按图中程序计算，规定：从 “输入一个值” 到 “结果是否” 为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8． 已知非负数，，满足条件，，设的最大值为，最小值为，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（20分） 9． “的 3 倍与 2 的差是负数” 用不等式表示为________。 10． 如图数轴表示的不等式的解集为________。 11． 当________时，代数式的值不小于 10。 12． 已知，，若，则的取值范围是________。 13． 已知方程组和的解相同，则________。 14． 新定义：对于实数，，，表示运算：，如，若的值大于 1，的取值范围是________。 15． 小亮解得方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数■和▲，请你帮他找回数■和▲，这两个数中较大的一个数的值是________。 16． 已知当时的最小值为，当时的最大值为，则________。 17． 已知方程组的解满足，则的取值范围为________。 18． 对于字母，符号表示不大于的最大整数，如，，则满足关系式的的整数是________。 三、解答题（共64分） 19． 解方程： (1) (2) 20． 解下面的不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来。 (1) ； (2) 21． 当为何正整数时，的值不大于的值？ 22． 小红和爸爸现在年龄之和是 49 岁，16 年后，爸爸的年龄是小红年龄的两倍，小红和爸爸今年年龄各是多少岁？ 23． 齐云县境内的某段铁路桥长2200m，现有一列高铁列车从桥上通过，测得此列高铁从开始上桥到完全过桥共用30s，整列高铁在桥上的时间是25s，试求此列高铁的车速和车长． 24． 定义一种新运算 “”：当时，；当时，例如：，。 (1) 若，求的取值范围； (2) 已知，求的取值范围。 25． 为了改善湘西北地区的交通，修建了常（德）— 益（阳）— 长（沙）高铁。开通后的长益段高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了 40 千米，运行时间为 16 分钟。现乘坐某次长益城际列车全程需要 60 分钟，平均速度是开通后的高铁的。 (1) 长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少？ (2) 甲、乙两支工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为 7：9，计划 40 天完成，施工 5 天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早 3 天以上（含 3 天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？ 26． 对于二元一次方程的任意一个解，给出如下定义：若，则称为方程的 “和谐值”；若，则称或为方程的 “和谐值”，此时的 “和谐值” 又称为 “和谐平衡值”；若，则称为方程的 “和谐值”。 (1) 当时，此方程的 “和谐值” 是________，二元一次方程的 “和谐平衡值” 是________； (2) 若二元一次方程的 “和谐值” 为 5，写出所有满足条件的方程的解； (3) 当（）时，探究方程是否存在最小 “和谐值”，若有，求出最小 “和谐值”，若没有，请说明理由。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级下册数学苏科版二元一次方程组+不等式综合练习B答案和解析 一、选择题（16分） 1． 已知，那么下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 答案：A 解析：根据不等式基本性质： A：不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，则，成立。 B：不等式两边乘，不等号方向改变，应为，错误。 C：正负不确定，若，则，错误。 D：绝对值表示距离，如，，错误。 2． 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 答案：D 解析：二元一次方程组要求：共含两个未知数、每个方程都是一次整式方程。 A：有 三个未知数； B： 是二次； C： 是二次； D：符合二元一次方程组定义。 3． 下列说法中①是不等式的解；②的解集是；③是不等式的解；④是不等式的解集。正确的有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 答案：C 解析：逐一判断： ① 把代入，，是不等式的解，正确； ② ，解得，解集正确； ③ 把代入，，是不等式的解，正确； ④ 解得，不是它的解集，错误。 综上①②③正确，共 3 个。 4． 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三。问人数、琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出 4 钱；每人出钱，又差了 3 钱。问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 答案：B 解析： 每人出 ，盈 4： 每人出 ，不足 3： 对应方程组为选项 B。 5． 如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫作 “同解不等式”。下列不等式中，属于 “同解不等式” 的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 答案：C 解析：分别求解每个不等式： A：，与不同解； B：，与不同解； C：；，两式同解； D：；，不同解。 6． 不等式的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 答案：B 解析：不等式解集为，不等号方向改变， 说明未知数系数为负数：，解得 。 7． 按图中程序计算，规定：从 “输入一个值” 到 “结果是否” 为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 答案：A 解析：运算规则：，操作两次停止，含义： 第一次运算结果，第二次运算结果。 列不等式组： 解得：，即 8． 已知非负数，，满足条件，，设的最大值为，最小值为，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 答案：C 解析： 由 ，，得 。 。 已知为非负数： ； ；（恒成立）。 所以 。 最大为 7 时， 最小为 0 时， 。 二、填空题（20分） 9． “的 3 倍与 2 的差是负数” 用不等式表示为________。 答案： 解析：的 3 倍：，与 2 的差：，负数即小于 0。 10． 如图数轴表示的不等式的解集为________。 答案： 解析：数轴上 1 处为实心点，向右延伸，代表解集。 11． 当________时，代数式的值不小于 10。 答案： 解析：由题意列不等式： 。 12． 已知，，若，则的取值范围是________。 答案： 解析： 即 。 13． 已知方程组和的解相同，则________。 答案： 解析： 由和解得 ∴= 。 14． 新定义：对于实数，，，表示运算：，如，若的值大于 1，的取值范围是________。 答案： 解析：根据新定义： 。 15． 小亮解得方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数■和▲，请你帮他找回数■和▲，这两个数中较大的一个数的值是________。 答案：9 解析： 代入 ： 两数为 、，较大为9 16． 已知当时的最小值为，当时的最大值为，则________。 答案： 解析：，最小值；，最大值。 。 17． 已知方程组的解满足，则的取值范围为________。 答案： 解析：方程组两式相加： 由，得。 18． 对于字母，符号表示不大于的最大整数，如，，则满足关系式的的整数是________。 答案： 解析：表示不大于的最大整数，，则： 整数解为：7、8、9。 三、解答题（共64分） 19． 解方程： (1) (2) 答案：(1) 把 代入②： 解： (2) 由②得： 把③代入①： 将 代入③： 解： 20． 解下面的不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来。 (1) ； (2) 答案：(1) (2) 解①： 解②： 不等式组解集： 21． 当为何正整数时，的值不大于的值？ 答案： 解析：根据题意列不等式： 两边同乘 8 去分母： 为正整数，。 22． 小红和爸爸现在年龄之和是 49 岁，16 年后，爸爸的年龄是小红年龄的两倍，小红和爸爸今年年龄各是多少岁？ 答案：小红今年岁，爸爸今年岁。 解析：设小红今年 岁，爸爸今年 岁，根据题意列方程组： 化简②：，即 把③代入①： ，解得 将 代入①：，得 答：小红今年岁，爸爸今年岁。 23． 齐云县境内的某段铁路桥长2200m，现有一列高铁列车从桥上通过，测得此列高铁从开始上桥到完全过桥共用30s，整列高铁在桥上的时间是25s，试求此列高铁的车速和车长． 答案：车速为80m/s，车长为200m。 解析：设此列高铁的车长为m，车速为m/s， 依题意得：， 解得：， 答：此列高铁的车速为80m/s，车长为200m． 24． 定义一种新运算 “”：当时，；当时，例如：，。 (1) 若，求的取值范围； (2) 已知，求的取值范围。 答案：(1) ；(2) 或 。 解析：(1)由，可知： 。 (2) ，分两种情况： ① 当，即时： 原式 结合前提，得 。 ② 当，即时： 原式 结合前提，得 。 综上： 或 。 25． 为了改善湘西北地区的交通，修建了常（德）— 益（阳）— 长（沙）高铁。开通后的长益段高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了 40 千米，运行时间为 16 分钟。现乘坐某次长益城际列车全程需要 60 分钟，平均速度是开通后的高铁的。 (1) 长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少？ (2) 甲、乙两支工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为 7：9，计划 40 天完成，施工 5 天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早 3 天以上（含 3 天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？ 答案：(1)高铁全长 64 千米，城际铁路全长 104 千米；(2)至少施工千米。 解析：(1) 设高铁全长千米，则城际铁路全长千米。 高铁速度： 千米 / 小时 城际速度： 千米 / 小时 根据题意： 化简： 城际长度： 答：高铁全长 64 千米，城际铁路全长 104 千米。 (2) 甲乙日工作量比，设甲每天，乙每天。 工程总量： 前 5 天完成：，剩余： 原总工期 40 天，提早 3 天及以上，总工期天，剩余工期天。 设甲后期每天施工，乙保持不变： 由，全程总长 64km，原每日合计： km 即 答：甲工程队后期每天至少施工0.85千米。 26． 对于二元一次方程的任意一个解，给出如下定义：若，则称为方程的 “和谐值”；若，则称或为方程的 “和谐值”，此时的 “和谐值” 又称为 “和谐平衡值”；若，则称为方程的 “和谐值”。 (1) 当时，此方程的 “和谐值” 是________，二元一次方程的 “和谐平衡值” 是________； (2) 若二元一次方程的 “和谐值” 为 5，写出所有满足条件的方程的解； (3) 当（）时，探究方程是否存在最小 “和谐值”，若有，求出最小 “和谐值”，若没有，请说明理由。 答案：(1)1，1或3；(2)、；(3)3，理由见解析。 解析：(1) 即 ，代入 ： ，，和谐值 = 1 若为和谐平衡值，则 ，即 当 ：，解得 ， 当 ：，解得 ， 结合题意，和谐平衡值为 1或3 (2) 若和谐值为 5，分两种情况讨论： 和谐值为，此时 ：，，解为 ：，，解为 和谐值为，此时 ：，不合题意，舍去 ：，不合题意，舍去 综上，满足条件的解：、 (3) ，代入 ： 即 ， ，和谐值取 故 取最小值 2 时，和谐值最小，此时，，和谐值为 3 答：存在最小和谐值，最小值为3。 1 学科网（北京）股份有限公司 $