专题1.3 全等三角形（举一反三讲义）数学新教材苏科版八年级上册

本讲义聚焦全等三角形核心知识点，系统梳理概念（完全重合、对应顶点边角、符号表示）、性质（对应边角相等、周长面积等）及应用（平移旋转背景下性质应用、位置关系判定），构建完整知识支架。 资料以9大题型（含例题与变式）系统分类，融入平移旋转等图形变换培养几何直观，通过分割图形、角度线段计算发展推理意识。课中助教师分层教学，课后助学生强化练习，有效查漏补缺。

专题1.3 全等三角形（举一反三讲义） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 全等三角形的识别与符号表示】 1 【题型2 寻找全等三角形的对应顶点、对应边和对应角】 3 【题型3 分割成几个全等三角形】 5 【题型4 利用全等三角形对应角相等求角的大小】 8 【题型5 利用全等三角形对应边相等求线段的长度】 10 【题型6 利用全等三角形性质求周长与面积】 12 【题型7 平移背景下的全等三角形性质应用】 16 【题型8 旋转背景下的全等三角形性质应用】 18 【题型9 利用全等三角形性质判定线段的位置关系】 21 考点1 全等三角形的概念与对应元素 知识点1 全等三角形 1. 全等三角形的有关概念 一个三角形经过平移、轴对称或旋转变换后得到另一个三角形. 这两个三角形可以重合. 我们把两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． 2. 全等三角形的表示方法 全等用符号“”表示，读作“全等于”． 表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．这样容易写出对应边、对应角．如图中的与全等，记作“”，点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点． 【题型1 全等三角形的识别与符号表示】 【例1】（25-26八年级下·广西崇左·开学考试）如图，七巧板中有个等腰直角三角形（），其中与三角形全等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：与三角形全等的是． 【变式1-1】（2026七年级下·全国·专题练习）已知在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：______ ． 【答案】 【详解】解：在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：． 【变式1-2】（24-25七年级下·上海徐汇·期末）已知的三边长互不相等，若以为两个顶点画不同位置的三角形（与原三角形不重合），使所画的三角形与全等，这样的三角形最多可以画___________个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三角形全等的定义，根据题意画出图形，得出答案即可． 【详解】解：如图，可以画、、与全等，因此这样的三角形最多可以画3个． 故答案为：3． 【变式1-3】全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形． 下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有__________． 【答案】①③/③① 【分析】本题主要考查了全等三角形．根据真正合同三角形和镜面合同三角形的定义进行解答，即可求解． 【详解】解：根据题意得：①③运动方向相反， ∴属于镜面合同三角形的有①③． 故答案为：①③． 【题型2 寻找全等三角形的对应顶点、对应边和对应角】 【例2】如图所示，，其中与，与是对应顶点，则的对应边是______，的对应角是_______．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的对应边与对应角．解题的关键是牢记“全等三角形的对应边相等，对应角相等”即可．解题时要找对对应边，对应角即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的对应边是，的对应角是． 故答案为：，． 【变式2-1】（24-25八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，两个三角形与全等，观察图形，判断在这两个三角形中边的对应边为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的对应边的含义．注意最长边与最长边对应，最短边与最短边对应．观察图形，找到与长度相等的边即可． 【详解】解：观察图形可知：，， ∴和是对应边， 而显然和是两个三角形中最短的边，是对应边， ∴边的对应边为． 故选D． 【变式2-2】如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是________．（填序号）    【答案】②④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的有关概念，解题时应注重识别全等三角形中的对应边、对应角． 根据全等三角形的有关概念，即可求解． 【详解】解：∵， ∴与是对应边，故①错误； 与是对应边，故②正确； 与是对应角，故③错误； 与是对应角，故④正确． 所以正确的有②④． 故答案为：②④ 【变式2-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出对应点，即可解题． 【详解】解： ， 与相对应， ， 与相对应， ， 故选：D． 【题型3 分割成几个全等三角形】 【例3】（24-25七年级下·全国·期中）请把如图所示的正方形分别分成2个、4个、8个全等的图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，选择对边的两个中点连接即可分得两个全等的图形；分别连接对边的两个中点即可得到四个全等的图形；分别连接对边的两个中点及不相邻的两个顶点即可得到8个全等的图形． 【详解】解：所作图形如下所示： 【变式3-1】（2025八年级上·全国·专题练习）小明通过实验发现：如图所示，将一个长方形可以分割成四个全等的长方形，三个全等的长方形，于是他对含的直角三角形进行分割研究，发现也可以分割成四个全等的直角三角形，三个全等的直角三角形． 请你在图中依次画出分割线； 【答案】图形见详解 【分析】本题考查了作图-应用与设计，全等三角形的判定等知识点．根据要求画出图形即可． 【详解】解：分割线如图所示： ． 【变式3-2】（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在格点上． (1)在图甲中画直线，将分成面积相等的两个三角形，与的边交于点； (2)在图乙中画，使得与全等（只画一个）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—格点作图，三角形中线的性质、全等三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据网格即可画出的中线； （2）根据网格结合全等三角形的性质即可画出． 【详解】（1）解：如图：即为所作， （2）解：如图：即为所作， 【变式3-3】小红想将一个等边三角形沿着图中的虚线剪下得到几个全等三角形，下列操作中沿虚线剪下得到的三角形是全等图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质和全等三角形的判定方法依次判断即可． 本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定方法，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：A. 将等边三角形沿底边的三等分点和顶点的连线剪下，根据可得左右两个三角形全等，但不与中间三角形全等．故A选项不符合题意； B. 将等边三角形沿底边的四等分点和顶点的连线剪下，根据可得左右两个三角形全等，中间两个三角形全等，但这四个三角形不全等，故B选项不符合题意； C.将等边三角形沿三条边中点的连线剪开．根据可得这四个三角形全等．故C选项符合题意； D. 在等边三角形顶角的平分线上任取一点，再连接两个底角的顶点，沿虚线剪开．根据可得左右两个三角形全等，但不与下面的三角形全等．故D选项不符合题意． 故选：C 考点2 利用全等三角形的性质计算 知识点2 全等三角形的性质 1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等． 2. 全等三角形的其他性质 （1）全等三角形的周长相等； （2）全等三角形的面积相等； （3）全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等． 【题型4 利用全等三角形对应角相等求角的大小】 【例4】（24-25七年级下·福建宁德·期末）如图，，，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据，可得，再由可得结果． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式4-1】（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，利用全等三角形对应角相等，即可得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 【变式4-2】如图，，若，，则等于______． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式4-3】（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，已知，的延长线交于点F，交于点G，，，，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据可得，求得，根据等量变换，然后即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【题型5 利用全等三角形对应边相等求线段的长度】 【例5】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，已知，，，则的长度为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，线段的和差运算，掌握好相关知识是关键． 根据全等三角形对应边相等的性质可得，作差求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式5-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，若，，，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，通过全等三角形得到对应边相等是解题的关键． 首先根据全等三角形得到，，即可求解的长． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故选：C． 【变式5-2】已知 ， 的三边为，的三边为，若三边均为整数，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形三边关系，由，则中有一边为，中有一边为，与中剩余两边相等，通过三角形三边关系可知两三角形剩余两边最小为，然后根据周长公式即可求解，掌握知识点的运用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴中有一边为，中有一边为，与中剩余两边相等， ∵， ∴两个三角形剩余两边最小为， ∴的最小值为：， 故答案为：． 【变式5-3】如图，已知，，且，，点A在上，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定和性质． 根据全等三角形的性质得到，，根据平行线的性质得到，进而证明，可得，进而计算即可． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 【题型6 利用全等三角形性质求周长与面积】 【例6】（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，于点D、E是上一点，若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握相关知识点是解题的关键． 根据全等三角形的性质，可得，再根据周长为，即可求解． 【详解】解：， ， ， 则的周长为． 故选：D． 【变式6-1】如图，中，，将沿方向平移的长度得到，且，，，则图中阴影部分的面积是______________．    【答案】15 【分析】本题主要考查了平移的性质，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．先根据平移的性质得到即，，可求出，最后根据梯形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵将沿方向平移的长度得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：15． 【变式6-2】（24-25八年级上·湖北·期中）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是_____． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 由题意知，，，则，，，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴，，， ∴， ∵长方形， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键； （1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出，然后利用角的和差关系求解即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，，然后利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， 与的周长和为 ． 考点3 全等三角形在图形变换与位置关系中的应用 知识点3 全等变换 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等． 如图（1），把沿BC所在直线向右平移一段距离，得到，则． 如图（2），把沿BC所在直线翻折，得到，则． 如图（3），把绕点A旋转，得到，则． 【题型7 平移背景下的全等三角形性质应用】 【例7】如图，的边长长为，将向上平移得到，已知四边形为长方形，则阴影部分的面积为__． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质、矩形的面积公式，证明及是解题的关键． 由平移得，可得，再根据，即可求解． 【详解】解：由平移得， ， ， ∵四边形为长方形，， ， ， 故答案为：． 【变式7-1】（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）如图，由平移得到，下列说法中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵由平移得到， ∴，，， ∴，， 因此，选项C错误，符合题意． 故选：C． 【变式7-2】如图所示，平移得到，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，三角形内角和定理，根据平移的性质可得，即可得，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵平移得到， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【变式7-3】如图，在一次演出中，位置上重合着两个三角形道具，演员把其中一个沿直角的边所在的直线向右推动，使之平移到位置．    (1)若，，求的长． (2)除了，还能求出哪些角的度数？求出这些角的度数． (3)你还能得出哪些关于线段位置关系的结论？写出一个，并加以证明． 【答案】(1)5 (2) (3)，证明见解析（答案不唯一） 【分析】（1）首先根据平移的性质得到，然后得到，进而求解即可； （2）根据全等三角形的性质求解即可； （3）根据平行线的判定方法求解即可． 【详解】（1）∵平移到， ∴ ∴ ∴； （2）∵ ∴； （3）． 证明：∵ ∴．（答案不唯一） 【点睛】此题考查了平移的性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【题型8 旋转背景下的全等三角形性质应用】 【例8】（24-25九年级上·广东韶关·期中）数学课堂上，为探究旋转的性质，同学们进行了如下操作：如图所示，将一个三角形硬纸板，放置在一张白纸上，描出硬纸板的形状，并用图钉固定点A，将三角形硬纸板绕点A顺时针旋转一定角度后，再描出形状得到，经测量，则_______． 【答案】/35度 【详解】解：将三角形硬纸板绕点A顺时针旋转一定角度，根据旋转的性质，旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的方向， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【变式8-1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，把绕点A旋转一定角度得到，那么这两个三角形的关系可用符号表示为___________，点B的对应顶点为___________，边的对应边为___________，的对应角为___________． 【答案】 点D 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，由旋转的性质可得，即可求解．掌握旋转的性质是本题的关键． 【详解】解：∵把绕点A旋转一定角度得到， ， ∴点B的对应顶点为点D，边的对应边为，的对应角为， 故答案为：，点D，，． 【变式8-2】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，将三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形，若点恰好落在线段上，，交于点，则下面结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．根据旋转的性质可得，旋转角，再根据全等三角形的性质可得，，由此即可得． 【详解】解：由旋转的性质得：，旋转角，则选项A正确； ∴，，则选项C和D均正确； 由已知条件无法得出，则选项B错误； 故选：B． 【变式8-3】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，E是正方形中边上的点，以点A为中心，把顺时针旋转，得到，其中．那么旋转角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的性质等知识点，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 根据正方形的性质得到，由旋转的性质推出，求出即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∴， ∴旋转角的度数是． 故选：C． 【题型9 利用全等三角形性质判定线段的位置关系】 【例9】如图，在中，，点为内一点，将绕点逆时针旋转到的位置．则与的位置关系（    ） A． B．与相交且交成的锐角为 C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质以及对顶角相等，由旋转的性质得出，由全等三角形的性质可得出，由对顶角相等得出，进而得出，即可证明． 【详解】解：延长交于点F，交于点G． ∵将绕点逆时针旋转到的位置， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵，即， ∴， 即， 故选：A． 【变式9-1】如图，已知和全等，点和点是对应点，点和点是对应点，则和的位置关系是______ 【答案】平行 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的判定，根据题意可得，则，由此可得． 【详解】解：∵和全等，点和点是对应点，点和点是对应点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：平行． 【变式9-2】（24-25八年级上·河北沧州·阶段检测）如图，，A、B、D三点在一条直线上； （1）线段和的位置关系是：_________； （2）若，，则的长为________． 【答案】 6 【分析】本题考查了全等三角形的性质和平角的定义，熟练掌握全等三角形对应边、对应角相等是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质和平角的定义即可求解； （2）根据全等三角形的对应边相等，即，，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵A、B、D三点在一条直线上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【变式9-3】（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，点A，C，E在同一条直线上，点D在上，且，，． (1)求的长； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)2； (2)，理由见解析． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，然后问题可求解； （2）由题意易得，然后根据可进行求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 全等三角形（举一反三讲义） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 全等三角形的识别与符号表示】 1 【题型2 寻找全等三角形的对应顶点、对应边和对应角】 2 【题型3 分割成几个全等三角形】 3 【题型4 利用全等三角形对应角相等求角的大小】 5 【题型5 利用全等三角形对应边相等求线段的长度】 6 【题型6 利用全等三角形性质求周长与面积】 6 【题型7 平移背景下的全等三角形性质应用】 8 【题型8 旋转背景下的全等三角形性质应用】 9 【题型9 利用全等三角形性质判定线段的位置关系】 10 考点1 全等三角形的概念与对应元素 知识点1 全等三角形 1. 全等三角形的有关概念 一个三角形经过平移、轴对称或旋转变换后得到另一个三角形. 这两个三角形可以重合. 我们把两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． 2. 全等三角形的表示方法 全等用符号“”表示，读作“全等于”． 表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．这样容易写出对应边、对应角．如图中的与全等，记作“”，点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点． 【题型1 全等三角形的识别与符号表示】 【例1】（25-26八年级下·广西崇左·开学考试）如图，七巧板中有个等腰直角三角形（），其中与三角形全等的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026七年级下·全国·专题练习）已知在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：______ ． 【变式1-2】（24-25七年级下·上海徐汇·期末）已知的三边长互不相等，若以为两个顶点画不同位置的三角形（与原三角形不重合），使所画的三角形与全等，这样的三角形最多可以画___________个． 【变式1-3】全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形． 下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有__________． 【题型2 寻找全等三角形的对应顶点、对应边和对应角】 【例2】如图所示，，其中与，与是对应顶点，则的对应边是______，的对应角是_______．    【变式2-1】（24-25八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，两个三角形与全等，观察图形，判断在这两个三角形中边的对应边为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是________．（填序号）    【变式2-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【题型3 分割成几个全等三角形】 【例3】（24-25七年级下·全国·期中）请把如图所示的正方形分别分成2个、4个、8个全等的图形． 【变式3-1】（2025八年级上·全国·专题练习）小明通过实验发现：如图所示，将一个长方形可以分割成四个全等的长方形，三个全等的长方形，于是他对含的直角三角形进行分割研究，发现也可以分割成四个全等的直角三角形，三个全等的直角三角形． 请你在图中依次画出分割线； 【变式3-2】（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在格点上． (1)在图甲中画直线，将分成面积相等的两个三角形，与的边交于点； (2)在图乙中画，使得与全等（只画一个）． 【变式3-3】小红想将一个等边三角形沿着图中的虚线剪下得到几个全等三角形，下列操作中沿虚线剪下得到的三角形是全等图形的是（     ） A． B． C． D． 考点2 利用全等三角形的性质计算 知识点2 全等三角形的性质 1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等． 2. 全等三角形的其他性质 （1）全等三角形的周长相等； （2）全等三角形的面积相等； （3）全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等． 【题型4 利用全等三角形对应角相等求角的大小】 【例4】（24-25七年级下·福建宁德·期末）如图，，，则___________． 【变式4-1】（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，，若，，则等于______． 【变式4-3】（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，已知，的延长线交于点F，交于点G，，，，则______度． 【题型5 利用全等三角形对应边相等求线段的长度】 【例5】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，已知，，，则的长度为（    ）． A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，若，，，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【变式5-2】已知 ， 的三边为，的三边为，若三边均为整数，则的最小值为______． 【变式5-3】如图，已知，，且，，点A在上，求的度数． 【题型6 利用全等三角形性质求周长与面积】 【例6】（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，于点D、E是上一点，若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，中，，将沿方向平移的长度得到，且，，，则图中阴影部分的面积是______________．    【变式6-2】（24-25八年级上·湖北·期中）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是_____． 【变式6-3】（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 考点3 全等三角形在图形变换与位置关系中的应用 知识点3 全等变换 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等． 如图（1），把沿BC所在直线向右平移一段距离，得到，则． 如图（2），把沿BC所在直线翻折，得到，则． 如图（3），把绕点A旋转，得到，则． 【题型7 平移背景下的全等三角形性质应用】 【例7】如图，的边长长为，将向上平移得到，已知四边形为长方形，则阴影部分的面积为__． 【变式7-1】（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）如图，由平移得到，下列说法中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】如图所示，平移得到，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，在一次演出中，位置上重合着两个三角形道具，演员把其中一个沿直角的边所在的直线向右推动，使之平移到位置．    (1)若，，求的长． (2)除了，还能求出哪些角的度数？求出这些角的度数． (3)你还能得出哪些关于线段位置关系的结论？写出一个，并加以证明． 【题型8 旋转背景下的全等三角形性质应用】 【例8】（24-25九年级上·广东韶关·期中）数学课堂上，为探究旋转的性质，同学们进行了如下操作：如图所示，将一个三角形硬纸板，放置在一张白纸上，描出硬纸板的形状，并用图钉固定点A，将三角形硬纸板绕点A顺时针旋转一定角度后，再描出形状得到，经测量，则_______． 【变式8-1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，把绕点A旋转一定角度得到，那么这两个三角形的关系可用符号表示为___________，点B的对应顶点为___________，边的对应边为___________，的对应角为___________． 【变式8-2】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，将三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形，若点恰好落在线段上，，交于点，则下面结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，E是正方形中边上的点，以点A为中心，把顺时针旋转，得到，其中．那么旋转角的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型9 利用全等三角形性质判定线段的位置关系】 【例9】如图，在中，，点为内一点，将绕点逆时针旋转到的位置．则与的位置关系（    ） A． B．与相交且交成的锐角为 C． D．无法确定 【变式9-1】如图，已知和全等，点和点是对应点，点和点是对应点，则和的位置关系是______ 【变式9-2】（24-25八年级上·河北沧州·阶段检测）如图，，A、B、D三点在一条直线上； （1）线段和的位置关系是：_________； （2）若，，则的长为________． 【变式9-3】（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，点A，C，E在同一条直线上，点D在上，且，，． (1)求的长； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $