精品解析：2026年山东省东营市利津县中考二模数学试题

2026年初中学业水平模拟考试 数学试题（二模） （总分120分考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；本试题共8页． 2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是（ ） A. 2.3 B. 1.7 C. 1 D. 0.8 【答案】B 【解析】 【分析】根据字母a在数轴上的位置，得出，从而得出，从而得出答案． 【详解】解：根据数轴可得：， ∴， ∴可能是1.7． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项、完全平方公式、积的乘方及同底数幂乘法的运算法则分别计算各选项，即可判断正误． 【详解】A．，故该选项计算错误，不符合题意， B．，故该选项计算错误，不符合题意， C．，故该选项计算错误，不符合题意， D．，故该选项计算正确，符合题意． 3. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由图可知，该几何体的俯视图是： 4. 光线从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的，两面，且，现有一束光线从空气射向玻璃时发生折射，光线变成，点为线段延长线上一点．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据邻补角定义求出的度数，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解∶如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴． 5. 下列图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形（沿一条直线折叠，直线两侧部分能完全重合）以及中心对称图形（绕中心点旋转后，能与原图完全重合）的定义逐个选项判断两种对称性是否同时满足． 【详解】解：选项A、图案有3片花瓣，存在对称轴，是轴对称图形；绕中心旋转后花瓣位置无法和原图重合，不是中心对称图形，不符合题意； 选项B、图案有4片花瓣，有多条对称轴，是轴对称图形；绕图案中心旋转，花瓣、中心圆点均能和原图完全重合，是中心对称图形，符合题意； 选项C、图案有5片花瓣，存在对称轴，是轴对称图形；绕中心旋转后花瓣错位，无法和原图重合，不是中心对称图形，不符合题意； 选项D、绕图案中心旋转后能和原图重合，是中心对称图形；找不到一条直线，沿直线折叠后两侧图案完全重合，不是轴对称图形，不符合题意． 6. 春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设主干长出支支干，分别计算主干、支干、小分支的数量，根据三者总数为21列方程即可． 【详解】解：∵主干只有1根，设主干长出支支干， ∴支干的总数量为， ∵每根支干又分出支小分支， ∴小分支的总数量为， ∵主干、支干和小分支总数是21， ∴可列方程为． 7. 如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，以线段为边在第一象限内作正方形，反比例函数的图象恰好经过正方形的中心点（即对角线的交点）．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作轴于点，先求出、两点的坐标，可得，，证明，求出的长，得出点坐标，进一步求得点的坐标，把点坐标代入反比例函数的解析式求出的值即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∴， ∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点，， 当时，得：；当时，得：， ∴，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形的中心点的坐标为，即， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 即的值为． 故选：D． 【点睛】本题考查确定反比例函数的解析式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余等知识点，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8. 若一个等腰三角形的一边为4，另外两边为的两根，则m的值为（ ） A. 32 B. 36 C. 32或36 D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】分为两种情况：①腰长为4，②底边为4，分别求出即可． 【详解】分为两种情况： ①当腰长是4时，设底边为a， 依题意得：a+4=12， 解得：a=8， 即三边为4，4，8，不能构成三角形，舍去； ②底边为4，设腰长为b， 依题意得：b+b=12， ∴腰长为b=6， 即三边为4，6，6， ∴m=6×6=36； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，等腰三角形的性质等知识点，掌握根与系数的关系并能进行分类讨论是解此题的关键．涉及等腰三角形的问题容易漏解或多解，要特别注意． 9. 如图1，在菱形中，分别以，点为圆心，以大于长为半径画弧，经过两弧交点的直线交于点，交于点．若点是对角线上一动点，设的长度为，与的长度和为，图是关于的函数图象，其中是图象上的最低点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由、关于对称，推出，推出，推出当、、共线时，的值最小，观察图象可知，当点与重合时，，推出，，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：连接, 根据作图可得， 四边形是菱形，， 、关于对称，点是对角线上一动点， ， ， 当、、共线时，的值最小，即的长． 观察图象可知，当点与重合时，， ，， 在中， ， 的最小值为， 点的纵坐标． 10. 已知：如图，四边形是边长为的正方形，对角线、相交于点．过点作一直角，直角边、分别与、重合，然后逆时针旋转，旋转角为（），、分别交、于两点，连接交于点，则下列结论中正确的是（ ）． ①； ②； ③； ④在旋转过程中，当与的面积之和最大时，． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】证明，得，，得到是等腰直角三角形，即得，即可判定①；由得，进而由等腰直角三角形的性质得，即可判定②；证明得，进而得到，即可判定③；过点作，可得，设，则，，则，利用二次函数的性质可判定④，综上即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，故②正确； ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 过点作， ∵，是等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∴在旋转过程中，当与的面积之和最大时，，故④错误； 综上，结论中正确的是①②③． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果． 11. 国产芯片龙头通富微电，成功突破5纳米工艺，拿下了来自美国芯片巨头的大量订单，订单甚至排到了2026年，5纳米等于0.000000005米，数据“0.000000005”用科学记数法为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义改写即可． 本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】原式先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 13. 京剧、中医，国画，武术被称为中国四大国粹，是中华民族独有的、世代传承的文化瑰宝．县文化馆印刷了部分印有“四大国粹”图案的书签，除正面图案不同外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．从中随机抽取2张，随机抽取的2张书签恰好是“京剧”和“国画”的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先找出所有等可能的结果总数，再确定满足条件的结果数，最后根据概率公式计算即可. 【详解】解：将4张书签分别记为：（京剧），（中医），（国画），（武术）， 从中随机抽取2张，所有等可能的结果为：，共6种， 其中恰好抽到“京剧”和“国画”的结果有1种， 根据概率公式可得：. 14. 已知⊙O是正六边形的外接圆，正六边形的边心距为3，将图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据边心距求得外接圆的半径，根据圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长，计算圆锥的半径即可． 【详解】解：如下图，过点O作，垂足为G，连接， 六边形是正六边形， 是3个全等的等边三角形， ， 正六边形的边心距为3，即， ， ， ，即， 解得：， 设圆锥的半径为r，根据题意，得：， 解得：． 15. 如图，四边形是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似图形的性质可得，求解，进一步利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是以坐标原点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∵点的坐标分别为， ∴， ∴， ∴． 16. 若关于的方程的解为非负数，则的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程的情况求参数． 解分式方程得到，根据解为非负数且分母不为零的条件，列出不等式求解的取值范围即可． 【详解】解：解方程， 两边同乘，得， ∴， ∴， ∴． 由于原方程中分母， ∴， ∴， 解得． 又∵解为非负数， ∴， ∴， 解得． 因此，的取值范围是且． 故答案为：且． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过、，的半径为1（为坐标原点），点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】连接、，由切线性质得，根据勾股定理，半径为定值，因此要使最小，只需长度最小，点在直线上，根据“垂线段最短”，当时，取得最小值，再代入勾股定理计算最小值． 【详解】解：连接、， 是的切线，为切点， ，， 由勾股定理得： ， 已知半径，则， 要让最小，只需最小， 作， ， 又， ， 根据“垂线段最短”，当时，取得最小值，为的长，等于， 则的最小值为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，依据图形所反映的规律，______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等腰直角三角形的性质得到线段长度，再结合点在直线上的坐标关系，归纳出等腰直角三角形的面积规律，进而求出面积． 【详解】解：如图，分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为点，，， ∵且是等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∴， 将的坐标代入得：， 解得：， ∴，， 同理可得：，， ∴，，， ， ∴． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算与化简求值： （1）计算： （2）先化简，再求值，其中． 【答案】（1） （2）化简为，求值为 【解析】 【分析】（1）分别处理乘方、绝对值、零次幂、特殊角三角函数、二次根式化简，再合并同类二次根式； （2）先算括号内分式加减，再将除法转为乘法，因式分解后约分得到最简分式，最后代入的值计算。 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ， 当时， 原式 ． 20. 在2026年某市中招体育考试中，1分钟跳绳为选考项目，男生、女生满分标准分别为180次/分钟和175次/分钟．体育考试前夕，为了解学生跳绳水平，某校从九年级学生的1分钟跳绳测试成绩（次数，用x表示）中随机抽取部分学生的成绩，并将其分成如下四组： A组，B组，C组，D组． 下面给出了部分信息： C组的成绩为：162，162，164，164，166，166，168，168，168，170，172，172，172，174，176，176，176，176，178，178． 根据以上信息解决下列问题： （1）请补全频数分布直方图，C组成绩数据的众数为__________；中位数是__________次； （2）请估计全校1500名九年级学生中1分钟跳绳成绩不低于160次的人数． （3）学校将从成绩最好的4名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名，参加跳绳展示，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）众数为176，中位数171，补全频数分布直方图如图 （2）900人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据众数（一组数据中出现次数最多的数）以及中位数（数据从小到大排列后，偶数个数据取中间两个数的平均值）的定义求出即可，并补全直方图； （2）根据样本频率估算总体频数； （3）用树状图列出所有等可能结果，再用概率公式求出概率． 【小问1详解】 解：统计 C 组每个数字出现次数： 162：2次；164：2次；166：2次；168：3次；170：1次；172：3次；174：1次；176：4次；178：2次， 176 出现次数最多，故众数 =176； C 组共20个数据，中位数为第10、第11个数的平均数： 第10个数 = 170，第11个数 = 172， 中位数为次． 总数据为个， 则B组数据有个， 补全频数分布直方图略； 【小问2详解】 解：不低于160次的是C组和D组，频数和为， ， 全校1500人中，不低于160次的人数约为900人． 【小问3详解】 解：两名男生表示为男1，男2，两名女生表示为女1，女2，抽取过程如图所示， 共有12种等可能结果，其中抽到一男一女的结果有8种， 抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是． 21. 如图，在四边形中，，平分，以为直径的经过点C． （1）求证：是的切线． （2）若，，求三角形的面积． 【答案】（1）如图，连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线． （2）5 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义可得，即可求证； （2）根据勾股定理求出的长，再根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ， 平分， ， 为的直径， ， ， ， ， ． 22. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量学校综合楼及宣传牌的高度 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动 过程 模型抽象 综合楼，宣传牌，为山坡 测绘过程与数据信息 ①在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为， ②测得，，斜坡的坡角为． ③用计算器计算得：，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）： （1）求综合楼的高度； （2）求宣传牌的高度． 【答案】（1）综合楼的高度为 （2）宣传牌的高度为 【解析】 【分析】（1）直接解直角三角形，求出的长即可； （2）过B作，，解直角三角形求出的长，再根据线段的和差关系即可得出结果. 【小问1详解】 解：∵仰角为，， （m）． 答：综合楼的高度为． 【小问2详解】 解：如图，过B作，，则四边形为矩形， 的坡角为，， （m）， （m）， B处测得宣传牌顶部C的仰角为， （m）， （m）． 答：宣传牌的高度为． 23. 城市社区绿化是提升城市生态品质的重点工程，2025年某市推出社区绿化苗木补贴政策，某小区计划采购甲（灌木）、乙（草本）两种绿化苗木．已知购进2株甲种苗木和3株乙种苗木共需23元，购进4株甲种苗木和1株乙种苗木共需31元． （1）求购进1株甲种苗木和1株乙种苗木各需多少元？ （2）若该小区计划购进甲、乙两种苗木共15株，结合绿化区域布局，投入资金不少于80元又不超过100元（已扣除补贴）．设购进甲种苗木m株，则有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，已知甲种苗木每株每年遮阴面积大约5平方米，乙种苗木每株每年遮阴面积大约2平方米．设小区年遮阴总面积为s平方米，在此前提下，哪种购买方案的年遮阴面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元； （2）共有5种购买方案：①购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；②购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；③购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；④购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；⑤购进甲种苗木株，购进乙种苗木株； （3）购进甲种苗木株，购进乙种苗木株时面积最大，最大面积是69平方米． 【解析】 【分析】（1）设购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进甲种苗木m株，则购进乙种苗木株，根据题意列不等式组，再根据正整数得到的可能取值，即可得解； （3）设小区年遮阴总面积为s平方米，根据题意得出关于的一次函数，利用一次函数的增减性即可得解． 【小问1详解】 解：设购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元， 则，解得：， 答：购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元； 【小问2详解】 解：设购进甲种苗木m株，则购进乙种苗木株， 由题意得：， ， 为正整数， 的可能取值为、、、、， 共有5种购买方案：①购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；②购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；③购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；④购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；⑤购进甲种苗木株，购进乙种苗木株； 【小问3详解】 解：设小区年遮阴总面积为s平方米， 则， ， 随的增大而增大， 由（2）可知，的最大取值为，此时 购进甲种苗木株，购进乙种苗木株时面积最大，最大面积是69平方米． 24. 【数学猜想】如图，已知正方形，点E在边上，点H在射线上，连接． （1）如图1，当点H在边上时，过点H作交于点O，猜想线段与的数量关系，并说明理由； 【深度探究】 （2）如图2，平移图1中的线段，使点G与点D重合，点H在的延长线上，连接，取的中点P，连接，求证：； 【问题解决】 （3）如图3，有一块边长为的正方形农田，为了加强农田的基本建设，实现旱涝保收，水库E、H、G（大小忽略不计）分别在边、、上，、是两条水渠，水渠和相交于点O．已知，水渠，求水库E到农田边的距离． 【答案】（1）猜想：，理由： 过点C作，交于点F，如图， 四边形是正方形， ，，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 又， ， 又，， ， ， ． （2）证明：由平移得，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 如图，在上截取，连接，则是等腰直角三角形， ， ，， ， 点C为的中点， 点P为的中点， 是的中位线， ， ，即． （3）水库E到农田边的距离为 【解析】 【分析】（1）过点C作，交于点F，证明，可得，即可求证； （2）证明，可得，在上截取，连接，则是等腰直角三角形，再根据是的中位线，可得，即可求证； （3）过点D作交于点N，根据四边形是平行四边形，可得 ，再由勾股定理可得 ，从而得到，连接，在上方作，交的延长线于点M，证明，可得，，再证明，可得 ，设，则，在中，利用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点D作交于点N， ，即， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 连接，在上方作，交的延长线于点M， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中，，，， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， 水库E到农田边的距离为 ． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于，两点，交y轴于点C． （1）求抛物线F的函数表达式； （2）点P是线段上的一个动点，沿以每秒1个单位长度的速度由点O向点B运动，过点P作轴，交抛物线于点E，交直线于点M．在点P运动过程中，运动时间t为何值时，？ （3）设抛物线F顶点为D，点N是y轴上一动点，试判断是否存在这样的点N，使得以点B，D，N为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，N点坐标为或或或 【解析】 【分析】(1) 将，代入抛物线表达式，利用待定系数法求解． (2) 先求出点坐标和直线表达式，用表示和的长度，列方程求解． (3) 先求顶点坐标，设，用勾股定理分三种情况讨论直角顶点． 【小问1详解】 解：将，代入， ， 解得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：设， 当时，， ， 设直线解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 轴， ，， ，， 当时，， 解得或（舍去）， 时，． 【小问3详解】 解：存在点N，使得以点B，D，N为顶点的三角形为直角三角形，理由如下： ， ， 设 ，， ， ①当为斜边时， 解得或， 或； ②当为斜边时， 解得， ； ③当为斜边时， 解得， ； 综上所述：N点坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟考试 数学试题（二模） （总分120分考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；本试题共8页． 2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是（ ） A. 2.3 B. 1.7 C. 1 D. 0.8 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 光线从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的，两面，且，现有一束光线从空气射向玻璃时发生折射，光线变成，点为线段延长线上一点．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 6. 春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，以线段为边在第一象限内作正方形，反比例函数的图象恰好经过正方形的中心点（即对角线的交点）．则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若一个等腰三角形的一边为4，另外两边为的两根，则m的值为（ ） A. 32 B. 36 C. 32或36 D. 不存在 9. 如图1，在菱形中，分别以，点为圆心，以大于长为半径画弧，经过两弧交点的直线交于点，交于点．若点是对角线上一动点，设的长度为，与的长度和为，图是关于的函数图象，其中是图象上的最低点，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知：如图，四边形是边长为的正方形，对角线、相交于点．过点作一直角，直角边、分别与、重合，然后逆时针旋转，旋转角为（），、分别交、于两点，连接交于点，则下列结论中正确的是（ ）． ①； ②； ③； ④在旋转过程中，当与的面积之和最大时，． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果． 11. 国产芯片龙头通富微电，成功突破5纳米工艺，拿下了来自美国芯片巨头的大量订单，订单甚至排到了2026年，5纳米等于0.000000005米，数据“0.000000005”用科学记数法为______． 12. 分解因式：______． 13. 京剧、中医，国画，武术被称为中国四大国粹，是中华民族独有的、世代传承的文化瑰宝．县文化馆印刷了部分印有“四大国粹”图案的书签，除正面图案不同外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．从中随机抽取2张，随机抽取的2张书签恰好是“京剧”和“国画”的概率是__________． 14. 已知⊙O是正六边形的外接圆，正六边形的边心距为3，将图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为______． 15. 如图，四边形是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为，则的长为______． 16. 若关于的方程的解为非负数，则的取值范围是__________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过、，的半径为1（为坐标原点），点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为__________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，依据图形所反映的规律，______． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算与化简求值： （1）计算： （2）先化简，再求值，其中． 20. 在2026年某市中招体育考试中，1分钟跳绳为选考项目，男生、女生满分标准分别为180次/分钟和175次/分钟．体育考试前夕，为了解学生跳绳水平，某校从九年级学生的1分钟跳绳测试成绩（次数，用x表示）中随机抽取部分学生的成绩，并将其分成如下四组： A组，B组，C组，D组． 下面给出了部分信息： C组的成绩为：162，162，164，164，166，166，168，168，168，170，172，172，172，174，176，176，176，176，178，178． 根据以上信息解决下列问题： （1）请补全频数分布直方图，C组成绩数据的众数为__________；中位数是__________次； （2）请估计全校1500名九年级学生中1分钟跳绳成绩不低于160次的人数． （3）学校将从成绩最好的4名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名，参加跳绳展示，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 21. 如图，在四边形中，，平分，以为直径的经过点C． （1）求证：是的切线． （2）若，，求三角形的面积． 22. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量学校综合楼及宣传牌的高度 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动 过程 模型抽象 综合楼，宣传牌，为山坡 测绘过程与数据信息 ①在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为， ②测得，，斜坡的坡角为． ③用计算器计算得：，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）： （1）求综合楼的高度； （2）求宣传牌的高度． 23. 城市社区绿化是提升城市生态品质的重点工程，2025年某市推出社区绿化苗木补贴政策，某小区计划采购甲（灌木）、乙（草本）两种绿化苗木．已知购进2株甲种苗木和3株乙种苗木共需23元，购进4株甲种苗木和1株乙种苗木共需31元． （1）求购进1株甲种苗木和1株乙种苗木各需多少元？ （2）若该小区计划购进甲、乙两种苗木共15株，结合绿化区域布局，投入资金不少于80元又不超过100元（已扣除补贴）．设购进甲种苗木m株，则有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，已知甲种苗木每株每年遮阴面积大约5平方米，乙种苗木每株每年遮阴面积大约2平方米．设小区年遮阴总面积为s平方米，在此前提下，哪种购买方案的年遮阴面积最大？最大面积是多少？ 24. 【数学猜想】如图，已知正方形，点E在边上，点H在射线上，连接． （1）如图1，当点H在边上时，过点H作交于点O，猜想线段与的数量关系，并说明理由； 【深度探究】 （2）如图2，平移图1中的线段，使点G与点D重合，点H在的延长线上，连接，取的中点P，连接，求证：； 【问题解决】 （3）如图3，有一块边长为的正方形农田，为了加强农田的基本建设，实现旱涝保收，水库E、H、G（大小忽略不计）分别在边、、上，、是两条水渠，水渠和相交于点O．已知，水渠，求水库E到农田边的距离． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于，两点，交y轴于点C． （1）求抛物线F的函数表达式； （2）点P是线段上的一个动点，沿以每秒1个单位长度的速度由点O向点B运动，过点P作轴，交抛物线于点E，交直线于点M．在点P运动过程中，运动时间t为何值时，？ （3）设抛物线F顶点为D，点N是y轴上一动点，试判断是否存在这样的点N，使得以点B，D，N为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $