第02课 相交与垂直（导学案）-2026年新四年级数学暑假自学课（北师大版·新教材）

第02课 相交与垂直 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标： （1）理解概念：结合生活情境，理解“互相垂直”的含义。知道当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。 （2）掌握术语：认识垂线、垂足的概念，能正确指出图形中的垂线和垂足。 （3）操作技能：学会用三角尺画已知直线的垂线（包括过直线上一点和直线外一点）。 （4）发现性质：通过“小实验”或测量活动，发现并理解“点到直线之间，垂线段最短”的性质。 2、重难点： 重点： （1）建立垂直概念：准确理解“相交成直角”是判断两条直线是否垂直的关键标准。 （2）画垂线的方法：熟练掌握利用三角尺画垂线的步骤（“一贴、二移、三画”），这是后续学习画高、作图的基础。 难点： （1）理解“互相”的含义：理解垂直是两条直线之间的一种相互关系，不能单独说某一条直线是垂线，必须说“谁是谁的垂线”。 （2）性质的理解与应用：理解“点到直线的距离，垂线段最短”这一性质，并能将其灵活运用到解决类似“修路”、“过河”等最短路径的实际问题中。 （3）规范作图：学生在画垂线时，容易出现三角尺摆放不稳、线条不直、未标直角符号等问题，需要反复练习纠正。 模块二 预习引导 1、 相交的概念： 1、定义：当两条直线有一个公共点时，这两条直线就叫做相交。这个公共点叫做交点。 2、特点：无论两条直线看起来是否交叉（如图中看似分开的两条线），只要延长后能碰到一起，它们就是相交的。 二、垂直的概念（核心重点）： 1、定义：当两条直线相交成直角（90度）时，这两条直线互相垂直。 2、术语介绍： 垂线：其中一条直线是另一条直线的垂线。 垂足：两条直线的交点叫做垂足。 3、符号表示：垂直通常用符号“ ⊥ ”表示。例如：直线AB垂直于直线CD，记作AB⊥CD 。 4、判断方法：可以用三角尺上的直角去比一比，如果完全重合，说明相交成直角，即互相垂直。 三、画垂线的方法（操作技能）： 步骤口诀： 1、一贴：把三角尺的一条直角边紧贴已知直线。 2、二移：沿着已知直线移动三角尺，使三角尺的直角顶点（或另一条直角边）经过指定的点（如果是过一点画垂线）。 3、三画：沿着三角尺的另一条直角边画一条直线。 4、四标：在垂足处画上直角符号（小正方形）。 四、点到直线的距离（性质应用）： 1、性质：从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂直线段最短。 2、应用： 这条垂直线段的长度，叫做这点到直线的距离。 生活中修路、架桥等问题（如怎样走最近），往往利用这个原理来解决。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．长方形相邻的两条边（    ）。 A．互相垂直 B．不垂直 C．无法确定 2．如图是学校的沙坑，A点是奇思跳远时脚后跟落入沙坑的点，能准确表示出他跳远成绩的是（    ）。 A．线段AB的长度 B．线段AC的长度 C．线段AD的长度 3．从点A到直线l画了三条线段，分别长9cm、6cm、8cm，其中只有一条与直线l垂直，那么与直线1垂直的线段长（    ）。 A．9cm B．6cm C．8cm D．无法确定 4．若将下面各汉字的每个笔画都看做直线，只有相交线没有垂线的是（    ）。 A．中 B．国 C．人 D．民 5．在平面内，过直线上一点可以画（    ）条已知直线的垂线。 A．0 B．1 C．2 D．无数 6．将一张圆形纸先上下对折，再左右对折，得到的两条折痕（    ）。 A．互相垂直 B．互相平行 C．互相重合 D．长度不一样 7．两条直线相交只有一个交点，三条直线相交最多有3个交点，那么四条直线相交最多有（    ）个交点。 A．4 B．5 C．6 D．7 8．如图，直线AB和直线CD相交成直角。下列说法正确的是（    ）。 A．AB是垂线 B．CD是垂线 C．AB和CD互相垂直 D．A垂直CD 9．下面的图形中，邻边都互相垂直的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．5 二、填空题 10．如果直线a与直线b相交成90°的角，我们就说直线a与直线b( )。过一点可以画( )条直线，过两点可以画( )条直线。 11．下图中，两直线互相平行的是( )，互相垂直的是( )。（填序号） 12．下面每组中的两条线，互相垂直的打“√”，相交但不垂直的打“×”。 ( )       ( )      ( )       ( )       ( )       ( ) 13．两条直线相交成( )时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的( )，两直线的交点是( )。 14．把一个长方形纸片上下对折一次，再左右对折一次，打开后折痕互相( )。 15．下列图形中各有几组互相垂直的线段？填一填，并用不同的颜色描出来。 三、作图题 16．小鸭在岸上走比较吃力，却擅长游泳，在水里游很轻松，它想去小鸡家玩，怎样走比较省力？在下图中画出小鸭到小鸡家的路线。 四、解答题 17．如图，游泳池中有一个小朋友在B点遇到了危险，在岸边A点处的救生员按照怎样的救援路线才能最快将遇险的小朋友救上岸？请你画出救援的最短路线，并从数学的角度解释这样设计路线的道理。（快放寒假了，有游泳锻炼计划的同学们一定要在大人陪同下到正规的游泳馆游泳哟！） 18．如下图所示的是小宇在体育课上跳远后留下的鞋印，怎样测量他的成绩？请你画一画。 19．四个小朋友做抢椅子的游戏，他们的位置如下，谁最有可能先坐在椅子上？你能说出理由吗？ 20．一只小羊正在点A处，它要去河边喝水，请你为小羊设计一条最近的路线，并在图中画出来，简单说明你这样画的原因。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02课 相交与垂直 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标： （1）理解概念：结合生活情境，理解“互相垂直”的含义。知道当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。 （2）掌握术语：认识垂线、垂足的概念，能正确指出图形中的垂线和垂足。 （3）操作技能：学会用三角尺画已知直线的垂线（包括过直线上一点和直线外一点）。 （4）发现性质：通过“小实验”或测量活动，发现并理解“点到直线之间，垂线段最短”的性质。 2、重难点： 重点： （1）建立垂直概念：准确理解“相交成直角”是判断两条直线是否垂直的关键标准。 （2）画垂线的方法：熟练掌握利用三角尺画垂线的步骤（“一贴、二移、三画”），这是后续学习画高、作图的基础。 难点： （1）理解“互相”的含义：理解垂直是两条直线之间的一种相互关系，不能单独说某一条直线是垂线，必须说“谁是谁的垂线”。 （2）性质的理解与应用：理解“点到直线的距离，垂线段最短”这一性质，并能将其灵活运用到解决类似“修路”、“过河”等最短路径的实际问题中。 （3）规范作图：学生在画垂线时，容易出现三角尺摆放不稳、线条不直、未标直角符号等问题，需要反复练习纠正。 模块二 预习引导 1、 相交的概念： 1、定义：当两条直线有一个公共点时，这两条直线就叫做相交。这个公共点叫做交点。 2、特点：无论两条直线看起来是否交叉（如图中看似分开的两条线），只要延长后能碰到一起，它们就是相交的。 二、垂直的概念（核心重点）： 1、定义：当两条直线相交成直角（90度）时，这两条直线互相垂直。 2、术语介绍： 垂线：其中一条直线是另一条直线的垂线。 垂足：两条直线的交点叫做垂足。 3、符号表示：垂直通常用符号“ ⊥ ”表示。例如：直线AB垂直于直线CD，记作AB⊥CD 。 4、判断方法：可以用三角尺上的直角去比一比，如果完全重合，说明相交成直角，即互相垂直。 三、画垂线的方法（操作技能）： 步骤口诀： 1、一贴：把三角尺的一条直角边紧贴已知直线。 2、二移：沿着已知直线移动三角尺，使三角尺的直角顶点（或另一条直角边）经过指定的点（如果是过一点画垂线）。 3、三画：沿着三角尺的另一条直角边画一条直线。 4、四标：在垂足处画上直角符号（小正方形）。 四、点到直线的距离（性质应用）： 1、性质：从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂直线段最短。 2、应用： 这条垂直线段的长度，叫做这点到直线的距离。 生活中修路、架桥等问题（如怎样走最近），往往利用这个原理来解决。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．长方形相邻的两条边（    ）。 A．互相垂直 B．不垂直 C．无法确定 【答案】A 【分析】两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 【详解】长方形的四个角都是直角，所以相邻的两条边都是互相垂直的。 故答案为：A 2．如图是学校的沙坑，A点是奇思跳远时脚后跟落入沙坑的点，能准确表示出他跳远成绩的是（    ）。 A．线段AB的长度 B．线段AC的长度 C．线段AD的长度 【答案】B 【分析】从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，从A点到起跳线的垂直线段能表示他跳远成绩。 【详解】由分析得： 线段AC与起跳线互相垂直，能准确表示出他跳远成绩的是线段AC长度。 故答案为：B 【点睛】本题考查垂直的特征，关键是明确从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。 3．从点A到直线l画了三条线段，分别长9cm、6cm、8cm，其中只有一条与直线l垂直，那么与直线1垂直的线段长（    ）。 A．9cm B．6cm C．8cm D．无法确定 【答案】B 【分析】从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂直线段最短，据此选择即可。 【详解】从点A到直线l画了三条线段，分别长9cm、6cm、8cm，其中只有一条与直线l垂直，那么与直线1垂直的线段长6cm。 故答案为：B 4．若将下面各汉字的每个笔画都看做直线，只有相交线没有垂线的是（    ）。 A．中 B．国 C．人 D．民 【答案】C 【分析】在同一平面内，如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，据此解答。 【详解】A．“中”字既有相交线段，又有垂直线段； B．“国”既有相交线段，又有垂直线段； C．“人”只有相交线没有垂线； D．“民”既有相交线段，又有垂直线段。 故答案为：C 5．在平面内，过直线上一点可以画（    ）条已知直线的垂线。 A．0 B．1 C．2 D．无数 【答案】B 【分析】垂线的性质：在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 【详解】过直线上一点可以画1条已知直线的垂线。 故答案为：B 6．将一张圆形纸先上下对折，再左右对折，得到的两条折痕（    ）。 A．互相垂直 B．互相平行 C．互相重合 D．长度不一样 【答案】A 【分析】本题考查了学生对垂直相关知识的掌握。 将一张圆形纸先上下对折，再左右对折，得到的两条折痕，如下图，可以判断得到的两条折痕互相垂直。 【详解】将一张圆形纸先上下对折，再左右对折，得到的两条折痕互相垂直。 故答案为：A 7．两条直线相交只有一个交点，三条直线相交最多有3个交点，那么四条直线相交最多有（    ）个交点。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】两条直线相交有1个交点；三条直线相交最多有1＋2＝3（个）交点；四条直线相交最多有1＋2＋3＝6（个）交点。 【详解】1＋2＋3＝6（个） 两条直线相交只有一个交点，三条直线相交最多有3个交点，那么四条直线相交最多有6个交点。 故答案为：C 8．如图，直线AB和直线CD相交成直角。下列说法正确的是（    ）。 A．AB是垂线 B．CD是垂线 C．AB和CD互相垂直 D．A垂直CD 【答案】C 【分析】垂直的定义为：如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 【详解】A．垂线是相互的，不能单独说AB是垂线，应该说AB是CD的垂线 ，所以该选项错误。 B．垂线是相互的，不能单独说CD是垂线，应该说CD是AB的垂线 ，所以该选项错误。 C．因为直线AB和直线CD相交成直角，根据垂直的定义，所以AB和CD互相垂直 ，该选项正确。 D．应该是AB垂直CD，A是直线AB上的一点，不能说A垂直CD。 故答案为：C 9．下面的图形中，邻边都互相垂直的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据邻边互相垂直的定义（邻边夹角为90°），逐一分析图形： 第一个梯形：邻边夹角不是90°，邻边不互相垂直。 第二个平行四边形：邻边夹角不是90°，邻边不互相垂直。 第三个三角形：不存在邻边互相垂直（三角形只有直角三角形有一组邻边垂直，此为锐角三角形 ）。 第四个长方形：四个角都是90°，邻边互相垂直。 第五个正方形：四个角都是90°，邻边互相垂直。 【详解】第四个长方形：四个角都是90°，邻边互相垂直。第五个正方形：四个角都是90°，邻边互相垂直。所以邻边互相垂直的有2个。 故答案为：B 二、填空题 10．如果直线a与直线b相交成90°的角，我们就说直线a与直线b( )。过一点可以画( )条直线，过两点可以画( )条直线。 【答案】 互相垂直 无数 一 【分析】根据垂直的定义，如果两条直线相交成90°的角，那么这两条直线互相垂直。直线没有端点可以无限延长，所以过一点可以画无数条直线。两点确定一条直线，所以过两点可以画一条直线。 【详解】如果直线a与直线b相交成90°的角，我们就说直线a与直线b互相垂直。过一点可以画无数条直线，过两点可以画一条直线。 【点睛】本题考查了垂直的含义以及直线的初步认识。 11．下图中，两直线互相平行的是( )，互相垂直的是( )。（填序号） 【答案】 ④ ③ 【分析】在同一平面上两条直线之间没有任何公共点时，称它们平行，平行线在无论多远都不相交。垂直，是指平面上一条线与另一条线相交并成直角，这两条线互相垂直。 【详解】第一个图两条线延迟后会相交且不垂直；第二个图两条线相交且不垂直；第三个图两条线相互垂直；第四个图两条线永远没有交点，相互平行。 【点睛】相互垂直的两条直线相交有90度角，相互平行两条线无论多远都不相交。 12．下面每组中的两条线，互相垂直的打“√”，相交但不垂直的打“×”。 ( )       ( )      ( )       ( )       ( )       ( ) 【答案】 × √ √ √ × √ 【分析】交于一点（或者延长后交于一点）的两条直线一定相交；当两条直线相交成直角时，这两条直线就互相垂直。 第一组中的两条直线交于一点，但是相交的角不是直角，所以属于相交但不垂直； 第二组中的两条直线交于一点，并且相交成是直角，所以属于相交且垂直； 第三组中的两条直线交于一点，并且相交成是直角，所以属于相交且垂直； 第四组中的两条直线交于一点，并且相交成是直角，所以属于相交且垂直； 第五组中的两条直线交于一点，但是相交的角不是直角，所以属于相交但不垂直； 第六组中的两条直线交于一点，并且相交成是直角，所以属于相交且垂直。 【详解】根据分析可得： 13．两条直线相交成( )时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的( )，两直线的交点是( )。 【答案】 90度 垂线 垂足 【详解】如果两条直线相交成90度时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 例如图中直线a与b互相垂直： 14．把一个长方形纸片上下对折一次，再左右对折一次，打开后折痕互相( )。 【答案】垂直 【分析】两条直线相交所成的角是直角，那么这两条直线互相垂直。长方形相邻的两条边是互相垂直的，将其上下对折一次，再左右对折一次，两条折痕所成的角是直角，所以折痕是互相垂直的。 【详解】把一长方形纸片上下对折一次，再左右对折一次，打开后折痕互相垂直。 15．下列图形中各有几组互相垂直的线段？填一填，并用不同的颜色描出来。 【答案】1；4；2；2 【分析】在同一平面内，两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，观察4个图形，找出互相垂直的线段。 【详解】 三、作图题 16．小鸭在岸上走比较吃力，却擅长游泳，在水里游很轻松，它想去小鸡家玩，怎样走比较省力？在下图中画出小鸭到小鸡家的路线。 【答案】见详解 【分析】因为小鸭在岸上走路较为吃力，却擅长游泳，所以在岸上走的路程尽可能短；从小鸭家作河岸的垂线，再从小鸡家作另一边河岸的垂线，连接两个垂足即可。 【详解】根据分析可得： 四、解答题 17．如图，游泳池中有一个小朋友在B点遇到了危险，在岸边A点处的救生员按照怎样的救援路线才能最快将遇险的小朋友救上岸？请你画出救援的最短路线，并从数学的角度解释这样设计路线的道理。（快放寒假了，有游泳锻炼计划的同学们一定要在大人陪同下到正规的游泳馆游泳哟！） 【答案】 【分析】两点之间，线段最短，先在A点和B点之间连一条线段；从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，再连接点B作一条到岸上的垂线；据此作图。 【详解】由分析知，如图： 理由：直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短。 18．如下图所示的是小宇在体育课上跳远后留下的鞋印，怎样测量他的成绩？请你画一画。 【答案】见详解 【分析】由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则作出分析和判断，所以过靠近起跳线的脚跟部做起跳线的垂线，标出垂足，垂线的长度即为跳远成绩。 【详解】根据分析可得： 靠近起跳线的脚跟部做起跳线的垂线，标出垂足，垂线的长度即为跳远成绩。 19．四个小朋友做抢椅子的游戏，他们的位置如下，谁最有可能先坐在椅子上？你能说出理由吗？ 【答案】毛毛；因为毛毛距离椅子最近 【分析】由题意得，可以把四个小朋友站的位置看成一条直线，椅子看成一点，分别作出四个小朋友到椅子的距离，然后比较他们到椅子的距离即可。 【详解】根据题意作图如下： 根据“直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短”可知，毛毛到椅子的距离最近。 答：毛毛最有可能先坐在椅子上。因为他距离椅子最近。 20．一只小羊正在点A处，它要去河边喝水，请你为小羊设计一条最近的路线，并在图中画出来，简单说明你这样画的原因。 【答案】图见详解； 点到直线的距离垂线段最短 【分析】从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短；过直线上或直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号；这条直线就是已知直线的垂线；据此解答。 【详解】如图： 原因：点到直线的距离垂线段最短。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $