第07课 从结绳计数说起（导学案）-2026年新四年级数学暑假自学课（北师大版·新教材）

第07课 从结绳计数说起 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标： （1）了解计数历史：知道古人计数的方法（石子、结绳、刻痕），了解不同文明（古埃及、玛雅、中国算筹）的计数符号，感受数学文化的悠久历史。 （2）理解自然数：掌握自然数的定义（表示物体个数的0, 1, 2, 3...），知道0也是自然数，且是最小的自然数。 （3）掌握十进制：理解“十进制计数法”的含义，知道相邻两个计数单位之间的进率是10。 （4）位值原理：进一步体会同一个数字在不同数位上表示的意义不同（如练习题中“5”在十万位、万位、百位的区别）。 2、重难点： 重点： （1）自然数的概念：明确自然数的范围（包括0），理解自然数是无限的（没有最大的自然数）。 （2）十进制计数法：深刻理解“满十进一”的原则，即相邻计数单位间的进率是10。这是后续学习大数读写的基础。 难点： （1）对“0”的理解：学生容易忽略0也是自然数，或者不理解0作为“占位符”和“起点”的双重意义。需强调“一个物体也没有，用0表示”。 （2）位值制的理解：理解为什么同样的数字“5”，放在不同的位置（数位）代表的数值大小完全不同。这是位值制（Place Value System）的核心思想。 模块二 预习引导 一、计数的历史演变（文化背景）： 1、远古时代的实物计数： 方式：石子计数、结绳计数、刻痕计数。 特点： “一一对应”的思想，即一个物体对应一个石子或一个绳结，用来记录猎物的数量。 古代文明的符号计数： 随着社会发展，人们发明了专门的符号来表示数。 2、古埃及象形数字：用特定的图形代表不同的数值（如1, 10, 100等）。 玛雅数字：使用点和横线组合表示数字（点代表1，横线代表5）。 中国算筹数码：中国古代特有的计算工具“算筹”的摆放方式，分纵式和横式，体现了位值制的雏形。 3、现代通用的数字： 印度-阿拉伯数字：即我们现在使用的 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。这10个数字可以表示任意一个数，简洁且通用。 二、 自然数的概念（核心定义）： 1、定义：表示物体个数的数叫自然数。 例如：0, 1, 2, 3, 4, 5... 2、关于“0”的特殊性： 一个物体也没有，用 0 表示。 0也是自然数，而且是最小的自然数。 3、自然数的性质： 无限性：没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。 顺序性：相邻的两个自然数相差1（后面的数总比前面的数多1）。 三、十进制计数法（核心原理）： 1、进率关系： 每相邻的两个计数单位之间的进率都是 10。 2、位值原理（数位意义）： 同一个数字，在不同的数位上，表示的意义不同。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．使用0~9这10个数字可以表示任意一个数，这种数字称为（    ）。 A．印度阿拉伯数字 B．古埃及象形数字 C．玛雅数字 2．自然数的计数方法是（    ）计数法。 A．十进制 B．百进制 C．千进制 3．远古时代，人们用结绳的方式计数。下图①号绳表示的数是254，②号绳表示的数是140，③号绳表示的数是（    ）。 A．35 B．305 C．350 D．503 4．在算盘上表示数“753046”，需要用到（    ）颗珠子。 A．12 B．13 C．14 5．一个自然数，最高位百万位上的数是8，其余数位上的数都是最小自然数，这个数是（    ）。 A．8000000 B．800000 C．8111111 6．0，1，2，3，4，5，6，7属于（    ）。 A．玛雅数字 B．古埃及象形数字 C．阿拉伯数字 7．算盘是中国传统的计算工具。如下图，左边的算盘表示的数是52016，那么右边的算盘表示的数是（    ）。 A．13701 B．137010 C．1370100 D．1371000 二、填空题 8．古时候的人们通常的计数方法是( )、( )、( )，后来聪明的人们发现了一些计数符号，如( )、( )、( )。 9．表示物体个数的0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，…都是( )，每相邻两个自然数之间相差( )。 10．一个数是由7个百万、2个十万、4个十组成，这个数是( )，与它相邻的两个自然数分别是( )和( )。 11．一个五位数，所有数位上的数字都是由一位数中最大的自然数组成的，这个数是( )，与它相邻的两个数是( )、( )。 12．两千年前，我国古人用算筹来计数。 算筹计数也是十进制，表示方法为个位为纵式，十位为横式，百位为纵式，千位为横式，以此类推。如214用算筹表示为。你能写出下面算筹表示的数吗？ ( )    ( )    ( ) 13．找规律填数。 (1)10800，10600，10400，( )，( )，( )，9600，( )。 (2)( )，( )，24786，25786，26786，( )，( )。 14．照样子，在括号里填上合适的数。 9209                          ( )                 ( ) 三、连线题 15．千万位、万位、十位、个位上的3个珠子各表示什么意义？连一连。 四、解答题 16．你知道吗？早在2000多年前，我国古人就使用算筹记数，请你阅读下面的材料，试着用算筹表示出37025。 17．一个密码由九个数字组成，这个数的最高位和百万位上的数字都比最小的自然数大1，千万位和万位上的数字都是6，亿位上的数字比百位上的数字小3，千位和十位上的数字都比最小的自然数大5，其余两个数位上的数字都是最大的一位数。 （1）这个密码多少？ （2）读出这个数。 18．古人在8根绳上打结来表示1个八位数，其中3根绳上各有9个结，3根绳上各有2个结，还有2根绳上没有结。读这个数时1个0也不读，且这个数加上1后得数末尾是3个0。这个八位数是多少？ 19．有一个四位数，个位数字与百位数字的和是12，十位数字与千位数字的和是9，如果个位数字与百位数字互换，千位数字与十位数字互换，新数就比原数增加2376，求原数 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07课 从结绳计数说起 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标： （1）了解计数历史：知道古人计数的方法（石子、结绳、刻痕），了解不同文明（古埃及、玛雅、中国算筹）的计数符号，感受数学文化的悠久历史。 （2）理解自然数：掌握自然数的定义（表示物体个数的0, 1, 2, 3...），知道0也是自然数，且是最小的自然数。 （3）掌握十进制：理解“十进制计数法”的含义，知道相邻两个计数单位之间的进率是10。 （4）位值原理：进一步体会同一个数字在不同数位上表示的意义不同（如练习题中“5”在十万位、万位、百位的区别）。 2、重难点： 重点： （1）自然数的概念：明确自然数的范围（包括0），理解自然数是无限的（没有最大的自然数）。 （2）十进制计数法：深刻理解“满十进一”的原则，即相邻计数单位间的进率是10。这是后续学习大数读写的基础。 难点： （1）对“0”的理解：学生容易忽略0也是自然数，或者不理解0作为“占位符”和“起点”的双重意义。需强调“一个物体也没有，用0表示”。 （2）位值制的理解：理解为什么同样的数字“5”，放在不同的位置（数位）代表的数值大小完全不同。这是位值制（Place Value System）的核心思想。 模块二 预习引导 一、计数的历史演变（文化背景）： 1、远古时代的实物计数： 方式：石子计数、结绳计数、刻痕计数。 特点： “一一对应”的思想，即一个物体对应一个石子或一个绳结，用来记录猎物的数量。 古代文明的符号计数： 随着社会发展，人们发明了专门的符号来表示数。 2、古埃及象形数字：用特定的图形代表不同的数值（如1, 10, 100等）。 玛雅数字：使用点和横线组合表示数字（点代表1，横线代表5）。 中国算筹数码：中国古代特有的计算工具“算筹”的摆放方式，分纵式和横式，体现了位值制的雏形。 3、现代通用的数字： 印度-阿拉伯数字：即我们现在使用的 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。这10个数字可以表示任意一个数，简洁且通用。 二、 自然数的概念（核心定义）： 1、定义：表示物体个数的数叫自然数。 例如：0, 1, 2, 3, 4, 5... 2、关于“0”的特殊性： 一个物体也没有，用 0 表示。 0也是自然数，而且是最小的自然数。 3、自然数的性质： 无限性：没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。 顺序性：相邻的两个自然数相差1（后面的数总比前面的数多1）。 三、十进制计数法（核心原理）： 1、进率关系： 每相邻的两个计数单位之间的进率都是 10。 2、位值原理（数位意义）： 同一个数字，在不同的数位上，表示的意义不同。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．使用0~9这10个数字可以表示任意一个数，这种数字称为（    ）。 A．印度阿拉伯数字 B．古埃及象形数字 C．玛雅数字 【答案】A 【分析】阿拉伯数字是由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9共计十个计数符号组成，据此即可解答。 【详解】使用0~9这10个数字可以表示任意一个数，这种数字称为印度阿拉伯数字。 故答案为：A 【点睛】解答本题的关键在于熟记阿拉伯数字的组成并灵活运用。 2．自然数的计数方法是（    ）计数法。 A．十进制 B．百进制 C．千进制 【答案】A 【详解】表示物体个数的1，2，3，4，5，6，7，…都是自然数。一个物体也没有，用0表示，0也是自然数。所有的自然数都是整数。最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。自然数的计数方法是十进制计数法。 故答案为：A 3．远古时代，人们用结绳的方式计数。下图①号绳表示的数是254，②号绳表示的数是140，③号绳表示的数是（    ）。 A．35 B．305 C．350 D．503 【答案】B 【分析】对于①号绳表示的数是254。我们可以看到，最上面的结对应的数较大，通过分析可知最上面的结代表200。这是因为在这种计数方式下，中间的结代表50， 最下面的结代表4。 ②号绳表示的数是140。最上面的结代表100，中间的结代表40，最下面没有结，所以在这个数位上表示的数是0。 按照前面的规律，③号绳最上面的结代表300，中间的结代表0，最下面的结代表5，所以③号绳表示的数就是300＋0＋5＝305。 【详解】300＋0＋5＝305 由分析知，③号绳表示的数是305。 故答案为：B 4．在算盘上表示数“753046”，需要用到（    ）颗珠子。 A．12 B．13 C．14 【答案】B 【分析】本题可根据算盘的计数规则，分别确定每个数位上需要用到的珠子数量，再将其相加，进而得出表示数“753046”总共需要的珠子数。 【详解】在算盘上，1个上珠表示5,1个下珠表示1。十万位上是7，需要1个上珠和2个下珠，共需要1+2=3颗珠子；万位上是5，需要1个上珠，共1颗珠子；千位上是3，需要3个下珠，共3颗珠子，百位上是0，不需要珠子；十位上是4，需要4个下珠，共4颗珠子；个位上是6，需要1个上珠和1个下珠，共1+1=2颗珠子，将每个数位上用到的珠子数相加，可得：3+1+3+0+4+2=13（颗）。 故答案为：B 5．一个自然数，最高位百万位上的数是8，其余数位上的数都是最小自然数，这个数是（    ）。 A．8000000 B．800000 C．8111111 【答案】A 【分析】数位顺序表从右到左依次是个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位······，本题涉及百万位。最小的自然数是0。已知这个自然数最高位百万位上的数是8，其余数位上的数是最小的自然数（即0），根据数位顺序表，百万位从右向左数第七位，那么这个数是七位数，写作：8000000。 【详解】A．8000000，符合上述推理，是百万位为8，其余数位为0的数，该选项正确。 B．800000是六位数，最高位是十万位，不符合“最高位是百万位”的条件，该选项错误。 C．8111111最高位上是8，其余数位不是0，不符合“其余数位上的数是最小的自然数”的条件，该选项错误。 故答案为：A 6．0，1，2，3，4，5，6，7属于（    ）。 A．玛雅数字 B．古埃及象形数字 C．阿拉伯数字 【答案】C 【分析】玛雅数字是由点（·）、横（-）和贝壳状符号等组成。 古埃及象形数字是用不同的符号表示不同的数。 阿拉伯数字由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个计数符号组成。 【详解】A．玛雅数字是由点、横和贝壳状符号等组成的，形式与0、1、2、3、4、5、6、7不同，例如玛雅数字中1是一个点，5是一条横等，所以该组数字不是玛雅数字。 B．古埃及象形数字是用不同的符号表示不同的数，比如用竖线表示1，用倒置的“U”型表示100等，和题中的0、1、2、3、4、5、6、7形式差异明显，所以该组数字不是古埃及象形数字。 C．阿拉伯数字由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个计数符号组成，所以题目中的0、1、2、3、4、5、6、7符合阿拉伯数字的形式。 故答案为：C 7．算盘是中国传统的计算工具。如下图，左边的算盘表示的数是52016，那么右边的算盘表示的数是（    ）。 A．13701 B．137010 C．1370100 D．1371000 【答案】B 【分析】算盘上1个上珠表示5，1个下珠表示1。左边的算盘表示的数是52016，那么从右数起的第3档是个位。右边的算盘表示的数的十万位上是1，万位上是3，千位上是7，百位上是0，十位上是1，个位上是0。 【详解】右边的算盘表示的数是137010。 故答案为：B 二、填空题 8．古时候的人们通常的计数方法是( )、( )、( )，后来聪明的人们发现了一些计数符号，如( )、( )、( )。 【答案】 结绳计数 石子计数 刻痕计数 古埃及象形数字 玛雅数字 中国算筹数码 【详解】古时候的人们通常的计数方法是结绳计数、石子计数、刻痕计数。后来聪明的人们发明了一些计数符号，如古埃及象形数字、玛雅数字、中国算筹数码。我们现在使用的从0到9的10个数字，可以表示任意一个数，这种数字称为印度－阿拉伯数字。 9．表示物体个数的0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，…都是( )，每相邻两个自然数之间相差( )。 【答案】 自然数 1 【分析】表示物体个数的数叫作自然数，如1，2，3，4，5，6…一个物体也没有，用0表示，0也是自然数；1－0＝1，2－1＝1，3－2＝1，所以相邻的两个自然数之间相差1。 【详解】表示物体个数的0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，…都是自然数，每相邻两个自然数之间相差1。 10．一个数是由7个百万、2个十万、4个十组成，这个数是( )，与它相邻的两个自然数分别是( )和( )。 【答案】 7200040 7200039 7200041 【分析】7个百万即百万位上是7，2个十万即十万位上是2，4个十即十位上是4，其余数位上没有计数单位用0补足，据此写出这个数即可。相邻的自然数相差1，用写出的这个数分别加1、减1，即可算出与它相邻的两个自然数分别是多少。据此解答。 【详解】一个数是由7个百万、2个十万、4个十组成，这个数是7200040。 7200040＋1＝7200041 7200040－1＝7200039 即一个数是由7个百万、2个十万、4个十组成，这个数是7200040，与它相邻的两个自然数分别是7200041和7200039。 11．一个五位数，所有数位上的数字都是由一位数中最大的自然数组成的，这个数是( )，与它相邻的两个数是( )、( )。 【答案】 99999 99998 100000 【分析】一位数中最大的自然数是9，因此这个五位数是由5个9组成，那么用这个五位数分别减1、加1就可得到与它相邻的两个数。 【详解】99999－1＝99998 99999＋1＝100000 一个五位数，所有数位上的数字都是由一位数中最大的自然数组成的，这个数是99999，与它相邻的两个数是99998、100000。 12．两千年前，我国古人用算筹来计数。 算筹计数也是十进制，表示方法为个位为纵式，十位为横式，百位为纵式，千位为横式，以此类推。如214用算筹表示为。你能写出下面算筹表示的数吗？ ( )    ( )    ( ) 【答案】 637 2264 7269 【分析】我国古代用算筹记数，算筹数字也是十进制的，如图，算筹表示数1～9的方法有“纵式”和“横式”两种，如要表示一个多位数字，即把各位的数字从左到右排列，各位数的筹式需要纵横相间，规定个位数用纵式，十位数用横式，百位数用纵式，千位数用横式，……，以此类推，交替使用纵横两式，空一位表示0。 【详解】 13．找规律填数。 (1)10800，10600，10400，( )，( )，( )，9600，( )。 (2)( )，( )，24786，25786，26786，( )，( )。 【答案】(1) 10200 10000 9800 9400 (2) 22786 23786 27786 28786 【分析】（1）仔细观察几个数可知，数据依次减小。10800－10600＝200，10600－10400＝200，即后一个数等于前一个数减去200。 （2）仔细观察几个数可知，数据依次变大。24786＋1000＝25786，25786＋1000＝26786，即后一个数等于前一个数加上1000，前一个数等于后一个数减去1000。 【详解】（1）10400－200＝10200，10200－200＝10000，10000－200＝9800，9800－200＝9600，9600－200＝9400。 10800，10600，10400，10200，10000，9800，9600，9400。 （2）24786－1000＝23786，23786－1000＝22786，26786＋1000＝27786，27786＋1000＝28786。 22786，23786，24786，25786，26786，27786，28786。 14．照样子，在括号里填上合适的数。 9209                         ( )                ( ) 【答案】 50706 2035 【分析】首先明确算盘上珠子表示数的规则，1颗上珠表示5，1颗下珠表示1，没有珠子就表示0，据此写出每个算盘上表示的数。 千位上有1颗上珠和4颗下珠，表示9个千，百位上有2颗下珠，表示2个百，十位上没有珠子用0表示，个位上有1颗上珠和4颗下珠，表示9个一，这个数是9209。 万位上有1颗上珠，表示5个万，千位上没有珠子用0表示，百位上有1颗上珠和2颗下珠，表示7个百，十位上没有珠子用0表示，个位上有1颗上珠和1颗下珠，表示6个一，这个数是50706。 千位上有2颗下珠，表示2个千，百位上没有珠子用0表示，十位上有3颗下珠，表示3个十，个位上有1颗上珠，表示5个一，这个数是2035。 【详解】根据分析： 三、连线题 15．千万位、万位、十位、个位上的3个珠子各表示什么意义？连一连。 【答案】见详解 【分析】由题意得，千万位上的“3”表示3个千万，万位上的“3”表示3个万，十位上的“3”表示3个十，个位上的“3”表示3个一。据此连线。 【详解】 四、解答题 16．你知道吗？早在2000多年前，我国古人就使用算筹记数，请你阅读下面的材料，试着用算筹表示出37025。 【答案】见详解 【分析】由图可知，单纯的纵式（或单纯的横式）有几根小棒，就表示几，纵横放在一起的时候，一个横式和一个纵式表示6，再看还有几个纵式或几个横式那么就给6加几，其中一位什么也有没有的时候用0来占位。由此可知37025，先是三个纵式表示3，接下来是一个横式两个纵式即为7，第三个数是0，接着是两个纵式表示2，最后是五个纵式表示5，据此解答。 【详解】根据分析： 17．一个密码由九个数字组成，这个数的最高位和百万位上的数字都比最小的自然数大1，千万位和万位上的数字都是6，亿位上的数字比百位上的数字小3，千位和十位上的数字都比最小的自然数大5，其余两个数位上的数字都是最大的一位数。 （1）这个密码多少？ （2）读出这个数。 【答案】（1）161965459 （2）一亿六千一百九十六万五千四百五十九 【分析】（1）最小的自然数是0，则最高位和百万位上的数都是1，千万位和万位上的数字都是6。亿位上的数字比百位上的数字小3，则百位上的数是4。千位和十位上的数字都比最小的自然数大5，都是5。其余两个数位上的数字都是最大的一位数，即都是9。据此写出这个数。 （2）整数的读法：从高位读起，先读亿级，再读万级，最后读个级；读亿级和万级时按读个级的方法来读，读完亿级后加上一个“亿”字，读完万级后加上一个“万”字；每级末尾不管有几个0都不读，每级中间和前面有一个或连续几个0，都只读一个0。据此读出这个数。 【详解】（1）答：这个密码是161965459。 （2）答：这个数读作一亿六千一百九十六万五千四百五十九。 18．古人在8根绳上打结来表示1个八位数，其中3根绳上各有9个结，3根绳上各有2个结，还有2根绳上没有结。读这个数时1个0也不读，且这个数加上1后得数末尾是3个0。这个八位数是多少？ 【答案】22002999 【分析】 “其中3根绳上各有9个结，3根绳上各有2个结，还有2根绳上没有结”，表示这个八位数中有3个9，3个2，2个0。“加上1后的得数末尾是3个0”，可推理出这个数末尾的3个数字是9，9，9；由“读这个数时1个0也不读”，可知2个0的位置在万级末尾，因此可知：。这个数还包括3个2，因此就是22002999。 【详解】读这个数时1个0也不读说明万位和十万位是0； 999＋1＝1000；所以后三位都是9； 答：这个八位数是22002999。 19．有一个四位数，个位数字与百位数字的和是12，十位数字与千位数字的和是9，如果个位数字与百位数字互换，千位数字与十位数字互换，新数就比原数增加2376，求原数 【答案】3963 【详解】设原四位数为abcd，则新数为cdab，且d+b=12，a+c=9 根据“新数就比原数增加2376”可知abcd+2376=cdab，列竖式容易看出： 根据d+b=12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6． 再观察竖式中的个位，便可以知道只有当d=3，b=9；或d=8，b=4时成立． 先取d=3，b=9代入竖式的百位，可以确定十位上有进位． 根据a+c=9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5． 再观察竖式中的十位，便可知只有当c=6，a=3时成立． 再代入竖式的千位，成立． 得到：abcd=3963 再取d=8，b=4代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立． 答：原数是3963． 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $