专题04 （特殊）平行四边形（暑假复习讲义）新九年级数学新教材沪科版

专题04 （特殊）平行四边形 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 平行四边形的性质与判定 题型5 中点四边形 题型2 矩形的性质与判定 题型6 特殊平行四边形中折叠问题 题型3 菱形的性质与判定 题型7 特殊平行四边形中动点问题 题型4 正方形的性质与判定 题型8 特殊平行四边形中最值问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 平行四边形的性质与判定 2. 矩形的性质与判定 3. 菱形的性质与判定 4. 正方形的性质与判定 5. 折叠与变换问题 6. 动点与最值问题 7. 面积计算 1. 基础辨析题型：选择、填空高频考查四种四边形的性质、判定辨析，侧重独有性质区分，常设置易混淆选项。 2. 基础证明计算：期中期末必考解答基础题，单独考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定证明，搭配边长、角度、面积简单计算。 3. 折叠综合题型：八年级核心重难点，结合折叠对称性，联动勾股定理、一元二次方程列方程求线段长，中档高频考题。 4. 递进判定题型：命题常以“平行四边形→矩形/菱形→正方形”递进式设问，考查图形判定的逻辑完整性。 5. 动点压轴题型：期末小压轴高频形式，通过动点运动探究图形形状、线段最值，综合性强。 6. 中考命题趋势：弱化单一机械证明，强化性质综合应用、几何建模、动态几何分析，常与勾股定理、全等三角形、方程思想结合命题。 考情解码：平行四边形及特殊平行四边形是沪科版八年级下册几何核心重难点，由普通平行四边形延伸至矩形、菱形、正方形，层层递进，承接三角形、全等、勾股定理知识，是初中平面几何的核心框架章节，也是后续圆、相似三角形、二次函数几何综合的重要基础。 本章考点覆盖全题型，选择填空侧重普通平行四边形概念辨析、基础性质计算、特殊四边形性质区分；解答题分为基础题型（平行四边形判定、简单计算）和综合题型（折叠计算、动点探究、形状判定）。高频易错点集中：①误用平行四边形判定定理，混淆“一组对边平行一组对边相等”等错误判定；②特殊四边形判定遗漏“平行四边形”前置条件，逻辑不严谨；③折叠问题中无法准确转化等量线段，不会结合方程与勾股定理解题；④四类四边形从属关系模糊，混用独有性质。 本章节是八下期中、期末必考核心模块，分值占比高，命题灵活性强。常结合勾股定理、一元二次方程、动态几何出综合题型，核心考查学生的几何逻辑推理能力、图形变换分析能力、数形结合建模能力，是初中几何拉开分差的重点章节。 知识点一 平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作 。 核心性质：①边：对边平行且相等； ②角：对角相等，邻角互补（和为180°）； ③对角线：对角线互相平分（交点为两条对角线中点）； ④对称性：仅中心对称图形，无对称轴； 推论：平行线间的距离处处相等；等底等高平行四边形面积相等。 判定方法：①定义判定：两组对边分别平行的四边形； ②边判定1：两组对边分别相等的四边形； ③边判定2：一组对边平行且相等的四边形； ④角判定：两组对角分别相等的四边形； ⑤对角线判定：对角线互相平分的四边形。 面积公式：（底与高必须对应） 【易错提醒】 （1）判定定理乱用：两组对边分别平行/相等、一组对边平行且相等才成立；一组对边平行、另一组对边相等不能判定（可能是等腰梯形）； （2）混淆对角、邻角、对角线性质。 即时即练如图，E、F是的对角线上两点，且，，连接、． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ，， ． ，， ，， 在和中，， ， ， ∵， ∴四边形是平行四边形； (2)10 【分析】（1）先证明，得到，再利用一组对边平行且相等即可证明四边形是平行四边形； （2）利用平行四边形的性质得到，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，四边形为平行四边形， ，． ， ， ， ． 知识点二 矩形 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（长方形）。 性质：包含平行四边形全部性质，外加专属性质：①四个角都是直角（90°）；②对角线相等且互相平分 轴对称+中心对称，共2条对称轴。 推论：直角三角形斜边中线等于斜边的一半。 判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形。 【易错提醒】 （1）判定条件不严谨：三个角是直角可判定矩形；仅有一个直角的平行四边形就是矩形；任意四边形两个直角不能判定； （2）性质混淆：矩形对角线相等且互相平分，不垂直（正方形除外），不要默认对角线垂直。 即时即练如图，四边形的对角线与相交于点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长是3 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行四边形的判定和性质，掌握相关图形的判定方法是解决问题的关键； （1）先判定四边形是平行四边形，由平行四边形对角线互相平分得出, ，再由两边及夹角对应相等的两个三角形全等得出结论； （2）由可得平行四边形是矩形．由此得出，进而得出，由此求出三角形周长. 【详解】（1）证明：在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形． ∴, ． 又∵， ∴． （2）解：∵，四边形是平行四边形． ∴平行四边形是矩形． ∴．即． ∴， 即的周长是3． 知识点三 菱形 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 性质：包含平行四边形全部性质，外加专属性质：①四条边长度全部相等；②对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角；③轴对称+中心对称，共2条对称轴。 判定：①一组邻边相等的平行四边形是菱形 ②四条边都相等的四边形是菱形 ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形 面积公式：底×高 【易错提醒】 （1）判定条件出错：四条边相等的四边形是菱形；一组邻边相等的平行四边形是菱形；切勿只用“两组邻边相等”判定； （2）面积公式易错：菱形面积=底×高=对角线乘积的一半，只记一种公式容易解题受限、计算出错。 即时即练如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质． （1）根据矩形的性质得到，，证明，进而证明四边形是平行四边形，根据线段的垂直平分线的性质得到，即可证明四边形是菱形； （2）根据矩形的性质得到，进而求出，根据菱形的性质即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴． 知识点四 正方形 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。（兼具矩形、菱形特征） 性质：拥有平行四边形、矩形、菱形全部性质：①边：四边相等，对边平行；②角：四个角均为直角； ③对角线：相等、垂直、互相平分、平分一组内角；④轴对称+中心对称，共4条对称轴。 判定：①平行四边形基础：一组邻边相等 + 一个直角 = 正方形； ②矩形基础：一组邻边相等的矩形是正方形； ③菱形基础：有一个角是直角的菱形是正方形； ④对角线基础：对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形。 【易错提醒】 （1）常见判定错误：对角线相等且垂直的四边形≠正方形，必须先是平行四边形，再满足对角线垂直且相等； （2）性质滥用：正方形兼具所有平行四边形、矩形、菱形性质，但不可将正方形特有性质反用在普通图形上。 即时即练如图，在正方形中，点是上一点，连接，过点作交于点，连接，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，于，利用正方形对角线的性质证，结合证，得，再利用等腰直角三角形性质与角度和差关系，推导的度数． 【详解】解：过点作于，于． 则， 四边形是正方形，是对角线， ，， ∴四边形是矩形， ∵，，， ， ∴四边形是正方形， ． ， ， ． 在和中， ， ， ，． ，， 是等腰直角三角形， ． ， ， ． ． 故选：D. 知识点五 中点四边形 定义：顺次连接任意四边形四条边中点，所得的新四边形，叫做原四边形的中点四边形。 核心原理：①三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半；②推导结论：任意四边形的中点四边形一定是平行四边形。 中点四边形终极规律：①原四边形对角线任意 → 中点四边形：平行四边形；②原四边形对角线相等 → 中点四边形：菱形；③原四边形对角线互相垂直 → 中点四边形：矩形；④原四边形对角线相等且垂直 → 中点四边形：正方形。 常见图形对应的中点四边形：普通四边形 → 平行四边形；矩形（对角线相等） → 菱形； 菱形（对角线垂直） → 矩形；正方形（对角线相等且垂直） → 正方形； 等腰梯形（对角线相等） → 菱形。 面积结论：中点四边形面积 = 原四边形面积的一半。 【易错提醒】 （1）因果颠倒：易错根据中点四边形形状反推错原图形性质，必须牢记：看原图形对角线，不看原图形形状； （2）忽略中位线定理：解题核心是三角形中位线平行且等于底边一半，忘记定理导致无法推导边长、平行关系。 即时即练顺次连接一个菱形的各边中点所得四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】作出图形，菱形中，点分别是的中点，先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【详解】如图，设菱形中，点分别是的中点，连接， ∵分别是的中点， ∴，， 同理可得，，，， ∴ 且 ， ∴四边形是平行四边形， 又∵菱形的对角线互相垂直，即， ∵，， ∴，即， ∴平行四边形是矩形． 题型1 平行四边形的性质与判定 例1．如图，在中，的平分线交于点．若，，则长为（    ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质得到，，再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C. 例2．如图，在中，平分交于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质得，最后由角平分线的定义求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 故选：D. 【技巧总结】 （1）判定优先选简单条件：两组对边平行/相等、一组对边平行且相等； （2） 慎用易错判定：一组平行一组相等、两组邻边相等，无法判定平行四边形； （3）对角线只可证互相平分，不可用对角线相等、垂直判定普通平行四边形。 【变式训练1-1】如图，的对角线与相交于点，，，的周长是． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行四边形对角相等的性质即可得答案； （2）根据平行四边形对角线互相平分可得的长，进而根据的周长求出的长即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ∴． （2）解：∵的对角线与相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴． 【变式训练1-2】如图，平行四边形的对角线相交于点O，点E在上，点F在上，连接，使恰好经过点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，可证明，则可证明； （2）根据（1）的结论可证明，即，由平行四边形的对角线互相平分得到，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵平行四边形的对角线相交于点O， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴，即， ∵平行四边形的对角线相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型2 矩形的性质与判定 例3．如图，在中，，将它向右平移得到，和交于点D，延长，交于点E，若，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】题目主要考查平移的性质及矩形的判定，理解题意，熟练掌握平移的性质是解题关键． 连接，根据 题意得出，，确定四边形是矩形，再由平移的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵平移， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 例4．两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补角的定义可得，由题意可得，，则有，即可得解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，余角与补角，解答的关键是明确互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180° 【技巧总结】 （1）独有性质：四个角为直角、对角线相等且平分； （2） 判定技巧：平行四边形+一个直角/对角线相等=矩形；四边形三个直角=矩形； （3）隐藏结论：矩形对角线分出两个全等直角三角形，可用斜边中线定理。 【变式训练2-1】如图，的对角线相交于是等边三角形，且． (1)求的面积． (2)若点、分别是的中点，连接，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，进而得到，可知四边形是矩形，根据勾股定理求出的值，可知的面积 （2）连接，根据矩形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，根据30度角的性质得到，根据勾股定理求出，证明是等边三角形，可知． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ，， 是等边三角形， ． ， ， ∴四边形是矩形． ， ， ； （2）解：连接， ∵矩形， ∴， ∵点F是的中点， ， 是等边三角形，点E是的中点， ， ， ∴， ， ， ∴是等边三角形， ． 【变式训练2-2】如图，在中， D，E分别是的中点，连接，过点 A 作，垂足为F，延长至点G，使，连接，延长至点H，使 ，连接，易知四边形的面积等于的面积． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，请你利用上述结论求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)36 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再证明，则 ，即可得到结论； （2）求出 ，，根据四边形的面积等于的面积求出答案． 【详解】（1）解：∵D，E分别是的中点， ∴， ∵， ， ∴ ， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴ ∵D是的中点， ∴， ∵ ， ∴ ∴ ∴四边形为矩形； （2）解：由（1）得 ，，四边形为矩形， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴四边形的面积 ， ∵四边形的面积等于的面积， ∴的面积． 【变式训练2-3】如图，在四边形中，，对角线与相交于点，，，垂足分别为，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，点为中点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）先证明，然后根据全等三角形的性质证明即可； （2）先得到四边形是矩形，然后证明为等边三角形，那么可得，再由直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平行四边形 ∴ ∵ ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∵点为中点， ∴ ∴ ∴为等边三角形， ∴ ∴ ∵ ∴． 题型3 菱形的性质与判定 例5．如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由作图过程可证四边形是菱形，再根据菱形的对角相等且对角线平分对角即可解答． 【详解】解：∵以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点， ∴， ∵分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，即选项A符合题意． 例6．如图，在四边形中，，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为36，求长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据等角对等边的性质，得到，即可证明四边形是菱形； （2）根据菱形的性质，得出，由勾股定理可得，从而得到，再证明四边形是平行四边形，得到，即可求出长． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形，， 平分， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形，， ，，，， 的周长为36， ， ， 在中，， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ． 【技巧总结】 （1） 独有性质：四条边相等、对角线互相垂直平分、对角线平分内角； （2）判定技巧：平行四边形+邻边相等/对角线垂直=菱形；四边形四边相等=菱形； （3） 面积秒杀技巧：可用对角线乘积的一半快速求解，无需底乘高。 【变式训练3-1】如图，以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，，，若，，则四边形的面积是（   ） A．160 B．120 C．96 D．48 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定和性质掌握知识点是解题的关键． 先证明四边形是菱形，可求，利用出勾股定理即可求出，则可得，再根据菱形的面积公式，即可解答． 【详解】解：设与相交于点D，如图： 由题意，有 ， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴ ∴． 故选C． 【变式训练3-2】如图，在四边形中，，，点是的中点，且平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由点是的中点，得到，求得，根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，进一步得到，证明，由一组邻边相等的平行四边形是菱形得出结论； （2）根据（1）可得，得到，再证明是直角三角形，根据勾股定理即可得到结论． 此题重点考查平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定、三角形内角和定理、勾股定理等知识，推导出，进而证明四边形是平行四边形是解题的关键． 【详解】（1）证明：点E是的中点， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 平行四边形为菱形； （2）解：， 根据（1）可得， ， ，， ， ， ， 【变式训练3-3】如图，中，平分交于点，交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再结合角平分线的定义，平行线的性质推出，进而得到，即可得证； （2）过点作，证明为等边三角形，利用三线合一结合勾股定理求出的长，再利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：过点作， ∵四边形是菱形； ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 题型4 正方形的性质与判定 例7．如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点在上，过点作，垂足为点，若，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，由正方形的性质可得，，，，，作于，延长交于，作于，证明四边形为矩形得出，证明四边形为正方形，得出，从而得出，证明，得出，再证明为等腰直角三角形，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，，， 如图，作于，延长交于，作于， ， 则， ∴四边形、为矩形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故选：B． 例8．如图，若，平分，，则四边形的面积是_____ ． 【答案】8 【分析】作于点，作于点，证得，利用勾股定理求得正方形的边长，即可求得面积． 【详解】解：如图，作于点，作于点， ， ． ， ． ∵平分， ． ， ， ． ， ∴四边形是矩形， ∴四边形是正方形． ， ， ∴四边形的面积等于正方形． 设正方形的边长为，， 由勾股定理可知：， ， ∴正方形的面积等于8， ∴四边形的面积等于8． 【技巧总结】 （1）快速判定：平行四边形+邻边相等+一个直角；对角线垂直且相等的平行四边形； （2）易错避坑：对角线垂直且相等的任意四边形，不是正方形。 【变式训练4-1】如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关的知识是解题的关键． （1）先根据，判定四边形是矩形，再根据，即可得证； （2）先根据证明，得出，再根据正方形中，，即可得到，从而可求得的长． 【详解】（1）证明：∵的垂直平分线交于，交于， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 【变式训练4-2】综合与探究 问题情境： 在边长为10的正方形中，是对角线上一点，连接．过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两线交于点． 特别研究： （1）如图1，当点在对角线的中点处时，四边形的形状为______． 深入探究： （2）如图2，当点是对角线上任意一点时． ①试说明（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； ②求四边形面积的取值范围． （3）如图3，当时，点落在的延长线上，请直接写出线段的长． 【答案】（1）正方形；（2）①仍然成立，理由见解析，②；（3） 【分析】（1）首先得到四边形是矩形，然后由即可证明； （2）①如图所示，过点P作交于点M，交于点N，首先证明出四边形是矩形，然后根据正方形的性质证明出，得到，即可证明四边形是正方形； ②首先求出，得到正方形面积然后根据当时，最短，当点P和点A或点C重合时，最长，进而求解即可； （3）由正方形得到，然后由得到，然后求出，即可得到． 【详解】（1）∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线 ∴四边形是矩形 ∵四边形是正方形，点在对角线的中点处 ∴ ∴四边形是正方形； （2）①仍然成立，理由如下： 如图所示，过点P作交于点M，交于点N ∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线 ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∵四边形是正方形， ∴，且平分， ∴， ∴ ∴， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是正方形； ②∵在边长为10的正方形中 ∴ ∴ ∵四边形是正方形 ∴正方形面积 ∴当时，最短 ∴此时 ∴正方形面积的最小值为； 当点P和点A或点C重合时，最长 ∴此时 ∴正方形面积的最大值为； ∴四边形面积的取值范围为； （3）∵四边形是正方形，是对角线 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 题型5 中点四边形 例9．顺次连结菱形四边的中点所得的四边形是（   ） A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，矩形的判定，菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法．利用中位线定理证明，则四边形是平行四边形，由得到，即可得到结论． 【详解】解：在菱形中，分别是的中点， 连接、， 在中， ∵， 同理 ∴ ∵四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 故选A． 例10．我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形，如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．    (1)这个中点四边形的形状一定是______； (2)若，证明四边形是菱形． 【答案】(1)平行四边形 (2)见解析 【分析】（1）根据中位线的性质得出，，根据平行公理得出，同理得出，即可得出答案； （2）先根据中位线性质证明，，得出四边形为平行四边形，再根据，得出，证明平行四边形是菱形． 【详解】（1）解：连接、，如图所示：    ∵E，F，G，H分别是边，，，的中点， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：平行四边形． （2）证明：如图，连接、， E，F，G，H分别是边，，，的中点， ∴，，， ，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形．    【点睛】本题主要考查了中位线的性质，平行四边形和菱形的判定，解题的关键是熟练掌握中位线性质，平行四边形的判定方法． 【技巧总结】 （1）核心依据：三角形中位线定理，任意四边形中点四边形必为平行四边形； （2）无需看原四边形形状，只判定对角线关系即可秒杀。 【变式训练5-1】如果一个四边形的对角线相等，那么顺次连接其四边中点所得的四边形是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、菱形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，，，，从而可得，再证出四边形是平行四边形，然后证出，根据菱形的判定即可得． 【详解】解：如图，四边形的对角线，点分别是的中点， ∵点是的中点， ∴， 同理可得：，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵，，， ∴， ∴平行四边形是菱形， 故选：B． 【变式训练5-2】定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形 【性质探究】： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，则：四边形的对角线的关系为 ； 【问题解决】： （3）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点． 则：与的数量关系为 ． 【答案】（1）D，（2）且，（3） 【分析】（1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案； （2）由中位线的性质可得：，，，，结合正方形的性质可得结论； （3）记、的中点分别为E、F，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论． 本题是四边形综合题，考查了三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，所以其中点四边形是正方形； （2），．理由如下： ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，． （3）如图，记、的中点分别为E、F，    ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴ 题型6 特殊平行四边形中折叠问题 例11．如图，长方形纸片沿对折后，点B、C的对应点分别为点．与交于点M．若 ，则 为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方形的性质得出平行线，根据平行线的性质得出，再根据翻折的性质得出相等的角，最后利用平行线的性质求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 根据翻折的性质可得， ∵， ∴． 例12．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，，沿折叠正方形，折叠后，点落在平面内的点处，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了图形的翻折变换和正方形的性质，要会根据点的坐标求出所需要的线段的长度，灵活运用勾股定理． 过点作，因为，，所以，，根据勾股定理得，故，即点的坐标即可求解． 【详解】解：过点作，如图所示： 四边形是正方形，点的坐标是， ，， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， 即点的坐标为， 故答案为：． 【技巧总结】 （1）折叠核心：对应边相等、对应角相等、折痕为对称轴； （2）固定解法：设未知边长，利用折叠等量关系，在直角三角形中列勾股方程； （3）优先找隐藏直角，矩形、正方形折叠必构造直角三角形。 【变式训练6-1】已知在长方形中，，．按下列要求折叠，试求出所要求的结果． (1)如图（1）所示，把长方形沿对角线折叠得，交于点F，求： (2)如图（2）所示，折叠长方形，使落在对角线上，求折痕的长； (3)如图（3）所示，折叠长方形，使点D与点B重合，求折痕的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了折叠求值，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是运用勾股定理列方程． （1）可推出，设，则，在中，根据勾股定理得出，求得x的值，进一步得出结果； （2）可求得，的值，设，则，在中，根据勾股定理列出，求得x的值，进一步得出结果； （3）由（1）的结论可知：，，从而，，利用勾股定理即可求得的值． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴， 设，则， 在中， 由得，， ∴， ∴； ∴； （2）解：∵，，， ∴， 由折叠得：，，， ∴， 设，则， 在中，由得， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：作于点， 则， ∴四边形是矩形， ∵点D与点B重合， ∴垂直平分， ∴， 由（1）知：，又点O是长方形中心， ∴， 同（1）， ∴，， ∴． 【变式训练6-2】折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了如下的数学活动： 如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． (1)猜想与的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定是解题的关键． （1），理由如下，由矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定得到，即可得到； （2）根据矩形的性质、折叠的性质得到，设，根据勾股定理得到，解得，即可得到答案． 【详解】（1）解： ，理由如下， ∵四边形是矩形， ． ， 由折叠的性质得， ， ． 同理：． ． ． （2）解：由折叠的性质得． 设， ． 在中，． ． 解得：． ∴． 【变式训练6-3】在一次数学活动课中，小明对“折纸中的数学问题”进行探究． 【活动1】折叠矩形纸片： 第一步：如图1，把矩形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上，再次沿折叠纸片，使点落在上的点处． 【活动2】折叠正方形纸片： 第一步：如图2，把正方形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上（不与点，重合），再次沿折叠纸片，使点落在下方的点处，延长交于点． (1)在活动1中，求证：； (2)在活动2中，若正方形的边长为8，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）连接．根据折叠的性质和垂直平分线的性质，证明是等边三角形，即可得到结论； （2）连接．设，证明，从而得出，，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． 由图形折叠的特征可得：，，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，即是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：如图，连接． 设，则． 由图形折叠的特征可得：，，，． ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得，即． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，掌握相关知识点是解题关键． 题型7 特殊平行四边形中动点问题 例13．【问题背景】如图，在四边形中，，，且，，，若动点从点出发，以每秒的速度沿线段向点运动；动点从点出发以每秒的速度沿向点运动，当点到达点时，动点，同时停止运动．设点，同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1)【基础求解】________； (2)【初步探究】当________秒时，四边形成为矩形； (3)【深入探究】当t为多少时，？ (4)【综合探究】是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)9 (2)3 (3) (4)t的值为秒或3秒或秒 【分析】（1）过点D作于E，证明四边形为矩形．根据勾股定理求出的长度，然后求解即可； （2）当时，四边形为矩形，根据列出关于t的方程，解方程即可； （3）当时，四边形是平行四边形，得到，建立方程求解即可得出结论； （4）分三种情况，分别利用等腰三角形的性质和勾股定理求解． 【详解】（1）解：如图，过点D作于E， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴； （2）解：根据题意得：，，则，， ∵，， ∴当时，四边形为矩形， ∴， 解得； （3）解：根据题意得：，，则，， 当时， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； （4）解：是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时，即， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴； ③如图，当时，则，， 在中，， 即， 解得：． 故存在t，使得是等腰三角形，此时t的值为秒或3秒或秒． 【技巧总结】 （1）统一思路：设运动时间t，用含t代数式表示动点线段长度； （2）判定图形存在性：根据特殊图形判定条件列方程求解t； （3）必做步骤：检验t取值范围，舍去超出边长、运动区间的无效解。 【变式训练7-1】如图，在直角梯形中，，，，，，点P沿线段从点A向点B运动，其速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t．    (1)求的长； (2)点P在运动过程中，t为何值时，四边形是矩形？ (3)点P在运动过程中，t为何值时，四边形是平行四边形？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过C作于点E，利用含角直角三角形的性质得到，然后利用勾股定理求出，即可求得的长； （2）根据题意得到当点P和点E重合时，四边形是矩形，然后求出，然后根据点P运动的速度求解即可； （3）根据题意得到，然后根据点P运动的速度求解即可． 【详解】（1）如图，过C作于点E，    ∵， ∴ ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）由（1）可得，四边形为矩形， ∴当点P和点E重合时，四边形是矩形 ∵， ∴ ∵点P沿线段从点A向点B运动，其速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t ∴（秒） ∴时，四边形是矩形； （3）∵四边形为矩形， ∴ ∵，即 ∴当时，四边形是平行四边形 ∴此时 ∴（秒） ∴时，四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查了含角直角三角形的性质，勾股定理，矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式训练7-2】已知四边形是边长为的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（）． (1)如图1，当点P在边上，四边形为平行四边形时，求t的值； (2)如图2，当点P在边上，时，求t的值； (3)点P在运动过程中，是否存在四边形的面积等于正方形的面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定及平行四边形的性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定及平行四边形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得当时，四边形为平行四边形，进而问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后可得方程，进而求解即可； （3）由题意可分：当点P在边上，当点P在边上，即，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：当点P在边上，则有，所以， 在正方形中，， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴当时，四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点P在边上， ∴， ∴， 解得：； （3）解：存在，理由如下： 由题意可分：当点P在边上，则有，所以，此时四边形是梯形， ∴四边形的面积为， ∵四边形的面积等于正方形的面积的一半， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 当点P在边上，即，则有，如图， ∵四边形的面积等于正方形的面积的一半， ∴与的面积之和也为正方形的面积的一半， ∴， 解得：； 综上所述：当时，四边形的面积等于正方形的面积的一半． 题型8 特殊平行四边形中最值问题 例14．如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（   ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查正方形的判定与性质和等边三角形的性质，根据题意推出四边形为正方形，先求得正方形的边长，依据等边三角形的定义可知，连接，依据正方形的对称性可知， 则，由两点之间线段最短可知：当点、、在一条直线上时，有最小值，最小值为的长. 【详解】： 连接，      ∵两个全等的等腰和等腰有公共斜边， ∴， ， ∴四边形为正方形， ∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵为等边三角形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴与关于对称， ∴， ∴， ∴有最小值为， 故选： B． 例15．如图，在中，，点是线段上的动点（与，不重合），作于，于，连接，若，，则点从点运动到点的过程中，的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短的性质、勾股定理等知识，判断出时，线段的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程． 连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，，， ∴， ∵，，°， ∴四边形是矩形， ， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，， ∴， 即的最小值为， 故选：C． 【技巧总结】 （1）线段最值：将军饮马模型，作对称点，两点之间线段最短； （2）距离最值：点到直线垂线段最短，常用于高、距离最小值； （3）面积最值：固定底找最大高，固定高找最大底，结合动点范围求解； （4）菱形、正方形最值：多利用对角线垂直性质、边长不变特性分析； （5）周长最值：通常转化为固定边长+最短动线段，简化求解。 【变式训练8-1】数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，且．则的最小值是（   ） A． B．8 C．10 D．34 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题中所给的思路，根据题干中的思路进行解答．根据题中所给的思路，将可以看作两直角边分别是x和3的的斜边长，可以看作两直角边分别是y和5的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接，当A，P，B共线时，的最小值为，再利用勾股定理计算出即可． 【详解】解：构造出如图，将问题转化为求的最小值， 可以看作两直角边分别是x和3的的斜边长， 可以看作两直角边分别是y和5的的斜边长，故问题转化为求的最小值， 连接，当A，P，B共线时，的最小值为，作交延长线于点E，故四边形是矩形， ∵，即， ∴， ∵， ∴ ∴的最小值为10， 故选：C． 【变式训练8-2】如图，长方形中，， ，在边上取一点E，将折叠后点D恰好落在边上的点F处． (1)求的长； (2)在（1）的条件下，边上是否存在一点P，使得值最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理等知识点，理解矩形的性质成为解题的关键． （1）由平行四边形的性质可得,再根据折叠的性质，进而利用勾股定理求出，最后在，利用勾股定理即可解答； （2）如图，延长至使，连接交于P，此时，最小，最小值为，进而求得，最后利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：∵长方形中，， ， ∴， 由折叠知，， 在中，根据勾股定理得， ， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得，， ∴，解得：， ∴． （2）解：如图，延长至使，连接交于P，此时，最小，最小值为， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得， ． 【变式训练8-3】如图，在边长为2正方形中，E为边上一动点（点E不与B，C重合），连接，以为直角边作等腰直角三角形，其斜边与正方形边相交于点N，连接． (1)求证：； (2)当E运动到的中点时，求线段的长度； (3)如图2，连接交与点P，G是的中点，连接，，当等于多少时，的最小，并求出最小值？ 【答案】(1)见解析 (2)线段的长度为 (3)的最小值为 【分析】（1）利用正方形和等腰直角三角形的性质，再结合等角的余角相等，即可证明结论成立； （2）设，则，延长至，使，连接，，证明，推出，，再证明，推出，在中，利用勾股定理列式计算即可求解； （3）连接，，先证明，得到，当共线时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵点E是的中点， ∴， 设，则， 延长至，使，连接，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴线段的长度为； （3）解：连接，， ∵是等腰直角三角形，四边形是正方形， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当共线时，有最小值，最小值为的长， ∵G是的中点， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解决问题的关键是依据两点之间，线段最短进行判断． 1．如图，在矩形中，，垂直平分于点E，则的长为（   ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据矩形的性质知对角线相等和相互平分，结合垂直平分线的性质，得到等边三角形，根据等边三角形的性质和含直角三角形的性质得到长，从而得到的长，即的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， 垂直平分， ，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 2．如图，四边形是菱形，，，则菱形的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由菱形的性质证明是等边三角形，得到，即可求出周长． 【详解】∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴菱形的周长． 3．如图1，点P从菱形的顶点A出发，沿着折线匀速运动，运动速度为1cm/s，图2是线段的长度y与时间x（s）之间的函数关系的图象（不妨设当点P与点A重合时，），则菱形的面积为（     ） A．12 B．6 C．5 D．2.5 【答案】B 【分析】根据图2得出，再利用菱形的性质求出另一条对角线的长度，从而求出菱形的面积． 【详解】解：连接，且相交于点O， 根据题意，结合图2可知，; ∵四边形是菱形， ， ， ， ． 4．如图，正方形的边长为4，点M在上，且，点N是上一动点，则的最小值为___________． 【答案】5 【分析】连接，，，根据轴对称的性质，得到，的最小值即的最小值，即为线段的长，再根据勾股定理，即可求得的长，即得答案． 【详解】解：连接，，， 正方形是轴对称图形，点B与点D是以直线为对称轴的对称点， 直线即为的垂直平分线， ， ， 当点N在与的交点P处，取得最小值，最小值为的长， 正方形的边长为4，且， ，，， ， 的最小值为5． 5．如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，过点分别作的垂线，垂足分别为点，连接，则的最小值为___________ ． 【答案】 【分析】连接，由矩形的性质可得四边形是矩形， 即得，可知要求的最小值，就是要求的最小值，当时，取最小值，由勾股定理得，再根据三角形的面积求出即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当有最小值时，取最小值， 当时，取最小值， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 6．如图，在正方形中，点P，Q分别为边上的点，且，连接．则为________度． 【答案】 【分析】根据题意利用证明即可． 【详解】解：在正方形中，，， ∴在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由得，，由E为的中点得，故； （2）由（1）得，，又，故四边形是平行四边形，由，点F在的延长线上得，故四边形是矩形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， E为的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）得，， 又， 四边形是平行四边形， ，点F在的延长线上， ， 四边形是矩形． 8．如图，在四边形中，，点E，F在直线上，且，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：在和中， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． (2)四边形的面积为 【分析】（1）先证明，得到，进一步推得，所以，结合，可证明结论； （2）连接交于点，先证明四边形是菱形，得到，根据直角三角形的性质可逐步求得，，，即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接交于点， 由（1）得四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形， ，，， ，， ， ， 在中，， ， ， 四边形的面积为． 9．八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 【答案】； 【分析】本题主要考查勾股定理相关的翻折问题．先根据翻折，得到．在中，运用勾股定理，求出，从而求得，设，在中，运用勾股定理建立关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：∵和关于对称， ∴． ∴，． ∵矩形，，， ∴，． 在中， 由勾股定理，得， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． 设，则， 在中， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ∴． 10．【概念呈现】若四边形满足，则称这个四边形为等幂四边形． (1)【概念理解】已知四边形是等幂四边形，，，，则的长为_______． (2)【图形判定】如图1，在四边形中，对角线与相交于点，．求证：四边形是等幂四边形． (3)【问题解决】如图2，在矩形中，，，交于点，，则的长为_______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据定义即可解答； （2）利用勾股定理可得，即可解答； （3）连接，根据（2）中可得，可得，再利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：四边形是等幂四边形， ， ， 解得（负值舍去）； （2）证明：， ， ， ， ， ， 四边形是等幂四边形； （3）解：如图，连接， ， 根据（2）中证明，可得， 设，则，， 在矩形中，，，， ， ， 在中，， 即， 解得（负值舍去）， ． 11．如图，已知菱形，连接，为的中点． (1)利用尺规作四边形，使得四边形为平行四边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）依据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可用尺规作图画出四边形； （2）连接交于点，由四边形为菱形，可得，，再利用勾股定理求出，从而求出，利用和即可得出结果． 【详解】（1）解：如图①所示，四边形即为所求作（作法不唯一）， 以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，，则四边形即为所求作， ∵，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图②所示，连接交于点，连接， 四边形为菱形，， ，， ， 在中，由勾股定理得， ， 四边形为平行四边形， ，， 为的中点， ． 12．在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，． (1)①直接写出B的坐标：___________； ②连接．求证：； (2)若，对角线，利用（1）的结论判断平行四边形的形状，并说明理由． (3)在（2）的条件下，点是线段上的动点，试在上确定一点，使得的值最小时，求此时的长． 【答案】(1)①； (2)平行四边形是矩形，理由见解析 (3)． 【分析】（1）①利用平行四边形的性质直接得到； ②利用两点之间的距离公式，分别计算和，据此即可证明； （2）利用两点之间的距离公式，再由（1）的结论求得，即可得到平行四边形是矩形； （3）作点关于的对称点，连接，与的交点即为，此时最小；据此求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是平行四边形，，， ∴； 证明：②∵，，， ∴， ， ，，， ∴， ， ∴； （2）解：∵，对角线， ∴，， 由（1）的结论得， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形； （3）解：由（2）得四边形是矩形，，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 作点关于的对称点，则点的坐标为， 连接，与的交点即为，此时最小； ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴． 13．如图，在平行四边形中，，点是边上一动点，从出发沿边匀速运动，当运动到点时停止运动，过作，交边于点，连接，．已知，． (1)求的长； (2)试求在运动过程中，长为何值时，四边形是菱形，请说明理由； (3)点在运动过程中，的长是否存在最小值，如果有请求出最小值；如果没有则说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，四边形是菱形，理由见解析； (3)的最小值为． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，菱形的判定，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，则是直角三角形，根据平行四边形性质得，又则，然后通过勾股定理即可求解； （）先证明四边形是平行四边形，则当时，四边形是菱形，即有； （）延长至，使得，连接，证明四边形是平行四边形，所以，则，当三点共线时，最小，即最小值为最小值，即的长，然后在中，通过勾股定理即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是直角三角形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理知； （2）解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 当时， ∴四边形是菱形， 即， ∴当时，四边形是菱形； （3）解：延长至，使得，连接， 由（）知，四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当三点共线时，最小， 即最小值为最小值，即的长， ∵，， ∴， ∵，， 在中，， ∴的最小值为． 14．已知在矩形中，，．点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，点、点的运动速度都是，设它们的运动时间为． (1)如图①，求证：在运动过程中，、总是互相平分； (2)如图②，若四边形是菱形，求的值； (3)已知点是平面内一点，若以点、、、为顶点的四边形是以为边的菱形，直接写出所有符合条件的的值． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形、菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键； （1）说明四边形是平行四边形即可； （2）设，在中，利用勾股定理建立方程求解； （3）分两种情况讨论，①作为菱形的边时：②作为菱形的对角线时：让点在上移动，结合、、、为顶点的四边形是菱形，画出图形求的值． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， 点，点的运动速度都是，它们的运动时间为 ． ∴，， ， 四边形是平行四边形， ，总是互相平分； （2）解：四边形是菱形， ， ∵，则， 在中，根据勾股定理得，， ， ． （3）解：①作为菱形的边时： 如图，，则，在中，， ， ； ②作为菱形的对角线时： 如图，，则，，根据菱形的对角线互相垂直平分可得， ， ． 综上：或． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 （特殊）平行四边形 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 平行四边形的性质与判定 题型5 中点四边形 题型2 矩形的性质与判定 题型6 特殊平行四边形中折叠问题 题型3 菱形的性质与判定 题型7 特殊平行四边形中动点问题 题型4 正方形的性质与判定 题型8 特殊平行四边形中最值问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 平行四边形的性质与判定 2. 矩形的性质与判定 3. 菱形的性质与判定 4. 正方形的性质与判定 5. 折叠与变换问题 6. 动点与最值问题 7. 面积计算 1. 基础辨析题型：选择、填空高频考查四种四边形的性质、判定辨析，侧重独有性质区分，常设置易混淆选项。 2. 基础证明计算：期中期末必考解答基础题，单独考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定证明，搭配边长、角度、面积简单计算。 3. 折叠综合题型：八年级核心重难点，结合折叠对称性，联动勾股定理、一元二次方程列方程求线段长，中档高频考题。 4. 递进判定题型：命题常以“平行四边形→矩形/菱形→正方形”递进式设问，考查图形判定的逻辑完整性。 5. 动点压轴题型：期末小压轴高频形式，通过动点运动探究图形形状、线段最值，综合性强。 6. 中考命题趋势：弱化单一机械证明，强化性质综合应用、几何建模、动态几何分析，常与勾股定理、全等三角形、方程思想结合命题。 考情解码：平行四边形及特殊平行四边形是沪科版八年级下册几何核心重难点，由普通平行四边形延伸至矩形、菱形、正方形，层层递进，承接三角形、全等、勾股定理知识，是初中平面几何的核心框架章节，也是后续圆、相似三角形、二次函数几何综合的重要基础。 本章考点覆盖全题型，选择填空侧重普通平行四边形概念辨析、基础性质计算、特殊四边形性质区分；解答题分为基础题型（平行四边形判定、简单计算）和综合题型（折叠计算、动点探究、形状判定）。高频易错点集中：①误用平行四边形判定定理，混淆“一组对边平行一组对边相等”等错误判定；②特殊四边形判定遗漏“平行四边形”前置条件，逻辑不严谨；③折叠问题中无法准确转化等量线段，不会结合方程与勾股定理解题；④四类四边形从属关系模糊，混用独有性质。 本章节是八下期中、期末必考核心模块，分值占比高，命题灵活性强。常结合勾股定理、一元二次方程、动态几何出综合题型，核心考查学生的几何逻辑推理能力、图形变换分析能力、数形结合建模能力，是初中几何拉开分差的重点章节。 知识点一 平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作 。 核心性质：①边：对边平行且相等； ②角：对角相等，邻角互补（和为180°）； ③对角线：对角线互相平分（交点为两条对角线中点）； ④对称性：仅中心对称图形，无对称轴； 推论：平行线间的距离处处相等；等底等高平行四边形面积相等。 判定方法：①定义判定：两组对边分别平行的四边形； ②边判定1：两组对边分别相等的四边形； ③边判定2：一组对边平行且相等的四边形； ④角判定：两组对角分别相等的四边形； ⑤对角线判定：对角线互相平分的四边形。 面积公式：（底与高必须对应） 【易错提醒】 （1）判定定理乱用：两组对边分别平行/相等、一组对边平行且相等才成立；一组对边平行、另一组对边相等不能判定（可能是等腰梯形）； （2）混淆对角、邻角、对角线性质。 即时即练如图，E、F是的对角线上两点，且，，连接、． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求的长． 知识点二 矩形 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（长方形）。 性质：包含平行四边形全部性质，外加专属性质：①四个角都是直角（90°）；②对角线相等且互相平分 轴对称+中心对称，共2条对称轴。 推论：直角三角形斜边中线等于斜边的一半。 判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形。 【易错提醒】 （1）判定条件不严谨：三个角是直角可判定矩形；仅有一个直角的平行四边形就是矩形；任意四边形两个直角不能判定； （2）性质混淆：矩形对角线相等且互相平分，不垂直（正方形除外），不要默认对角线垂直。 即时即练如图，四边形的对角线与相交于点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 知识点三 菱形 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 性质：包含平行四边形全部性质，外加专属性质：①四条边长度全部相等；②对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角；③轴对称+中心对称，共2条对称轴。 判定：①一组邻边相等的平行四边形是菱形 ②四条边都相等的四边形是菱形 ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形 面积公式：底×高 【易错提醒】 （1）判定条件出错：四条边相等的四边形是菱形；一组邻边相等的平行四边形是菱形；切勿只用“两组邻边相等”判定； （2）面积公式易错：菱形面积=底×高=对角线乘积的一半，只记一种公式容易解题受限、计算出错。 即时即练如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的度数． 知识点四 正方形 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。（兼具矩形、菱形特征） 性质：拥有平行四边形、矩形、菱形全部性质：①边：四边相等，对边平行；②角：四个角均为直角； ③对角线：相等、垂直、互相平分、平分一组内角；④轴对称+中心对称，共4条对称轴。 判定：①平行四边形基础：一组邻边相等 + 一个直角 = 正方形； ②矩形基础：一组邻边相等的矩形是正方形； ③菱形基础：有一个角是直角的菱形是正方形； ④对角线基础：对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形。 【易错提醒】 （1）常见判定错误：对角线相等且垂直的四边形≠正方形，必须先是平行四边形，再满足对角线垂直且相等； （2）性质滥用：正方形兼具所有平行四边形、矩形、菱形性质，但不可将正方形特有性质反用在普通图形上。 即时即练如图，在正方形中，点是上一点，连接，过点作交于点，连接，若，则的度数是（） A． B． C． D． 知识点五 中点四边形 定义：顺次连接任意四边形四条边中点，所得的新四边形，叫做原四边形的中点四边形。 核心原理：①三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半；②推导结论：任意四边形的中点四边形一定是平行四边形。 中点四边形终极规律：①原四边形对角线任意 → 中点四边形：平行四边形；②原四边形对角线相等 → 中点四边形：菱形；③原四边形对角线互相垂直 → 中点四边形：矩形；④原四边形对角线相等且垂直 → 中点四边形：正方形。 常见图形对应的中点四边形：普通四边形 → 平行四边形；矩形（对角线相等） → 菱形； 菱形（对角线垂直） → 矩形；正方形（对角线相等且垂直） → 正方形； 等腰梯形（对角线相等） → 菱形。 面积结论：中点四边形面积 = 原四边形面积的一半。 【易错提醒】 （1）因果颠倒：易错根据中点四边形形状反推错原图形性质，必须牢记：看原图形对角线，不看原图形形状； （2）忽略中位线定理：解题核心是三角形中位线平行且等于底边一半，忘记定理导致无法推导边长、平行关系。 即时即练顺次连接一个菱形的各边中点所得四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 题型1 平行四边形的性质与判定 例1．如图，在中，的平分线交于点．若，，则长为（    ） A．3 B． C．2 D．1 例2．如图，在中，平分交于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【技巧总结】 （1）判定优先选简单条件：两组对边平行/相等、一组对边平行且相等； （2） 慎用易错判定：一组平行一组相等、两组邻边相等，无法判定平行四边形； （3）对角线只可证互相平分，不可用对角线相等、垂直判定普通平行四边形。 【变式训练1-1】如图，的对角线与相交于点，，，的周长是． (1)求的度数； (2)求的长． 【变式训练1-2】如图，平行四边形的对角线相交于点O，点E在上，点F在上，连接，使恰好经过点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型2 矩形的性质与判定 例3．如图，在中，，将它向右平移得到，和交于点D，延长，交于点E，若，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 例4．两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    ) A． B． C． D． 【技巧总结】 （1）独有性质：四个角为直角、对角线相等且平分； （2） 判定技巧：平行四边形+一个直角/对角线相等=矩形；四边形三个直角=矩形； （3）隐藏结论：矩形对角线分出两个全等直角三角形，可用斜边中线定理。 【变式训练2-1】如图，的对角线相交于是等边三角形，且． (1)求的面积． (2)若点、分别是的中点，连接，求的长． 【变式训练2-2】如图，在中， D，E分别是的中点，连接，过点 A 作，垂足为F，延长至点G，使，连接，延长至点H，使 ，连接，易知四边形的面积等于的面积． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，请你利用上述结论求的面积． 【变式训练2-3】如图，在四边形中，，对角线与相交于点，，，垂足分别为，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，点为中点，，求的长． 题型3 菱形的性质与判定 例5．如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例6．如图，在四边形中，，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为36，求长． 【技巧总结】 （1） 独有性质：四条边相等、对角线互相垂直平分、对角线平分内角； （2）判定技巧：平行四边形+邻边相等/对角线垂直=菱形；四边形四边相等=菱形； （3） 面积秒杀技巧：可用对角线乘积的一半快速求解，无需底乘高。 【变式训练3-1】如图，以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，，，若，，则四边形的面积是（   ） A．160 B．120 C．96 D．48 【变式训练3-2】如图，在四边形中，，，点是的中点，且平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知，，求线段的长． 【变式训练3-3】如图，中，平分交于点，交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求菱形的面积． 题型4 正方形的性质与判定 例7．如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点在上，过点作，垂足为点，若，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．3 例8．如图，若，平分，，则四边形的面积是_____ ． 【技巧总结】 （1）快速判定：平行四边形+邻边相等+一个直角；对角线垂直且相等的平行四边形； （2）易错避坑：对角线垂直且相等的任意四边形，不是正方形。 【变式训练4-1】如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【变式训练4-2】综合与探究 问题情境： 在边长为10的正方形中，是对角线上一点，连接．过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两线交于点． 特别研究： （1）如图1，当点在对角线的中点处时，四边形的形状为______． 深入探究： （2）如图2，当点是对角线上任意一点时． ①试说明（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； ②求四边形面积的取值范围． （3）如图3，当时，点落在的延长线上，请直接写出线段的长． 题型5 中点四边形 例9．顺次连结菱形四边的中点所得的四边形是（   ） A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．以上都不对 例10．我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形，如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．    (1)这个中点四边形的形状一定是______； (2)若，证明四边形是菱形． 【技巧总结】 （1）核心依据：三角形中位线定理，任意四边形中点四边形必为平行四边形； （2）无需看原四边形形状，只判定对角线关系即可秒杀。 【变式训练5-1】如果一个四边形的对角线相等，那么顺次连接其四边中点所得的四边形是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．以上都不对 【变式训练5-2】定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形 【性质探究】： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，则：四边形的对角线的关系为 ； 【问题解决】： （3）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点． 则：与的数量关系为 ． 题型6 特殊平行四边形中折叠问题 例11．如图，长方形纸片沿对折后，点B、C的对应点分别为点．与交于点M．若 ，则 为（    ） A． B． C． D． 例12．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，，沿折叠正方形，折叠后，点落在平面内的点处，则点的坐标为_______． 【技巧总结】 （1）折叠核心：对应边相等、对应角相等、折痕为对称轴； （2）固定解法：设未知边长，利用折叠等量关系，在直角三角形中列勾股方程； （3）优先找隐藏直角，矩形、正方形折叠必构造直角三角形。 【变式训练6-1】已知在长方形中，，．按下列要求折叠，试求出所要求的结果． (1)如图（1）所示，把长方形沿对角线折叠得，交于点F，求： (2)如图（2）所示，折叠长方形，使落在对角线上，求折痕的长； (3)如图（3）所示，折叠长方形，使点D与点B重合，求折痕的长． 【变式训练6-2】折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了如下的数学活动： 如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． (1)猜想与的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 【变式训练6-3】在一次数学活动课中，小明对“折纸中的数学问题”进行探究． 【活动1】折叠矩形纸片： 第一步：如图1，把矩形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上，再次沿折叠纸片，使点落在上的点处． 【活动2】折叠正方形纸片： 第一步：如图2，把正方形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上（不与点，重合），再次沿折叠纸片，使点落在下方的点处，延长交于点． (1)在活动1中，求证：； (2)在活动2中，若正方形的边长为8，，求的长． 题型7 特殊平行四边形中动点问题 例13．【问题背景】如图，在四边形中，，，且，，，若动点从点出发，以每秒的速度沿线段向点运动；动点从点出发以每秒的速度沿向点运动，当点到达点时，动点，同时停止运动．设点，同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1)【基础求解】________； (2)【初步探究】当________秒时，四边形成为矩形； (3)【深入探究】当t为多少时，？ (4)【综合探究】是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【技巧总结】 （1）统一思路：设运动时间t，用含t代数式表示动点线段长度； （2）判定图形存在性：根据特殊图形判定条件列方程求解t； （3）必做步骤：检验t取值范围，舍去超出边长、运动区间的无效解。 【变式训练7-1】如图，在直角梯形中，，，，，，点P沿线段从点A向点B运动，其速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t．    (1)求的长； (2)点P在运动过程中，t为何值时，四边形是矩形？ (3)点P在运动过程中，t为何值时，四边形是平行四边形？ 【变式训练7-2】已知四边形是边长为的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（）． (1)如图1，当点P在边上，四边形为平行四边形时，求t的值； (2)如图2，当点P在边上，时，求t的值； (3)点P在运动过程中，是否存在四边形的面积等于正方形的面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 题型8 特殊平行四边形中最值问题 例14．如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（   ）    A．5 B．6 C．7 D．8 例15．如图，在中，，点是线段上的动点（与，不重合），作于，于，连接，若，，则点从点运动到点的过程中，的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 【技巧总结】 （1）线段最值：将军饮马模型，作对称点，两点之间线段最短； （2）距离最值：点到直线垂线段最短，常用于高、距离最小值； （3）面积最值：固定底找最大高，固定高找最大底，结合动点范围求解； （4）菱形、正方形最值：多利用对角线垂直性质、边长不变特性分析； （5）周长最值：通常转化为固定边长+最短动线段，简化求解。 【变式训练8-1】数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，且．则的最小值是（   ） A． B．8 C．10 D．34 【变式训练8-2】如图，长方形中，， ，在边上取一点E，将折叠后点D恰好落在边上的点F处． (1)求的长； (2)在（1）的条件下，边上是否存在一点P，使得值最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【变式训练8-3】如图，在边长为2正方形中，E为边上一动点（点E不与B，C重合），连接，以为直角边作等腰直角三角形，其斜边与正方形边相交于点N，连接． (1)求证：； (2)当E运动到的中点时，求线段的长度； (3)如图2，连接交与点P，G是的中点，连接，，当等于多少时，的最小，并求出最小值？ 1．如图，在矩形中，，垂直平分于点E，则的长为（   ） A． B． C．4 D．2 2．如图，四边形是菱形，，，则菱形的周长为（     ） A． B． C． D． 3．如图1，点P从菱形的顶点A出发，沿着折线匀速运动，运动速度为1cm/s，图2是线段的长度y与时间x（s）之间的函数关系的图象（不妨设当点P与点A重合时，），则菱形的面积为（     ） A．12 B．6 C．5 D．2.5 4．如图，正方形的边长为4，点M在上，且，点N是上一动点，则的最小值为___________． 5．如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，过点分别作的垂线，垂足分别为点，连接，则的最小值为___________ ． 6．如图，在正方形中，点P，Q分别为边上的点，且，连接．则为________度． 7．如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形． 8．如图，在四边形中，，点E，F在直线上，且，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，，求四边形的面积． 9．八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 10．【概念呈现】若四边形满足，则称这个四边形为等幂四边形． (1)【概念理解】已知四边形是等幂四边形，，，，则的长为_______． (2)【图形判定】如图1，在四边形中，对角线与相交于点，．求证：四边形是等幂四边形． (3)【问题解决】如图2，在矩形中，，，交于点，，则的长为_______． 11．如图，已知菱形，连接，为的中点． (1)利用尺规作四边形，使得四边形为平行四边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，请求出的面积． 12．在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，． (1)①直接写出B的坐标：___________； ②连接．求证：； (2)若，对角线，利用（1）的结论判断平行四边形的形状，并说明理由． (3)在（2）的条件下，点是线段上的动点，试在上确定一点，使得的值最小时，求此时的长． 13．如图，在平行四边形中，，点是边上一动点，从出发沿边匀速运动，当运动到点时停止运动，过作，交边于点，连接，．已知，． (1)求的长； (2)试求在运动过程中，长为何值时，四边形是菱形，请说明理由； (3)点在运动过程中，的长是否存在最小值，如果有请求出最小值；如果没有则说明理由． 14．已知在矩形中，，．点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，点、点的运动速度都是，设它们的运动时间为． (1)如图①，求证：在运动过程中，、总是互相平分； (2)如图②，若四边形是菱形，求的值； (3)已知点是平面内一点，若以点、、、为顶点的四边形是以为边的菱形，直接写出所有符合条件的的值． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $